Chuyên đề:
GIẢI NHANH tổng hợp dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
A.KIẾN THỨC:
1. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số như sau:
x
1
= A
1
cos (ωt + ϕ
1
) và x
2
= A
2
cos (ωt + ϕ
2
) thì: x = x
1
+ x
2
thì ta được x = Acos (ωt + ϕ) . Với:
A
2
=A
1
2
+ A
2
2
+2A
1

1
cos (ωt + ϕ
1
), x
2
= A
2
cos (ωt + ϕ
2
) và x
3
= A
3
cos (ωt + ϕ
3
) thì dao động tổng hợp cũng là dao động
điều hoà cùng phương cùng tần số: x = Acos (ωt + ϕ) .
Chiếu lên trục Ox và trục Oy trong hệ xOy. Ta được: A
x
= Acos ϕ = A
1
cos ϕ
1
+

A
2
cos ϕ
2
+

2 2
x y
A A
+
và Pha ban đầu ϕ : tan ϕ =
y
x
A
A
với ϕ ∈ [ϕ
Min
, ϕ
Max
]
3.Khi biết dao động thành phần x
1
=A
1
cos (ωt + ϕ
1
) và dao động tổng hợp x = Acos(ωt + ϕ) thì dao
động thành phần còn lại là x
2
=x - x
1 .
với

x
2
= A

1
≤ ϕ ≤ ϕ
2
(nếu ϕ
1
≤ ϕ
2
)
4.Nhược điểm của phương pháp trên khi làm trắc nghiệm:
-Xác định A và ϕ  của dao động tổng hợp theo phương pháp trên mất nhiều thời gian và dễ nhầm lẫn.Việc
biểu diễn giản đồ véctơ, đôi khi khó biểu diễn được với những bài toán tổng hợp từ 3 dao động trở lên.
-Xác định góc ϕ hay ϕ
2
thật sự khó khăn đối với học sinh bởi vì cùng một giá trị tanϕ  luôn tồn tại hai
giá trị của ϕ (ví dụ: tanϕ=1 thì ϕ = π/4 hoặc -3π/4), vậy chọn giá trị nào cho phù hợp với bài toán!.
B. PHƯƠNG PHÁP: Dùng máy tính CASIO fx – 570ES, 570ES Plus hoặc CASIO fx – 570MS.
1. Cơ sở lý thuyết :
+Dao động điều hoà  x = Acos(ωt + ϕ) có thể được biểu diễn bằng vectơ quay
ur
A
có độ dài tỉ lệ với biên
độ A và tạo với trục hoành một góc bằng góc pha ban đầu ϕ. Hoặc cũng có thể biểu diễn bằng số phức dưới
dạng: z = a + bi
+Trong tọa độ cực: z =A(sinϕ +i cosϕ) (với môđun: A=
2 2
a b+
) hay Z = Ae
j(
ω
t +

-Chọn đơn vị đo góc là độ (D) ta bấm: SHIFT MODE 3 trên màn hình hiển thị chữ D
-Nhập máy: 8 SHIFT (-) 60 sẽ hiển thị là: 8∠ 60
-Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) ta bấm: SHIFT MODE 4 trên màn hình hiển thị chữ R
-Nhập máy: 8 SHIFT (-) (π:3 sẽ hiển thị là: 8∠
1
π
3
Kinh nghiệm: Nhập với đơn vị độ nhanh hơn đơn vị rad
nhưng kết quả sau cùng cần phải chuyển sang đơn vị rad
cho những bài toán theo đơn vị rad. (Vì nhập theo đơn vị
rad phải có dấu ngoặc đơn ‘(‘‘)’nên thao tác nhập lâu hơn,
ví dụ: Nhập 90 độ thì nhanh hơn nhập (π/2)
Bảng chuyển đổi đơn vị góc: ϕ(Rad)=
φ(D).π
180
Đơn vị góc (Độ) 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 18
0
360
Đơn vị góc
(Rad)
1
π
12
1
π
6
1
π
4
1

Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 ->Nếu hiển thị: 4+ 4
3
i .Ta bấm phím SHIFT 2 3 = kết quả: 8∠
1
π
3
-Chuyển từ dạng A∠ ϕ sang dạng : a + bi : bấm SHIFT 2 4 =
Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 -> Nếu hiển thị: 8∠
1
π
3
, ta bấm phím SHIFT 2 4 =  kết quả :4+4
3
i
4. Tìm dao động tổng hợp xác định A và
ϕ
bằng cách dùng máy tính thực hiện phép cộng :
a.Với máy FX570ES: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX.
-Chọn đơn vị đo góc là độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D
(hoặc Chọn đơn vị góc là Rad bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R )
-Nhập A
1
SHIFT (-) φ
1,
+ Nhập A
2
SHIFT (-) φ
2
nhấn = hiển thị kết quả
(Nếu hiển thị số phức dạng: a+bi thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả: A∠ϕ)

