WWW.VIETMATHS.COM

CHUN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

I.SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ : ( SGK)
II.MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ :
Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến trên tập xác đònh (hoặc trên từng
khoảng xác đònh)
Cho hàm số
( , )
y f x m

, m là tham số, có tập xác đònh D.


Hàm số f đồng biến trên D

y



0,

x

D.


Hàm số f nghòch biến trên D


y x R
a


 




   













0
0
' 0,
0
0
a b
c


< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.


Nếu

= 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
2
b
a
 )


Nếu

> 0 thì g(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với
a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai
2
( )
g x ax bx c
  


   








1 2
0 0
x x P
   

5) Để hàm số
3 2
y ax bx cx d
   
có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x
1
; x
2
) bằng d thì
ta thực hiện các bước sau:


Tính y

.

WWW.VIETMATHS.COM2
Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

VD1: Định m để hàm số ln đồng biến
a)
mmxxxy 
23
3

 D=R

mxxy  63'
2

Hàm số ln đồng biến






01
0'
0'

03
0'
0'
ma
y






0
0)2(3144
2
m
mmmm






0
0)1(
2
m
m
0






Hàm số ln đồng biến






2
2
040'
2
m
m
my
 Vậy: với





2
2
m
m
thì hs ln đồng biến trên D.
VD2: Định m để hàm số ln nghịch biến:
x



01
0'
0'
a
y 03
22
 mm
(điều khơng thể)
 Vậy: khơng tồn tại m để hs ln nghịch biến trên D.
VD3: Định m để hàm số
mxmxxy 4)1(3
23

nghịch biến trong ( - 1; 1)
 D=R

163'
2
 mxxy

WWW.VIETMATHS.COM3

Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)
0'




8
4
m
m
8



m

 Vậy:
8


m
thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1).

VD4: Định m để hàm số xmmxmxy )232()1(
223
 tăng trên );2(


 D=R

)232()1(23'
22
 mmxmxy





2
2
0)2(
0'
0'
S
af





















2
3
 m

 Vậy: 2
2
3
 m thì hs tăng trên );2(


VD5: Định m để hàm số
mmxxxy 
23
3
nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
 D=R

mxxy  63'
2

Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
0'


y
và
1
21
 xx



2. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ :

*) Cho hai đồ thị (C
1
) : y = f(x) và (C
2
) : y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C
1
) và
(C
2
) ta giải phương trình : f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm). Số nghiệm
của phương trình sao bằng số giao điểm của hai đồ thị .
*) Đồ thị hàm bậc 3 y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a

0 )cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt


Phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt



x



( 1 ) có đồ thị
( )
C
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( 1).
2. Chứng minh rằng đờng thẳng
( ): 2
d y x m

luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất.
Cõu 2 : Cho hàm số
2
12



x
x
y
có đồ thị là (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Cõu 3 : Cho hm s y =
1

1) Kho sỏt v v th


C
ca hm s trờn.
2) Gi (d) l ng thng qua A( 1; 1 ) v cú h s gúc k. Tỡm k sao cho (d) ct ( C ) ti hai
im M, N v
3 10
MN
.
Cõu 7 : Cho hm s
2 2
1
x
y
x



(C)
1. Kho sỏt hm s.
Tỡm m ng thng d: y = 2x + m ct th (C) ti 2 im phõn bit A, B sao cho AB =
5
.
Cõu 8 :
1. kho sỏt s bin thiờn v v th ( C) ca hm s:
2
32



, vi
(3;1).
M

WWW.VIETMATHS.COM5

Câu 10 : Cho hàm số y =
2
5
3
2
2
4
 x
x

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số.
2. Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x
M
= a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với
giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M.
Câu 11 : Cho hàm số
34
24

.
1
x
m
x




Câu 13 : Cho hàm số
2



x
xm
y
có đồ thị là
)(
m
H
, với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
1

m
.
2. Tìm m để đường thẳng

42|
224
 mmxx

Câu 15 : Cho hàm số y =
2
2
x
x

(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh
khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 16 : Cho hàm số
13
3
 xxy
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Định m để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt:
mmxx 33
3
3

Câu 17 : Cho hàm số
y x x
3 2
3 1
   

4 2
2 1
  
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x x m
4 2
2
2 1 log 0
   
(m > 0) Câu 20 : Cho hàm số y f x x x
4 2
( ) 8 9 1
   
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x x m
4 2
8cos 9 cos 0
  
với
x
[0; ]





