ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ NHÂM
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM CƠ
SỞ BÁN KÍNH VÀ ỨNG DỤNG
ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM CƠ
SỞ BÁN KÍNH VÀ ỨNG DỤNG
ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS ĐẶNG THỊ OANH
THÁI NGUYÊN - 2014
1
Mục lục
Bảng ký hiệu 6
Danh mục bảng và hình vẽ 7
1 Hàm cơ sở bán kính 9
1.1 Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán . . 9
1.1.1 Bài toán nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Một số phương pháp nội suy đa thức . . . . . . . . . 9
1.1.3 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Hàm xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3.1 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm Gaus . . . . . 42
3.3.2 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm MQ . . . . . 42
3.3.3 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm IMQ . . . . . 43
3.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kết luận 44
Tài liệu tham khảo 45
3
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình hoàn thành luận văn "Nghiên cứu một số hàm cơ sở
bán kính và ứng dụng để tính đạo hàm" tôi đã nhận được sự hướng dẫn,
giúp đỡ, động viên của những cá nhân và tập thể. Tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện và giúp đỡ
tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Trước hết tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, các thầy cô Trường
Đại học Khoa Học – Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo Viện toán học
Việt Nam đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình học
tập và nghiên cứu.
Có được kết quả này tôi vô cùng biết ơn và tỏ lòng kính trọng sâu
sắc đối với TS Đặng Thị Oanh – Giảng viên Trường Đại học Công Nghệ
Thông Tin và Truyền Thông – Đại học Thái Nguyên người đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và những người thân trong
gia đình đã động viên, chia sẻ, giúp tôi vượt qua những khó khăn trong
quá trình học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 05 năm 2014
Người thực hiện
Nguyễn Thị Nhâm
4
Mở đầu
Bài toán nội suy hàm số đã được rất nhiều các nhà toán học quan tâm

5
tính đạo hàm nhờ nội suy hàm cơ sở bán kính; Kết luận.
• Chương 3: Thử nghiệm số.
6
Bảng ký hiệu
const Hằng số
RBF Radial Basis Function
Gaus Hàm Gaussian
MQ Hàm Multiquadric
IMQ Hàm Inverse Multiquadric
||A|| Chuẩn của A
∀x Với mọi x
∃x Tồn tại x
∈ thuộc
L
n
(x) Đa thức nội suy bậc không quá n
P f Nội suy với độ chính xác đa thức
R
d
Không gian thực d chiều
max Giá trị lớn nhất
min Giá trị nhỏ nhất
Ξ Bộ tâm phân tán
Σ Tổng

Tích
Ω Bao đóng tập Ω
N
Φ

Bảng 3.13 Bảng giá trị hàm số e
−x
2
−y
2
với bộ tâm thứ hai.
Bảng 3.14 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.13.
Bảng 3.15 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ hai.
Bảng 3.16 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.15.
Bảng 3.17 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ hai.
Bảng 3.18 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.17.
Bảng 3.19 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ ba.
Bảng 3.20 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ ba.
Bảng 3.21 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.20.
Bảng 3.22 Bảng giá trị hàm số e
−x
2
−y
2
với bộ tâm thứ ba.
Bảng 3.23 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.22.
Bảng 3.24 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ ba.
Bảng 3.25 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.24.
Bảng 3.26 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ ba.
Bảng 3.27 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.26.
Bảng 3.28 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ tư.
Bảng 3.29 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ tư.
Bảng 3.30 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.29.
Bảng 3.31 Bảng giá trị hàm số e
−x

Hình 3.4 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.28
Hình 3.5 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.37
9
Chương 1
Hàm cơ sở bán kính
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm
cơ sở bán kính; hàm xác định dương; hàm bán kính xác định dương, hàm
bán kính xác định dương có điều kiện; cơ sở của bài toán nội suy hàm số
với dữ liệu phân tán.
1.1 Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu
phân tán
1.1.1 Bài toán nội suy
Trong thực tế nhiều khi phải phục hồi một hàm số f(x) tại mọi giá trị
của x trên đoạn [a; b] mà chỉ biết một số hữu hạn giá trị của hàm số tại
một số hữu hạn các điểm rời rạc của đoạn đó. Các giá trị đó được cung
cấp qua thực nghiệm hay tính toán. Vậy nảy sinh một vấn đề toán học
như sau:
Trên đoạn [a; b] cho một lưới các điểm chia (điểm nút) x
i
, i = 0, 1, 2, ··· , n
và tại các nút x
i
cho giá trị của hàm số y = f(x) là y
i
= f(x
i
), i =
0, 1, 2, ··· , n. Cần xây dựng đa thức nội suy P
n
(x) sao cho P

i+1
) (x − x
n
)
(x
i
− x
0
)(x
i
− x
1
) (x
i
− x
i−1
)(x
i
− x
i+1
) (x
i
− x
n
)
.y
i
.
10
Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút nội suy x

+ (x − x
n
)f(x
n
; x
n−1
) + (x − x
n
)(x − x
n−1
)f(x
n
; x
n−1
; x
n−2
)
+ + (x − x
n
)(x − x
n−1
) (x − x
1
)f(x
n
; x
n−1
; ; x
0
).

i
∈ R
d
; y
i
∈ R, trong đó x
i
là các vị
trí đo; y
i
là kết quả đo được tại vị trí x
i
. B
1
, B
2
, , B
n
là các hàm cơ sở
của không gian tuyến tính của các hàm liên tục d biến. Ký hiệu:
F = span{B
1
, B
2
, , B
n
} =

n


c
k
B
k
(x), x ∈ R
d
. (1.3)
Từ (1.2) và (1.3) ta có
Ac = y, (1.4)
trong đó
A =



B
1
(x
1
) B
2
(x
1
) B
n
(x
1
)
B
2
(x

, c
2
, , c
n
]
T
; y = [y
1
, , y
n
]
T
.
Bài toán 1.1 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ma trận A không suy biến,
tức là detA = 0.
Trường hợp d = 1 (trong không gian một chiều) ta có thể chọn cơ sở như
sau:
{B
1
, B
2
, , B
n
} = {1, x, x
2
, , x
n−1
}.
Tuy nhiên khi d ≥ 2 ta có kết quả sau:
Định lý 1.2.1. (Mairhuber - Curtis) Nếu Ω ⊂ R

(x
j
); j, k = 1, 2, , n.
Bộ tâm phân biệt được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.2.3. (Bộ tâm phân biệt)
Bộ tâm phân biệt X là tập các điểm phân biệt của không gian R
d
trong
lân cận của điểm x
0
.
12
Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận
nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1. Không
gian các đa thức một biến bậc n −1 chính là không gian Haar n chiều với
tập dữ liệu (x
j
; y
j
), j = 1, n; x
j
∈ R; y
j
∈ R. Định lí Mairhuber-Curtis
cho thấy rằng nếu muốn giải được bài toán nội suy dữ liệu phân tán trong
không gian nhiều chiều thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu. Để
thu được các không gian xấp xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét đến
các hàm xác định dương và các ma trận dương.
1.2.1 Ma trận xác định dương
Định nghĩa 1.2.4. Ma trận A giá trị thực đối xứng được gọi là xác định

k
}
n
k=1
, trong bài toán 1.1 làm cho ma trận nội suy A xác
định dương thì hệ (1.4) có nghiệm duy nhất.
1.2.2 Hàm xác định dương
Định nghĩa 1.2.5. Hàm liên tục Φ : R
d
−→ R là xác định dương trên R
d
khi và chỉ khi nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một
X = {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ R
d
; n ∈ N, và mọi vectơ c = (c
1
, c
2
, c
n
) ∈ R
n
thì
dạng toàn phương

) là hệ hàm cơ sở
13
và khi đó ta có
P
f
(x) =
n

k=1
c
k
Φ(x − x
k
). (1.7)
Ma trận nội suy A = [A
jk
]
n×n
, với A
jk
= B
k
(x
j
) = Φ(x
j
− x
k
); j, k =
1, , n.

R
d
.
1.2.6 Hàm bán kính xác định dương có điều kiện
Định nghĩa 1.2.10. [7] Hàm chẵn, liên tục Φ : R
d
→ R được gọi là xác
định dương có điều kiện bậc l nếu với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một
{x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ R
d
, n ∈ N, với mọi vectơ (c
1
, c
2
, , c
n
) ∈ R
n
và mọi đa
thức p giá trị thực bậc nhỏ hơn l, thỏa mãn
n

j=1
c

= Φ(x
j
−x
k
) tương ứng với hàm chẵn,
liên tục và xác định dương có điều kiện bậc l, có thể được xem như là hàm
xác định dương trên không gian vectơ c sao cho
n

j=1
c
j
p(x
j
) = 0,
trong đó p là đa thức bậc nhỏ hơn l.
1.3 Một số hàm cơ sở bán kính và vấn đề tham số
hình dạng
Trong khuôn khổ luận văn này tôi trình bày một số hàm cơ sở bán kính
thông dụng, với r = x − x
k
.
Tên hàm Tên viết tắt Định nghĩa
Multiquadric MQ φ
mq
(r) =
√
1 + r
2
Inverse multiquadric IMQ φ

k
(x) là rất nhỏ không có ý nghĩa vì nó gần triệt tiêu. Vì vậy
ta nói hàm bán kính này chỉ có ảnh hưởng địa phương.
* Tham số hình dạng cho một số hàm cơ sở bán kính. [5]
15
Tên hàm Tên viết tắt Biểu thức tham số hóa hình dạng
Multiquadric MQ φ
mq
(εr) =
√
ε
2
+ r
2
Inverse multiquadric IMQ φ
imq
(εr) =
1
√
ε
2
+ r
2
Gaussian Gaus φ(r) = e
−
r
2

2
Bảng 1.2: Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng ε > 0.

k=1
c
k
Φ
k
(x) =
n

k=1
c
k
φ(||x − x
k
||), (2.2)
thỏa mãn điều kiện (1.2), trong đó x
k
gọi là tâm của hàm bán kính Φ
k
.
Nếu Φ
k
(x) là hàm xác định dương thì theo điều kiện nội suy ta có
P f(x
i
) = y
i
, i = 1, 2, , n. (2.3)
Nghĩa là cần tìm các tham số c
k
thỏa mãn

2
− x
1
) Φ(0) Φ(x
2
− x
n
)

Φ(x
n
− x
1
) Φ(x
n
− x
2
) Φ(0)



c = [c
1
, c
2
, , c
n
]
T
, y = [y

||) +
M

l=1
d
l
p
l
(x); x ∈ R
d
.
Trong đó
M = dimΠ
d
m−1
= C
m−1
d+m−1
=
(d + m − 1)!
(m − 1)!d!
là số chiều của không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng m −1
của d biến và p
1
, p
2
, , p
M
là cơ sở của không gian đó.
Theo điều kiện nội suy ta có


k=1
c
k
φ(||x
i
− x
k
||) +
M

l=1
d
l
p
l
(x
i
) = y
i
; x
i
∈ R
d
; i = 1, 2, , n,
n

k=1
c
k

Φ(x
n
− x
1
) Φ(x
n
− x
2
) Φ(0)



(2.7)
18
P = (p
il
) ; p
il
= p
l
(x
i
), l = 1, 2, , M; i = 1, 2, , n; d = (d
1
, d
2
, , d
M
)
T

2.1.2 Sai số, ổn định và hội tụ của nội suy hàm cơ sở theo bán
kính
a) Ước lượng sai số
Cho f : Ω ⊆ R
d
→ R ta ký hiệu N
Φ
(Ω) là không gian được sinh bởi Φ, đó
là không gian Hilbert mà các phần tử của nó có dạng
n
Φ

j=1
c
j
Φ(· − x
j
); x
j
∈ Ω,
trong đó cho phép n
Φ
= ∞ và tích vô hướng của nó được cho bởi

n
Φ

j=1
c
j

).
Ký hiệu X = {x
1
, x
2
, , x
n
} là các vị trí dữ liệu. Khi đó
h
X,Ω
= sup
x∈Ω

min
x
j
∈X
x − x
j


được gọi là khoảng cách lấp đầy.
Cho β = β
1
, β
2
, , β
d
∈ N
d

0
(l), C
l
> 0 sao cho
|D
α
f(x) − D
α
P f(x)| ≤ C
l
h
l−|α|
X,Ω
|f|
N
Φ
(Ω)
trong đó f ∈ N
Φ
(Ω), h
0
(l) > h
X,Ω
, α là bậc đạo hàm.
b) Sự ổn định và số điều kiện của ma trận nội suy hàm RBF
Bài toán nội suy (2.5) khi tính toán sẽ gặp sai số máy tính và dẫn đến
A(c + ∆c) = y + ∆y. (2.9)
19
Từ đó ta có sai số tuyệt đối
A∆c = ∆y. (2.10)

||.
Đối với ma trận xác định dương thì cond(A) =
λ
max
λ
min
trong đó λ
max
là giá
trị riêng lớn nhất, λ
min
là giá trị riêng nhỏ nhất.
Ma trận
A =



Φ(0) Φ(x
1
− x
2
) Φ(x
1
− x
n
)
Φ(x
2
− x
1

(
√
2)
−d
e
−40,71d
2
(qχ)
2
q
−d
χ
trong đó C
d
là hằng số và q
χ
=
1
2
min
i=j
||x
i
− x
j
|| là khoảng cách tách
biệt. Hơn nữa ta thấy rằng:
Nếu cố định  và cho q
χ
−→ 0 thì cond(A) −→ ∞.

, y
2
, ··· , y
n
của
hàm số tại các điểm x
1
, x
2
, ··· , x
n
hoặc biểu thức giải tích của hàm f(x)
quá phức tạp. Khi đó thay cho hàm f(x) ta xét hàm nội suy s(x) và xem
đạo hàm của hàm f(x) xấp xỉ bằng đạo hàm của hàm s(x) với một sai số
nào đó.
2.2.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính không thành phần đa thức
Cho bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ R
d
,
u : R
d
→ R là hàm liên tục và đủ trơn. Giả sử φ : R
+
→ R là hàm xác

i
), i = 1, 2, , n. (2.16)
Ký hiệu:
Φ|
X
=

Φ(x
i
− x
j
)

n,n
i,j=1
, u|
X
= [u(x
1
), u(x
2
), , u(x
n
)]
T
,
a = [a
1
, a
2

n
∈ R
d
đủ dầy trong lân cận của x.
Hơn nữa, đạo hàm của hàm s(x) cũng xấp xỉ tốt với đạo hàm của hàm
u(x) nếu hàm φ đủ trơn. Vì vậy nếu D là toán tử vi phân tuyến tính thì
Ds(x) là xấp xỉ của Du(x) được xét dưới dạng:
Du(x) ≈ Ds(x) =
n

j=1
a
j
DΦ(x − x
j
) = a
T
DΦ(x − ·)|
X
= u|
T
X
[Φ|
X
]
−1
DΦ(x − ·)|
X
. (2.18)
Ta đặt

ω
j
Φ(x
i
− x
j
) = DΦ(x − x
i
), i = 1, 2, , n. (2.21)
Điều này có nghĩa là véc tơ trọng số ω được cho bởi các hệ số của nội
suy hàm cơ sở bán kính với dữ liệu cho bởi hàm DΦ(x − ·)|
X
.
Vì Φ(x
i
− x
j
) = Φ((x − x
i
) − (x − x
j
)) nên nếu ta nội suy hàm DΦ tại
các tâm x −x
j
, j = 1, 2, , n thì ta thu được các hệ số nội suy như trong
công thức (2.19) và đó chính và véc tơ trọng số. Vì vậy chúng ta có phương
pháp tính véc tơ trọng số như sau:
Mệnh đề 2.2.1. [5] Cho bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x
1
, x

d
−→ R là hàm liên tục.
Khi đó s là hàm nội suy cơ sở theo bán kính của hàm u được viết dưới
dạng:
s(x) =
n

j=1
a
j
Φ(x − x
j
) + p(x), Φ(x) = φ( x ), (2.22)
s(x
i
) = u(x
i
), i = 1, 2, , n, (2.23)
trong đó p(x) là đa thức bậc l với ||x|| là chuẩn Ơ cơ lit của x và a
j
được
chọn sao cho thỏa mãn điều kiện (2.23) có nghĩa là
n

j=1
a
j
Φ(x − x
j
) + p(x) = u(x

, là cơ sở của các đa thức bậc l. Khi đó, ta có thể
viết hệ (2.27) - (2.28)
n

j=1
a
j
Φ(x − x
j
) + p(x) = u(x
i
), i = 1, 2, , n. (2.27)
n

j=1
p(x
j
) = 0, (2.28)
dưới dạng ma trận
Φ|
X
a + P |
X
c = u|
X
,
P |
X
a = 0,
23

k

j=1
c
j
p
j
(x),
P |
X
= [p
j
(x
i
)]
n,k
i,j=1
, c = [c
1
, c
2
, , c
k
]
T
.
Do đó, véc tơ a và c được xác định duy nhất bởi

a
c

của hàm u(x) nếu hàm φ đủ trơn. Vì vậy nếu D là toán tử vi phân tuyến
tính thì Ds(x) là xấp xỉ của Du(x) được xét dưới dạng:
Du(x) ≈ Ds(x) =
n

j=1
a
j
DΦ(x − x
j
) +
k

j=1
c
j
Dp
j
(x)
=

a
c

T

DΦ(x − ·)|
X
DP (x)



ω
v

T
=
n

i=1
ω
i
u(x
i
), (2.30)
trong đó DP (x) = (p
1
(x), p
2
(x), ··· , p
k
(x))
T
và

ω
v

=

Φ|

X
v = DΦ(x − ·)|
X
,
P |
T
X
ω = DP (x).
24