¼
õ  Øô ÒÙÝÒ
ØÖÒ õ  Ó 
¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹
ÈÒ Ì Æ
ÔÒ ÔôÔ ÐÔ Ò
Ó ñÁ ÌÇôÆ Ì øÆ ÌÀ ÁÆ ÈÀÆ
ÐÙÒ ÚÒ Øõ × ØÓôÒ  Ò Ò
Ìô ÆÙÝÒ¹¾¼¼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
¼
õ  Øô ÒÙÝÒ
ØÖÒ õ  Ó 
¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹
ÈÒ Ì Æ
ÔÒ ÔôÔ ÐÔ Ò
Ó ñÁ ÌÇôÆ Ì øÆ ÌÀ ÁÆ ÈÀÆ
ÙÝÒ ÒÒ ÌÓôÒ Ò Ò
Åó × ¼ºº¿
ÐÙÒ ÚÒ Øõ × ØÓôÒ  Ò Ò
ÆÍÁ ÀÆ Æ ÃÀÇ À Ì˺ ÈÀõÅ Æ ÆÀ
Ìô ÆÙÝÒ¹¾¼¼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
¼
½
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
¾
Å Ð
ÌÖÒ Ô 
Å Ð ¾
Ä òÑ Ò ¿

èụ ặíề ì ề ề èậ ẩừẹ ặ ề èụ ũ ĩề ủí ỉ
éề ề ỉệề ủ ỉ ề ì ìỳ ỉ ỉí ì ỉề ỉề ề ề ỉệểề ìỉ
ỉ ề ỉụ ũ éủẹ éề ề
èệểề ếụ ỉệề ỉễ ủ éủẹ éề ềá ỉề ế ụ ủ ũề ủ ĩẹềá
ỉụ ũ ỉề ĩíề ềề ì ếề ỉẹ ễ ủ ề ễ ềề ề
ế ụ ẩậ èậ è èề ặủềá èậ ặíề è è èí ủ ụ
ỉí ụ ỉệểề ỉệề ừ ể ạừ èụ ặíề è ụí éề
ẹềá ỉụ ũ ĩề ủí ỉ éề ỉ ề ì ìỳ ề ụ ỉí ụ
èụ ũ ĩề ủí ỉ éề ỉ ề ỉ ụ ỉíá ụ ể ể ũềá
ề ễ ủề ểủề ỉệề ể ứề ề ềễ èụ ặíề ú ú ỉừể
ề ễ ỉụ ũ ỉệểề ỉ ề éủẹ ể
ề ề ỉủề ũẹ ề ề ẹ ề ể ủ ừề ề ềễ
ề ĩ ú ỉệể á ề ề ủ é ỉụ ũ ỉệểề ếụ ỉệề ỉễá ềề
ủ éủẹ éề ề
ề ề ì ề ểủề ỉủề ề ề ì ỉề ũẹá ễ
ềề ề ỉề ỉệểề ề ỉụ ũ í éủ ẹề ếủ ỉề ỉềá ỉụ ũ
ĩề ề ỉề ề ỉề í ẹề ỉẹ éề ỉ ề ề ỉủề ủ
ì ìỳ
èụ ũ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ÅØ ×  Ù Úñ  ÚØ ØúØ
R
n
Ò Ò ÙÐ
n
¹Ù
|β|
ØÖ ØÙÝØ   × Ø
β

Úñ
B
ÓÒÚ
D
Ó Ð  ØÔ
D
ÖÑÒ
{f(x) | x ∈ C}
ØÔ ô Ñ  ØÙ  ñÑ
f
ØÖÒ
C
A
T
Ñ ØÖÒ ÙÝÒ Ú  Ñ ØÖÒ
A
x
k
→ x
óÝ
{x
k
}
 Ø ÑõÒ Ø
x
V I
ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ề

é ủ ỉểụề ễ ĩẹ àá ễề ễụễ ẹ ề ấểééệ ĩẹ àá
ễề ễụễ ề èểềể ĩẹ àá ụ ễề ễụễ ềủí ụ
ếũá ỉ ỉ ỉệề ẹụí ỉề ềề ụ ề ỉ ũẹ ũể
ụ ũ ỉỉ ụ ề ỉề ỉ ề ểừ ỉ éủ ụ ễề
ễụễ ỉệề ỉỉ ủẹ ỳề ĩẹ à ặ ề ề ễề
ễụễ ềủí éủ íề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ỉ ủẹ ỳề
ủ ì ì ề ỉỉ ỉ ỉệề ể ề ỉệề ỉẹ ỉ
ủẹ ỳề ẩề ễụễ ềủí ỉ ũ ụ ủ ỉểụề ụ ũ ỉỉ ệỉ
ề èí ềềá ỉ ỉ ỉỉ ỉểụề ĩỉ éủ ẹ ĩẹ à
ểừ ỉ ỉ éủ ụ ễề ễụễ ỉệề ụ ỉễ ề ẹ ỉ ề ặ ề
ề ễề ễụễ ềủí éủ íề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ỉẹ
ẹ ỉ ề ụề ĩừ ềẹ
ề ề ềủí ỉệề ủí ễề ễụễ ũ ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề
ỉề ế ỉẹ ẹ ỉ ề ụề ĩừ ềẹ ỉ ỉệểề ủ ụể ẩ
ặ ềá á ẻ ặíề ề ậỉệểểỉ ắẳẳàá ầề ỉ ểềỉệạ
ỉểề ề ềểềĩễềìềìì ễệểễệỉì ể ỉ ẹệềé ẹễễề ề ềệéị
ệỉểềé ềếéỉì ềểéề ểểệ ểễệỉểệìá ề ềệéị ểềạ
ĩỉí ề ềệéị ểềểỉểềỉí ề ễễéỉểềì ì ệệá ặ
ìì ề è á ậễệềệá ễễ ạẵẵẵ
ặểủ é ề ủ ễề ỉủ é ỉẹ ũểá éề ề éủẹ
ề ề ẵ ỉ éủ ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ề
ềủí ềỳ éừ ụ ề ỉ ũề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễềá ụ
á ụ ề ỉ éề ếề ủ ụ ề ề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề
ễề ề ắ ẹ ễề ũề ẩề ỉ ềỉ ỉệề ủí ẹ ếề
ềẹ ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ủ ụề ĩừ ềẹ ẩề
ỉ ệ ụề ĩừ ềẹ éủ ể ủẹ ụ éủ ề ẹừề ủ ễìỉị
ề ỉệề ủí ễề ễụễ éễ ề ể ụề ĩừ ề ủ ẹỉ
ỉề ỉểụề ề ề ỉỉ ỉểụề ĩỉ á ụề ĩừ ềẹ éủ
ề úề ủ ỉẹ ẹ ỉ ề ụề ĩừ ề úề ỉẹ ỉể
ẹ ỉ ề ặéệ

y
i
éủ ỉ ề ỉ
x
ủ
y
ề é ủ ểũề ụ
ĩụ ề ỉề ề
||x|| :=

x, x,
d(x, y) := ||x y||.
è ềỳ éừ ẹỉ ì ề ỉ ũề ũ ỉ é ì ề ể ụ
ề ỉễ ỉể
ề ề ẵẵ

èễ ểề
C R
n
éủ ỉễ éá ề
x + (1 )y C x, y C, (0, 1).

èễ ểề
C R
n
éủ ềềá ề
x C x C, 0.

