Câu 6: Cho P =
2
2
8 7
1
x x
x
− +
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P
Câu 7:
a/ Cho ba số chính phương A, B, C. Chứng minh rằng: (A - B)(B - C)(C - A) chia
hết cho 12.
b/ Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc với a, b, c khác 0. Tính giá trị của biểu thức:
P =
1 1 1
a b c
b c a
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
Câu 8: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 5cm; BC = 6cm. Vẽ các đường phân giác
AD, BE, CF
a/ Tính độ dài EF

2, Giả sủ diện tích ABCD nhỏ nhất. Hãy tìm đường chéo BD điểm M sao
cho đường thẳng qua M // với AB bị 2 cạnh AD, BC và 2 đường chéo AC, BD
chia thành 3 phần bằng nhau.
Đề 2
Bài 1 Rút gọn biểu thức:
A=
Bài 2 Giải phương trình
a)
b)
Bài 3 Cho a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=4
chứng minh rằng: a
2
+b
2
+c
2
lớn hơn hoặc bằng 4
Bài 4 cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB),đường cao AH . Trong nửa mặt
phẳng bờ AH có chứa C vẽ hình vuông AHKE. gọi P là giao điểm của AC và KE
a)tính các góc của tam giác ABP
b)gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và
QA.cm H,I,K thẳng hàng
c)Gọi F là giao điểm AK và HE. cm AI.AK=AF.AQ
Đề 3
Bài 1:Cho đa thức P(x)= 2x
4
-7x
3
-2x
2

)
1004
)(
1
14
1
1
1
1
(
2
2
x
x
x
xx
x
x
x
x −
−
−−
+
+
−
−
−
+
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
b) Rút gọn biểu thức A

đồng dạng với
∆
BOD
b) Chứng minh CD=AC+BD
c) Kẻ OM vuông góc với CD tại M . Gọi N là giao điểm của AD với BC
Chứng minh MN // AC
Trường THCS Tiến Thịnh Đề Khảo sát học sinh giỏi
Môn: Toán. Lớp 8
Thời gian: 120 phút
Câu 1( 2đ):
Biết: a - b = 25. Hãy tính giá trị của biểu thức:
A = a( a + 2) + b( b - 2) - 2ab – 75
b) Cho: x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức: B = x3 + y3
Câu 2( 2đ):
Cho x + y = a; x2 + y2 = b; x3 + y3 = c.
Chứng minh: a3 - 3ab +2c = 0.
Câu 4( 2đ): a) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì:
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = ( x - 2)2 + ( x - 3)2
Câu 5( 2đ): Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C, vẽ đường
vuông góc CE với đường thẳng AB, đường vuông góc CF với đường thẳng AD ( E, F
thuộc phần kéo dài của các cạnh AB và AD). Chứng minh rằng:
AB . AE + AD . AF = AC2
class="bi x0 y7f we h13"
Câu Nội dung Điểm
1
a
- Rút gọn: A =
2 3
3 3 4
1 1 1

2 2 1 1
1
1 1 1 1
x x x
x x x x x
x x
x x x x x x
+ + +
+ + + + +
= =
− +
+ − + + − +
1điểm
1điểm
b
Với mọi x ≠ - 1 thì A =
2
2
1
1
x x
x x
+ +
− +
=
2
2
1 3
2 4
1 3

2
-3x + 2 + x-1 = 0
( )
2
2
2 1 0 1 0 1x x x x⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =
( Thoả mãn
điều kiện *)
* Với x< 1 (**) ⇒ x - 1 ≤ 0 ⇒
1 1x x− = −
ta có phương trình
x
2
-3x + 2 + 1 - x = 0
( ) ( )
2
4 3 0 1 3 0x x x x⇔ − + = ⇔ − − =
+ x - 1 = 0
1x⇔ =
( Không thỏa mãn điều kiện **)
+ x - 3 = 0
3x
⇔ =
( Không thoả mãn điều kiện **)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 1
1điểm
1điểm
b * Điều kiện x ≠ 0 (1)
* pt
⇔

 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 

⇔
( ) ( )
2
16 4 8 0 0x x x x= + ⇔ + = ⇔ =
hoặc x = -8
So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phương trình là x = - 8
0.5điể
m
1điểm
0.5điể
m
3
Ta có
( )
( ) ( )
3 2 2
1 1 1 1y y y y x y y− = − + + = − + +
vì xy ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0

⇒ y-1≠ 0 và x-1 ≠ 0

( )
( ) ( )
3 2
3 2 2

2 2
2
2 2
2 2
2 2 3 3 2 2
2 2
1 1
1 1
2 1
2 2
4 2
0
3 1 1 3
x y xy x y
x x y y
x x y y
x y x y xy xy x y xy x y
xy
xy x y
x y y x x y
 
 
+ − + + +
+ + + + +
 ÷
= − = − ÷
 ÷
 ÷
+ + + +
+ + − + + + + + +

+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.

CD CA
CE CB
=
(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:
·
·
0
135BEC ADC= =
(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên
·
0
45AEB =
do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
2 2BE AB m= =
1.5điể
m
1điểm
b
Ta có:
1 1
2 2
BM BE AD
BC BC AC
= × = ×

135 45BHM BEC AHM= = ⇒ =
1.5điể
m
1điểm
c
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mà
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= ∆ ∆ = =:
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= ⇒ = ⇒ =
+ + +
1điểm
UBND THÀNH PHỐ HUẾ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 8 THCS - NĂM HỌC 2007 - 2008
Môn : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.

2 4 6 8 2008x x x x+ + + + +
cho đa
thức
2
10 21x x+ +
.
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H
∈
BC). Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo
m AB
=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
ĐỀ BÀI
Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức A =
32
23
1

Bài 2 (3 điểm)
Cho
( ) ( ) ( )
( )
bcacabcbaaccbba
−−−++=−+−+−
222
222
.4
.
Chứng minh rằng
cba
==
.
Bài 3 (3 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên
4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
5432
234
+−+−
aaaa
.
Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 60
0
, phân giác BD. Gọi M,N,I
theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.

1
1
2
23
xxxxx
xx
x
xxx
+−+−+
+−
−
+−−

0,5đ
=
)21)(1(
)1)(1(
:
1
)1)(1(
2
2
xxx
xx
x
xxxx
+−+
+−
−
−++−




−−−






−+ )
3
5
(1)
3
5
(1
2
0,25đ
=
)
3
5
1)(
9
25
1( ++
0,25đ
27
2

Biến đổi đẳng thức để được
bcacabcbaacacbccbabba 444444222
222222222
−−−++=+++−++−+
0,5đ
Biến đổi để có
0)2()2()2(
222222
=−++−++−+ accabccbacba
0,5đ
Biến đổi để có
0)()()(
222
=−+−+− cacbba
(*)
0,5đ
Vì
0)(
2
≥− ba
;
0)(
2
≥− cb
;
0)(
2
≥− ca
; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi


(x kh¸c -15)
0,5đ
Theo bài ra ta có phương trình
11+x
x
=
7
15
−
+
x
x
0,5đ
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
1đ
Từ đó tìm được phân số
6
5
−
KL
0,5đ
Bài 4 (2 điểm)
Biến đổi để có A=
3)2()2(2)2(
2222
++++−+ aaaaa
0,5đ
=
3)1)(2(3)12)(2(

Bài 5 (3 điểm)
a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang
0,5đ
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
0,5đ
b,(2điểm)
Tính được AD =
cm
3
34
; BD = 2AD =
cm
3
38
AM =
=BD
2
1
cm
3
34
0,5đ
Tính được NI = AM =
cm
3
34
0,5đ
DC = BC =
cm

0,5đ
Lập luận để có
AC
OC
DB
OD
=

0,5đ
N
I
M
D
C
A
B
O
N
M
D
C
B
A
⇒

AB
ON
AB
OM
=

+
=
AD
AD
AD
DMAM
0,5đ
Chứng minh tương tự ON.
1)
11
( =+
CDAB

0,5đ
từ đó có (OM + ON).
2)
11
( =+
CDAB

⇒
MNCDAB
211
=+
0,5đ
b, (2 điểm)
OD
OB
S
S

SS =
0,5đ
⇒

2
)(.
AODDOCAOB
SSS =
Thay số để có 2008
2
.2009
2
= (S
AOD
)
2

⇒
S
AOD
= 2008.2009
0,5đ
Do đó S
ABCD
= 2008
2
+ 2.2008.2009 + 2009
2
= (2008 + 2009)
2

2
+ y
2
+ 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị
nguyên dương của A?
Bài 2 (4 điểm):
a) Giải phương trình :

82
44
93
33
104
22
115
11 +
+
+
=
+
+
+ xxxx
b) Tìm các số x, y, z biết :
x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx

( )
H BC∈
. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh
CQ PD⊥
.
Bài 5 (2 điểm):
a) Chứng minh bất đẳng thức sau:
2≥+
x
y
y
x
(với x và y cùng dấu)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
2 2
2 2
3 5
x y x y
y x y x
 
+ − + +
 ÷
 
(với
x 0, y 0≠ ≠
)
Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH
*****

A + (x – y + 1)
2
= 2
⇒
A = 2 – (x – y + 1)
2

2
≤
(do (x – y + 1)
0
≥
(với mọi x ; y)
⇒
A
≤
2. (0,5đ)
+ A = 2 khi
( )
x y 1 0
2x x y 2
x y;y 0
− + =


+ =


≠ ± ≠



≠ ± ≠

Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng
hạn:
2 1
x
2
2 3
y
2

−
=



+

=


+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
a)
x 11 x 22 x 33 x 44
115 104 93 82
+ + + +
+ = +
x 11 x 22 x 33 x 44

– 2xy – 2yz – 2zx = 0
⇔
(x-y)
2
+ (y-z)
2
+ (z-x)
2
= 0
x y 0
y z 0
z x 0
− =


⇔ − =


− =

x y z⇔ = =
⇔
x
2009
= y
2009
= z
2009
Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z
2009

2
+ 1)
M
2 ( vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên
liên tiếp)
- Chứng minh: n
5
– n
M
5
n
5
- n = = n( n - 1 )( n + 1)( n
2
– 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5
- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n
5
– n
M
2.5 tức là n
5
– n
M
10
Suy ra n
5
và n có chữ số tận cũng giống nhau.
Bài 4: 6 điểm

∆
ECB (cgc) 0,75 điểm
- Suy ra
·
·
EAD ECB=
0,25 điểm
Câu b: 1,5 điểm
- Từ
·
BMC
= 120
o

⇒

·
AMB
= 60
o

⇒

·
ABM
= 30
o
0,5 điểm
- Xét
∆

S
ECB
= 144 cm
2
0,5 điểm
Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh
∆
BHD đồng dạng với
∆
DHC (gg) 0,5 điểm
2
2
BH BD BP BD BP BD
DH DC DQ DC DQ DC
⇒ = ⇒ = ⇒ =
0,5 điểm
- Chứng minh
∆
DPB đồng dạng với
∆
CQD (cgc)
·
·
·
·
` 90
o
BDP DCQ
CQ PD

2 x y 2xy
y x
+ ≥ ⇔ + ≥

2
(x y) 0⇔ − ≥
bất
đẳng thức này luôn đúng, suy ra bđt ban đầu đúng (đpcm)
b) Đặt
x y
t
y x
+ =

2 2
2
2 2
x y
t 2
y x
⇒ + = −
Biểu thức đã cho trở thành P = t
2
– 3t + 3
P = t
2
– 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1
- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t
≥
2.

⇒
P > 1 (2)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x
≠
0 ; y
≠
0 thì luôn có P
≥
1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi x = y. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P
min
= 1 (khi x = y)
Bài 5: (2 điểm)
- Gọi R(x) là đa thức dư trong phép chia f(x) : (x – 2)(x
2
– x + 1), khi đó ta có:
f(x) = (x – 2).(x
2
– x + 1).P(x) + R(x) (1)
- Vì đa thức chia (x – 2)(x
2
– x + 1) là đa thức bậc 3 nên đa thức dư R(x) có bậc
≤
2
- Từ (1)
⇒
dư trong phép chia f(x) : (x – 2) chính là dư trong phép chia R(x) : (x – 2), mà R(x)
là đa thức có bậc
≤
2, và f(x) : (x – 2) dư 4 (gt)

2003
3
2002
2
2001
1
2000
=
+
+
+
+
+
+
+
+
xxxxx
Bài 2 (4đ)
a)Tích của 4 sốtự nhiên liên tiép cộng thêm 1 là một số chính phương
b)
1
1

4
1
3
1
2
1
2222

b) (x
2
-x +1) (x
2
–x+2) -12
Bài 2: (4 điểm)
a) Cho x+y+z = 0 .Chứng minh x
3
+y
3
+z
3
=3xyza
b) Rút gọn phân thức :
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
x y y z z x
+ − −
− + − + −
Bài 3 : (4 điểm)
Cho x , y , z là độ dài ba cạnh của tam giác
A= 4x
2
y
2
–(x
2

với x<4 ta được kết quả là:
A.
3
1
+
x
B.
3
1
−
x
C.
3
1
−
−
x
D.
3
1
+
−
x
Câu 2: Phép biến đổi nào sau đây là đúng?
A. - 0,8x > -1,6  x > 2 C. - 0,8x > -1,6  x< 2
B. - 0,8x > -1,6  x > -2 D. - 0,8x > -1,6  x < -2
Câu 3: Cho tam giác ABC cân ở A, AB = 32cm; BC = 24cm, đường cao BK. Tính độ
dài KC ta được:
A. KC = 16 B. KC = 9 C. KC = 4 D. KC = 3
Câu 4: Cho hình thang ABCD ( AB// CD); AB = 3cm, CD = 5cm. Gọi O là giao

6
)12)(1(
++
nnn
Câu 3: Giải và biện luận phương trình ẩn x
1
8
)2(
)1()12(2
8
)2(
22
2
22
+
−
++=++−
+ xm
mmx
xm
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ y
2
– xy – x + y + 1
Câu 5: Cho tam giác ABC có B và C là các góc nhọn, đáy BC dài 20cm, đường cao
AH dài 10cm. Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho M thuộc
AB, N thuộc AC , P và Q thuộc BC.
a. Đặt MQ = x; MN = y; Hãy biểu thị y theo x.
b. Tìm giá trị của x để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.

110
*2
9
110
*4
12
+
−
+
−
+
−
+ nnn
=
2
1
2
69 66
3
710*2








=


+1
3
3
3
= (2+1)
3
= 2
3
+3.2
2
.1+3.2.1
2
+1
3
………
(n+1)
3
= n
3
+3.n
2
.1+3.n.1
2
+1
3
Cộng từng vế rồi rút gọn ta được:
(n+1)
3
=1+3(1
2

6
)12)(1( ++ nnn
(đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(2 đ)
Phương trình đã cho  8m
2
x-32x=8m
2
+32m+32
m
2
x-4x=m
2
+4m+4
 (m-2)(m+2)x=(m+2)
2
(*)
- Nếu m
2±≠
thì pt có nghiệm duy nhất x=
2






+y
=
4
323
2
1
2
2
++
+






+
−
yyy
x
0,25
B
H
C
N

(
4
3
2
1
2
2
+++






+
− y
y
x
Do đó: P
3
2
≥
với mọi x, y. Dấu “=” xảy ra khi x-
2
1+y
=0
và y+1/3=0
 x=2/3 và y=-1/3.Vậy GTNN của P=2/3
0,25
0,25

MNPQ
≤
50 nên S
MNPQ
lớn nhất là 50m
2
khi và chỉ
khi x=5m ( khi đó MN là đường trung bình của tam giác
ABC)
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
§Ò thi häc sinh giái to¸n 8
Bài 1: C/m rằng
A=75( + + + +4+1)+25 là số chia hết cho 100
Bài 2: Cho a+b+c=1 và Chứng minh
Bài 3: Tính giá trị của đa thức
P(x)= tại x=11
Bài 4:
An và Bình cùng lúc từ làng sang làng B ở cùng một bờ sông rồi quay về A
ngay. An đi bộ, Bình đi thuyền với vận tốc riêng của thuyền bằng vận tốc đi bộ
của An. Hỏi ai quay về sớm hơn?
Q
P
Bài 5:
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. C/m rằng AM<
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Trực tâm H chia đường cao AE theo tỉ số 7:1. Hỏi
giao điểm I các đường phân giác trong tam giác chia đường cao AE theo tỉ số nào.

Câu2: a. Giải phương trình:
79
11
81
9
84
6
87
3 −
+
−
+
−
+
− xxxx
= 4
b. Cho x-2y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
2
+y
2
+4
c. Tìm số dư của phép chia đa thức x
2008
– x
3
+ 5 cho đa thức x
2
– 1
Câu3: Cho AD là đường phân giác của tam giác nhọn ABC(AB<AC), phân giác ngoài
tại A của tam giác ABC cắt BC tại K và cắt đường vuông góc với AC qua D tại N. AC