1
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2010 - 2011

Bài 1.
1/ Giải phương trình
2 1 3 4 1 1
x x x x
      
.
2/ Giải phương trình với ẩn số thực
1 6 5 2
x x x
     
(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long)
Bài 2. Giải phương trình
5 4 3 2
11 25 14 0
x x x x x
     
(Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai)
Bài 3. Giải hệ phương trình
2 2 4
2 5 2 5 6
x y
x y

 


x y xy

  


  


(Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng)
Bài 6. Giải hệ phương trình trên tập số thực
4
2 2
5 6
5 6
x y
x y x

 


 


(Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai)
2
Bài 7 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2 2
3 2
1

y x y x y x

   


   


(Đề thi HSG tỉ nh Quản g Bì nh )
Bài 10 .
1/ Gi ải b ất ph ươn g trì nh
2 2
( 4 ) 2 3 2 0
x x x x
   
.
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2
2
7
12
xy y x y
x
x
y

  


 


2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2
2
2
2
x x y
y y x

 


 


(Đề thi HSG tỉ nh Bến Tre)
3
Bài 13 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh
2
4 3 5
x x x
   
.
2/ Gi ải ph ươn g trì nh
3 2
3 1 2 2
x x x x
    
trên



  


(Đề thi ch ọn đội tuy ển Nha Tran g, Kh ánh Hòa)
Bài 16 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh
2
2 7 2 1 8 7 1
x x x x x
        
2/ Gi ải hệ ph ươn g trì nh
3
2 2 3 2
6 1 4
x y x y
x y

   


   


(Đề thi HSG tỉ nh Vĩ nh Ph úc)
Bài 17 . Gi ải ph ươn g trì nh sau
2
4 3 2 3
1



 


(Đề thi ch ọn đội tuy ển THPT Ch uy ên Lam Sơn , Th anh Hóa)
Bài 20 . Gi ải ph ươn g trì nh
2
3
6 7 1
x x x
    
.
(Đề thi HSG tỉ nh Lâm Đồn g)
Bài 21 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
5 ( ) 6( )
4
6 5
6( ) 4( )
5
4 6
4( ) 5 ( )
6
5 4
x y x z
x y x y x z xz
z y x y
z y zy x y xy
x z y z
x z xz y z yz

2 27
9
3 4 4 0
x
x x
x y xy x y

  



     

(Đề thi HSG tỉ nh Quản g Nam )
Bài 23 .
1/ Tì m tất cả các gi á trị của
,
a b
để ph ươn g trì nh
2
2
2
2 1
x ax b
m
bx ax
 

 
có h ai n ghiệm ph ân biệt v ới



2/ Gi ải ph ươn g trì nh
3 3
2 2 2 3
3 3 3 2 0
x x x x
x x
  
    
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Ni nh Bì nh)
Bài 25 .
1/ Gi ải b ất ph ươn g trì nh sau
2
2
2 1 2( 1 ) 2(2 )
4 1 17 0
x y x x x y
y x x

      


   


2/ Với n l à số n guy ên dươn g, gi ải ph ươn g trì nh
1 1 1 1
0
sin 2 sin 4 sin8 sin 2

(Đề thi HSG tỉ nh Th ái Bì nh )
Bài 27 .
1/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2
1
2
1
x y x y y
y
x y
x

   


  



2/ Gi ải ph ươn g trì nh lượn g gi ác
2 2
2 2sin 2
tan cot 2
x
x x

 



     


(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Ch uy ên ĐHSP Hà N ội )
Bài 31 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
3
2 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
( ) ( )x x y y
x y

     


   


(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT ch uy ên Lương Th ế Vi nh , Đồn g Nai )
Bài 32 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
4 3 3 2 2
3 3
9 9
7( )
x x y y y x x y x
x y x

    


 



(Đề thi HSG tỉ nh Yên Bái )
Bài 35 . Gi ải ph ươn g trì nh
3 2
3
2 2 1 27 27 13 2
x x x x
    
(Đề thi HSG Hải Ph òn g, b ản g A 1)
Bài 36 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2 2
1 1
2( )
2
1 1
2
x y
x y
y x
x y

