¼
õ  Øô ÒÙÝÒ
ØÖÒ õ  Ó 
¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹
ÈÒ Ì Æ
ÔÒ ÔôÔ ÐÔ Ò
Ó ñÁ ÌÇôÆ Ì øÆ ÌÀ ÁÆ ÈÀÆ
ÐÙÒ ÚÒ Øõ × ØÓôÒ  Ò Ò
Ìô ÆÙÝÒ¹¾¼¼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
¼
õ  Øô ÒÙÝÒ
ØÖÒ õ  Ó 
¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹
ÈÒ Ì Æ
ÔÒ ÔôÔ ÐÔ Ò
Ó ñÁ ÌÇôÆ Ì øÆ ÌÀ ÁÆ ÈÀÆ
ÙÝÒ ÒÒ ÌÓôÒ Ò Ò
Åó × ¼ºº¿
ÐÙÒ ÚÒ Øõ × ØÓôÒ  Ò Ò
ÆÍÁ ÀÆ Æ ÃÀÇ À Ì˺ ÈÀõÅ Æ ÆÀ
Ìô ÆÙÝÒ¹¾¼¼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
¼
½
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
¾
Å Ð

www.VNMATH.com

ũẹ ề
ũề éề ề ềủí ểủề ỉủề ỉừ ỉệề ừ ể ạừ
èụ ặíề ì ề ề èậ ẩừẹ ặ ề èụ ũ ĩề ủí ỉ
éề ề ỉệề ủ ỉ ề ì ìỳ ỉ ỉí ì ỉề ỉề ề ề ỉệểề ìỉ
ỉ ề ỉụ ũ éủẹ éề ề
èệểề ếụ ỉệề ỉễ ủ éủẹ éề ềá ỉề ế ụ ủ ũề ủ ĩẹềá
ỉụ ũ ỉề ĩíề ềề ì ếề ỉẹ ễ ủ ề ễ ềề ề
ế ụ ẩậ èậ è èề ặủềá èậ ặíề è è èí ủ ụ
ỉí ụ ỉệểề ỉệề ừ ể ạừ èụ ặíề è ụí éề
ẹềá ỉụ ũ ĩề ủí ỉ éề ỉ ề ì ìỳ ề ụ ỉí ụ
èụ ũ ĩề ủí ỉ éề ỉ ề ỉ ụ ỉíá ụ ể ể ũềá
ề ễ ủề ểủề ỉệề ể ứề ề ềễ èụ ặíề ú ú ỉừể
ề ễ ỉụ ũ ỉệểề ỉ ề éủẹ ể
ề ề ỉủề ũẹ ề ề ẹ ề ể ủ ừề ề ềễ
ề ĩ ú ỉệể á ề ề ủ é ỉụ ũ ỉệểề ếụ ỉệề ỉễá ềề
ủ éủẹ éề ề
ề ề ì ề ểủề ỉủề ề ề ì ỉề ũẹá ễ
ềề ề ỉề ỉệểề ề ỉụ ũ í éủ ẹề ếủ ỉề ỉềá ỉụ ũ
ĩề ề ỉề ề ỉề í ẹề ỉẹ éề ỉ ề ề ỉủề ủ
ì ìỳ
èụ ũ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
www.VNMATH.com

ÅØ ×  Ù Úñ  ÚØ ØúØ
R
n
Ò Ò ÙÐ

Ó Ú
B
A × B
Ø ¹ô   ØÔ
A
Úñ
B
ÓÒÚ
D
Ó Ð  ØÔ
D
ÖÑÒ
{f(x) | x ∈ C}
ØÔ ô Ñ  ØÙ  ñÑ
f
ØÖÒ
C
A
T
Ñ ØÖÒ ÙÝÒ Ú  Ñ ØÖÒ
A
x
k
→ x
óÝ
{x
k
}
 Ø ÑõÒ Ø
x

ủ ỉểụề ễề ỉệề ủ ề ụ ễề ễụễ ỉề ề ề ễề
ễụễ ặỉểềá ễề ễụễ ẹ ỉệểề ũ ễề ỉệề ềủí ểừ ỉ
éủ ễề ễụễ ỉề ỉ ề ề ề ễề ễụễ ềủí
éủ ụ ễề ễụễ ệềỉ ì ềủí ỉề ếụỉ ểề ỉủề ềíề
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
www.VNMATH.com