π
t -
π
/4 ) (cm) B.x = 5
3
cos(
π
t +
π
/6) (cm)
Bấm SHIFT 2 màn hình xuất hiện như hình bên
Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng cực (r ∠ θ )
Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quả dạng phức (a+bi )
( đang thực hiện phép tính )
C. x = 5cos(
π
t +
π
/4) (cm) D.x = 5cos(
π
t -
π
/3) (cm) Đáp án B
Phương pháp truyền thống Phương pháp dùng số phức
Biên độ:
2 2
1 2 1 2 2 1
2. .cos( )= + + −A A A A A
ϕ ϕ
Pha ban đầu ϕ: tan ϕ =

3
∠30
Vậy :x = 5
3
cos(
π
t +
π
/6) (cm)
(Nếu Hiển thị dạng đề các:
15 5 3
2 2
+ i
thì
Bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 5
3
∠30 )
Chọn B
Giải 2: Dùng đơn vị đo góc là Rad (R): SHIFT MODE 4
Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện: CMPLX. Tìm dao động tổng hợp:
Nhập: 5 SHIFT (-).∠ (π/3) + 5 SHIFT (-) ∠ 0 = Hiển thị: 5
3
∠
1
π
6
Hay: x = 5
3
cos(
π

A A
A A
ϕ ϕ
π
π
ϕ
π
ϕ ϕ π
ϕ ϕ
π
π
ϕ ϕ
π
ϕ

= + + − =




=
+


+
= = = − ⇒ ⇒ =


−
+

:
sin sin
3
2
tan 3
s s 3
3 cos 1.cos0
2
3
A A A A A cm
HD
A A
A co A co
ϕ ϕ
π
π
ϕ
ϕ ϕ π
ϕ ϕ
π
π
ϕ ϕ
ϕ

= + + − =



−


ϕϕ
AA
AA
+
+
Ví dụ 4: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương có phương trình dao động: x
1
= 2
3
cos(2πt +
3
π
) cm, x
2
= 4cos (2πt +
6
π
) cm ;x
3
= 8cos (2πt -
2
π
) cm. Giá trị vận tốc cực đại của vật và pha ban đầu của dao
động lần lượt là:
A. 12πcm/s và
6
π
−
rad . B. 12πcm/s và
3

3
4 cos 8 cos
6 2
π
 
= + + ∆ϕ = ⇒ = π −
 ÷
 
2 2
23 23
A 4 8 2.4.8.cos 4 3 x 4 3 sin 2 t
3

Tổng hợp x
23
vµ x
1
có:
π π
 
+ −
 ÷
 
ϕ = = −
π π
 
+ −
 ÷
 
2 3 sin 4 3 sin

= cos(2πt + π)(cm), x
2
=
3
.cos(2πt - π/2)(cm). Phương trình của dao động tổng hợp
A. x = 2.cos(2πt - 2π/3) (cm) B. x = 4.cos(2πt + π/3) (cm)
C. x = 2.cos(2πt + π/3) (cm) D. x = 4.cos(2πt + 4π/3) (cm)
Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4
-Nhập máy: 1 SHIFT(-) ∠ π +
3
 SHIFT(-) ∠ (-π/2 = Hiển thị 2∠-
2
π
3
. Đáp án A
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng dọc theo trục x’Ox có li độ
)()
2
2cos(
3
4
))(
6
2cos(
3
4
cmtcmtx
π
π

Nhập máy:
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ (π/6) +
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ (π/2 = Hiển thị: 4 ∠
1
π
3
Giải 2: Với máy FX570ES : Chọn đơn vị đo góc là độ Degre(D): SHIFT MODE 3
Nhập máy:
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ 30 +
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ 90 = Hiển thị: 4 ∠ 60
Ví dụ 7: Ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x
1
= 4 cos(πt - π/2) (cm)
, x

Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy :
2
 SHIFT(-)∠45 + 1 SHIFT(-)∠180 = Hiển thị: 1∠ 90,
e. Trắc nghiệm vận dụng :
Câu 1: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số x
1
=
3
cos(5πt +π/2) (cm) và
x
2
=
3
cos( 5πt + 5π/6)(cm). Phương trình dao động tổng hợp là
A. x = 3 cos ( 5πt + π/3) (cm). B. x = 3 cos ( 5πt + 2π/3) (cm).
C. x= 3 cos ( 5πt - 2π/3) (cm). D. x = 4 cos ( 5πt + π/3) (cm) Đáp án B
Câu 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình:
x
1
= 4cos(πt )(cm) và x
2
= 4
3
cos(πt + π/2) (cm). Phương trình của dao động tổng hợp
A. x = 8cos(πt + π/3) (cm) B. x = 8cos(πt -π/6) (cm)
C. x = 8cos(πt - π/3) (cm) D. x = 8cos(πt + π/6) (cm) Đáp án A
Câu 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình:
x
1
= acos(πt + π/2)(cm) và x

a.Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
-Chọn đơn vị đo góc là độ ta bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D
(hoặc Chọn đơn vị đo góc là Radian ta bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R )
Nhập A , bấm SHIFT (-) nhập φ
;
bấm - (trừ), Nhập A
1
, bấm SHIFT (-) nhập φ
1 ,
nhấn = kết quả.
(Nếu hiển thị số phức thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả trên màn hình là: A
2
∠ ϕ
2
b.Với máy FX570MS : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Nhập A , bấm SHIFT (-) nhập φ ;bấm - (trừ), Nhập A
1
, bấm SHIFT (-) nhập φ
1
nhấn =
Sau đó bấm SHIFT + = hiển thị kết quả là: A
2.
bấm

SHIFT = hiển thị kết quả là: φ
2

c.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình dao động tổng hợp x=5
2

, chọn A
Ví dụ 2: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
= 2
3
cos(2πt + π/3) (cm), x
2
= 4cos(2πt +π/6) (cm) và x
2
= A
3
cos(πt + ϕ
3
) (cm). Phương trình dao động tổng
hợp có dạng x = 6cos(2πt - π/6) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
A. 8cm và - π/2 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2. Chọn A
Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần thứ 3: x
3
= x - x
1
–x
2

Nhập: 6 SHIFT(-) ∠ (-π/6) - 2
3
 SHIFT(-) ∠ (π/3) - 4 SHIFT(-) ∠ (π/6 = Hiển thị: 8 ∠-
1
π
2

cos(2πt + π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần
thứ 3:
A. 6cm và 0 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2.
Câu 3: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
a.cos(2πt + π/2) , x
2
= 2a.cos(2πt -π/2) và x
3
= A
3
cos(πt + ϕ
3
). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x
= a
2
cos(2πt - π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
A. a và 0 . B. 2a và π/3. C. a
2
và π/6 . D. 2a
2
và π/2.
C. BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có các
phương trình là:
1
x 4cos(10t )
4
π

Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy : 4  SHIFT(-)∠45 + 3 SHIFT(-)∠135 = Hiển thị: 5∠ 81,869,
Suy ra A = 5cm  v
max
= ωA = 50 cm/s = 0,5 m/s; a
max
= ωA = 500 cm/s
2
= 5 m/s
2
.
Bài 2. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x = 5
3
cos(6πt +
2
π
) (cm).
Dao động thứ nhất có biểu thức là x
1
= 5cos(6πt +
3
π
) (cm). Tìm biểu thức của dao động thứ hai.
Hướng dẫn giải:.
Cách 1: Ta có: A
2
=
)cos(2
11
2
1

2
= x - x
1

Nhập: 5
3
 SHIFT(-) ∠ (π/2) - 5 SHIFT(-) ∠ (π/3 = Hiển thị: 5 ∠
2
π
3
.Vậy: x
2
= 5cos(6πt +
3
2
π
)(cm).
Bài 2. Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương với các phương trình: x
1
= 5cos5πt
(cm); x
2
= 3cos(5πt +
2
π
) (cm) và x
3
= 8cos(5πt -
2
π

cos(5πt -
4
π
) (cm).
Cách 2: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị góc tính rad (R). SHIFT MODE 4 Tìm dao động tổng hợp, nhập máy:
5 SHIFT(-)∠ 0 + 3 SHIFT(-)∠ (π/2) + 8 SHIFT(-)∠ (-π/2) = Hiển thị: 5
2
∠ -π/4. Chọn A
D.TRẮC NGHIỆM :
Câu 1: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 3cm và 4cm. Biết độ lệch pha của 2
dao động là 90
0
, biên độ dao động tổng hợp hai dao động trên là :
A. 1cm B. 5cm C. 7cm D. không tính được
Câu 2: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và ngược pha nhau. Biên độ dao động tổng
hợp hai dao động trên là :
A. 0 B. 5cm C. 10cm D. không tính được
Câu 3: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 2cm và 6cm. Biên độ dao động tổng
hợp hai dao động trên là 4cm khi độ lệch pha của 2 dao động là :
A. 2kπ B. (2k – 1) π C. ( k – ½)π D. (2k + 1 ) π/2 (k nguyên)
Câu 4: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 10Hz và có biên độ lần
lượt là 7cm và 8cm. Hiệu số pha của 2 dao động là π/3 rad. Độ lớn vận tốc của vật khi vật có li độ 12cm là :
A. 314cm/s B. 100cm/s C. 157cm/s D. 120πcm/s
Câu 5: Một vật khối lượng m = 100g thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương :
1 2
5 20 12 20
π
= = +
cos ( ); cos( )( )x t cm x t cm

π π
π π
= − = −
cos( )( ); cos( )( )x t cm x t cm
. Dao động tổng hợp
của 2 dao động trên là :
A.
8 10
2
π
π
= +cos( )( )x t cm
B.
5
8 2 10
12
π
π
= −
cos( )( )x t cm
C.
8 2 10
12
π
π
= −
cos( )( )x t cm
D.
16 10
4

π
ω
= −
cos( )( )x t cm
D.
4
ω
= cos ( )x t cm
Câu 9: Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng, dọc theo trục x’ox có li độ thỏa mãn phương trình :
4 4
2 2
3
3 3
π
π π
= − +
cos( ) cos ( )x t t cm
. Biên độ và pha ban đầu của dao động là :
A. A = 4(cm); ϕ = - π/3(rad) B. A = 4 (cm); ϕ = - π/6(rad)
C. A =
4 3
(cm); ϕ = π/6(rad) D. A =
8
3
(cm); ϕ = 2π/3(rad)
Câu 10: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và có phương trình
dao động lần lượt là
1 2
os(20 )( ), 3 os(20 )( )
2