  



  



 
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Ph ú Yên )
Bài 39 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh sau
2
1 1 2 2
x x x x      
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
3 3 2
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y

    


    


(Đề thi HSG tỉ nh Ngh ệ An )
Bài 40 .
1/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
3 3 2
4 4
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y

  

(Đề thi ch ọn đội tuy ển KHTN, v òn g 1)
Bài 42 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2
2
2 2
1
1
3 2 6 2 2 1
log ( ) log ( )
y x
x
e
y
x y x y








     

8
(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Cao Lãnh , Đồn g Th áp)
Bài 43 . Gi ải ph ươn g trì nh sau

x x y y z
x y z xz yz x y

     


      


(Đề thi ch ọn đội tuy ển Hà Tĩ nh )
Bài 46 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh sau
2
2010 ( 1 ) 1
x
x x
  
.
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
4 2 4
3 3
4 2 5
2 2
xy x
x y
y x
x y
 

  

z x z x

  

  


  

(Đề thi ch ọn đội tuy ển ch uy ên Quan g Trun g, Bì nh Phước)
9
Bài 49 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2 2
2
1
5
57
4 3 ( 3 1 )
25
x y
x x y x

 



    


(Đề thi ch ọn đội tuy ển Nghệ An )






 



(Đề thi ch ọn đội tuy ển Ch uy ên Vĩ nh Ph úc, tỉ nh Vĩ nh Ph úc)
Bài 52 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
4 4
2 2 3
2
3
( )
x x y y
x y

  


 


(Đề ki ểm tra đ ội dự tuy ển trườn g THPT Ch uy ên ĐHSP Hà N ội )
Bài 53 . Gi ải ph ươn g trì nh
2 3 5
3
2 .sin .c os 2 1 1

2 ( ) 1
1 2 2 2
( 3 1 ) 2 ( 1 )
z x y x y
y z xy zx yz
y x x x

   

    


   

(Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g ĐH K HTN Hà Nội , v òn g 3)
10
LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT
Bài 1 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh
2 1 3 4 1 1
x x x x
      
.
2/ Gi ải ph ươn g trì nh v ới ẩn số th ực
1 6 5 2
x x x
     
(Đề thi HSG tỉ nh Vĩ nh Lon g)
Lời giải.
1/Đi ều ki ện

 
thì
( * ) ( 1 1 ) ( 1 2) 1 2 1 3 1 1 2
x x x x
             
, l oại .
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó n ghiệm l à m ọi x th uộc


2 ;5
.
2/ Đi ều ki ện
5
2
x

 . Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g với
2
2
1 5 2 6
( 1 ) ( 5 2 ) 2 ( 1 )( 5 2 ) 6
( 1 ) ( 5 2 ) 5 ( 1 )( 5 2 ) 10 25
7 30 0 3 10
x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x
     
          
            

x x x x x x x x x
x x x x x
x
x x x x
          
      




    

Ph ươn g trì nh thứ h ai ở trên có th ể vi ết l ại l à
4 3 2 4 3 3 2 2
2 2
( 9 6) 1 0 ( 2 2 3 3 6 6) 1 0
( 1 ) ( 3 6) 1 0
x x x x x x x x x x x
x x x
               
     

Do
2 2
( 1 ) ( 3 6) 1 0,
x x x x
     
n ên ph ươn g trì nh n ày v ô n ghiệm .
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó n ghiệm duy nh ất l à
2



   


(Đề HSG Bà Rị a Vũn g Tàu)
Lời giải.
Đi ều ki ện :
, 0
x y

. C ộn g từn g v ế h ai ph ươn g trì nh của hệ, ta c ó:
( 2 5 2 ) ( 2 5 2 ) 10
x x y y
     
Trừ ph ươn g trì nh th ứ h ai ch o ph ươn g trì nh th ứ nh ất, v ế th eo v ế, ta được:
12
5 2
( 2 5 2 ) ( 2 5 2 ) 2 2
2 5 2 2 5 2
x x y y
x x y y
        
   

Đặt
2 5 2 0 , 2 5 2 0
a x x b y y
       
. Ta c ó h ệ sau:


