5 dạng bài khảo sát hàm số thường xuất hiện trong đề thi ĐH

Câu 1. ( 2,0 điểm )
Cho hàm số y = 2x
3
+ 9mx
2
+ 12m
2
x + 1, trong đó m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x
CĐ
, cực tiểu tại x
CT
thỏa mãn:
x
2
CĐ
= x
CT
.

Hướng dẫn giải: Câu 2. ( 2,0 điểm).

Hướng dẫn giải:

1. Tự làm.
2. Xét phương trình hoành độ giao điểm: x
4
+2m
2
x
2
+1 = x + 1
⇔
x
4
+ 2m
2
x
2
– x = 0
⇔

x( x
3
+ 2m
2
x – 1) = 0
⇔





Câu 4. ( 2,0 điểm).
Cho hàm số: y = 2x
3
– 3(2m+1)x
2
+ 6m(m+1)x + 1 , trong đó m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số luôn có cực đại,cực tiểu và khoảng cách
giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số không đổi.

Hướng dẫn giải:

1. Tự làm.
2. Ta có y’ = 6x
2
– 6(2m+1)x + 6m(m+1)
⇒
y’ = 0 khi x
1
=m hoặc x
2
= m+1. Do x
1

≠
x
2
với
mọi m nên hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Gọi A(x
1

− 3x
2
+ mx + 4, trong đó m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞).

Hướng dẫn giải:

Câu Đáp án
1. (1,25 điểm)
Với m = 0, ta có hàm số y = – x
3
– 3x
2
+ 4
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên: y’ = – 3x
2
– 6x, y’ = 0 ⇔
x 2
x 0
= −


=


y’ < 0 ⇔
x 2

xúc với trục hồnh tại điểm (− 2 ; 0)

2. (0,75 điểm)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞) ⇔ y’ = – 3x
2
– 6x + m ≤ 0, ∀ x > 0
⇔ 3x
2
+ 6x ≥ m, ∀ x > 0 (*)
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 3x
2
+ 6x trên (0 ; + ∞) Từ đó ta được : (*) ⇔ m ≤ 0.
Bài tập tự luyện – Khơng đáp án:

Câu 1:
Cho hàm số y =
3 2 2 3 2
3 3(1 )
x mx m x m m
− + + − + −
(1)
1)
1)1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 1

1
m x m
y
x
− −
=
−
(1)
1)
1)1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1) ứng với m = -1.
2)
2)2)
2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
3)
3)3)
3) Tìm m để đồ thò hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.

Câu 4:
Cho hàm số :
4 2
1
y x mx m
= − + −
(1)
x
y
+ ∞
0
+ ∞

2)
2)2)
2) Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Câu 5:
Cho hàm số :
2
2
2
x x m
y
x
− +
=
−
(1)
1)
1)1)
1) Xác đònh m để hàm số (1) nghòch biến trên đoạn [-1 ; 0].
2)
2)2)
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 1.
3)
3)3)
3) Tìm a để phương trình sau có nghiệm :
2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
t t
a a

diện tích bằng 4.

Câu 7:
Cho hàm số :
3
( ) 3
y x m x
= − −
(1)
1)
1)1)
1) Xác đònh m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
2)
2)2)
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số đã cho khi m = 1.
3)
3)3)
3) Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm :
3
2 3
2 2
1 3 0
1 1
log log ( 1) 1.
2 3
x x k
x x

− − − <


1
2 3
3
y x x x
= − +
(1)
2)
2)2)
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số (1) và trục hoành.

Câu 10:
Cho hàm số y =
2
1
mx x m
x
+ +
−
(1)
1)
1)1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = -1
2)
2)2)
2) Tìm m để hàm số đồ thò (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương