Các phương pháp chứng minh BĐT

1 (phần 1)
Các phương pháp chứng minh BĐT

2
Chương I
Sử dụng BĐT Cauchy hai số và các hệ quả của nó
để chứng minh

BĐT Cauchy hai số có hai dạng thường được sử dụng:
• Dạng 1:
2
a b ab
+ ≥
với a,b là các số không âm

1 1
1) 4 2) 8
3) 2 2 2 8
a b a b b c c a abc
a b
a b c b c a c a b a b b c c a
 
+ + ≥ + + + ≥
 
 
+ + + + + + ≥ + + +Bài 1.2: Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh;

(
)
( ) ( )
2
2 2 2
3 3
a b c a b c ab bc ca
+ + ≥ + + ≥ + +Bài 1.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

( ) ( )
( )
3 4

 
+ + +
 

Các phương pháp chứng minh BĐT

3

Bài 1.5: Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh:

( )
1 1 1
1) 9 2)
1 1 1
3)
bc ca ab
a b c a b c
a b c a b c
a b c
bc ca ab a b c
 
+ + + + ≥ + + ≥ + +
 
 
+ + ≥ + +

Bài 1.6: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh:

a b b a
       
+ + + ≥ + + + ≥
       
       
     
+ + ≥ + + ≥
     
      Bài 1.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh;

2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1)
2
1 1 1
2) 3 ( 1)
2
a b c a b c
b c c a a b abc
a b c
a b c
b c c a a b abc
+ +
+ + ≤

4

Bài 1.10: Chứng minh rằng trong mọi tam giác đều ta luôn có:

3 3
1) 2 3 2)
2
a b c
a b c
m m ma b c
m m m a b c
+ + ≥ + + ≥

Với
, ,
a b c
m m m
là trung tuyến của các cạnh tam giác.

Chương II
Sử dụng BĐT Cauchy n số và các hệ quả của nó để
chứng minh

Trong phần này phạm vi sử dụng chính là BĐT Cauchy ba số, phần nhỏ là BĐT

+ + ≥
+ + +
+ + + + + + ≥
   
+ + + ≥ + + =
   
    Bài 2.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
1) 3
2)
a b c a b b c c a abc
a b c a bc b ca c ab
+ + ≥ + + ≥
+ + ≥ + + Bài 2.4: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:
Các phương pháp chứng minh BĐT

5

3 3 3 3 3 3

Bài 2.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

( )
3
2
3
1)
2)
a b c a b c
b c a
abc
a b c ab bc ca
b c a
abc
+ +
+ + ≥
+ +
+ + ≥

Bài 2.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứ ng minh:

2 2 9 9
9
1
2 2
a b a b
b a
 
+
+ ≥

1
2 2
a b a b
b a
 
+
+ ≥
 
 

Bài 2.10: Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh:

6 6 6 6 3 2 3 2 3 2 3 2
a b c d a b c b c d c d a d a b
+ + + ≥ + + +

Các phương pháp chứng minh BĐT

6
Chương III
Sử dụng BĐT Trêbưsép để chứng minh BĐT

Giới thiệu với các bạn BĐT Trêbưsép:
Cho một số nguyên dương
2
n
≥

a b a b a b a a a b b b
n
+ + + ≥ + + + + + +

Hay
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
n a b a b a b a a a b b b
+ + + ≥ + + + + + +Bài tập:
Bài 3.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +

Bài 3.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

3
2

a b c
+ + =

Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
P
b c c a a b
+ + +
= + +
+ + +

Bài 3.5: Cho a,b,c là các số thực khác 0. Chứng minh:

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3
5
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + + + + +

Bài 3.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

1 1 1 1 1 1 9
1 1 1 1
a b c a b c abc


Bài 4.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2 2
1)
2) 3
3) 3
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c a b c
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +

Bài 4.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

( )
2 2 2
1)
2) 3
bc ca ab
a b c
a b c
bc ca ab
a b c
a b c


Bài 4.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

1) 6
1 1 1 9
2)
a b b c c a
c a b
a b c a b c
+ + +
+ + ≥
+ + ≥
+ +

Các phương pháp chứng minh BĐT

8

II.Các bài toán nâng cao

Bài 4.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +

0
a b c a b c b c a b a c c a c c b a
+ − − + + + − + − + + − + − ≥

Bài 4.9: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho
a b c
≥ ≥
. Chứng minh:

3
2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +

Bài 4.10: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

(
)
(
)
(
)
( )
3
3 3 3
1 1 1 1
a b c abc
− − − ≤ −