ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ HƯƠNG LÝ
PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHƠNG GIAN BANACH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
THÁI NGUN - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ HƯƠNG LÝ
PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHƠNG GIAN BANACH
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUN - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ HƯƠNG LÝ
PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHƠNG GIAN BANACH
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12

tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 14
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 15
2.2 Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân trên
tập điểm bất động của ánh xạ khơng giãn . . . . . . . 19
2.2.1 Mơ tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Định lý hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . 20
Kết luận 28
Tài liệu tham khảo 29
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />MỞ ĐẦU
Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia và các cộng sự đưa ra
nghiên cứu vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu
bài tốn biên của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó phương pháp
bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở
thành một cơng cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải
số các bài tốn cân bằng trong kinh tế tài chính, bài tốn vận tải, lý
thuyết trò chơi và nhiều bài tốn thuộc lĩnh vực vật lý và kỹ thuật.
Nhiều bài tốn trong tốn học được phát biểu dưới dạng bất đẳng
thức biến phân như bài tốn bù phi tuyến, bài tốn cân bằng, bài
tốn tối ưu, bài tốn điểm bất động . . . . Do vậy việc nghiên cứu bất
đẳng thức biến phân và phương pháp giải bài tốn này ln là đề tài
thời sự, được nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu.
Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa
trên cách tiếp cận thơng qua điểm bất động. Nội dung của phương
pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài tốn tìm điểm bất
động của một ánh xạ nghiệm thích hợp. Phương pháp chiếu gradient
là một kết quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếu
mêtric P
C

hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian làm
luận văn.
Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư cơng tác tại Viện Tốn học, các Thầy Cơ trong trường
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Đại học Khoa Học, Đại học Thái Ngun, tác giả đã trau dồi thêm
rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản
thân. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy Cơ.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo
đơn vị cơng tác và đồng nghiệp đã ln động viên, giúp đỡ và tạo điều
kiện tốt nhất cho tác giả trong q trình học tập, nghiên cứu và làm
luận văn.
Hải Phòng, tháng 5 năm 2014.
Học viên
Nguyễn Thị Hương Lý
iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />BẢNG KÝ HIỆU
R
n
khơng gian Euclide n chiều
D(A) miền xác định của tốn tử A
R(A) miền giá trị của tốn tử A
H khơng gian Hilbert thực
C tập con lồi đóng của H
I ánh xạ đơn vị
P
C
Phép chiếu mêtrix lên tập C
x
n

tại x ∈ E. Ký hiệu
2
E
là một họ các tập con khác rỗng của E. Cho T là một ánh xạ với
miền xác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) và Fix(T) là tập điểm
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />bất động của ánh xạ T , nghĩa là
F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : T(x) = x}.
Ký hiệu mặt cầu đơn vị của E là S
E
, trong đó S
E
= {x ∈ E : x = 1}.
Định nghĩa 1.1. Khơng gian Banach E được gọi là khơng gian
(i) lồi chặt nếu với x, y ∈ S
E
, x = y thì
(1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1),
(ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãn
x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ ε, tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho





x + y
2







. (1.1)
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ta có định nghĩa khác về khơng gian trơn đều như sau:
Định nghĩa 1.4. Một khơng gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
lim
τ→0
h
E
(τ) := lim
τ→0
ρ
E
(τ)
τ
= 0. (1.2)
Các khơng gian L
p
, l
p
là các ví dụ về khơng gian trơn đều.
1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
Định nghĩa 1.5. Ánh xạ J : E → 2
E
∗
(nói chung đa trị) được gọi là
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E nếu
J(x) = {x

2
+ 2y, j(x + y) ∀x, y ∈ E, j(x + y) ∈ J(x + y).
1.1.3 Ánh xạ J-đơn điệu
Định nghĩa 1.6. Ánh xạ A : E → E được gọi là
(i) J-đơn điệu (accretive) nếu tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
(ii) J-đơn điệu ngặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt
được khi x = y;
(iii) J-đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0,
và j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ γ(x − y), ∀x, y ∈ D(A);
(iv) J-η-đơn điệu mạnh nếu γ(t) = ηt
2
, η > 0 là một hằng số;
(v) khơng giãn nếu
A(x) − A(y) ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(A).
Ví dụ 1.1. Ánh xạ đồng nhất I : E → E, trong đó E là khơng gian
Hilbert là ánh xạ J-đơn điệu.
Thật vậy với mọi x, y ∈ E, x = y ta có
I(x) − I(y), j(x − y) = x − y, j(x − y).
Vì x − y, j(x − y) = x − y
2
nên I là ánh xạ J-đơn điệu.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 1.7. Cho T : D(T ) ⊂ E → E là một ánh xạ. Ánh xạ
T được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L nếu với mọi
x, y ∈ D(T ) ta có
T (x) − T(y) ≤ Lx − y.
Nếu 0 ≤ L < 1 thì ta có định nghĩa ánh xạ co, nếu L = 1 thì ta có
định nghĩa ánh xạ khơng giãn.

Sau đây là định nghĩa ánh xạ đơn điệu.
Định nghĩa 1.10. Cho A : D(A) ⊂ X → X
∗
, ánh xạ A được gọi là
(i) Ánh xạ đơn điệu nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A).
(ii) η-đơn điệu mạnh nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ ηx − y
2
, ∀x, y ∈ D(A).
Bổ đề 1.3. Cho E là một khơng gian Banach trơn thực và A : E → E
là một ánh xạ.
(i) Nếu A là ánh xạ λ-giả co chặt thì A là ánh xạ liên tục Lipschitz với
hằng số (1 +
1
λ
).
(ii) Nếu A là ánh xạ δ-J-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1
thì I − A là ánh xạ co với hằng số
1−δ
λ
.
(iii) Nếu A là ánh xạ δ-J-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1
thì với số cố định bất kỳ τ ∈ (0, 1), I − τ A là ánh xạ co với hằng số
1 − τ (1 −
1−δ
λ
).
Chứng minh. (i) Từ (1.4) ta nhận được
λ(I − A)(x) − (I − F )(y)

λ
∈ (0, 1), nên
(I − A)(x) − (I − A)(y) ≤
1 − δ
λ
x − y,
và vì vậy I − A là ánh xạ co với hằng số
1−δ
λ
.
(iii) Vì I − A là ánh xạ co với hằng số
1−δ
λ
, nên với mỗi số cố định
τ ∈ (0, 1) ta có
x − y − τ(A(x) − A(y)) = (1 − τ)(x − y)
+ τ[(I − A)(x) − (I − A)(y)]
≤ (1 − τ)x − y + τ(I − A)(x) − (I − A)(y)
≤ (1 − τ)x − y + τ
1 − δ
λ
x − y
= 1 − τ 1 −
1 − δ
λ
x − y.
Từ đây suy ra I − τ F là ánh xạ co với hằng số 1 − τ

1 −
1−δ

(3) T (s
1
+ s
2
) = T (s
1
) ◦ T (s
2
) với mọi s
1
, s
2
> 0;
(4) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.)x từ (0, ∞) vào C là liên tục.
Bổ đề 1.5. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng và giới nội của
khơng gian Banach lồi đều E và giả sử {T (s) : s > 0} là nửa nhóm
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />khơng giãn trong C. Khi đó với mọi r > 0 và h > 0,
lim
t→∞
sup
y∈C∩B
r






T (h)

∈ C sao cho
VI(F, C) : F (u
∗
), v − u
∗
 ≥ 0, ∀v ∈ C.
Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C, thì bài
tốn VI(F, C) có nghiệm duy nhất. Bài tốn VI(F, C) tương đương
với phương trình điểm bất động
u
∗
= P
C
(u
∗
− µF(u
∗
)), (1.5)
trong đó P
C
là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số
tùy ý. Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C
và µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.5) là
ánh xạ co. Do đó, ngun lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp
Picard
x
n+1
= P
C
(x

n
λ
n
= ∞;
(L
3
) lim
n→∞
(λ
n
− λ
n+1
)
λ
2
n+1
= 0.
Xuất phát từ một điểm ban đầu u
0
∈ H tùy ý, xác định dãy lặp {u
n
}
bởi thuật tốn:
u
n+1
:= T u
n
− λ
n+1
µF (T u

n
→ x (tương ứng x
n
 x) chỉ sự hội tụ mạnh (tương
ứng hội tụ yếu) của dãy {x
n
} tới x ∈ E. Cho F : E → E là một ánh
xạ. Bài tốn bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Banach được
nghiên cứu trong đề tài này phát biểu như sau: tìm điểm p
∗
∈ E sao
cho
p
∗
∈ F : F (p
∗
), j(p
∗
− p) ≤ 0 ∀p ∈ F, (1.7)
với F := ∩
s>0
Fix(T (s)) và {T(s) : s > 0} là một nửa nhóm khơng
giãn trong khơng gian Banach lồi đều E có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
Bài tốn (1.7) với F = Fix(T ) và F : C → E
∗
là ánh xạ J-ngược-
đơn điệu mạnh, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Banach trơn E đã được Aoyama và các đồng nghiệp nghiên cứu (xem
tài liệu trích dẫn trong [6]). Nếu đặt F = I − S, trong đó S : E → E
là ánh xạ co thì bài tốn (1.7) (VI

µ xác định trên N khi và chỉ khi
inf{a
n
: n ∈ N} ≤
∼
µ (a) ≤ sup{a
n
: n ∈ N}
với mỗi a = (a
1
, a
2
, . . . ) ∈ l
∞
. Ta sẽ viết
∼
µ
n
(a) thay cho
∼
µ(a).
∼
µ trên
N được gọi là giới hạn Banach nếu
∼
µ
n
(a) =
∼
µ

1
, a
2
, . . . ) ∈ l
∞
. Cho {x
n
} là một dãy bị chặn trong
E. Khi đó, ta có thể định nghĩa hàm lồi liên tục nhận giá trị thực
g : E → R bởi
g(x) =
∼
µ
n
x
n
− x
2
, ∀x ∈ E.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Bổ đề 1.6. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Banach E với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Cho {x
n
} là một dãy bị chặn
trong E,
∼
µ là một giới hạn Banach trên N, và z ∈ C. Khi đó,
∼
µ
n

Chúng ta nhắc lại bài tốn bất đẳng thức biến phân đã được đề cập
ở chương 1: tìm điểm p
∗
∈ E sao cho
p
∗
∈ F : F (p
∗
), j(p
∗
− p) ≤ 0 ∀p ∈ F, (2.1)
với F := ∩
s>0
Fix(T (s)) và {T(s) : s > 0} là một nửa nhóm ánh
xạ khơng giãn trong khơng gian Banach lồi đều E có chuẩn khả vi
Gâteaux đều.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân
Cho {T (s) : s > 0} là một nửa nhóm khơng giãn trong C, với C
là một tập con lồi đóng của khơng gian Banach lồi đều có chuẩn khả
vi Gâteaux đều. Năm 2007, Chen và Song đã đề xuất thuật tốn tìm
nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1) như sau:
x
k
= γ
k
f(x
k
) + (1 − γ
k

∗
∈ F là nghiệm của (2.1)
với F = I − f.
Một trường hợp đặc biệt của (2.2) được Shijoi và Takahashi nghiên
cứu năm 1998 như sau:
x
k
= γ
k
u + (1 − γ
k
)
1
t
k

t
k
0
T (s)x
k
ds,
trong đó u là một điểm cố định thuộc C, {γ
k
} ⊂ (0, 1) và {t
k
} là một
dãy thực dương và phân kỳ. Sau đó, năm 2003 Suzuki đã cải tiến kết
quả của Shijoi và Takahashi và chứng minh định lý dưới đây.
Định lý 2.2. Cho {T(s) : s > 0} là nửa nhóm khơng giãn trong C,