ể
C R

f
¸  Ù ÓÑ
f
¸  Üô Ò 
domf := {x ∈ R
n
: f(x) < +∞}.
• f
  Ðñ Ò ØÒ¸ ÒÙ
domf = ∅, f(x) > −∞ ∀x ∈ C.
• f
  Ðñ ñÑ Ð ØÖÒ
C
¸ ÒÙ
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ≤ λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) ∀x
1
, x
2
∈ C, λ ∈ [0, 1].
• f
  Ðñ ñÑ Ð Ø ØÖÒ
C

2
) < λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) − λ(1 − λ)β||x
1
− x
2
||
2
.
Ý  Ø ò × Ö÷Ò
f
Ðñ ÑØ ñÑ Ð ØÖÒ ØÔ Ð
C
ØÖÓÒ Ò Ò
R
n
º
Ã ¸ Ú Ø
w ∈ R
n
  Ðñ  ÖÒØ  ñÑ
f
Øõ
x ∈ C
¸ ÒÙ
f(y) − f(x) ≥ w, y − x ∀y ∈ C.
ÌÔ ØØ ò ô  ÖÒØ  ñÑ

0
ÒÙ
x ∈ C,
+∞
ÒÙ
x /∈ C.
Ã 
∂δ
C
(x) = N
C
(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ÌØ Úݸ ÒÙ
x ∈ C
Ø
δ
C
(x) = 0
Úñ
∂δ
C
(x) = {w ∈ R
n
: δ
C
(y) ≥ w, y − x ∀y ∈ C}.
ÀÝ
∂δ

0
Úñ ôÒ Ò
1
º
ÌØ Úݸ Ø ÜØ ô ØÖÒ Ô ×Ù
ÌÖÒ Ô ½º Î
x = 0
¸ Ø Ò Ò ÑÒ
∂f(x) = {w ∈ R
n
: ||w|| = 1, w, x = ||x||}.
ÆÙ
w
Ø ÑóÒ
||w|| = 1, w, x = ||x||
Ø
w, x ≤ ||w||.||x|| = ||x||.
Ó 
w, x − y ≤ ||x|| − ||y||.
ÀÝ
w ∈ ∂f(x)
º
Æ Ðõ¸ ÒÙ
w ∈ ∂f(x)
¸ Ø
−||x|| = ||0|| − ||x|| ≥ w, 0 − x = −w, x,
||x|| = ||2x|| − ||x|| ≥ w, 2x − x = w, x
×ÙÝ Ö
||x|| = w, x. (∗)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ØÝ
z =
x
||x||
Ø 
|w, z| = |w,
x
||x||
| < 1.
Ó 
w, x < ||x||.
Ù ÒñÝ ÑÙ ØÙÒ Ú
(∗)
º ÎÝ
||w|| = 1
º
ÌÖÒ Ô ¾º Î
x = 0
º Ì 
∂f(x) = {w ∈ R
n
: w, y ≤ ||y|| ∀y} = {w ∈ R
n
: ||w|| ≤ 1} =
¯
B(0, 1).
½º¾º ÈôØ Ù ñ ØÓôÒ Úñ Ú 
ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ Ðñ ÑØ ØÖÓÒ ÒÒ ñ ØÓôÒ  ÕÙÒ
ØÑ ÒÙ ØÖÓÒ ØÓôÒ  Ò ÙÒ Úñ  Ø ØÖÓÒ ÒñÒ Ø Ù ØÒ ØÓôÒ Ò
ÖÒº ÄÙÒ ÚÒ ÒñÝ × ØÖÒ ñÝ ÑØ ÔÒ ÔôÔ ò ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø

S
∗
º
Ò Ò ½º¿º Ó
C
Ðñ ØÔ Ð¸ Ò ØÖÓÒ
R
n
¸ Úñ Ó
F : C → R
n
Ðñ ÑØ
ôÒ Üõº Ã ¸
F
  Ðñ
´µ Ò Ù ØÖÒ
C
¸ ÒÙ
F (u) − F (v) , u − v ≥ 0 ∀u, v ∈ C
´µ Ò Ù ÒØ ØÖÒ
C
¸ ÒÙ
F (u) − F (v) , u − v > 0 ∀u, v ∈ C, u = v.
´µ Ò Ù ÑõÒ ØÖÒ
C
Ú ÷Ò ×
τ > 0
´ÚØ ØúØ Ðñ
τ
¹Ò Ù ÑõÒµ ÒÙ