1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1
.
1
x
m
x




Câu 23 : . Cho hàm số
1
1
x
y
x



.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Tìm a và b để đường thẳng (d):
y ax b
 
cắt (C) tại hai điểm phân biệt
đối xứng nhau qua đường thẳng (

ax bx cx d
   
(a

0) (1)
Gọi (C) là đồ thò của hàm số bậc ba:
3 2
( )
y f x ax bx cx d
    

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3


Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm

(C) và Ox có 1 điểm chung
WWW.VIETMATHS.COM7

CĐ CT
f không có cực trò h a
f có cực trò
h b

y y



 
Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt



2
( .3)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y





x
1

x
A

x
B

x
C

C
(C)

y
CĐ

y
A

o
x
2

x

x
2

x
a < 0

y
CT

B
f(0)

x"
0

C

x
1

(C)

y
CĐ

y
A
o
x
2

0

(y
CT
= f(x
0
) = 0)
x
(H.2)
(C)
A
x
0

O
x
y
(h.1a)

(C)
A
x
0

x
y
(h.1b)

x
1

CĐ CT
f có cực trò
y y
x x
a f hay ad





 

 


Câu 25:
Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao
cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vng góc với nhau.
Câu 26 : Cho hàm số
y x x
3

ln cắt đồ thị (C) tại
một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P
sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vng góc với nhau.
Câu 29 : Cho hàm số
y x mx m x m
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)
     
(
m
là tham số) (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
0.


2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ
dương.
Câu 30 : Cho hàm số
3 2
1 2
3 3
y x mx x m
    
có đồ thị
m
C
( )
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1.

y
A
o
x
2

x
a > 0

y
CT

B
f(0)

x
C

x
2

x
1

x
A

x
B


để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.


Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng


Phương trình
3 2
3 9 0
   
x x x m
có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng


Phương trình
3 2
3 9
x x x m
   
có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng


Đường thẳng
y m
 
đi qua điểm uốn của đồ thị (C)

.
11 11

m
), trong đó
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi
m
1

.
2) Tìm
m
để (C
m
) cắt đường thẳng d:
y x
2
 
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành
cấp số nhân.
Câu 34 : Cho hàm số
y x mx m x
3 2
2 ( 3) 4
    
có đồ thị là (C
m
) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên khi m = 1.

. Tìm
k
để đường
thẳng
k
d
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ
O
tạo thành một tam giác có diện tích bằng
1
.
Câu 36 : Cho hàm số
y x x
3 2
3 2
  
có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng
2
.
Câu 37 : Cho hàm số
y x mx
3
2
  
có đồ thị (C
m
)

3 2
– 3 1
 
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
WWW.VIETMATHS.COM10

2) Tìm m để đường thẳng ():
y m x m
(2 1) – 4 –1
 
cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.
Câu 41 : Cho hàm số
3 2
3 2
y x m x m
  
có đồ thị (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

có đồ thị là


m
C
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
0

m
.
2) Định
m
để đồ thị


m
C
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số
cộng.
Câu 44 Cho hàm số
y x m x m
4 2
– (3 2) 3
  
có đồ thị là (C
m
), m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để đường thẳng


2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi
0
m

.
Câu 47 Cho hàm số
x
y
x
2 1
2



có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng đường thẳng d:
y x m
  
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu 48 Cho hàm số
3
1
x
y
x



2 2
1
x
y
x



(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng (d):
y x m
2
 
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
5
AB
.
Câu 51 : Cho hàm số
x
y
x m
1



(1).

vng tại O.
Câu 53 : Cho hàm số:
x
y
x
2
2



.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) ln có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh
của (C) và thỏa
A A
B B
x y m
x y m
0
0

  

  

.
3.CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ:

I. Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D


D và x
0


(a; b) sao cho
f(x) > f(x
0
), với

x

(a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x
0
là điểm cực trò của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trò tại điểm đó thì f


.
2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
, f

(x
0
) = 0 và có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x
0
.
a) Nếu f

(x
0
) < 0 thì f đạt cực đại tại x
0
.
b) Nếu f

(x
0
) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x
0
.

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.



(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).


Tính f

(x) và f

(x
i
) (i = 1, 2, …).
Nếu f

(x
i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i
.
Nếu f

(x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
.

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0

0
) bằng hai cách:
+
3 2
0 0 0 0
( )
y x ax bx cx d
   

+
0 0
( )
y x Ax B
 
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y

.


Hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
 


=
( )

0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x

hoặc
0
0
0
'( )
( )
'( )
P x
y x
Q x

Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.


Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là đònh
lí Vi–et.
( )
y f x Ax B
y f x Ax B

  

  

Các điểm (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2) Hàm số phân thức
2
( )
( )
( )
P x ax bx c
y f x
Q x dx e
 
  
Câu 54 : Cho hàm số
y x x mx m
3 2
3 – 2
   
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hồnh.
Câu 55 : Cho hàm số
y x m x m m x
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
       
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Câu 56 : Cho hàm số
3 2
1
(2 1) 3


Câu 58 : Cho hàm số
y x mx m
3 2 3
3 4
   (m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Câu 59 : Cho hàm số
y x mx m
3 2
3 3 1
    
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau
qua đường thẳng d:
x y
8 74 0
  
.
Câu 60 : Cho hàm số
y x x mx
3 2
3  
(1).

1

m
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
, xx
sao cho
2
21
 xx
.
Câu 63 Cho hàm số
y x m x m x m
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
      
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1

m
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại

sao cho
x x
1 2
2 1
 
.
Câu 65 Cho hàm số
y x mx x
3 2
4 – 3
 
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
x x
1 2
,
thỏa
x x
1 2
4
 
.
Câu 66 Cho hàm số
y m x x mx
3 2
( 2) 3 5
    
, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.

3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m m
     
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến gốc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa
độ O.
Câu 70 : Cho hàm số
y x mx m x m m
3 2 2 3 2
3 3(1 )      
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
1

.
2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Câu 71 Cho hàm số
3 2
3 2
y x x mx
   
có đồ thị là (C

.
Câu 73 Cho hàm số
y x x m
3 2
3
  
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
4
 
.
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho
·
AOB
0
120

.
Câu 74 Cho hàm số
y x mx m x m
3 2 2 3
– 3 3( –1) –
 
(C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
2

m
C
( )
của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1
tam giác vuông cân.
Câu 77 Cho hàm số


m
Cmmxmxy 55)2(2
224


1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Câu 78 Cho hàm số
y x mx m m
4 2 2
2
   
có đồ thị (C
m
) .
WWW.VIETMATHS.COM16

m
) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó
lập thành một tam giác có diện tích bằng 4. 4. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.

1. Ý nghóa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
là hệ số góc của
tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số tại điểm


0 0 0
; ( )
M x f x
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm


0 0 0
; ( )
M x f x
là:
y – y

3. Nếu (C
1
): y = px + q và (C
2
): y = ax
2
+ bx + c thì
(C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau

phương trình
2
ax bx c px q
   
có nghiệm kép.

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến

của (C): y =f(x) tại điểm


0 0 0
;
M x y
:

).


Phương trình tiếp tuyến

là: y – y
0
= f

(x
0
).(x – x
0
)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến

của (C): y =f(x), biết

có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.


Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Tính f

(x
0


Phương trình đường thẳng

có dạng: y = kx + m.




tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( )
'( )
f x kx m
f x k

 



(*)


Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của

.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến

có thể được cho gián tiếp như sau:
+



Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến

của (C): y = f(x), biết

đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.


Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Khi đó: y
0
= f(x
0
), y

0
= f

(x
0
).


– x
0
) (2)


Giải phương trình (2), tìm được x
0
. Từ đó viết phương trình của

.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.


Phương trình đường thẳng

đi qua
( ; )
A A
A x y
và có hệ số góc k: y – y
A
= k(x – x
A
)




tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:







(*)
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
2. Nếu (C
1
): y = px + q và (C
2
): y = ax
2
+ bx + c thì
(C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau

phương trình
2
ax bx c px q
   
có nghiệm kép.

VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thò
(C
1
): y = f(x) và C

2
) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

( ) (1)
'( ) (2)
( ) (3)
'( ) (4)
f u au b
f u a
g v av b
g v a

 




 




Từ (2) và (4)

f

(u) = g

thì một tiếp tuyến chung của (C
1
) và
(C
2
) cũng là tiếp tuyến của (C
1
) (và (C
2
)) tại điểm đó.
Câu 81 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thò:
a)
2 2
1 2
( ) : 5 6; ( ) : 5 11
C y x x C y x x
      

b)
2 2
1 2
( ) : 5 6; ( ): 14
C y x x C y x x
      

c)
2 3

0
) = k
d
(1)
hoặc



d nên f

(x
0
) =
1
d
k

(2)


Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x
0
. Từ đó tìm được M(x
0
; y
0
)

(C).


1
1
x x
y
x
 


; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
d) (C):
2
1
x x
y
x
 
 ; d: y = x
Câu 83 : Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho
WWW.VIETMATHS.COM19

trước:
a) (C):
3 2
10
y x x x
   
; d:





tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M M
f x k x x y
f x k

  



Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x
M
).f

(x) + y
M
(3)


Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Câu 84 : Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):

 


; d là trục hoành
c)
2
2
( ) :
1
x x
C y
x



; d: y = 1 d)
2
3 3
( ) :
2
x x
C y
x
 


; d: x = 1
e)
3
( ) :


( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M M
f x k x x y
f x k

  



Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x
M
).f

(x) + y
M
(3)


Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)

(3) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.


20

Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán ñoù:
a)
2
1
( ) : 2 3 1; 0;
4
C y x x A
 
   
 
 
b)
2
1
( ) : ; (1; 1)
1
x x
C y A
x
 
 


Câu 87 Cho hàm số
2)2()21(
23
 mxmxmxy

 
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đường thẳng (d):
y x
 
các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt
với đồ thị (C).
Câu 90 Cho hàm số
y x x
3 2
3 2
   
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ
thị (C).
Câu 91 Cho hàm số
y f x mx m x m x
3 2
1
( ) ( 1) (4 3 ) 1
3
      
có đồ thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (C
m

x
y
x


(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ
thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Câu 95 Cho hàm số
x
y
x
2
2 3



(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục
WWW.VIETMATHS.COM21

tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Câu 96 Cho hàm số y =
1
12

.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại
A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn
ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.

Câu 99 Cho hàm số
1
12



x
x
y
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P =
a b a b
2 2
  
nhỏ
nhất khi và chỉ khi a = b.
Thật vậy: P =
a b a b
2 2
  


1



.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho điểm
o o o
M x y
( ; )
thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M
0
cắt các tiệm cận của (C)
tại các điểm A và B. Chứng minh M
o
là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Câu 102 Cho hàm số :
x
y
x
2
1



(C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam
giác có diện tích không đổi.
WWW.VIETMATHS.COM

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng
2
.
Câu 105 Cho hàm số
x
y
x
1
1



(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).
Câu 106 Cho hàm số
x
y
x
2 1
1



.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2;

bằng
4
17
, với I là giao 2 tiệm cận. 5. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Vẽ đồ thò của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trò tuyệt đối.
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò.


Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trò tuyệt đối.


Chia miền xác đònh thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trò tuyệt đối.


Vẽ đồ thò hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác đònh.
WWW.VIETMATHS.COM23

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thò.
Dạng 1: Vẽ đồ thò hàm số
( )
y f x

.

+ Đồ thò (C

) là hợp của hai phần trên. 6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thò (C): y = f(x) có toạ độ nguyên

Tìm các điểm trên đồ thò hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
 có toạ độ là những số nguyên:


Phân tích
( )
( )
P x
y
Q x
 thành dạng ( )
( )
a
y A x
Q x
  , với A(x) là đa thức, a là số nguyên.



Phương trình đường thẳng

vuông góc với d: y = ax = b có dạng:


:
1
y x m
a
  
Phương trình hoành độ giao điểm của

và (C):
f(x) =
1
x m
a
 
(1)


Tìm điều kiện của m để

cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó x


A, B đối xứng nhau qua trục hoành


A B
A B
x x
y y



 

A, B đối xứng nhau qua trục tung


A B
A B
x x
y y

 


VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thò (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I

I là trung điểm của AB.


Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng:
( )
y k x a b
  
.


Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
f(x) =
( )
k x a b
 
(1)


Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó x
A
, x

()

B
A
I
A
B
I
WWW.VIETMATHS.COM25

7. HỌ ĐỒ THỊ

Cho họ đường (C
m
): y = f(x, m) (m là tham số).
M(x
0
; y
0
)

(C
m
)

y
0

Cách 1:


Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm cố đònh (nếu có) của họ (C
m
).
M(x
0
; y
0
)

(C
m
),

m

y
0
= f(x
0
, m),

m (1)




(2a)


0
0
0
A
B
C








(2b)


Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x
0
; y
0
) của điểm cố đònh.
Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x
0
, y

m (1)


Đặt F(m) = f(x
0
, m) thì F(m) = y
0
không đổi.


F

(m) = 0 (3)


Giải (3) tìm được x
0
. Thay x
0
vào (1) tìm được y
0
. Từ đósuy ra được các điểm cố đònh. Câu 109 Tìm các điểm cố đònh của họ đồ thò (C
m
) có phương trình sau:

a)
( 1) 2 1

g)
4 2
2 4 1
y mx x m
   
h)
4 2
5
y x mx m
   

i)
( 1) 2
( 1, 2)
m x
y m m
x m
 
    

k)
3 1
( 2) 4
x m
y
m x m
 

 