é ủ ỉểụề ễ ĩẹ àá ễề ễụễ ẹ ề ấểééệ ĩẹ àá
ễề ễụễ ề èểềể ĩẹ àá ụ ễề ễụễ ềủí ụ
ếũá ỉ ỉ ỉệề ẹụí ỉề ềề ụ ề ỉ ũẹ ũể
ụ ũ ỉỉ ụ ề ỉề ỉ ề ểừ ỉ éủ ụ ễề
ễụễ ỉệề ỉỉ ủẹ ỳề ĩẹ à ặ ề ề ễề
ễụễ ềủí éủ íề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ỉ ủẹ ỳề
ủ ì ì ề ỉỉ ỉ ỉệề ể ề ỉệề ỉẹ ỉ
ủẹ ỳề ẩề ễụễ ềủí ỉ ũ ụ ủ ỉểụề ụ ũ ỉỉ ệỉ
ề èí ềềá ỉ ỉ ỉỉ ỉểụề ĩỉ éủ ẹ ĩẹ à
ểừ ỉ ỉ éủ ụ ễề ễụễ ỉệề ụ ỉễ ề ẹ ỉ ề ặ ề
ề ễề ễụễ ềủí éủ íề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ỉẹ
ẹ ỉ ề ụề ĩừ ềẹ
ề ề ềủí ỉệề ủí ễề ễụễ ũ ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề
ỉề ế ỉẹ ẹ ỉ ề ụề ĩừ ềẹ ỉ ỉệểề ủ ụể ẩ
ặ ềá á ẻ ặíề ề ậỉệểểỉ ắẳẳàá ầề ỉ ểềỉệạ
ỉểề ề ềểềĩễềìềìì ễệểễệỉì ể ỉ ẹệềé ẹễễề ề ềệéị
ệỉểềé ềếéỉì ềểéề ểểệ ểễệỉểệìá ề ềệéị ểềạ
ĩỉí ề ềệéị ểềểỉểềỉí ề ễễéỉểềì ì ệệá ặ
ìì ề è á ậễệềệá ễễ ạẵẵẵ
ặểủ é ề ủ ễề ỉủ é ỉẹ ũểá éề ề éủẹ
ề ề ẵ ỉ éủ ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ề
ềủí ềỳ éừ ụ ề ỉ ũề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễềá ụ
á ụ ề ỉ éề ếề ủ ụ ề ề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề

R
n
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
éủ ỉ ề ỉ
x
ủ
y
ề é ủ ểũề ụ
ĩụ ề ỉề ề
||x|| :=

x, x,
d(x, y) := ||x y||.
è ềỳ éừ ẹỉ ì ề ỉ ũề ũ ỉ é ì ề ể ụ
ề ỉễ ỉể
ề ề ẵẵ

èễ ểề
C R
n
éủ ỉễ éá ề
x + (1 )y C x, y C, (0, 1).


f : C R
n
á
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
www.VNMATH.com

Ò Ò ½º¾º
•
ÅÒ Ù Ù 
f
¸  Ù ÓÑ
f
¸  Üô Ò 
domf := {x ∈ R
n
: f(x) < +∞}.
• f
  Ðñ Ò ØÒ¸ ÒÙ
domf = ∅, f (x) > −∞ ∀x ∈ C.
• f
  Ðñ ñÑ Ð ØÖÒ
C
¸ ÒÙ
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ≤ λf(x
1
) + (1 − λ)f(x

1
= x
2
∈ C, λ ∈
(0, 1)
¸ Ø 
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) < λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) − λ(1 − λ)β||x
1
− x
2
||
2
.
Ý  Ø ò × Ö÷Ò
f
Ðñ ÑØ ñÑ Ð ØÖÒ ØÔ Ð
C
ØÖÓÒ Ò Ò
R
n
º
Ã ¸ Ú Ø

R
n
º Ø ñÑ 
ØÖÒ ØÔ
C
δ(x) :=



0
ÒÙ
x ∈ C,
+∞
ÒÙ
x /∈ C.
Ã 
∂δ
C
(x) = N
C
(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com

ÌØ Úݸ ÒÙ
x ∈ C
Ø
δ
C
(x) = 0

ÒÙ
x = 0,
¯
B(0, 1)
ÒÙ
x = 0,
ØÖÓÒ 
¯
B(0, 1)
Ðñ Ò Ù Ò¸ ØÑ Øõ
0
Úñ ôÒ Ò
1
º
ÌØ Úݸ Ø ÜØ ô ØÖÒ Ô ×Ù
ÌÖÒ Ô ½º Î
x = 0
¸ Ø Ò Ò ÑÒ
∂f(x) = {w ∈ R
n
: ||w|| = 1, w, x = ||x||}.
ÆÙ
w
Ø ÑóÒ
||w|| = 1, w, x = ||x||
Ø
w, x ≤ ||w||.||x|| = ||x||.
Ó 
w, x − y ≤ ||x|| − ||y||.
ÀÝ

Ó ÚÝ
||w|| ≤ 1.
ÀÒ Ò ÒÙ
||w|| < 1
Ø Ú Ñ
z ∈ R
n
, ||z|| = 1
Ø 
|w, z| < 1
º Ã ¸
ØÝ
z =
x
||x||
Ø 
|w, z| = |w,
x
||x||
| < 1.
Ó 
w, x < ||x||.
Ù ÒñÝ ÑÙ ØÙÒ Ú
(∗)
º ÎÝ
||w|| = 1
º
ÌÖÒ Ô ¾º Î
x = 0
º Ì 

´ÚØ ØúØ Ðñ ÎÁµ Ðñ ñ ØÓôÒ ØÑ Ñ
x
∗
∈ C
¸ ×Ó Ó
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
´½º½µ
ÌÔ ÒÑ  ÎÁ  Ù Ðñ
S
∗
º
Ò Ò ½º¿º Ó
C
Ðñ ØÔ Ð¸ Ò ØÖÓÒ
R
n
¸ Úñ Ó
F : C → R
n
Ðñ ÑØ
ôÒ Üõº Ã ¸
F
  Ðñ
´µ Ò Ù ØÖÒ
C
¸ ÒÙ

Ðñ ÑØ ØÔ Ð Úñ
F : C → R
n
Ðñ ÑØ ôÒ Üõ ò Ú ÐÒ
Ø ØÖÒ ØÔ Ñ 
C
º Ã ¸
µ
F
Ò Ù ØÖÒ
C
 Úñ  
∇F (x)
Ðñ Ò Üô Ò Ò ØÖÒ
C
Ý
y, ∇F (x)y ≥ 0 ∀y ∈ C.
µ
F
Ò Ù Ø ØÖÒ
C
 Úñ  
∇F (x)
Ðñ Üô Ò Ò ØÖÒ
C
Ý
y, ∇F (x)y > 0 ∀y ∈ C, y = 0.
µ
F
Ò Ù ÑõÒ ØÖÒ

x
0
∈ [a, b]
¸ ×ÙÝ Ö  ¿ ØÖÒ Ô ÜòÝ Ö
ÌÀ½ ÆÙ
x
0
∈ (a, b)
¸ ØÓ Ò Ð ÖÑظ Ø 
f

(x
0
) = 0
º
ÌÀ¾ ÆÙ
x
0
= a
¸
f

(x
0
) = lim
x→x
0
+
f(x)−f(x
0


(x
0
).(x − x
0
) ≥ 0 ∀x ∈ C.
Æ ÚÝ
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ ÎÁ Ú
F = f

ØÖÒ
C = [a, b]
º
Ý ¸ Ø ÜØ Ú  ØÒ ÕÙôØ Ò
Î  ½ºº Ó
f(x)
Ðñ ÑØ ñÑ Ø ò Ú ØÖÒ ØÔ Ñ 
C ⊆ IR
n
º ÌÑ
x
0
∈ C
×Ó Ó
f(x
0
) = min
x∈C

t = 0
Ðñ ÒÑ 
ϕ(t)
ØÖÒ
[0, 1]
º ÌÓ Î
 ½º¿¸ Ø 
ϕ

(t
0
).(t − t
0
) ≥ 0 ∀t ∈ [0, 1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
½¿
ÀÝ
∇f(x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
✷
ÅÒ  ½º¾º Ó
f
Ðñ ñÑ Ð ò Ú ØÖÒ ØÔ Ð
C ⊆ R
n
º Ã ¸

), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
Ó 
f(x) ≥ f(x
0
) ∀x ∈ C.
ÀÝ
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ
min
x∈C
f(x).
✷
Î  ½ºº ´ñ ØÓôÒ ¸  Ù ȵ
Ó
C = R
n
+
Úñ
F : C → R
n
º ñ ØÓôÒ  Ø Ö Ðñ ÌÑ Ñ
x
0
∈ C
×Ó Ó
F (x
0

0
) ∈ C, F (x
0
), x
0
 = 0.
Ã 
F (x
0
), x − x
0
 = F (x
0
), x − F (x
0
), x
0
 = F (x
0
), x ≥ 0 ∀x ∈ C.
´
⇐
µ ò ×
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ ÎÁ Ý
x
0
∈ C : F (x
0

0
 ≥ 0.
ÀÝ
F (x
0
), e
i
 ≥ 0 ∀i = 1, 2, ...n.
ÎÝ
F (x
0
) ∈ C
º
Ì
0 ∈ C
Úñ
F (x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
×ÙÝ Ö
−F (x
0
), x
0
 ≥ 0.
Ó 
F (x
0

a
Ðñ ÑØ  Ó ØÒ  ÔÒ ØÒ
i
ØÖÒ ÓõÒ Ò
a ∈ A
º Ø
f
Ðñ
Ú Ø  ô ØñÒ ÔÒ Ðñ
f
i
a
Ú
i ∈ I
Úñ
a ∈ A
´
I
Ðñ ØÔ Ô ô ÔÒ
ØÒ Ó ØÒº
•c
i
a
Ðñ  Ô  × Ò ÔÒ ØÒ Ó ØÒ
i
ØÖÒ ÓõÒ Ò
A
º Ø
c
Ðñ Ú Ø  ô ØñÒ ÔÒ Ðñ

•x
i
w
Ðñ ÑØ  Ó ØÒ  ÔÒ ØÒ
i ∈ I
ØÖÒ ØÙÝÒ
w ∈ O × D
º
ò × ØÖÓÒ ÑõÒ ØÖÒ¸ ÔÒ ØÖÒ Ò ÷Ò ×Ù  ØÓò ÑóÒ
d
i
w
=

p∈P
w
x
i
p
∀i ∈ I, w ∈ O × D,
´½º¾µ
ØÖÓÒ ¸
P
w
 Ù ØÔ Ô ô ØÙÝÒ Ò 
w = (O, D)
´Ò Ñ ÒÙÒ
O
Úñ Ñ 
D

ÒÙ
a ∈ p,
0
ÒÙ
a /∈ p.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
ẵ
ẻ ẹ ỉíề ề
p
ề ẹỉ ẹ ềề ủ ẹỉ ẹ á ỉ
c
i
p
=

aA
c
i
a

ap
.
ẵà
ặ íá
c
i
p
éủ ẹỉ ễ ì ề ễề ỉề
i

) =




i
w
(d

)

x
i
p
> 0,
>
i
w
(d

)

x
i
p
= 0,
ẹ
i I
ủ ẹ ỉíề ề
p

)

, (f, d)(f

, d

) 0 (f, d) K.
ẻ ẵ ủ ỉểụề ề ỉ ụề ếíề
ũ ì
n
ề ỉí ề ìũề ĩỉ ẹỉ éểừ ìũề ễẹ ủ é ềề
p
i

ẹ ề ỉí
i
ễ ỉ ủể ỉề ì éề ìũề ễẹ ỉỉ ũ ụ ề ỉí
:=

n
i=1
x
i

h
i
(x
i
)
éủ ễ ề ỉí

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
www.VNMATH.com
ẵ
ỉệểề
p(

n
j=1
x
j
)
éủ ụ ẹỉ ề ìũề ễẹá ễ ỉ ủể ỉề ìũề
ễẹá ề ủẹ ễ ẹ ề ỉí
i
ễ ỉ ủể ẹ ìũề ĩỉ
ề ỉí
ỉ
U
i
IR, (i = 1, ..., n)
éủ ỉễ ề é ề ỉí
i
ềềá
ẹ ề ỉí ề ĩụ ề ể ẹề ẹỉ ẹ ìũề ĩỉ ừỉ é ềề
ể ềỉ èí ềềá ỉệểề ỉệề ễ ỉề ếụỉá ỉỉ ũ ụ ề ỉí
é ềề ừ éủ ỉ ẻ í ề ỉ ề ề ụ ềẹ ề
ữề
ỉ ẹ
x


(x

1
, ..., x

n
) y
i
U
i
, i = 1, ..., n.
èệểề ẹ ề ề ữề ểệềểỉ ềá ủẹ ễ ủ ủẹ é ềề
ẹ ề ỉí éủ ề ừề
p
i
() p() =
0
,
0
0, > 0,

=

n
i=1
x
i
,
h
i


,

A =






0 ...
0 ...
... ... ... ... ...
... 0






ủ

T
= (
0
, ...,
0
), à
T
= (à