∇F (x)
Ðñ Ò Üô Ò Ò ØÖÒ
C
Ý
y, ∇F (x)y ≥ 0 ∀y ∈ C.
µ
F
Ò Ù Ø ØÖÒ
C
 Úñ  
∇F (x)
Ðñ Üô Ò Ò ØÖÒ
C
Ý
y, ∇F (x)y > 0 ∀y ∈ C, y = 0.
µ
F
Ò Ù ÑõÒ ØÖÒ
C
 Úñ  
∇F (x)
Ðñ Üô Ò Ò Ù ØÖÒ
C
Ý ØÒ Øõ
β > 0
×Ó Ó
y, ∇F (x)y > β||y||
2
∀y ∈ C, y = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

) = 0
º
ÌÀ¾ ÆÙ
x
0
= a
¸
f

(x
0
) = lim
x→x
0
+
f(x)−f(x
0
)
x−x
0
≥ 0
º
ÌÀ¾ ÆÙ
x
0
= b
¸
f

(x

C = [a, b]
º
Ý ¸ Ø ÜØ Ú  ØÒ ÕÙôØ Ò
Î  ½ºº Ó
f(x)
Ðñ ÑØ ñÑ Ø ò Ú ØÖÒ ØÔ Ñ 
C ⊆ IR
n
º ÌÑ
x
0
∈ C
×Ó Ó
f(x
0
) = min
x∈C
f(x).
ÅÒ  ½º½º ÆÙ
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ ØÖÒ¸ Ø
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ
ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ ÎÁ Ú
F (x) := ∇f(x)
º
Ò ÑÒº Î Ñ
y ∈ C

) ≥ 0 ∀t ∈ [0, 1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
½¿
ÀÝ
∇f(x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
✷
ÅÒ  ½º¾º Ó
f
Ðñ ñÑ Ð ò Ú ØÖÒ ØÔ Ð
C ⊆ R
n
º Ã ¸
x
0
∈ C
Ðñ
ÒÑ  ñ ØÓôÒ
min
x∈C
f(x)
 Úñ  
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÎÁ Ú
F (x) := ∇f (x)
º

✷
Î  ½ºº ´ñ ØÓôÒ ¸  Ù ȵ
Ó
C = R
n
+
Úñ
F : C → R
n
º ñ ØÓôÒ  Ø Ö Ðñ ÌÑ Ñ
x
0
∈ C
×Ó Ó
F (x
0
) ∈ C, F (x
0
), x
0
 = 0.
ÅÒ  ½º¿º
x
0
∈ C = R
n
+
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ  È  Úñ  
x
0

), x
0
 = F (x
0
), x ≥ 0 ∀x ∈ C.
´
⇐
µ ò ×
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ ÎÁ Ý
x
0
∈ C : F(x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.

e
i
= (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...0)
T
´
1
 Ú ØÖ Ø
i
µº Ã ¸
x
1

Úñ
F (x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
×ÙÝ Ö
−F (x
0
), x
0
 ≥ 0.
Ó 
F (x
0
), x
0
 = 0.
✷
 Ý Ø ÜØ  Ú  Ø Ø  ñ ØÓôÒ ÎÁº
Î  ½ºº ñ ØÓôÒ Ò ÷Ò ÑõÒ Ó ØÒ
Ø ÑØ ÑõÒ Ó ØÒ  Ó  ÑØ ÑõÒ ÐÙÒ Ù õÒº 
•N
 ØÔ Ô ô ÒØ  ÑõÒº
•A
 Ðñ ØÔ Ô ô õÒ ´Ñ õÒ   Ðñ ÑØ ÓõÒ Òµº
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
½
ò ×
O ⊆ N

´
I
Ðñ ØÔ Ô ô ÔÒ
ØÒ Ó ØÒº
•c
i
a
Ðñ  Ô  × Ò ÔÒ ØÒ Ó ØÒ
i
ØÖÒ ÓõÒ Ò
A
º Ø
c
Ðñ Ú Ø  ô ØñÒ ÔÒ Ðñ
c
i
a
Ú
i ∈ I, a ∈ A
º
•d
i
w
Ðñ ÒÙ Ù × Ò ÐÓõ ÔÒ ØÒ
i ∈ I
ØÖÒ ØÙÝÒ Ò
w = (O, D)
Ú
O ∈ O, D ∈ D
º

x
i
p
∀i ∈ I, w ∈ O × D,
´½º¾µ
ØÖÓÒ ¸
P
w
 Ù ØÔ Ô ô ØÙÝÒ Ò 
w = (O, D)
´Ò Ñ ÒÙÒ
O
Úñ Ñ 
D
µº ÌÓ ÔÒ ØÖÒ ´¾º½µ¸ Ø ÒÙ Ù × Ò ÐÓõ ÔÒ
ØÒ
i
ØÖÒ ØÙÝÒ Ò
w
÷Ò Ò ØÒ ÑØ  Ó ØÒ  ÔÒ ØÒ
 ØÖÒ Ñ ØÙÝÒ Ò Ò Ñ ÒÙÒ Úñ Ñ   ØÙÝÒ Ò º Ã
 Ø 
f
i
a
=

p∈P
w
x

c
i
a

ap
.
ẵà
ặ íá
c
i
p
éủ ẹỉ ễ ì ề ễề ỉề
i
ỉệề ỉíề ề
p
ỉ
d
éủ ỉ ụ ỉủề ễề éủ
d
i
w
(i I, w O ì D)
ủ ỉ
f
éủ ỉ
ụ ỉủề ễề éủ
d
i
a
(i I, a O ì D)

w
(d

)

x
i
p
= 0,
ẹ
i I
ủ ẹ ỉíề ề
p
èể ề ề ềủíá ỉừ ẹ ề ữề
ẹ éểừ ễề ỉề ể ỉề ủ ẹ ỉíề ềá ễ ì ỉễ
ềỉ é éề ể ỉề ỉệề ỉíề èệụ éừá ễ ì ề ễũ
ỉễ ềỉ
ỉ
K = {(f, d) | x 0
ìể ể ắẵà ủ ắắẵà ề
}.
á ỉ ề é ì
ề é ẵẵ ỉ ễ ỉ
(f

, d

) K
éủ ẹỉ ẹ ề ữề ẹừề ể
ỉề ủ ề éủ ềẹ ỉ ứề ỉ ề ễề ì

:=

n
i=1
x
i

h
i
(x
i
)
éủ ễ ề ỉí
i
ìũề ĩỉ ệ éề
ủề ểụ
x
i
ũ ì ệữề é ềề ề ỉí
i
ể
f
i
(x
1
, ..., x
n
) = x
i
p

i
IR, (i = 1, ..., n)
éủ ỉễ ề é ề ỉí
i
ềềá
ẹ ề ỉí ề ĩụ ề ể ẹề ẹỉ ẹ ìũề ĩỉ ừỉ é ềề
ể ềỉ èí ềềá ỉệểề ỉệề ễ ỉề ếụỉá ỉỉ ũ ụ ề ỉí
é ềề ừ éủ ỉ ẻ í ề ỉ ề ề ụ ềẹ ề
ữề
ỉ ẹ
x

= (x

1
, ..., x

n
) U := U
1
ì ... ì U
n
éủ ẹ ề
ữề ặì ề
f
i
(x

1
, ..., x

0
0, > 0,

=

n
i=1
x
i
,
h
i
(x
i
) = à
i
x
i
+
i
, à
i
0,
i
0 (i = 1, ..., n).
è ỉ
A =






ủ

T
= (
0
, ...,
0
), à
T
= (à
1
, ..., à
n
).
ẹ
x

éủ ẹ ề ữề ặì ủ
x

éủ ềẹ ủ ỉểụề ỉ
ứề ỉ ề ễề



èẹ ẹ
x U
ìể ể