==@== Phßng GD&§T hun Yªn Thµnh Tr– êng THCS M· Thµnh ==@==
Tr
phßng GD & §T hun yªn thµnh
trêng THCS M· Thµnh
Một số phương pháp chứng minh
Bất Đẳng Thức THCS

Gi¸o viªn biªn so¹n: Ngun B¸ Phóc
===@@@=== Gi¸o viªn: Ngun B¸ Phóc ===@@@===
1
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==

Caực phửụng phaựp chửựng minh Baỏt ủaỳng thửực THCS
Bất đẳng thức là một trong những kiến thức trọng yếu của chơng trình Toán TH. Đối với ch-
ơng trình Toán THCS các em học sinh thờng gặp dạng Toán này trong các kì thi lớn nh
HSG hoặc vào các trờng chuyên. Song trong quá trình giãng dạy của mình, Tôi nhận thấy
rằng, đa số học sinh thờng rất yếu về dạng Toán này. Chính vì thế mà bài viết này Tôi muốn
gửi tới toàn thể các em Học Sinh những gì mà Tôi nghĩ là gần gũi với các em nhất, với
mong muốn phần nào đó giúp các em nắm vững hơn các kiến thức, rồi từ đó giải thành thạo
giạng Toán này.
Phần I : các kiến thức cần nhớ.
1) Đinhnghĩa





0
0
BABA
BABA

+) A > B

A
n
> B
n
với n lẻ.
+)
BA
>


A
n
> B
n
với n chẵn.
+) m > n > 0 và A > 1

A
m
> A
n

+) m > n > 0 và 0 < A < 1

A
m
< A
n

A (dấu = xảy ra khi A = 0)
+)
AAA

+)
BABA
++
(dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+)
BABA

(dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Phần II : một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Ph ơng pháp 1 : Dùng định nghĩa
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
2
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==
Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A B > 0
Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M
2


0 luôn đúng với mọi M
Ví dụ 1 Với mọi số thực x, y, z chứng minh rằng :
a) x
2
+ y
2
+ z

2
1
.(2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
2xy 2yz
2zx)
=
( )
[ ]
0)()(
2
1
22
2
++
xzzyyx
(*)
Vì (x y)
2


0 với mọi x ; y Dấu bằng xảy ra khi x = y
(y z)
2



2
2xy + 2xz 2yz
= (x y + z)
2

0 luôn đúng với mọi x; y; z

R
Vậy x
2
+ y
2
+ z
2

2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x; y; z

R. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.
c) Ta xét hiệu: x
2
+ y
2
+ z
2
+ 3 2( x + y + z ) = x
2
2x + 1 + y
2
2y + 1 + z
2

33






++

++
cbacba
c) Hãy tổng quát bài toán
giải
a) Ta xét hiệu:
4
2
4
)(2
22
2222
2
22
bababababa
++

+
=








+

+
baba
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
b)Ta xét hiệu:
[ ]
0)()()(
9
1
33
222
2
222
++=






++

++
accbba
cbacba





+++

+++
n
aaa
n
aaa
nn
Tóm lại các bớc để chứng minh A

B theo định nghĩa
Bớc 1: Ta xét hiệu H = A B
Bớc 2: Biến đổi H = (C

D)
2
hoặc H =(C

D)
2
+ .+ (E

F)
2
Bớc 3: Tìm ĐK để dấu = xãy ra.
Bớc 4: Kết luận A

=








++








++








++



=
01
2222
2222







+






+






+





=
=












=
=
=
=
1
2
2
2
2
2
01
2
0
2
0
2

2
2 BABABA ++=+
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
4
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==

( )
BCACABCBACBA 222
222
2
+++++=++

( )
3223
3
33 BABBAABA +++=+
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng:
a)
ab
b
a
+
4
2
2
b)
baabba
++++
1
22

a
+
4
2
2
. Dấu bằng xảy ra khi 2a = b
b) Ta có:
).(2)1.(21
2222
baabbabaabba
++++++++

0222222
22
++
baabba

0)12()12()2(
2222
+++++
bbaababa

0)1()1()(
222
++
baba
(Bất đẳng này luôn đúng).
Vậy
baabba
++++

22222222
+++++++
eaeadadacacababa0)2()2()2()2(
2222
+++
eadacaba
(Bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy
)(
22222
edcbaedcba
+++++++
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
)).(()).((
4488221010
babababa
++++
Giải: Ta có:
1284481212102210124488221010
....)).(()).(( bbabaabbabaababababa
++++++++++

0)()(.
22822228
+
abbababa




+
yx
yx
Vì: x > y nên x y > 0
).(2222
22
22
yxyx
yx
yx
+

+


0.22.22
22
++
yxyx

02.22.222
22
+++
yxyx

02.22.22)2(
222
+++





++<++
=
zyx
zyx
zyx
111
1..

Chứng minh rằng: Có đúng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1.
(Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Lam Sơn Thanh Hoá năm học 96 - 97)
Giải:
c) Xét
1)()1)(1)(1(
++++++=
zyxzxyzxyxyzzyx







+++++=

Nếu cả 3 số(x 1), (y 1), (z 1) đều dơng thì x, y, z >1

x.y.z > 1 (trái với giả
thiết x.y.z =1). Vì thế, bắt buộc phải xảy ra trờng hợp 2 trong 3 số (x 1), (y 1), (z
1) âm, tức là có đúng 1 trong ba số x, y, z là số lớn hơn 1 (đpcm).
Ph ơng pháp 3 : Dùng bất đẳng thức quen thuộc (Bất đẳng thức phụ)
A. Một số bất đẳng thức hay sử dụng.
1) Các bất đẳng thức cơ bản.
a)
xyxyyx 22
22
+
. Dấu = xãy ra khi x = y.
b)
xyyx
+
22
. Dấu = xãy ra khi x = y = 0.
c)
xyyx 4)(
2
+
. Dấu = xãy ra khi x = y.
d) Nếu a.b > 0 thì
2
+
a
b
b
a

( )
( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
2
.............
nnnn
xaxaxaxxaaa
+++++++++
4) Bất đẳng thức Trê - b - sép:
a) Nếu





CBA
cba
thì
3
.
33




==
==
CBA
cba

B. Các ví dụ
Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
6
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==
(a + b)(b + c)(c + a)

8abc
Giải:
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức phụ:
xyyx 4)(
2
+
)
Tacó:
abba 4)(
2
+
;
bccb 4)(
2
+

+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a

4) Cho x

0,y

0 và thỏa mãn điều kiện:
12
=
yx
. CMR:
5
1
+
yx

Ví dụ 3: Cho a > b > c > 0 và
1
222
=++
cba

+

+


ba
c
ac
b
cb
a
cba
222

áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có:







+
+
+
+
+
=
+
+

a
a
9
1
3
.
33
...
222
222
(Vì
1
222
=++
cba
theo giả thiết)



2
1
2
3
.
3
1
333
=
+
+


+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
3
1
.
Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > 0 và a.b.c.d = 1. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
10
2222
+++++++++ acddcbcbadcba
Giải:
Ta có:
abba 2
22
+
và
cddc 2
22
+

6222
111
=++






++






++






+=
bc
bc
ac
ac
ab
ab

2222222
)()()( dcbadbca
++++++


222222
)()( dcbadbca ++++++
Ví dụ 6: Chứng minh rằng:
cabcabcba
++++
222

Giải:
áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 cặp số (1, 1, 1) và (a, b, c) ta có:

( )
( )
2
222222
.1.1.1)(111 cbacba ++++++

)(2)(3
222222
cabcabcbacba +++++++

)(2)(2
222
cabcabcba
++++




(a c)(b d) > cd


ab ad bc + cd > cd


ab > ad + bc (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện
3
5
222
=++
cba
.
Chứng minh rằng:
abccba
1111
<+

Giải:
Ta có : (a + b c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2

Giải:
Ta có: (1 a).(1 b) = 1 a b + ab
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
8
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==
Do a > 0, b > 0 nên ab > 0

(1 a).(1 b) > 1 a b (1)
Mặt khác: Vì c < 1 nên 1 c > 0


(1 a).(1 b).(1 c) > 1 a b c


(1 a).(1 b).(1 c).(1 d) > (1 a b c).(1 d)
= 1 a b c d + ad + bd + cd


(1 a).(1 b).(1 c).(1 d) > 1 a b c d (Điều phải chứng
minh)
Ví dụ 4
a) Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng:
accbbacba
222333
3222
+++<++

b) Chứng minh rằng : Nếu
1998
2222

Mặt khác:
3232
;1;0 bbbaaba
>>><<
(**)
Từ (*) và (**)
332
1 baba
+>+

Hay
baba
233
1
+<+
(1)
Tơng tự :
cbcb
233
1
+<+
(2)
Và
acac
233
1
+<+
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có :


1998
+
bdac
2) Bài tập:
a) Cho các số thực: a
1
; a
2
; a
3
; ; a
2003
thỏa mãn: a
1
+ a
2
+ a
3
+ . + a
2003
=1.
Chứng minh rằng:

2003
1
...
2
2003
2
3










cba
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phơng pháp 5: Dùng tính chất của tỷ số
Kiến thức
1) Cho a, b, c là các số dơng thì
a) Nếu
1
>
b
a
thì
cb
ca
b
a
+
+
>

b) Nếu
1

<

Ví dụ 1: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

21
<
++
+
++
+
++
+
++
<
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
Giải :
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

dcba
da
cba
a
cba

<
+++
(3)
Tơng tự ta có:
dcba
ab
dcb
b
dcba
b
+++
+
<
++
<
+++
(4)

dcba
cb
adc
c
dcba
c
+++
+
<
++
<
+++

c
dcb
b
cba
a
(điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho
d
c
b
a
<
và b, d > 0. Chứng minh rằng
d
c
db
cdab
b
a
<
+
+
<
22

Giải: Từ
22
d
cd
b

<
+
+
<
22
(điều phải chứng minh)
Ví dụ 3: Cho a; b; c;d là các số nguyên dơng thỏa mãn : a + b = c + d = 1000.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
d
b
c
a
+
Giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử:
d
b
c
a

. áp dụng tính chất Nếu
n
m
b
a

thì
n
m
nb
ma

b

999
+
d
b
c
a

b) Nếu: b = 998 thì a = 1
dcd
b
c
a 9991
+=+
Đạt giá trị lớn nhất khi d = 1; c = 999
Vậy giá trị lớn nhất của P =
999
1
999
+=+
d
b
c
a
khi a = d = 1; c = b = 999
Phơng pháp 6: Phơng pháp làm trội
L u ý:
Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu
hạn hoặc tích hữu hạn.