1
___________

ABC
GLA
nhữngphơngphápchứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh


gla
abc
những ph ơng pháp chứng minh

LI NểI U Nhng nm gn õy Bt ng thc (BT) ging nh mt n hong - mang trong mỡnh
nhiu v p huyn bớ . T nhng kỡ thi H C, HSG Tnh hay n nhng kỡ thi Olympic quc
gia, quc t, BT c trao cho mt v trớ c bit quan trng. Nú xut hin trong bi thi nh th
thỏch s dng mnh ca cỏc chin binhvỡ th nú cú kh nng hụ phong, hoỏn v , nú lm chao
o khụng bit bao nhiờu cỏi u thụng minh nht.
Cng chớnh vỡ v p cha ng nhiu s tim n ú m khụng bit bao nhiờu anh ti lao vo
cuc chinh phc nh cao. Hng lot nhng cỏi tờn luụn c gii tr yờu Toỏn, yờu BT trong
nc nhc n nh : Phm Kim Hựng, Nguyn Anh Cng, Vừ Thnh Nam, Bựi Vit Anh vi s


# Bài 1 . ( Sáng tạ
o BĐT – P.K.H ) Cho . Chứng minh bất đẳng thức :
a,b,c 0: a b c 3>++=
222
abc
1b 1c 1a 2
3
+
+≥
+++

BG .
Ta có :
22
AM GM
22
aab ab
aa
1b 1b 2b 2
−
=− ≥ − =−
++
ab
a . Hoàn toàn tương tự ta có :

()()
222
abc 1
abc abbcca

AM GM
ac bd
ab bc cd da a c b d 4
4
−
⎡++ +⎤
⎣⎦
+++=+ + ≤ =# Bài 3 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=
22 2 2
abcd
2
1bc1cd1da 1ab
+
++
++++
≥

BG .
Ta có :
(
)
22
AM GM AM GM
22
b
aac
aabc abcba.a.c

và
()()
()
()
()
()
22
AM GM
bc ad
abc bcd cda dab bc a d da c b a d c b
44
−
++
+++= ++ + ≤ ++ +
=
=
()()
()
()
(
2
AM GM
bcad abcd
abcd abcd 4
416
−
++ +++
+++ ≤ +++ =
)
. đpcm ⇒


222
222
abc
1
a2b b2c c2a
+
+≥
+++

BG .
Ta có :
22 2
AM GM
3
22
22
3
4
a2ab 2ab2
aaa
a2b a2b 3
3ab
−
=− ≥ − =−
++
a.b
. Lại có :
www.VNMATH.com
3

222
abc 4 242
abc abbcca 3 1
a2b b2c c2a 9 3 33
++++++
+++
= . pcm .

# Bi 6 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++=

222
333
abc
1
a2b b2c c2a
+
+
+++

BG .
Ta cú :
23 3
AM GM
3
2
33
2
3
a2ab 2ab2
aaa

+++

BG .
Bi toỏn ny cú cỏch lm tng t Bi 1. chng qua tỏc gi ch cng thờm i lng
222
111
b
1b 1c 1
++
++
+
vo v trỏi ca BT ó CM .
# Bi 8 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=

22 22
a1 b1 c1 d1
4
1b 1c 1d 1a
++++
+
++
++++

# Bi 9 .
( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=

22 22
1111
2
1b 1c 1d 1a

www.VNMATH.com
4
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh
II.
1 S DNG TIP TUYN TèM LI GII TRONG CHNG MINH BT NG THC
Tụi khụng cú nhiu nhng thụng tin v phng phỏp ny, ch bit phng phỏp ny c vit bi
Kin - Yin Li vi tiờu Using Tangent Lines to Prove Inequalities nm 2005. Sau ú trờn din n toỏn
hc : www.mathscope.org
tỏc gi Nguyn Tt Thu ó vit li lm ti SKKN
Cỏi hay ca phng
phỏp ny l s xut phỏt t nhiờn tỡm li gii cho bt ng thc. Ta i vo mt s
VD sau ú s im qua ý gii toỏn ca nú.
# Bi 1. Cho . Chng minh rng : a,b,c R:a b c 6++=
(
)
444 333
abc2abc++ ++


Li gii 2. S tht thiu sút khi khụng nhc n s sỏt thng kinh hong ca BT AM GM
(Cụ-si ) . Ta cú : .
AM GM AM GM AM GM
43434
a2a 3a,b2b 3b,c2c 3c

+ + +
Li cú : . Do ú :
AM GM AM GM AM GM
333
a 2 3a, b 2 3b, c 2 3c

+ + +
()
(
)
(
)
444 333
a b c 2abc 2a b c 3abc 6+++ ++ ++ + ++


pcm
-
Li gii 3. Nhng tỏc gi mun dựng bi toỏn n gin ny nhc n mt cỏch chng minh khỏc :
Ta cú :
()()
(
)
2

hoc
ax b,x ;+
(
)
(
)
fx ax b, x ;+
. ng thc xy ra khi x = x
0
. T õy ta cú
hoc
() ( )
nn
iii
i1 i1
f x a x nb, x ;
==
+


() ( )
nn
iii
i1 i1
f x a x nb, x ;
==

+



+++
9

BG .
Trc khi gii bng phng phỏp tip tuyn nh t tng ca tỏc gi, tụi s gii quyt nú bi mt BT
quen thuc : BT Schwarz .
Ta cú :
()
()
2
222
Schwarz AM GM
3
abc
abc 1
VT
a abc b bca c cab a b c 3abc 10
abc
1
9

++
=++ =
+++ +++
++
+
9

_ Li gii bng p
hng phỏp tip tuyn :

nh sau :
222
4a 4b 4c 9
a2a5b2b5c2c510
++
+ + +

. Xột hm s
2
4x
f(x)
x2x5
=
+
, o hm :
f'(x)=
()
2
2
2
4x 20
x2x5
+
+
. Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=
1
3
( im ri ) l :


+++ + +

+
++++


BG.
Chun húa : Bt ng thc ó cho thun nht nờn ta ch cn chng minh BT ỳng vi mi s thc
dng tha món : a + b + c =1. Khi ú BT ó cho tr thnh :
41 41 41
9
1a a 1b b 1c c

+ +




(
)
(
)
(
)
fa fb fc 9

++

Xột hm s

1
f(x) (18x 3) 0, x 0;
2






. T ú ta gii quyt
bi toỏn !
# Bi 4 ( V Toỏn Ba Lan 1996 ). Cho
3
a,b,c
4

tha món : a+ b+ c =1. Chng minh bt ng thc
222
abc
a1b1c110
++
9
+
++

BG .
Xột hm s :
2
x
f(x)

# Bi 5 ( JAPAN MO 2002 ). Chng minh rng vi mi a, b, c khụng õm ta cú bt ng thc :
()
()
()
()
()
()
222
22 2
22
bca cab abc
3
5
bc a ca b ab c
+ + +
2
+
+
++ ++ ++

BG .
Chun húa : a + b + c = 1. BT ó cho tng ng vi BT :
() () ()
222
222
12a 12a 12a
3
2a 2a 1 2a 2a 1 2a 2a 1 5

+

=
(
)
()
32
2
254x 27x 1
25 2x 2x 1

+
+
=
()()
()
()
2
2
23x 1 6x 1
0, x 0;1
25 2x 2x 1
+

+
.
Bi toỏn ó tỡm
ra hng gii quyt !
www.VNMATH.com
6
___________


BG .
Chun húa : a + b + c = 1. BT ó cho tng ng vi BT :
() () ()
222
222
1a 1b 1c
8
3a 2a 1 3b 2b 1 3c 2c 1
+++
+
+
+ + +

Xột hm s :
()
2
2
x2x1
fx
3x 2x 1
++
=
+
, phng trỡnh tip tu
yn ti im cú honh x
0
=
1
3
l :


cỏc bi tp 3, 5, 6 ta bt gp mt k thut cú tờn l : K thut chun húa , nú s mang n cho BT
cn chng minh vi 1 cỏch nhỡn d hn. Nhng BT chun húa c l nhng BT thun nht :
/n
hm s thun nht :
Hm s f(a, b, c) c gi l thun nht vi cỏc bin trờn min I nu nú tha món
iu kin : f(ta, tb, tc) = t
k
f(a, b, c) vi mi t,a,b,c

I v k l mt hng s khụng ph thuc vo a,b,c,t
m ch ph thuc vo bn thõn hm f.
# Bi 7 ( RUSSIA MO 2002 ). Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++=
abcabbcca
+
+ ++
BG .
Ta cú : 9 = (a+b+c)
2
= a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+bc+ca) . Do ú BT cn CM tng ng vi BT :
222
abc2a2b2c+++ + + 9
Xột hm s : f(x) = x
2


BG .
Chun húa : a
2
+ b
2
+ c
2
=1 . BT ó cho tng ng vi BT :
13111
abc1
abc
33
+

++ +++



_Li gii 1.
BT
()
13111
abc 10
abc
33
+

++++


. x,x 0;1
x
33
+
=
fx , tip tuyn ca nú ti x
0
=
1
3
l : y
123 223
x
3
3
++
= +

# Bi 9 . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0>
()()()
()
222
abc 9
4a b c
bc ca ab
++
+
+
+++


+++




, suy ra pc
m .
_
Li gii 2 . Phng phỏp tip tuyn .
Chun húa :
a+b+c=1, BT ó cho tng ng vi BT :

()()()
222
abc
4
1a 1b 1c
++

9

. Xột hm s :
()
()
2
x
fx
1x
=


)
. Bi toỏn ó cú hng gii.

# Bi 10 (CHINA MO 2005) . Cho a, . Chng minh bt ng thc : b,c 0:a b c 1>++=
(
)
(
)
333 555
10 a b c 9 a b c 1
+
+ ++
# Bi 11 (
NEWZEALAND MO 1998) . Cho n s thc dng tha món : . Chng minh :
n
i
i1
xn
=
=

nn
i
2
i1 i1
ii
x
1
1x 1x
==

(
)
()
22 2
22
ab c bc a ca b
6
5
bc a ca b ab c
+++
2
+
+
++ ++ ++

# Bi 14 .
Cho a . Chng minh bt ng thc : ,b,c,d0:abbccdda1>+++=
3333
abcd1
b
cd cda dab abc 3
+
++
++ ++ ++ ++# Bi 15 .
Cho . Chng minh bt ng thc :
222
a,b,c 0:a b c 1>++=

0
= 1 l :
3x 1
y
4

=
Ta cú :
()
()
(
2
3x 1
3x 1
f(x) 0, x 0;3
443x


=

)
=
.
succeed !
# Bi 17 (
CHINA TST 2004 ) . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c,d 0:abcd 1>
()
2
a,b,c,d
1

i
2
i1
i
a3
3n2,nN
a1
=
+
≥∀> ∈
+
∑

# Bài 19 .
Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0>
()
()
()
()
()
()
333
333
333
3a b c 3b c a 3c a b
375
11
3a b c 3b c a 3c a b
++ ++ ++
++

++
≥
()
111
6xy
xyz
⎛⎞
z3
⇔
++ − ++ ≥
⎜⎟
⎝⎠
(1)
VT(1) =
() ()
SCW AM GM
111 54
6xyz xyz
xyz xyz
−
⎛⎞
++ − ++ ≥ − ++ ≥
⎜⎟
++
⎝⎠
3=VP(1)
# Bài 21 .Chứng minh bất đẳng thức :
() () ()
222
222

• Mới nhìn qua chúng ta có thể nghĩ rằng bài 10, bài 15 có thể giải quyết đơn giản bằng phương
pháp tiếp tuyến, nhưng…hãy đặt bút .!!!

Bài 10 (
CHINA MO 2005) . Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0:a b c 1>++=
(
)
(
)
333 555
10 a b c 9 a b c 1++ − ++ ≥
_ Tìm lời giải b
ằng p
2
tiếp tuyến :
Xét hàm số : f(x) = 10x
3
– 9x
5
. Phương trình tiếp tuyến tại điểm x
0
=
1
3
là :
75x 16
y
27
−
=

GLA
nh÷ngph−¬ngph¸p chøngminh b§T ®éc ®¸o
___________
Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình
Đạo hàm : g’(x) = ;
2
81x 36x 21−−+
7
x
9
g'(x) 0
1
x
3
⎡
=
−
⎢
=⇔
⎢
⎢
=
⎢
⎣

Ta có bảng BT :
x

0
1

Nếu f(x) lõm trên khoảng (a; b) liên tục trên đoạn [a; b] thì :
() ()
(
)
(
)
()()
(
)
(
)
()
[]
fa fb fa fb
fx fa x a fb x b, x a;b
ab ab
−−
≤+ −=+ −∀∈
−
−www.VNMATH.com