ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ MINH CHÂU
PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN TÌM NGHIỆM
CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ MINH CHÂU
PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN TÌM NGHIỆM
CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS. TS. NGUYỄN BƯỜNG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
1
.
2
Mục lục
3
Mở đầu
4
Chương 1
Một số khái niệm cơ bản

i
1.5.2 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 17
2 Phương pháp lặp ẩn giải bài toán bất đẳng thức biến
phân 21
2.1 Phương pháp lặp ẩn giải một lớp bất đẳng thức biến
phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Phương pháp lặp ẩn giải một lớp bất đẳng thức biến
phân trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kết luận 34
Tài liệu tham khảo 35
i
MỞ ĐẦU
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60 và là
một công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu một lớp rộng các bài
toán cân bằng. Có thể thấy phương pháp bất đẳng thức biến phân
được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở thành một công cụ hữu hiệu
trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải một số bài toán, gồm có: bài
toán cân bằng mạng giao thông, bài toán cân bằng giá, các bài toán
cân bằng tài chính, cân bằng nhập cư, bài toán vận tải, lý thuyết trò
chơi và nhiều bài toán trong lĩnh vực vật lý và kĩ thuật khác. Nhiều
bài toán trong toán học được phát biểu dưới dạng bất đẳng thức biến
phân như bài toán bù phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán tối ưu,
bài toán điểm bất động.
Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa
trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động. Nội dung của phương
pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất
động của một ánh xạ nghiệm thích hợp. Phương pháp chiếu gradient
là một kết quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếu

Tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các giáo sư, tiến sĩ ở Viện
Toán học, Viện công nghệ thông tin thuộc Viện khoa học và và công
nghệ Việt Nam, các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa học nói
chung và khoa Toán - Tin nói riêng đã hết lòng giảng dạy, truyền đạt
cho tôi nhiều kiến thức khoa học trong suốt quá trình tôi học tập tại
trường.
Cuối cùng, tôi cũng muốn cảm ơn đến người thân, bạn bè đã cổ vũ
iii
tôi trong suốt thời gian vừa qua.
Do điều kiện, thời gian và trình độ có hạn nên luận văn này không
thể tránh khỏi có nhiều thiếu sót. Tôi rất mong sẽ nhận được nhiều ý
kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
Hải Phòng, tháng 5 năm 2014.
Học viên
Nguyễn Thị Minh Châu
iv
BẢNG KÝ HIỆU
R
n
không gian Euclide n chiều
D(A) miền xác định của toán tử A
R(A) miền giá trị của toán tử A
H không gian Hilbert thực
C tập con lồi đóng của H
I ánh xạ đơn vị
x
n
→ x dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x

dt < ∞,
1
là không gian Banach với chuẩn
φ =
b

a
|φ(x)|
p
dx
1
p
, φ ∈ L
p
[a, b] .
Cho E là không gian Banach thực, E
∗
là không gian liên hợp của
E. Không gian liên hợp của E
∗
được gọi là không gian liên hợp thứ
hai của E và kí hiệu là E
∗∗
, tức là E
∗∗
= L(E
∗
, R).
Định nghĩa 1.2. Không gian định chuẩn E gọi là không gian phản
xạ nếu E = E

0
nếu với ∀f ∈ E
∗
ta có f (x
n
) → f (x
0
), khi n → ∞.
Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau:
Tính chất 1.1. (i) Từ sự hội tụ mạnh của một dãy {x
n
} suy ra sự
hội tụ yếu của dãy đó.
(ii) Giới hạn yếu của một dãy nếu có là duy nhất.
(iii) Mọi dãy hội tụ yếu đều giới nội.
(iv) Nếu E là không phản xạ thì x
n
 x khi và chỉ khi dãy {f, x
n
}
hội tụ trong R với mọi f ∈ E
∗
.
2
(v) Nếu x
n
 x thì sup
1≤n<∞
x
n

và {x
n
} ⊂ E
hội tụ yếu đến x ∈ E hoặc {f
n
} ⊂ E
∗
hội tụ yếu đến f ∈ E
∗
và
{x
n
} ⊂ E hội tụ mạnh tới x ∈ E. Khi đó lim
x→∞
f
n
, x
n
 = f, x.
Định nghĩa 1.4. Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E được
gọi là không gian có tính chất Ephimov - Stechkin (hay tính chất E-S)
nếu trong E sự hội tụ yếu các phần tử (x
n
 x) và sự hội tụ chuẩn
(x
n
 → x) luôn kéo theo sự hội tụ mạnh (x
n
− x → 0).
1.1.2 Không gian Banach lồi đều, trơn đều






x + y
2






≤ 1 − δ.
Chú ý rằng mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản
xạ và lồi chặt.
Định nghĩa 1.6. Giả sử E là một không gian tuyến tính định chuẩn
thực. Không gian E được gọi là
(i) có chuẩn khả vi Gâteaux, nếu giới hạn
lim
t→0
x + ty − x
t
tồn tại với mỗi x, y ∈ S
1
(0).
(ii) có một chuẩn khả vi Gâteaux đều, nếu giới hạn đạt được đều
với x ∈ S
E
(0).

E
(τ) := lim
τ→0
ρ
E
(τ)
τ
= 0. (1.2)
Các không gian L
p
, l
p
là các ví dụ về không gian trơn đều.
1.1.3 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
Giả sử E là một không gian Banach có không gian đối ngẫu E
∗
. Để
đơn giản hóa, chuẩn của E và E
∗
được ký hiệu bằng ký hiệu . và ta
viết x, x
∗
 là giá trị của x
∗
∈ E
∗
tại x ∈ E.
Định nghĩa 1.9. Một ánh xạ J từ E vào E
∗
thỏa mãn điều kiện

2
≤ x
2
+ 2y, j(x + y), ∀x, y ∈ E, ∀j(x + y) ∈ J(x + y).
1.2 Không gian Hilbert
1.2.1 Định nghĩa
Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng
trong H là một ánh xạ ., . : H × H → R thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0;
(ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H;
(iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R;
(iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H.
Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ., . được gọi là
không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không
gian Hilbert.
6
1.2.2 Ví dụ
Các không gian R
n
, L
2
[a, b] là các không gian Hilbert với tích vô
hướng được xác định tương ứng là
x, y =
n

i=1
ξ
i
η

Định nghĩa 1.10. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không
gian Y . Bài toán (1.3) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu:
1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;
2) nghiệm này duy nhất;
3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì Bài
toán (1.3) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill - posed). Đối với
các bài toán phi tuyến thì điều kiện thứ hai hầu như không thỏa mãn.
7
Do vậy, các bài toán phi tuyến đều là các bài toán đặt không chỉnh.
Hơn nữa điều kiện cuối cùng cũng khó thực hiện được, vì vậy ta có
định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.11. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không
gian Y . Bài toán (1.3) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệm
của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Chú ý 1.1. Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu f,
có nghĩa là x = R(f), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y )
nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε)
cho ta ρ
X
(f
1
, f
2

có tính chất như vậy gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không
chỉnh (1.3).
Chú ý 1.3. Gọi x
δ
là nghiệm của (1.3) với f thay bởi f
δ
(giả thiết
rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì f
δ
→ f nhưng với bài toán đặt
không chỉnh thì x
δ
nói chung không hội tụ đến x.
8
1.3.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh
Sau đây ta sẽ chỉ ra một ví dụ về toán tử A mà (1.3) là bài toán
đặt không chỉnh.
Định nghĩa 1.12. Toán tử (phi tuyến) A được gọi là liên tục mạnh,
nếu nó ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu thành hội tụ mạnh tức là nếu x
n
 x
suy ra Ax
n
→ Ax.
Mệnh đề 1.2. Cho X và Y là các không gian Banach thực. Nếu
A : X → Y là toán tử tuyến tính compact thì A liên tục mạnh.
Ví dụ 1.3. Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.3) (vô hạn
chiều) nói chung là bài toán đặt không chỉnh.
Định nghĩa 1.13. Nghiệm x
0

Với f ∈ E
∗
hãy tìm x
∗
∈ K sao cho
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.4)
Tập nghiệm của VI(F, K) kí hiệu là S
∗
.
Ví dụ 1.4. f (x) là một hàm thực khả vi trên tập mở chứa C = [a, b].
Tìm x
∗
∈ C sao cho
f (x
∗
) = min
x∈C
f(x), x
∗
∈ [a, b] .
Có 3 trường hợp xảy ra:
a) Nếu x
∗
∈ (a, b), theo định lý Fermat, ta có f

(x

∗
≤ 0.
Kết hợp lại, ta có thể viết x
∗
là nghiệm của bài toán
f

(x
∗
). (x − x
∗
) ≥ 0, ∀x ∈ C.
Như vậy x
∗
là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.4)
với F = f

trên C = [a, b].
Trong trường hợp F là đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm f :
E → R ∪ { + ∞} lồi chính thường nửa liên tục dưới thì bất đẳng thức
biến phân (1.4) tương đương với bài toán cực trị lồi không khả vi
min
x∈K
f(x). (1.5)
Khi K ≡ X thì bài toán (1.5) có dạng phương trình toán tử (1.3). Ta
có các kết quả sau:
Bổ đề 1.2. Cho E là một không gian Banach thực, f ∈ E
∗
và A là
một toán tử h-liên tục từ E vào E