VẤN ĐỀ 5: TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Đường tiêm
̣ câ ̣n ngang
Đinh
̣ nghiã : Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm
cận ngang) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu:
lim f ( x) = y0 hoă ̣c lim f ( x) = y0
x →+

x →−

Ví du ̣: Tìm tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣hàm số : y =

3x − 1
x+2

Giải:
Vì lim y = 3 và lim y = 3 nên đường thẳ ng y = 3 là tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi.̣
x →+
x →−
2. Đường tiêm
̣ câ ̣n đứng
Định nghĩa: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận
đứng) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điểu kiện sau đây được thỏa
mãn:
lim f ( x) = +; lim+ f ( x) = +;

x → x0−

x → x0


lim  f ( x) − (ax + b) = 0

x →−

Ví du ̣: Đồ thị hàm số y = x +

x
2x −1
2

có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x, vì:

lim  f ( x) − x  = lim

x

=0
2x −1
x
lim  f ( x) − x  = lim 2
=0
x →−
x →− 2 x − 1

x →+

x →+

2

lim

- Xét
là 1 tiê ̣m câ ̣n đứng.
c) Tiêm
̣ câ ̣n xiên (Điều kiện: Miề n xác định chứa  và bậc u(x) = bậc v(x) + 1)
lim  f ( x) − (ax + b) = 0 

- x→
2. Bài tâ ̣p
A. Khởi đô ̣ng

Tiê ̣m câ ̣n xiên: y = ax + b.

Bài tâ ̣p 1: Cho hàm số y = f(x) có
đây là khẳng định ĐÚNG?

lim f ( x) = −2

x →−

và

lim f ( x) = 2

x →+

Khẳng định nào sau

(A) Đồ thị đã cho không có tiệm cận ngang.

(C) Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là y = -1 và y = 2.
(D) Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là x = -1 và x = 2.
Giải:
NHẮC LẠI ĐỊNH NGHĨA VỂ TIỆM CẬN ĐỨNG:
Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đổ
thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
lim f ( x) = +; lim+ f ( x) = +;

x → x0−

x → x0

lim f ( x) = −; lim+ f ( x) = −.

x → x0−

x → x0


Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x= -l và x = 2.
 Chọn (D).

Bài tập 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
-

x
y’

+



.

(B) Hàm số y = f(x) đơn điệu trên

.

(C) Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là y = 2 và tiệm cận ngang là x = -1.
(D) Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang là y = 2.


Giải:
Hàm số y = f(x) xác định trên R \{-1}  (A) sai.
Hàm số y = f(x) đồng biến trên R \{-1}  (B) sai.
Đổ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang là y =
2
 (C) sai và (D) đúng.
 Chọn (D).

Bài tâ ̣p 5:Tiê ̣m cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số hàm số
lươ ̣t là:

y=

3x − 2
5 x + 1 lầ n

1
5


x →−

5

1
3x − 2
=   Tiê ̣m câ ̣n đứng là : x = − .
5
5x + 1

3x − 2 3
3
=  Tiê ̣m câ ̣n ngang là: y = .
x → 5 x + 1
5
5
 Chọn (A).
lim

Bài tập 6: Tiê ̣m câ ̣n đứng là tiê ̣m câ ̣n xiên của đồ thi ha
̣ ̀ m số
(A)x = 1 và y = 5x – 6;

y=

(C) y = 1 và y = 5x – 6;

5x2 − 6 x + 2
x −1
lầ n lượt là:

y=

Giải:

2− x
2 + x là:

(C) 3;

(D) 4.


Ta có:

lim y = lim−

x →−2−

x →−2

2− x
2− x
= −; lim+ y = lim+
= +
x
→−
2
x
→−
2

y=

3x − 1
x − 7 x + 12 chỉ có mô ̣t tiê ̣m câ ̣n ngang là y =3.

y=

6 x2 + 8x − 5
4 x 2 + 7 x + 3 chỉ có mô ̣t tiê ̣m câ ̣n đứng là x =3/2.

2

2

6 x2 + 8x − 5
y= 2
4 x + 7 x + 3 chỉ có hai tiê ̣m câ ̣n đứng là x = -1 và x= (D) Đồ thi ̣ hàm số

(3/4).
Giải:
y=

+ Ta có :

3x − 1
( x − 3)( x − 4 )

lim f ( x) = ;lim f ( x) =  
x →3


x →−

3
4

Tiê ̣m câ ̣n đứng là: x = -1 và x = - (3/4).


8
6+ +
6 x2 + 8x − 5
x
lim = 2
= lim
x →
4 x + 7 x + 3 x→ 4 + 7 +
x

5
x2 = 6 = 3 
3 4 2
x2

Tiê ̣m câ ̣n ngang là x = 3/2.
 Khẳ ng đinh C la sai va khẳ ng đinh D la đung.
̣
̣
̀
̀
̀ ́

x →−

1
2

x →−

1
2

x2 + 2
= +.
3 + 5x − 2 x2

Do đó x = - (1/2) là tiê ̣m câ ̣n đứng.
x2 + 2
= +;
2
x →3
x →3 3 + 5 x − 2 x
x2 + 2
lim+ y = lim+
= −.
2
x →3
x →3 3 + 5 x − 2 x
lim− y = lim−

Do đó x = 3 là tiê ̣m câ ̣n đứng.
2

 lim y = lim y = −  y = − là tiê ̣m câ ̣n ngang.
x →−
x →+
2
2

Đồ thi ha
̣ ̀ m số không có tiê ̣m câ ̣n xiên.


Chọn (B).


Bài tập 10: Gọi (C) là đồ thi ha
̣ ̀ m số y =

x2 + x + 3
−5 x 2 − 2 x + 3

(A) Đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của (C).
(B) Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C).
(C) Đường thẳng y = - (1/5) là tiệm cận ngang của (C).
(D) Đường thẳng y = - (1/3) là tiệm cận ngang của (C).
Giải:
Ta có:
x2 + x + 3
= −;
2
x →−1
x →−1 −5 x − 2 x + 3

3 −5 x − 2 x + 3
x→
x→
5

5

Do đó x = 3/5 là tiê ̣m câ ̣n đứng .
1 3
+
x + x+3
x x2 = − 1 ;
lim y = lim
=
lim
x →−
x →− −5 x 2 − 2 x + 3
x →−
2 3
5
−5 − + 2
x x
1 3
1+ + 2
2
x + x+3
x x = − 1.
lim y = lim
= lim
x →+

Giải:
TXĐ: D = (3; +)


Ta có:
1
= +  x = 3
x −3

lim+ y = lim+

x →3

x →3

1
= lim
x − 3 x→+

lim y = lim

x →+

x →+

1
x
3
1−
x

(C) y = 0;

(D) y = -x + 1.
Giải:

TXĐ:

D=

/ 1; 2.

Ta có:
lim+ y = lim+

x →1

x →1

lim+ y = lim+

x →2

x →2

x
x
= lim+
= +  x = 1
− x + 3x − 2 x→1 ( x − 1)( − x + 2 )
2

Chọn (D).

B. Vượt chướng ngại vật
y=

ax − 1
.
x + b Nế u đồ thi ham số co tiê câ đưng x = -2 va đi qua điể m A(1;3)
̣ ̀
́ ̣m ̣n ́
̀

Bài tập 13: Cho hàm số
thì phương trin
̀ h của hàm số là:

2x −1
;
2
x−
3
2x −1
( D) y =
.
x−2

( B) y =

10 x − 1
;

1/3 thì các giá tri cu
̣ ̉ a a và b lầ n lượt là:
(A)-1/6 và -1/2;

(B) -6 và -3;

(C) -3 và -6;

(D) -1/2 và -1/6.
Giải:

a
 b = 2
a = −6
Theo đề bài ta có:  1 1  b = −3

− =
 b 3

 Chọn (B).
y=

Bài tập 15: Điề u kiê ̣n của m để đồ thi ha
̣ ̀ m số

3x 2
x + m co tiê ̣m câ ̣n la:
́
̀


y=

Bài tập 16: Tấ t cả giá tri cu
̣ ̉ a m để đồ thi ha
̣ ̀ m số
(A) m = 0 và m = 5/3;

3x 2 − 6 x + m
x−m
có tiê ̣m câ ̣n đứng là :

(B) m = 5/3;
(D) m  .

(C) m = 0;
Giải:


Đồ thi ha
̣ ̀ m số có tiê ̣m câ ̣n đứng

 g ( x) = 3 x 2 − 6 x + m = 0

có nghiê ̣m x = m

m = 0
 g (m) = m ( 3m − 5 ) = 0  
.
m = 5
3

Vơi

́

Thì

 m + m2 
lim  f ( x) − ( − x + 2 + m ) = lim  −
=0
x →
x →
 x+m 

Ta có:

Tiê ̣m câ ̣n xiên : y = -x + 2 + m

A ( 2;3) TCX  3 = −2 + 2 + m  m = 3.

 Chọn (A).

C. TĂNG TỐC
Bài tập 18: Tim
̣ ̀ m số
̀ tiê ̣m câ ̣n của đồ thi ha
(A)y = -3x;

y = −3x + 2 x 2 + 1.

(B) y = -2x;

= 2.lim

x →

1
x2 + 1 + x

Vâ ̣y đồ thi ha
̣ ̀ m số có tiê ̣m câ ̣n xiên là

= 3.0 = 0

y = −3x + 2 x .

Với x → + ta có tiê ̣m câ ̣n xiên bên phải là y = -3x + 2x hay y = -x.
Với x → − ta có tiê ̣m câ ̣n xiên bên trái là y = -3x -2x hay y = - 5x.


Chọn (D).


y = f ( x) = x + 4 x 2 + 4 x + 2.

Bài tập 19: Tìm tiê ̣m câ ̣n của đồ thi ha
̣ ̀ m số
(A)y = x;

(B) y = 3x +1;
(D) y = x + 1 và y = - 3x – 1.


4 x2 + 4 x + 2 + 2 x + 1

Vâ ̣y đồ thi ha
̣ ̀ m số có tiê ̣m câ ̣n xiên là

y = − x + 2x + 1 .

Với x → + ta có tiê ̣m câ ̣n xiên bên phải là y = -x + 2x + 1 = x +1
Với x → − ta có tiê ̣m câ ̣n xiên bên trái là y = -x - 2x – 1 = - 3x - 1
y = 3x − 1 + − x 2 + 2 x + 3.

Bài tập 20: Cho đồ thi ha
̣ ̀ m số (C):
(A) (C) không có tiệm cận.

Khẳ ng đinh
̣ nào sau đây là ĐÚNG?

(B) (C) có tiệm cận xiên y = 3x - 1.
(C) (C) có tiệm cận xiên y = 3x.
(D) (C) có hai tiệm cận xiên y = 3x - 1 và y = 3x.
Giải:
Điề u kiê ̣n :

− x2 + 2 x + 3  0  TXĐ : D = −1,3 (*)

y = 3x − 1 + 4 − ( x − 1) .
2

Ta có :

̣
vì thế nó không có tiê ̣m câ ̣n .


Chọn (A).
y=

Bài tập 21: Cho (C):
(A)1;

x +1
x2 − 9

.

Có bao nhiêu khẳ ng đinh
̣ ĐÚNG?
(B) 2;
(C) 3;

(A) (C) có hai đường tiệm cận đứng.

(D) 4.


(B) (C) có hai đường tiệm cận ngang.

(C) Tiệm cận đứng bên trái là x = -3.
(D) Tiệm cận đứng bên phải là y = 1.
Giải:

= lim

x →

x +1
x
1−

9
x2

= lim
x →

x 1
=
x −1

x → +
x → −

Suy ra với x → + ta có TCN bên phải y = 1.
Với x → − ta có TCN bân trái y = -1.
Vâ ̣y (A), (B), (C) đúng và (D) sai.
 Chọn (C).

y = f ( x) = 3 x3 + 9 x 2 − x − 1.

Bài tập 22: Cho đồ thi ha
̣ ̀ m số (C):

x

b = lim  f ( x) − ax  = lim
x →

x →

(x

(x

3

3

+ 9 x 2 − x − 1) − x 3

+ 9 x 2 − x − 1) + x 3 x 3 + 9 x 2 − x − 1 + x 2

1 1
9− − 2
x x

= lim

2

3

9 1 1


Ta có: y = f ( x) = 2 x + m + 2 +

m
.
x −1
m

=0
Với m  0 ta có lim  f ( x) − ( 2 x + m + 2 )  = lim
x →
x → x − 1

Nên (Cm) có tiê ̣m câ ̣n xiên là (dm) : y = 2x + m+ 2
 −m − 2 
;0 
 2


Ta có : ( d m )  Oy = A ( 0; m + 2 ) ; ( d m )  Ox = B 
1
2

Khi đó: SOAB = OA.OB =

1
1
2
y A . xB = ( m + 2 ) = 4
2

(C) Tích các khoảng cách từ M  (C ) đến 2 tiệm cận luôn luôn không đổi và bằng 4/5.
(D) Tích các khoảng cách từ M  (C ) đến 2 tiệm cận luôn luôn không đổi và bằng 2/5.
Giải:
Ta có:

lim =

x →−1

2 x2 + x + 1
=
x +1
TCĐ là: x = -1.

f ( x) = 2 x − 1 +

2
2
 lim  f ( x) − ( 2 x − 1)  = lim
=0
x → x + 1
x + 1 x→
TCX là: y = 2x -1.


 2a 2 + a + 1 
 2a 2 + a + 1 
M  a;
M


2a 2 + a + 1
−1
a +1
22 + ( −1)

2

2
5 a +1

=

2
2
=
5 a +1
5

 Chọn (A).

D. VỀ ĐÍ CH
y=

Bài tập 25: Tim
̣ c của tham số m sao cho đồ thi cu
̣ ̉ a hàm số
̀ tấ t cả các giá tri thự
ngang.
(A) Không có giá tri thự
̣ c nào của m thõa mañ yêu cầ u của đề bài

có hai tiê ̣m câ ̣n

.

2x + 3
2x + 3
= −2; lim
=2
x →−
x →+
x
x

1
x2

lim

Ta thấ y:
không tồ n ta ̣i khi m < 0 và
 đồ thi ham số không co tiê câ ngang khi m < 0.
̣ ̀
́ ̣m ̣n
+ Với m > 0 thì ta có:
lim y = lim

x →−

x →−


câ ̣n

ngang bên trái.
lim y = lim

x →+

x →+

phải.


Chọn (C).

2x + 3
mx 2 + 1

= lim

x →+

2x + 3
1
x m+ 2
x

= lim

x →+


́

(C) 3;

(D) 0.

(A)Với mọi giá tri cu
̣ ̉ a  thì x = -2 luôn là tiê ̣m câ ̣n đứng.
cos   0


1
 
sin   + 4   4 2 .


(B) Để (C) có tiê ̣m câ ̣n xiên thì 
(C) Để khoảng cách đế n gố c tọa độ đế n tiê ̣m câ ̣n xiên đa ̣t Max thì  = arctan3 + k  .
Giải:
+ Xét khẳ ng đinh
̣ (A):
− x 2 cos  + 2 x sin  + 1
= 0  x = −2
x →−2
x
+
2
Ta co:
luôn la tiê ̣m câ ̣n đưng.
lim


 

1 (*)
sin

+




1 − 4 ( sin  − cos  )  0

4 4 2
 

Khẳ ng đinh
̣ (B) đúng.

+ Xét khẳ ng đinh
̣ (C):

Với điề u kiê ̣n (*) ta có:

1 − 4 ( sin  + cos  ) 
lim  f ( x) − ( − x cos  + 2 ( sin  + cos  ) ) = lim 
=0
x →
x →
x+2


cos 2  + sin 2 

 Maxd ( O; (  ) ) = 6 

2 sin  + cos 

=

2 cos 2  + sin 2 

 1
2
2
1 +  ( cos  + sin  )
2



= 6
cos 2  + sin 2 
sin 
1
=
= 2  tan  = 2   = arctan 2 + k 
1
2 cos 
2

 Khẳ ng đinh (C) la sai.

Bài tập 27: Cho (C):
của 2 đường tiê ̣m câ ̣n là nhỏ nhấ t. Khi đó , hoành độ của điể m M là:
1
;
4
2
1
(C)1 − 4 ;
2

( A)1 +

1
1
hoăc1
−
;
4
4
2
2
(D)0 hoăc 2.

(B)1 +

Giải:
lim

Ta có:


  (C ) 
a −1 


Khoảng cách từ M đế n giao điể m của 2 tiê ̣m câ ̣n là:
2

 a 2 + 2a − 2

MA = ( a − 1) + 
− 4 =
 a −1

2

2

 a 2 + 2a + 2 
a
−
1
+
( ) 

 a −1 

2

2


1
2
 ( a − 1) =
 a = 1 4 .
2
2
2

 Chọn (B).
y=

mx 2 − ( m2 + m − 1) x + m2 − m + 2
x−m

Bài tập 28: Cho (Cm) :
câ ̣n xiên:

( m  0) .

Khoảng cách từ gố c tọa độ đế n tiê ̣m

(A)Không lớn hơn 2.

(B) Bằ ng 2.

(C) Không nhỏ hơn 2.

(D) Lớn hơn 2.
Giải:




12 + ( −1)2  . 12 + m 2 


 
m2 + 1

Suy ra khoảng cách từ gố c tọa độ đế n tiê ̣m câ ̣n xiên không lớn hơn 2.
 Chọn (B).

Thiên đường hoa ở công viên Hitachi Seaside

= 2


Công viên Hitachi Seaside là một trong những điểm du lịch "vàng" của đất nước Nhật
Bản. Với diện tích 3,5ha, nơi đây có rắt nhiêu ngọn đồ i, mỗi ngọn đồ i là mỗi loại hoa khác
nhau, thay phiên khoe sác suốt 4 mùa trong năm. Công viên này đặc biệt nổi tiếng với hoa
nemophilas “ loài hoa năm cánh màu xanh trong suốt. Trong mùa xuân, hơn 4,5 triệu cây
hoa nemophilas xanh sẽ đua nhau nở rô ̣ trong công viên ta ̣o nên cảnh đe ̣p “ đô ̣c nhấ t vô
nhi”.̣