 
Xét ph ươn g trì nh
2
2 5 2 5 2 5 ( 5 2 ) 2 5 25 2 10 2 2 2 2
x x x x x x x x x
               
.
Tươn g tự, ta cũn g có
2
y

.
Vậy h ệ phươn g trì nh đã ch o có n ghiệm l à
( , ) (2 ,2)
x y

.
Nhận x ét. Ng oài cách giải tận dụn g tí nh chất của c ác căn th ức, ta cũn g có th ể đặ t ẩn ph ụ rồi bi ến
đổi ; tr on g ph ươn g trì nh th ứ h ai , các số h ạn g tự d o có th ể kh ác nh au m à l ời gi ải v ẫn được ti ến
h ành tươn g tự. Ch ẳn g h ạn , gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2 2 6
2 5 2 9 8
x y
x y

 


   

1
, 3, , 0
a x b x y a b
y
     
. Hệ đã ch o vi ết l ại l à
2 2
3
2 , 1
1 , 2
5
a b
a b
a b
a b
 
 





 
 


-Với
2 , 1
a b
 

 

          


 


 

 
   


  




  
 


 

-Với
1 , 2
a b
 
, ta c ó

   
 


 
   



Th ử l ại , ta th ấy tấ t cả đều th ỏa.
Vậy h ệ phươn g trì nh đã ch o có 4 n ghi ệm l à
( , ) ( 3 ,1 ),( 5 , 1 ) ,(4 10,3 10),(4 10,3 10)
x y      
.
Nhận x ét. Dạn g h ệ phươn g trì nh gi ải b ằn g cách đặt ẩn ph ụ n ày th ườn g gặp ở nhi ều kì thi , từ
ĐH-CĐ đến thi HSG cấp tỉ nh và kh u vực. Ch ún g ta sẽ còn th ấy n ó x uất hi ện nhi ều ở các đề thi
của các tỉ nh được nêu dưới đây .
Bài 5 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 4 3
2 2
4 4 1
4 2 4 2
x y xy
x y x y

  


  


2
4 1 4 1 ( 1 ) 0 0 1
x x x x x x
          
.
Th ử l ại , ta th ấy cả h ai n ghi ệm đều th ỏa m ãn .
-Nếu
2
2
1
1 4 0
4
y
y xy x
y

     (dễ th ấy tr on g trườn g hợp này
0
y

), th ay v ào phươn g trì nh
đầu ti ên , ta được:
2
2 2
4 3 2 2 4 2 2 2
1 1
4 4 1 ( 1 ) 4 4( 1 ) 4 ( 1 )(5 7) 0
4 4
y y
y y y y y y y


 


(Đề thi ch ọn đội tuy ển Đồn g Nai )
Lời giải.
Trừ từn g v ế h ai ph ươn g trì nh của h ệ, ta được
4 2 2 2 2
5( ) 0 ( ) ( ) 5 0 ( ) 5
x x y y x x y x x y x y x x y
 
             
 

-Nếu
x y

, từ ph ươn g trì nh th ứ nhất ta có
4 2
5 6 0 ( 3 )( 2)( 1 ) 0 2 1
x x x x x x x x
             
, tươn g ứn g với
2 1
y y
   
.
Th ử l ại th ấy th ỏa, ta c ó h ai n ghiệm
( , ) ( 2 , 2),( 1 ,1 )
x y

.
Do đ ó
3 2
3 2 6 3 2
6 6 216 96 312
5 4 5. 4. 25 5 6 25 0
5 5 25 25
x x x x x

   
          
   
   
.
Suy ra tr on g trườn g hợp n ày , h ệ v ô n ghiệm .
Vậy h ệ đã ch o có h ai n ghiệm l à
( , ) ( 2 , 2),( 1 ,1 )
x y
  
.
Bài 7 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh
2 2
2 2
3 2
1
1
2
4
y
x y x

1 1
2 3 0
2 3
3 , 9
2 3
2 3 2 3
b a
b b
a b b b
b a
a b
a b a b

 
  

   
  

 
  

  

 
 


 
   

Vậy h ệ đã ch o có 4 n ghiệm phân bi ệt l à
( , ) ( 1 , 1 ),( 1 ,1 ),(3 ,1 ),( 3 , 1 )
x y
    
.
Bài 8 . Gi ải ph ươn g trì nh
2
3
6 7 1
x x x
    
(Đề thi ch ọn đội tuy ển Lâm Đồn g)
Lời giải.
Đi ều ki ện
1
x

.
16
Ta c ó
2
3
2
3
3
2
3
3
2
3

 
   
 
     
 
 
     
 





   

 
   

Dễ th ấy ph ươn g trì nh th ứ h ai v ô n ghi ệm vì v ế trái l uôn dươn g n ên ph ươn g trì nh đã ch o có
n ghiệm duy nh ất l à
2
x

.
Nhận x ét. Cách đơn gi ản h ơn dành ch o b ài n ày l à ch ứn g mi nh h àm đồn g bi ến , tuy nhi ên , cần
ch ú ý x ét
1
x

trước khi đạo h àm .

2 0 ( )
y x y x y x y x xy y x y x
         

Ta c ó h ệ m ới l à
2
1
1
2 2
2 2
2 2
4
2 ( 2) ( 2)
2 0
2
4
y
x
y x
y x
y x
y y y y
y y
y x y x
y
x
  






17
So sánh với đi ều ki ện ban đầu, ta th ấy cả h ai n ghiệm trên đều th ỏa m ãn .
Vậy h ệ phươn g trì nh đã ch o có h ai n ghi ệm l à
1
( , ) ( , 1 ),(2 ,4)
4
x y   .
Bài 10 .
1/ Gi ải b ất ph ươn g trì nh
2 2
( 4 ) 2 3 2 0
x x x x
   
.
2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2
2
7
12
xy y x y
x
x
y

  


 


 

     


  
  


K ết h ợp các đi ều ki ện trên , ta c ó
1
2 4
2
x x x

    
.
Vậy b ất ph ươn g trì nh trên có n ghi ệm l à
1
( , ] { 2 } [4 , )
2
x

    
.
2/ Đi ều ki ện
0
y





  
 
-Với
3 , 4
u v
 
, ta c ó
4 , 3 3 , 1
x
x y x y
y
     
, th ỏa đi ều ki ện .
18
-Với
4 , 3
u v
 
, ta c ó
12 3
3 , 4 ,
5 5
x
x y x y
y
     
, th ỏa đi ều ki ện .

x y z x y z x x y y z z
           
Từ đi ều ki ện
1 , , 1
x y z
  
, ta dễ dàn g thấy rằn g
6 2001 8 2001 10 2001
( 1 ) , ( 1 ) , ( 1 ) 0
x x y y z z
   
.
Do đ ó, ph ải có đẳn g th ức x ảy ra, tức l à
6 2001 8 200 1 10 2001
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0 , , 1 , , 0
x x y y z z x y z x y z
         
.
K ết h ợp v ới đi ều ki ện
6 8 10
1
x y z
  
, ta th ấy h ệ bất ph ươn g trì nh đã ch o c ó các n ghiệm l à
( , , ) ( 1 ,0 ,0),(0,1 ,0),(0 ,0 ,1 )
x y z

.
Bài 12 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh

.
19
Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g v ới
2
2 1 1 3
1 ( 1 ) (3 ) ( 1 3 )( 1 3 )
1 3 1 3
1 3 0
( 1 3 ) 1
x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
   
            
     

   


   


Dễ th ấy ph ươn g trì nh th ứ nh ất v ô n ghiệm n ên ta chỉ xét
2
2
( 1 3 ) 1 ( 1 ) (3 ) 2 ( 1 )(3 ) 1 3 2 ( 1 )(3 )
2 7
9 4( 1 ) (3 ) 4 8 3 0

Ta x ét
, 0
x y

. Xé t h àm số
2
( ) , 0
2
t t
f t t

 
, ta th ấy
1
( ) 0 , 0
4
f t t t
t

    
n ên đây l à
h àm đồn g bi ến .
Hệ đã ch o được vi ết l ại l à
( )
( )
x f y
y f x











Vậy h ệ đã ch o có b a n ghiệm l à
3 5 3 5
( , ) (0 ,0),( 1 ,1 ),( , )
2 2
x y
 

.
Nhận x ét. Bài ph ươn g trì nh th ứ nhất n ếu kh ôn g có bi ến đổi ph ù h ợp m à đặt ẩn ph ụ thì l ời gi ải sẽ
kh á dài dòn g v à rắc rối , ch ún g ta cần ch ú ý tận dụng n hữn g tính ch ất của căn th ức, l ượn g li ên
h ợp để kh ai thắc đặc đi ểm ri ên g của bài toán .
20
Bài 13 .
1/ Gi ải ph ươn g trì nh
2
4 3 5
x x x
   
.
2/ Gi ải ph ươn g trì nh
3 2
3 1 2 2
x x x x

   
(*)
Hàm số
3 2
( ) 4 6 1
f x x x x
   
c ó
2
( ) 3 8 6 0
f x x x

   
n ên l à đồn g bi ến; hơn nữa,
(0). ( 1 ) ( 1 ).2 0
f f
  
n ên ph ươn g trì nh
( ) 0
f x

có đún g m ột n ghi ệm th uộc
(0 ,1 )
.
Ta sẽ gi ải ph ươn g trì nh (*) bằn g ph ươn g ph áp Cardan o.
Đặt
4
3
x y
 






.
Gi ải h ệ ph ươn g trì nh n ày , ta ch ọn n ghi ệm
3
1 2
( 61 3 417),
54 9
u v
u
    .
Từ đ ó, ta tì m được n ghiệm của ph ươn g trì nh (*) l à
3
0
3
1 2 4
( 61 3 417) 0.189464
54 3
1
9 ( 61 3 417)
54
x x      
 
21
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó h ai n ghi ệm l à
0
4,

[ 2 ,2]

v à n ó có gi á trị
gần đún g l à
0
1.916086228
x x  .
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó h ai n ghi ệm ph ân bi ệt l à
0
1 ,
x x x
  
.
Nhận x ét. R õ ràn g ph ươn g trì nh b ậc b a ở trên ph ải giải trực ti ếp b ằn g côn g thức tổn g quá t, đi ều
n ày í t khi x uất hi ện ở các kì thi HSG. Đối v ới phươn g trì nh th ứ hai , vi ệc x ét
[ 2 ,2]
x
 
n êu tr on g
đề b ài có th ể gợi ý dùn g l ượn g gi ác; tuy nhi ên , cách đặt
2cos
x


ch ưa có kế t quả , m on g các
b ạn tì m hi ểu th êm . Một b ài tươn g tự x uất hi ện tr on g kì thi HSG ĐBSCL nh ư sau
Gi ải ph ươn g trì nh
5 4 3 2
32 32 16 16 2 1 0
x x x x x




   

(Đề ch ọn đội tuy ển trườn g Ch uy ên Lê Quý Đôn , Bì nh Đị nh).
Lời giải.
Đi ều ki ện x ác đị nh :
0 0
,
x y
 
.
Ph ươn g trì nh th ứ nh ất của h ệ tươn g đươn g với
2 2
1 2
2 2 2 2 2 0
( )
y x
y x y x x xy y y x x x x
x y
x
           
22
Xem đây l à ph ươn g trì nh b ậc h ai th eo biến y , ta c ó
2 2 2
2 8 4 4 2 0
( ) ( )
x
x x x x x x x x x x

2
y x

, th ay v ào ph ươn g trì nh th ứ h ai của h ệ, ta đư ợc:
2 2 2 2
2
2 1 1 3 3 1 2 3 2 1
2 3
( ) .( )
x
x x x x x x x
x
          

(*)
(dễ th ấy
3
2
x  kh ôn g thỏa m ãn đẳn g th ức nên chỉ x ét
3
2
x  và ph ép bi ến đổi trên l à ph ù
h ợp). Xét h ai h àm số:
2
1 0
( ) ,f x x x
  
v à
2
0

 

n ên l à h àm n ghị ch bi ến.
Suy ra ph ươn g trì nh (*) c ó kh ôn g quá m ột n ghiệm.
Nh ẩm th ấy
3
x 
th ỏa m ãn (*) n ên đây cũn g chí nh là n ghi ệm duy nh ất của (*).
Vậy h ệ đã ch o có n ghiệm duy nhất l à
3 2 3
( , ) ( , )
x y 
.
Nhận x ét. Quan h ệ của x v à y được che gi ấu n gay tr on g ph ươn g trì nh đầu ti ên , n ếu nh ận th ấy
đi ều đó thì các b ước tiếp th eo sẽ rất dễ n h ận bi ết. Bài n ày tí nh toán tuy rườm rà nh ưn g h ướn g
gi ải rất r õ ràn g n ên kh ôn g quá kh ó.
23
Bài 15 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau
2 2
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x

  


  


1 9 3 33
( 2)(2 1 )(2 9 27) 0 2
2 4
x x x
x x x x x
x x
x x x x x x x
 
      
 
 
            
-Nếu
2
x
 
, ta c ó
2
2 9 6 16
7 7
x x
y
  
 
; n ếu
1
2
x

, ta có

16 1 1 9 3 33
( , ) ( 2 , ),( , ),( ,3 )
7 2 7 4
x y
   
 
.
Nhận x ét. Bài n ày có th ể còn nhi ều bi ến đổi đơn gi ản h ơn nhưn g rõ ràn g cách rút y ra rồi th ay
v ào m ột ph ươn g trì nh nh ư trên l à tự n hi ên hơn cả.
Bài 16 .
1/ Gi ải phươn g trì nh
2
2 7 2 1 8 7 1
x x x x x
        
2/ Gi ải hệ ph ươn g trì nh
3
2 2 3 2
6 1 4
x y x y
x y

   


   


(Đề thi HSG tỉ nh Vĩ nh Ph úc)
Lời giải.

1 2 3
x x
   
.
Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó n ghiệm duy nh ất l à
3
x

.
2/ Đi ều ki ện
2 0 , 1
x y y
  
. Ph ươn g trì nh th ứ nh ất của h ệ tươn g đươn g v ới
(2 ) 2 2 3 0 2 1 2 3 2 1 1 2
x y x y x y x y x y y x
                 
.
Th ay v ào ph ươn g trì nh th ứ h ai của h ệ, ta được
3
6 2 4
x x
  
.
Dễ th ấy vế trái tăn g th eo bi ến x nên ph ươn g trì nh trên có kh ôn g quá m ột n ghi ệm . Ta th ấy
2
x

th ỏa m ãn , suy ra
2 , 3

4 3 2 2 2 2 3 2
2 2 2 1 ( ) ( 1 ) 0 , ( 1 ) 0
x x x x x x x x x x x
            
n ên ph ươn g
trì nh trên kh ôn g có n ghiệm th ỏa
1
x
 
.
Đồn g th ời
1
x

kh ôn g l à n ghiệm của ph ươn g trì nh n ên ta chỉ x ét
(0,1 )
x

.
Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g v ới
2
2
2 2 2 2
2
2
2 ( 1 )
1
( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1
1
( 1 )

(d o
0
t

).
Khi đó
25
2
2 2 2 4 2 3
2
2 2 2
1
2 ( 1 ) 4 ( 1 ) 2 1 4 4 0
( 1 )
( 2 1 ) 0 2 1 0 1 2
x
x x x x x x x
x x
x x x x x

          

           
So sánh với đi ều ki ện đã n êu, ta th ấy ph ươn g trì nh trên c ó n ghiệm duy nh ất l à
1 2
x   
.
Bài 18 . Gi ải ph ươn g trì nh
2 2 3 2 2 5 0
sin sin cosx x x

( ) ( ) ( )
( ) ( )
ab a b ab a b
ab a b a b
a b a b a b
a b a b
         
        
 
        
 
      
Mặt kh ác:
2 2
1
a b
 
n ên
2 2
2 2 2 0
( )a b a b a b
       
.
Đẳn g th ức xảy ra khi v à chỉ khi
2
2
a b

  .
Do đ ó, từ (* ), suy ra: