BÀI TẬP LOGIC TOÁN HỌC
1
LOGIC TOÁN HỌC Chương 1: ĐẠI SỐ LOGIC
Bài 1: Rút gọn các hệ thức sau:
1. A = (x ∨ xy) ⇒ ((x ⇒ y) ⇒ y)
2. B = (x ∨ xy ∨ yz ∨ xz) ⇒ xy
3. C = ((x ∨ y) ⇒ (xy)) ⇒ xz
Giải
1. A = (x ∨ xy) ⇒ ((x ⇒ y) ⇒ y)
= (x ∨ x)(x ∨ y) ⇒ ((x ∨ y) ⇒ y)
= (x ∨ y) ⇒ (xy ∨ y)
= xy ∨ xy ∨ y
= x(y ∨ y) ∨ y
= x ∨ y
2. B = (x ∨ xy ∨ yz ∨ xz) ⇒ xy
= ((x ∨ xz) ∨ (xy ∨ yz)) ⇒ xz
= (x ∨ x)(x ∨ z) ∨ y(x ∨ z) ⇒ xz
= (x ∨ z)(x ∨ x ∨ y) ⇒ xz
= x ∨ z ⇒ xz
= xz ∨ xy
= x(y ∨ z)
3. C = ((x ∨ y) ⇒ (xy)) ⇒ xz
= (xy ∨ xy) ⇒ xz
= x(y ∨ y) ⇒ xz
= x ⇒ xz
= x ∨ xz
= (x ∨ x)(x ∨ z)
Bài 2: Tìm công thức đối ngẫu của các công thức sau:
1. A = (x ∨ y)(xy ∨ z) ∨ z ∨ (x ∨ y)(s ∨ t)
2. B = (x ∨ y ∨ z)(x ∨ y ∨ z)(x ∨ y ∨ z)
3. C = x ⇒ y ∨ (x ⇒ y)

= xy ∨ x ∨ z
= (x ∨ x)(x ∨ y) ∨ z
= x ∨ y ∨ z
Lập bảng chân trị.
Lớp ĐHSTOÁN9B Trang 3 NHÓM 2
LOGIC TOÁN HỌC Chương 1: ĐẠI SỐ LOGIC
x y z y x ∨ y x ∨ y ∨ z
1 1 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
.
Dạng chuẩn tuyển hoàn toàn
A(1, 1, 1) = A(1, 1, 0) = A(1, 0, 1) = A(1, 0, 0) = A(0, 1, 1) = A(0, 0, 1) = A(0, 0, 0) =
1
⇒ A = xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz
Dạng chuẩn hội hoàn toàn
A(0, 1, 0) = 0
⇒ A = x ∨ y ∨ z
2. B = (x ∨ y)(xy ∨ z ∨ s ∨ t) ∨ z
= (x ∨ y ∨ z)(xy ∨ z ∨ s ∨ t ∨ z)
= x ∨ y ∨ z
Lập bảng chân trị.
x y z z x ∨ y x ∨ y ∨ z
1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1

chỉ có VĐV mang áo số 1 có giải trùng với giải của VĐV mang áo số 2. Vậy VĐV mang
áo số 1 đạt giải 4 nên suy ra VĐV mang áo số 3 đạt giải 2, VĐV mang áo số 2 đạt giải
nhất (do VĐV mang áo số 2 không đạt giải 3), vì thế VĐV mang áo số 4 đạt giải ba.
Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau:
a/ (xy =⇒ x) =⇒ (x ∨ y)(yx) = x
b/ (x =⇒ (y ∨ x))(y =⇒ xy) =⇒ x = x
Giải
a/ Ta có
(xy =⇒ x) =⇒ (x ∨ y)(yx) = xy ∨ x ∨ (x ∨ y)(yx)
= (xyx) ∨ (x ∨ y)(xy) = xy ∨ (x ∨ y)(xy)
= (xy ∨ (x ∨ y))(xy ∨ xy) = (xy ∨ x ∨ y)(x(y ∨ y))
= (x(y ∨ 1) ∨ y)(x.1) = (x ∨ y)x = x ∨ xy = x(1 ∨ y) = x
Vậy (xy =⇒ x) =⇒ (x ∨ y)(yx) = x
Lớp ĐHSTOÁN9B Trang 5 NHÓM 2
LOGIC TOÁN HỌC Chương 1: ĐẠI SỐ LOGIC
b/ Ta có
(x =⇒ (y ∨ x))(y =⇒ xy) =⇒ x = (x ∨ (y ∨ x))(y ∨ xy) =⇒ x
= (y ∨ xy) =⇒ x = y ∨ xy ∨ x
= yxy ∨ x = y(x ∨ y) ∨ x
= yx ∨ yy ∨ x = yx ∨ x = x(1 ∨ y) = x
Vậy (x =⇒ (y ∨ x))(y =⇒ xy) =⇒ x = x
Bài 6: Đưa các công thức sau về dạng chuẩn tuyển và dạng chuẩn hội:
a/ A = (xy =⇒ x) =⇒ (x ∨ y)(yx)
b/ B = (x =⇒ (y ∨ x))(y =⇒ (xy))
Giải
a/ Ta có
A = (xy =⇒ x) =⇒ (x ∨ y)(yx)
= xy ∨ x ∨ (x ∨ y)(xy)
= xyx ∨ (x ∨ y)(xy) = xy ∨ (x ∨ y)(xy)
= (xy ∨ (x ∨ y))(xy ∨ xy)

= xy
CHH-dạng là:
F = (x
1
∨ y
1
)(x
0
∨ y
1
)(x
0
∨ y
0
)
= (x ∨ y)(x ∨ y)(x ∨ y)
b/ G(x, y) = xy =⇒ (x ∨ y)
x y xy x ∨ y xy =⇒ (x ∨ y)
1 1 1 1 1
1 0 0 1 1
0 1 0 1 1
0 0 0 0 1
Ta có
G(1, 1) = G(1, 0) = G(0, 1) = G(0, 0) = 1;
Vậy CTH-dạng là:
G = x
1
y
1
∨ x

= ((x ∨ y)(xy ∨ x) ∨ y)(y ∨ (x ∨ y)(xy ∨ x))
= (x ∨ y ∨ xy ∨ x ∨ y)(y ∨ x ∨ xy ∨ xy)
= (xy ∨ xyx ∨ y)(y ∨ xy ∨ x)
= (xy ∨ (x ∨ y)x ∨ y)(xy ∨ xy)
= (xy ∨ yx ∨ y) = xy ∨ y
= x ∨ y ∨ y
d/ D = (x ⇐⇒ y) =⇒ (x ∨ y)
= ((x =⇒ y)(y =⇒ x)) =⇒ (x ∨ y)
= (x ∨ y)(y ∨ x) ∨ (y ∨ x)
= x ∨ y ∨ y ∨ x ∨ (y ∨ x)
Bài 9: Hãy biểu diễn các công thức sau trong hệ

1
a/ M = A ∨ B ∧ C ∨ B
b/ P = A ∧ B ∨ C ∧ A ∨ C
c/ Q = (A ∧ B ⇒ C) ⇒ (A ∨ C)
Giải
a/ M = A ∨ B ∧ C ∨ B
= A ∨ B ∧ C ∨ B
= A ∧ B ∧ C ∧ B
b/ P = A ∧ B ∨ C ∧ A ∨ C
= A ∧ B ∨ C ∧ A ∨ C
= A ∧ B ∧ C ∧ A ∧ C
c/ Q = (A ∧ B ⇒ C) ⇒ (A ∨ C)
= A ∧ B ∨ C ∨ A ∨ C = A ∧ B ∧ C ∨ A ∨ C
= A ∧ B ∧ C ∧ A ∧ C = A ∧ B ∧ C ∧ A ∧ C
Bài 10: Hãy biểu diễn các công thức sau trong hệ

3
Lớp ĐHSTOÁN9B Trang 8 NHÓM 2

B="Hung khí là loại mã tấu"
Lớp ĐHSTOÁN9B Trang 9 NHÓM 2
LOGIC TOÁN HỌC Chương 1: ĐẠI SỐ LOGIC
C="Hung khí dài 1cm"
D="Hung khí là loại cây"
E="Hung khí là loại dao"
Giả thiết ⇒ A ∨ B = 1, C ∨ D = 1, A ∨ E = 1
⇒ (A ∨ B)(C ∨ D)(A ∨ E) = 1
⇒ ACA ∨ ACE ∨ BCA ∨ BCE ∨ BDA ∨ BDE ∨ ADE ∨ ADA = 1
ACA = ACE = BCE = BDABDE = ADE = ADA = 0
⇒ BCA = 1 ⇒ B = 1, C = 1, A = 1
Vậy hung khí là mã tấu dài 1m.
Bài 12: Chứng minh công thức sau là công thức hằng đúng:
(p ⇒ q)(q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)
Giải
(p ⇒ q)(q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)
= (p ⇒ q)(q ⇒ r) ∨ (p ∨ r)
= p ∨ q ∨ q ∨ r ∨ p ∨ r
= pq ∨ qr ∨ p ∨ r
= q ∨ p ∨ q ∨ r = 1 ∨ p ∨ r = 1
Bài 13: Ba cô tên đỏ,xanh,vàng mặc áo màu đỏ màu xanh màu vàng cùng đến một buổi dạ hội.
Ba cô nhìn áo của nhau và cô mặc áo màu xanh nói với cô tên Vàng:" Lạ không! chúng
ta chẳng ai mặc màu áo đúng tên của mình". Hỏi màu áo của mỗi cô đang mặc?
Giải
Cô mặc áo màu xanh nói chuyện với cô tên Vàng nên cô tên Vàng sẽ không mặc áo
màu xanh mà cũng không mặc áo màu vàng ⇒ Cô tên Vàng mặc áo màu đỏ.
Cô tên Xanh không mặc áo màu xanh mà cũng không mặc áo màu đỏ (do cô tên
Vàng mặc rồi) ⇒ Cô tên Xanh mặc áo màu vàng.⇒ Cô tên Đỏ mặc áo màu xanh.
Bài 14: Có 8 bạn đi chơi với nhau biết rằng trong bất cứ nhóm 3 người nào của 8 bạn đó cũng có
một người quen với hai người kia. Chứng minh rằng có thể xếp họ đi chơi trên 4 xe mà

a,b,c lần lượt là số học sinh chỉ chơi bóng chuyền, bóng đá, bóng bàn.
d,e,f lần lượt là số học sinh chơi cà hai môn: bóng chuyền và bóng đá, bóng chuyền và
bóng bàn, bóng đá và bóng bàn.
Vì các hs đạt loại khá hoặc trung bình thì chơi 1 môn thể thao nên học sinh đạt loại giỏi
thì chơi 2 môn và 6 em đạt loại yếu-kém sẽ không chơi môn thể thao nào.
Vậy số học sinh chơi thể thao của lớp là : a + b + c + d + e + f = 25 − 6 = 19
Mặt khác ta có: |A ∪ B ∪ C| = A + B + C − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
⇔ 19 = 13 + 17 + 8 − d − e − f + 0
⇒ d + e + d = 19 ⇒ a + b + c = 0
⇒ a = b = c = 0
Mà:













A = a + d + e
B = b + d + f
C = c + e + f
⇒



f = 6
Vậy lớp có 19 học sinh đạt loại giỏi, 11 học sinh chơi cả bóng chuyền và bóng đá.
Bài 2: Chứng minh hệ thức tương đương
|= ∃x

F
1
(x) ∼ F
2
(x)

∼

∀F
1
(x) ∨ F
2
(x)

→ ∃x

F
1
(x) ∧ F
2
(x)

Giải
∀x


= ∃x

F
1
(x) ∧ F
2
(x)

∨ ∃x

F
1
(x) ∧ F
2
(x)

= ∃x

F
1
(x) ∧ F
2
(x)

∨

F
1
(x) ∧ F
2

(x) →

F
1
(x) ∧ F
2
(x)

∧

F
1
(x) →

F
1
(x) ∧ F
2
(x)

= ∃x

F
1
(x) ∼ F
2
(x)

Lớp ĐHSTOÁN9B Trang 12 NHÓM 2
LOGIC TOÁN HỌC Chương 2: LOGIC VỊ TỪ

= ∀xF
1
(x, y, z) ∨ ∃xF
2
(x, y, z) ∨ ∀zF
3
(x, y, z)
= (∃xF
1
(x, y, z) ∧ ∃xF
2
(x, y, z)) ∨ ∀zF
3
(x, y, z)
= ∃x(F
1
(x, y, z) ∧ F
2
(x, y, z)) ∨ ∀zF
3
(x, y, z)
= ∃x(F
1
(x, y, z) ∧ F
2
(x, y, z)) ∨ ∀tF
3
(x, y, t)
= ∃x, ∀t((F
1

)
2
≤ 60
⇒ 2x
2
+ (
12
x
)
2
≤ 36 ⇒ 2x
4
− 36x
2
+ 144 ≤ 0
⇒ 6 ≤ x
2
≤ 12
Do x ∈ Z ⇒ x
2
= 9 ⇒ |x| = 3 ⇒ |y| =
7
2
Vậy



x = 3
y =
7

b − 6 2b






= 0
⇔ 2b
2
+ b − 6 = 0 ⇔ (2b − 3)(b + 2) = 0 ⇔





b = −2
b =
3
2
Vậy khi b = −2 và b =
3
2
thì hệ
luôn có nghiệm với mọi tham số a. Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Khi b = −2 ta có








3x − 2y = 2ac
2
−9x + 6y = 2c + 2
⇔





−9x + 6y = −6ac
2
−9x + 6y = 2c + 2
Để hệ phương trình có nghiệm thì 6ac
2
+ 2c + 2 = 0 Với a = 0 ⇒ c = −1. Với a = 0,
để tồn tại c thì ∆ = 1 − 12a  0 ⇔ a 
1
12
. Vậy
−1
16
 a 
1
12
Bài 7: Hãy phát biểu định nghĩa giới hạn vô tận của hàm số:
Lớp ĐHSTOÁN9B Trang 14 NHÓM 2
LOGIC TOÁN HỌC Chương 2: LOGIC VỊ TỪ

A = 0 (2)
Thay (2) vào (1) ta có A ∧ B = 0 (3)
So sánh (1) và (3) mâu thuẫn. Vậy công thức A là đồng nhất đúng.
Bài 10: "Nếu một người là phụ nữ và là cha mẹ thì người này là mẹ của ai đó". Hãy viết công
thức logic.
Giải:
Lớp ĐHSTOÁN9B Trang 15 NHÓM 2
LOGIC TOÁN HỌC Chương 2: LOGIC VỊ TỪ
Đặt C(x) : x là người phụ nữ
D(x) : x là cha mẹ
E(x, y) : x là mẹ của y
Ta có:
∀x((C(x) ∧ D(x)) → ∃y(E(x, y)
Bài 11: cho công thức
∀x(C(x) ∨ ∃y(C(y) ∧ F (x, y)))
trong đó :
C(x) : x là có máy tính
F (x, y) : x, y là bạn
x, y ∈ tất cả sinh viên trong trường.
Hãy phát biểu thành lời.
Giải:
Với mọi sinh viên trong trường hoặc là x có máy tính, hoặc là tồn tại sinh viên y có máy
tính và sinh viên x, y là bạn của nhau.
Lớp ĐHSTOÁN9B Trang 16 NHÓM 2
LOGIC TOÁN HỌC Chương 3: HỆ TOÁN MỆNH ĐỀ
Bài 1: Chứng minh rằng:
 A ∨ B −→ A
Giải
(S
1

)
(S3)  A → (B → A) (TĐ1)
(S4)  (A → B) → (A → A) (S2,S3,M.p)
(S5)  (A → (A → A)) → (A → A) (S4,£
A→A
B
)
(S6)  A → (A → A) (TĐ1,£
A
B
)
(S7)  A → A (S5,S6,M.p)
Bài 3: Nếu Nam đi làm về muộn thường xuyên thì vợ Nam sẽ rất giận dỗi. Nếu Hòa thường
xuyên đi vắng nhà thì vợ Hòa cũng rất giận dỗi. Nếu vợ Hòa hoặc vợ Nam giận dỗi thì cô
Hoàng bạn của học nhận được lời than phiền, mà cô Hằng không hề nhận được lời than
phiền. Vậy Nam đi làm về sớm và Hòa rất ít khi đi làm vắng nhà. Hãy dùng qui tắc suy
diễn để chứng minh suy luận trên là đúng.
Giải
A="Nam đi làm về muộn"
B="Vợ Nam rất giận dỗi"
C="Hòa thường xuyên vắng nhà"
Lớp ĐHSTOÁN9B Trang 17 NHÓM 2
LOGIC TOÁN HỌC Chương 3: HỆ TOÁN MỆNH ĐỀ
D="Vợ Hòa cũng rất giận dỗi"
E="Cô Hoàng nhận được lời than phiền"
A → B, C → D, (B ∨ D) ⇒ E, E ⇒ (A ∨ C)
B = (A → B) ∧ (C → D) ∧ [(B ∨ D) → E] ∧ E → (A ∧ C)




Từ (5),(8) Ta có: B ∨ D = 0(9) ⇔



B = 0 (10)
D = 0 (11)
Từ (3) Và (10) ta thu được :A = 0
Từ (4) và (11) ta được C = 0
Từ (10) và (13) ta có A ∨ C = 0 (14)
So sánh (14) với (7) mâu thuẫn. Vậy công thức B là hằng đúng.
Bài 4: Nếu được thưởng cuối năm Nga sẽ đi Đà Lạt. Nếu đi thăm Đà Lạt thì Nga sẽ đi thăm
Thiền Viện. Mà Nga không đi thăm Thiền Viện vậy Nga không được thưởng cuối năm.
Suy luận trên đúng không. Qui tắc suy luận nào được áp dụng.
Giải
Qui tắc suy luận trên đúng
Đặt mệnh đề:
a="Nga được thưởng cuối năm "
b="Nga đi Đà Lạt"
c="Nga đi thăm Thiền Viện"
Giả thiết ta có: a ⇒ b ∧ b ⇒ c
Lấy phủ định (a ⇒ b ∧ b ⇒ c) ⇔



b ⇒ a
c ⇒ b
⇔




(S
6
)A −→ B, A  C −→ B(S
5
, DLSD)
(S
7
)A −→ B  A −→ (C −→ B)(S
6
, DLSD)
(S
8
)  (A −→ B) −→ (A −→ (C −→ B))(S
7
, DLSD)
Lớp ĐHSTOÁN9B Trang 19 NHÓM 2
LOGIC TOÁN HỌC
NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN
1. Huỳnh Thị Ngọc Bích
2. Trần Thị Hồng Điệp
3. Võ Văn Được
4. Đỗ Hoài Phong
5. Phan Đồng Trăm
6. Dương Văn Trong
7. Lê Thị Minh Thư
8. Nguyễn Xuân Tùng
Lớp ĐHSTOÁN9B Trang 20 NHÓM 2