3
x t cm
π
π
= +
Câu 11: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Biết phương trình
của dao động tổng hợp là
5
3cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= −
, phương trình của thành phần dao động thứ nhất là
1
5cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= +
. Phương trình của thành phần dao động thứ hai là
A.
2
8cos(10 )( )
6
x t cm
π
π

2
x t cm x t cm
π
π π
= + =
. Vận tốc của vật có độ lớn cực đại là
A.
10 2 ( / )cm s
π
B.
10 2( / )cm s
C.
10 ( / )cm s
π
D.
10( / )cm s
Câu 13: (ĐH-2009) Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban
đầu là
3
π
và
6
π
−
. Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng
A.
2
π
−
B.

π
) (cm).
Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x
1
=
5cos(πt
+
6
π
) (cm). Dao động thứ hai
có phương trình li độ là
A. x
2
=
9cos(πt
+
6
π
) (cm). B. x
2
=
cos(πt
+
6
π
) (cm).
C. x
2
=
cos(πt

. C. 0,7 m/s
2
. D. 5 m/s
2
.
Câu 17: Một vật tham gia đồng thời 2 dao động thành phần cùng phương, cùng tần số x
1
= 4cos100πt (cm)
và x
2
= 4cos(100πt +
2
π
) (cm) có phương trình tổng hợp là
A. x = 4
2
cos(100πt +
4
π
) (cm) B. x = 4
2
cos100πt(cm)
C. x = 4cos(100πt +
4
π
) (cm) D. x = 4cos100πt (cm)
Câu 18: Cho 2 dao động
)cos(
1
πω

Câu 19: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x
1
=2cos(5
π
t+
π
/2) cm, x
2
=2cos(5
π
t) cm. Vận tốc của vật lớn nhất bằng
A. 10
2
π
cm/s B. 10
2
cm/s C.10
π
cm/s D. 10cm/s
Câu 20: Một vật đồng thời tham gia 2 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
8cos(2πt + π/2) (cm) và x
2
= A
2
cos(πt + ϕ
2
) (cm). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x=8
2

2
2cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm).
C.
2
5
2cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm). D.
2
5
8cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm).
Câu 22: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số f=10Hz. Có biên độ A
1
=7cm;

A. 10cm/s B. 7cm/s C. 20cm/s D. 5cm/s
Câu 24: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình là: x
1
=4cos(10t+
π
/4) cm; x
2
=3cos(10t-3
π
/4) cm. Gia tốc khi nó qua vị trí biên bằng
A. 10cm/s
2
B. 1cm/s
2
C. 10m/s
2
D. 1m/s
2
Câu 25: Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x
1
=2Acos(10
π
t+
π
/6), x
2
=2Acos(10
π
t+5

8cos(2πt + π/2) (cm), x
2
= 2cos(2πt -π/2) (cm) và x
3
= A
3
cos(πt + ϕ
3
) (cm). Phương trình dao động tổng
hợp có dạng x = 6
2
cos(2πt + π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần
thứ 3:
A. 6cm và 0 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2.
Câu 27: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
a.cos(2πt + π/2) , x
2
= 2a.cos(2πt -π/2) và x
3
= A
3
cos(πt + ϕ
3
). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x
= a
2
cos(2πt - π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
A. a và 0 . B. 2a và π/3. C. a

) cm B. x = 2cos(
π
t +
2
π
) cm C. x = 2cos(
π
t +
3
π
) cm D. x = 2cos(
π
t –
3
π
)
cm
Câu 29: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động 1 có biên độ A
1
= 10 cm, pha ban đầu
π/6 và dao động 2 có biên độ A
2
, pha ban đầu -π/2. Biên độ A
2
thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A
có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. A = 2
3
(cm) B. A= 5
3

hợp là: x=5cos(ωt+ ϕ)(cm). Biên dộ dao động A
2
có giá trị lớn nhất khi ϕ bằng bao nhiêu? Tính A
2max
?
A π/3; 8cm B π /6;10cm C. π/6; 10cm D. B hoặc C
Giải: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ qauy như hình vẽ bên:
A
2
max khi góc đối diện với nó ( góc β) trong tam giác tạo bởi A
1
,A
2
,A là góc vuông
1
A

α
A
2
A
ϕ
1
A
π/6
A
2
A
O
M

2
1
5
6
.1
max2
===
π
Hình vẽ dễ dàng ta thấy: ϕ = /β - ϕ
1
/= / π/2 - π/3 / = π/6
Vì ϕ <0 => ϕ = - π/6 . Chọn B
Câu 31: Hai chất điểm dao động điều hoà trên cùng một trục tọa độ 0x, coi trong quá trình dao động hai chất
điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là: x
1
= 4cos(4t +
3
π
)
cm và x
2
= 4
2
cos(4t +
12
π
) cm. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là:
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. ( 4
2
- 4)cm

A
2
= π/2 và tam giác OA
1
A
2
vuông cân tại A
1
.
Suy ra đoạn OA
1
=A
1
A
2
= 4cm (không đổi trong quá trình dao động)
A
1
A
2
là khoảng cách giữa 2 vật .
Khi đoạn A
1
A
2
song song với x’0x thi lúc đó khoảng cách giữa hai vật chiếu
xuống trục x’ox là lớn nhất và bằng 4cm .Chọn A.
Cách 2: Gọi hai chất điểm là M
1
(toạ độ x1) và M

3
= 3
2
cos(20πt -
4
π
) (cm). B.x
3
=
2
cos(20πt -
4
π
) (cm).
C.x
3
= 3
2
cos(20πt -
2
π
) (cm). D.x
3
= 3
2
cos(20πt -+
4
π
) (cm).
Để ba vật luôn nằm trên một đường thẳng thì

= 3
2
cm
Dễ thấy φ
3
= - π/4 rad → x
3
= 3
2
cos(20πt -
4
π
) (cm).
(hoặc dùng máy tính tổng hợp dao động ).
1
A

1
A

−
2
A

2
2A

3
A


ω
=
và
2 2
cos
2
x A t
π
ω
 
= +
 ÷
 
. Gọi E là cơ năng của vật. Khối lượng của vật bằng:
A.
2 2 2
1 2
2E
A A
ω
+
B.
2 2 2
1 2
E
A A
ω
+
C.
( )

( )
2 2 2
1 2
2E
A A
ω
+
Chọn D
Câu 35. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
1 1
os( )x Ac t cm
ω
=
và
2 2
5
os( )
6
x A c t cm
π
ω
= −
được
6 os( )x c t cm
ω ϕ
= +
. Biên độ A
2
đạt cực đại bằng giaù trò naøo sau ñaâu:
A.

/12
Hd: Áp dụng công thức:
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
tan
os os
A A
A c A c
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
+
=
+
để ý A
1
=A
2
Từ đó tính được:
ϕ
=
π
/12
Bài 2*: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ
5
3cos( )
6
x t
π

2
5
2cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm). D.
2
5
8cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm).
Hd: Ta có phương trình tổng hợp: x=x
1
+x
2
suy ra: x
2
=x-x
1
hay x
2
=x+(-x
1

6
t
π
π
−
=
5
8cos( )
6
t
π
π
−
(cm)
Bài 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số f=10Hz. Có biên độ A1=7cm;
A2=8cm độ lệch pha của hai dao động là
π
/3. Vận tốc của vật ứng với li độ tổng hợp x=12cm bằng
A.
10
π
±
m/s B.
10
π
±
cm/s C.
π
±
m/s D.

/4) cm; x2=3cos(10t-3
π
/4) cm. Độ lớn vận tốc khi nó qua vị trí cân bằng là
A. 10cm/s B. 7cm/s C. 20cm/s D. 5cm/s
Hd: Qua VTCB thì V=V
max
=
A
ω
±
. Do độ lệch pha của hai dao động là:
ϕ
∆
=-3
π
/4-
π
/4=-
π
nên 2 dao động
ngược pha. Suy ra A=1cm. Dễ dàng tính được v=10cm/s.
Bài5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=6cos(5
π
t+
π
/3) cm, x2= 8cos(5
π
t+4
π
/3) cm. Phương trình dao động tổng hợp là

1 1 2 2
sin sin
tan
os os
A A
A c A c
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
+
=
+
suy ra được
ϕ
=4
π
/3 chọn D
Cách 2: Để ý: x1= 6cos(5
π
t+
π
/3) x1= -6cos(5
π
t+4
π
/3)
Nên x=x1+x2= - 6cos(5
π
t+4
π

. Do độ lệch pha của hai dao động là:
ϕ
∆
=-3
π
/4-
π
/4=-
π
nên 2 dao động
ngược pha. Suy ra A=1cm. Dễ dàng tính được a=100cm/s
2
=1m/s
2
Bài 7: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=2cos(5
π
t+
π
/2) cm, x2=2cos(5
π
t) cm. Vận tốc của vật lớn nhất bằng
A. 10
2
π
cm/s B. 10
2
cm/s C.10
π
cm/s D. 10cm/s
Hd: V=V

=0,93 rad
C. A=1cm;
ϕ
=3
π
/4 rad D. A=5cm;
ϕ
=3
π
/4 rad
Hd: Ta thấy x=x1+x2 =3cos
ω
t +4sin
ω
t=3cos
ω
t +4cos(
ω
t+
π
/2)
Do đó:
ϕ
∆
=
π
/2 Suy ra A=
2 2
1 2
A A+

π
t+
π
/6), x2=2Acos(10
π
t+5
π
/6) và x3=A(10
π
t-
π
/2) (với x tính bằng m, t tính bằng s). Phương trình tổng hợp của ba dao động trên
là.
A. x=Acos(10
π
t+
π
/2) cm B. x=Acos(10
π
t-
π
/2) cm
C. x=Acos(10
π
t+5
π
/2) cm D. x=Acos(10
π
t-5
π

ϕ
=
π
/2 vậy chọn A.
Bài 11: Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao
động lần lượt là x
1
= 10cos(
2
π
t + φ) cm và x
2
= A
2
cos(
2
π
t
2
π
−
) cm thì dao động tổng hợp là x = Acos(
2
π
t
3
π
−
) cm. Khi năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ dao động A
2

sinα. A = A
max
khi sinα = 1.=> α = π/2 (Hình vẽ)
Năng lượng cực đại khi biên độ A= 2A
1
= 20 cm.
Suy ra A
2
=
2
1
2
AA −
= 10
3
(cm). Chọn đáp án B
Bài 12: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li
độ lần lượt là x
1
= 3cos(
3
2
π
t -
2
π
) và x
2
=3
3

) =3sin(
3
2
π
t )
x
1
= x
2
=> 3cos(
3
2
π
t -
2
π
) = 3
3
cos
3
2
π
t
=> tan
3
2
π
t =
3
= tan

2
3k
) -
3
π
]
π/6
π/3
O
π/3
α
A
2
A
A
1
O
π/3
A
A
1
A
2
π/6
A
1
A
2
A
= 6cos(kπ -

thi x
1
-x
2
= 0 khi véc tơ biểu điễn x
hiệu
= x
1
-x
2
vuông góc với trục ngang,
Lúc đó x
tổng
= x
1
+x
2
lệch với trục ngang một góc π/6 hoặc 5π/6.
Nên ta có x = 6cos (π/6) = 3
3
= 5,19cm ; x = 6cos (5π/6)= -3
3
= -5,19cm . Chọn B
Giải: Cách 3 Dùng số phức với máy tính Fx570Es:
Bấm máy ta có x
hiệu
= x
1
-x
2

2
3
π
t
π
−
5
6
=
π
±
2
=> t= 2s hoặc t= 0,5s
Thế t=2s vào xtổng: xtổng = 6cos(
2
3
π
2.
π
−
6
) = 6cos(
π
4
3
π
−
6
) =6cos(
π

=2
3
cos(2πt +5π/6)mcm, x
31
=2cos(2πt + π)cm. Biên độ dao động của thành phần thứ 2?
A. 1 cm. B. 3 cm. C.
3
cm. D. 2
3
cm.
Giải: Chọn trục Ox như hình vẽ.
Vẽ các giản đồ vec tơ
A
12
=2cm; A
23
= 2
3
cm, A
31
= 2cm
vẽ véc tơ A
A = A
12
+ A
31
Ta thấy A = A
12
= 2cm
A = A


= 2A
1
góc A
23
OM = 30
0
Định lí hàm số cosin: 4A
1
2
= (2
3
)
2
+ 2
2
– 2.2
3
.2 cos30
0
= 4 => A
1
= 1 cm và
Véc tơ A
1
trùng với trục Ox Từ đó suy ra A
2
=
3
cm . chọn đáp án C

3
cm
Giải: Xem hình vẽ
Khi A
2
max , theo ĐL hàm số sin ta có:
2 1
2 1
2
sin / 2 sin / 3
3
A A
A A
π π
= => =
(1)
Tam giác OAA
2
vuông tại A nên ta có:
2 2 2
1 2
9A A
+ =
(2)
Thế (1) vào (2) Ta có:
2 2 2
1 1
4
9
3

1
x
2
π/6
X
tổng
=x
1
+ x
2
0
X
hiệu
=x
1
- x
2
-x
2
π/6
Trục
dọc
Trục ngang x
π/6
A
O
Hình vẽ
A
2
π/3

6
x t
π
π
= +
(cm). Dao động thứ
hai có phương trình li độ là
A.
2
8cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). B.
2
2cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm).
C.
2
5
2cos( )
6
x t

±
cm/s
Bài 4*: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình là: x1=4cos(10t+
π
/4) cm; x2=3cos(10t-3
π
/4) cm. Độ lớn vận tốc khi nó qua vị trí cân bằng là
A. 10cm/s B. 7cm/s C. 20cm/s D. 5cm/s
Bài 5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=6cos(5
π
t+
π
/3) cm, x2= 8cos(5
π
t+4
π
/3) cm. Phương trình dao động tổng hợp là
A. x=14cos(5
π
t+
π
/3) cm B. x=2cos(5
π
t+
π
/3) cm.
C. x=10cos(5
π
t+

cm/s B. 10
2
cm/s C.10
π
cm/s D. 10cm/s
Bài 8*: Một vật dao động trên một đường thẳng có phương trình x =3cos
ω
t +4sin
ω
t . Biên độ và pha ban
đầu dao động này là
A. A=5cm;
ϕ
=0,93 rad B. A=1cm;
ϕ
=0,93 rad
C. A=1cm;
ϕ
=3
π
/4 rad D. A=5cm;
ϕ
=3
π
/4 rad
Bài 9: Dao động của một chất điểm có khối lượng 100g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương có phương trình li độ lần lượt là x1=5cos(10
π
t) cm, x2=10cos(5
π

/2) cm D. x=Acos(10
π
t-5
π
/2) cm
TRÁC NGHIỆM ÔN TẬP TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
I. Các bài tập không nên dùng máy tính
Câu 1: Một vật tham gia vào hai dao động điều hòa có
cùng tần số thì
A. dao động tổng hợp của vật là một dao động tuần hoàn
cùng tần số.
B. dao động tổng hợp của vật là một dao động điều hòa
cùng tần số.
C. dao động tổng hợp của vật là một dao động điều hòa
cùng tần số và có biên độ phụ thuộc vào hiệu pha của hai
dao động thành phần.
D. dao động của vật là dao động điều hòa cùng tần số nếu
hai dao động thành phần cùng phương.
Câu 2: Chọn câu đúng. Biên độ dao động tổng hợp của
hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có
A. giá trị cực tiểu khi hai dao động thành phần lệch pha
π
/2.
B. giá trị bằng tổng biên độ của hai dao động thành phần.
C. giá trị cực đại khi hai dao động thành phần cùng pha.
D. giá trị cực đại khi hai dao động thành phần ngược pha.
Câu 3: Khi tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương
cùng tần số có biên độ thành phần 4cm và 4
3
cm được

hòa cùng phương theo các phương trình sau : x
1
= 4sin(
t
π α
+
) cm và x
2
=
4cos( )
2
t
π
π
−
cm. Biên độ của dao
động tổng hợp lớn nhất là
A.
2
π
α
=
rad. B.
2
π
α
= −
rad.
C.
α π

π
=
và
2
2 os(10 t + )(cm)
2
x c
π
π
=
.
Nhận định nào sau đây là không đúng?
A. Khi
1
2 3x
= −
cm thì
2
0x
=
.
B. Khi
2
2x =
cm thì
1
2 3x
=
cm.
C. Khi

x A c t cm
ω π
= −
động tổng hợp có phương trình
9 os( )x c t cm
ω π
= +
. Để
biên độ A
2
có giá trị cực đại thì A
1
có giá trị
A.
9 3
cm. B.
2
9 3
cm. C.
15 3
cm. D.
18 3
cm.
II. Các bài toán nên dùng máy tính
1. Bài toán tổng hợp 2 dao động và các tính toán liên
quan
Câu 10: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động x
1
=127cos (ωt-π/3)mm , x
2

) cm.
C. x = 8cos(
π
t -
6
π
) cm. D. x = 8sin(
π
t +
6
π
) cm.
Câu 12 : Cho hai dao động điều hoà cùng phương, cùng
tần số, cùng biên độ
2
cm và có các pha ban đầu lần
lượt là
2
3
π
và
6
π
. Pha ban đầu và biên độ của dao động
tổng hợp của hai dao động trên là
A.
5
12
π
;2cm. B.

6
t
π
 
−
 ÷
 
cm, s
Dao ®éng tæng hîp cã biªn ®é vµ pha ban ®Çu lµ
A. 3
3
cm;
6
π
rad . B.
2 3
cm; -
2
3
π
rad.
C.
3
cm;
3
π
rad. D. 2
2
cm;
6

3
cm, tại thời điểm ban đầu có li độ bằng 0
và vận tốc âm. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao
động trên là
A. 4 cm. B. 3 cm. C. 5 cm. D. 2
3
cm.
Câu 17: Hai dao động điều hào cùng phương cùng tần
số, cùng biên độ và các pha ban đầu là
/ 3; / 6
π π
−
. Pha ban đầu của hai dao động tổng hợp
trên bằng
A.
2
π
−
. B.
12
π
. C.
4
π
. D.
6
π
.
Câu 18: Chuyển động của một vật là tổng hợp của 2 dao
động điều hòa cùng phương. 2 dao động này có phương

t cm.
Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm t
1
= 0 đến thời
điểm t
2
= 2s là
A. 16cm. B. 32cm. C. 24cm. D. 8cm
Câu 20 : Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hòa cùng phương, cùng tần số 10 Hz với các biên độ
thành phần là 7 cm và 8 cm. Cho biết hiệu số pha của hai
dao động là
3
π
. Vận tốc của vật khi nó qua vị trí có li độ
x = 12 cm là
A. 314 cm/s. B. 100 cm/s.
C. 157 cm/s. D. 120π cm/s.
2. Bài toán tổng hợp nhiều dao động
Câu 21: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều
hòa cùng phương cùng tần số sau:
1 2
3
1,5 os ( ); os( )( );
2 2
x c t cm x c t cm
π
ω ω
= = +
3

x c t
π
ω
= +
cm.
D.
3 os( )
3
x c t
π
ω
= −
cm.
Câu 22: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều
hoà cùng phương cùng tần số với phương trình có dạng:
x
1
=
3
cos(
π
t) cm; x
2
= 2cos(
π
t +
2
π
) cm;
x

Câu 23: Một vật thực hiện đồng thời 4 dao động điều
hòa cùng phương và cùng tần số có các phương trình
x
1
= 3sin(πt + π) cm; x
2
= 3cosπt (cm);x
3
= 2sin(πt + π)
cm; x
4
= 2cosπt (cm). Hãy xác định phương trình dao
động tổng hợp của vật
A.
)2/cos(5
ππ
+=
tx
.
B.
5 2 os( / 4)x c t
π π
= +

C.
)2/cos(5
ππ
+=
tx
.

. B.
3
4 2 ;
4
cm rad
π
.
C.
4 3 ;
4
cm rad
π
−
. D.
3
4 3 ;
4
cm rad
π
−
.
Câu 25: Một vật thực hiện đồng thời 4 dao động điều
hòa cùng phương và cùng tần số có các phương trình
x
1
= 3sin(πt + π) cm; x
2
= 3cosπt (cm);x
3
= 2sin(πt + π)

=8cm; A
2
=6cm;
A
3
=4cm; A
4
=2cm và
1 2 3 4
0; 2; ; 2
ϕ ϕ π ϕ π ϕ π
= = = = −
.
Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp là
A.
4 2 ;
4
cm rad
π
. B.
3
4 2 ;
4
cm rad
π
.
C.
4 3 ;
4
cm rad

và ϕ
2
là
A. A
2
= 6cm,
2
2
π
ϕ
=
. B. A
2
= 6
3
cm,
3
2
π
ϕ
=
. C.
A
2
= 12cm,
2
2
π
ϕ
=

2
24cos( )( )
3
x t cm
π
ω
= −

B.
2
24cos( )( )
6
x t cm
π
ω
= −

C.
2
8cos( )( )
6
x t cm
π
ω
= +

D.
2
8cos( )( )
3

3
π
.cm.
C.
2 2
cm;
4
π
. D.
2
cm
2
π
.
Câu 30: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa x
1
; x
2
=
2 3 os(5 / 2)c t cm
π
+
. Biết phương trình dao động
tổng hợp là:
4 os(5 / 3)x c t cm
π
= +
. Phương trình dao
động x
1

4cos(10 ) ;
3
x t cm x
π
π
= +

. Phương trình dao động tổng hợp là
2 3cos(10 )
2
x t cm
π
π
= +
. Dao động x2 có phương trình
A.
2
2 3cos10x t cm
π
=

B.
2
4cos(10 )
4
x t cm
π
π
= +
C.

π
= +
B.
3
8 2 os(5 / 2) .x c t cm
π
= +
C.
3
8 os(5 / 3) .x c t cm
π
= +
D.
3
8 os(5 / 6) .x c t cm
π
= +
Câu 33: Một vật tham gia đồng thời vào dao động điều
hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là
1 1
os(20 / 6) .x A c t cm
π
= +
và

2 2
os(20 5 / 6) .x A c t cm
π
= +
Biết tốc độ cực đại trong


2
5cos(2 )( )
6
x t cm
π
π
= −
;
2
2cos(2 )( )
6
x t cm
π
π
= −
Lấy
2
10
π
=
. Gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,25s là
A. -1,4m/s2. B. 1,4m/s2. C. 2,8 m/s2. D. -2,8 m/s2.
Câu 37 : Một vật có khối lượng 200g thực hiện hai dao
động điều hòa cùng phương:

1
6cos(5 )
2
x t

= +
cm. Vận tốc cực đại của vật là
A.
20
π
cm/s. B. 60cm/s. C.
4
π
cm/s. D. 120cm/s.
5. Tìm biên độ của dao động thành phần khi biết vận
tốc, gia tốc, năng lượng.
Câu 39 : Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hoà có phương trình: x
1
=A
1
cos(20t+
π
/6)cm,
x
2
= 3cos(20t + 5
π
/6)cm, Biết vận tốc cực đại của vật là
140cm/s. Biên độ A
1
của dao động thứ nhất là
A. 8cm. B. 6cm. C. 9cm. D. 7cm.
Câu 40: Một vật xuất hiện đồng thời 2 dao động cùng
phương có dạng

π
= −
(cm) và
2 2
cos(5 2 )x A t
π
= +
(cm). Biết độ lớn vận tốc của vật
tại thời điểm động năng bằng thế năng là 40cm/s. Biên
độ dao động thành phần A
2
là
A. 4cm. B. 4
2
cm. C.
3
cm. D. 4
3
cm.
Câu 42: Một vật khối lượng m=200g thực hiện đồng thời
2 dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao
động
1
3cos(15 )
6
x t
π
= +
(cm) và
2 2

A. 8cm. B. 10cm. C. 12cm. D.2cm.
Câu 44: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông
điều hoà cung phương: x
1
= A
1
cos(ωt+π/3)(cm) và x
2
=
A
2
cos(ωt- π/2)(cm).Phương trình dao động tổng hợp là:
x=5cos(ωt+ ϕ)(cm). Biên dộ dao động A
2
có giá trị lớn
nhất khi ϕ bằng bao nhiêu? Tính A
2max
?
A π/3; 8cm B π /6;10cm
C. π/6; 10cm D.B hoặc C
Câu 45: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
số, dao động 1 có biên độ A
1
= 10 cm, pha ban đầu π/6 và
dao động 2 có biên độ A
2
, pha ban đầu -π/2. Biên độ A
2

thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị