A. M U
1. lý do chọn đề tài
Trong chơng trình vật lý phổ thông điện xoay chiều là phần kiến thức quan trọng,
nó thể hiện ở dung lợng khá lớn, nó có mặt trong cấu trúc tất cả các đề thi tốt nghiệp,
đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp.Các bài toán điện xoay chiều rất phong
phú và đa dạng, có thể sử dụng nhiều phơng pháp khác để giải nh: phơng pháp lợng
giác, phơng pháp hình học (giản đồ vectơ), phơng pháp số phức.
Với việc chuyển đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm trong các kỳ thi,
yêu cầu học sinh không những nắm chắc kiến thức mà cần có kết quả chính xác trong
khoảng thời gian ngắn. Chính vì vậy, việc sử dụng phơng pháp nào cho nhanh nhất để
có kết quả chính xác cao là điều đợc thầy cô và các học sinh rất chú trọng, nht l
trong hỡnh thc thi trc nghim nh hin nay. Trong số các phơng pháp trên, học sinh
phổ thông thờng sử dụng phơng pháp giản đồ vectơ tip cn vn , nhng tụi nhận
thấy phơng pháp số phức là một phơng pháp đơn giản, v c bit hc sinh cú th ng
dng s dng mỏy tớnh cm tay gii nhanh cỏc bi toỏn in xoay chiu cho kt qu
chớnh xỏc cao. Học sinh chỉ cần nắm đợc những kiến thức cơ bản về số phức mà cỏc
em hoàn toàn dễ nắm bắt đợc, tụi tin rằng nếu đa phơng pháp này giảng dạy cho học
sinh các em sẽ có thêm một lựa chọn tốt để giải nhanh các bài toán điện xoay chiều nói
riêng và các bài toán dao động điều hoà nói chung .
Xuất phát từ những lý do trên, tụi đã nghiên cứu đề tài Sử dụng phơng pháp số
phức giải toán v mch in xoay chiu RLC v ng dng gii trờn mỏy tớnh
cm tay CASIO fx-570ES.
Với đề tài này tụi rất mong muốn phơng pháp này sẽ trở thành phơng pháp chính
đợc thầy cô và học sinh sử dụng để giải quyết các bài toán về dòng điện xoay chiều.
2. mục đích nghiên cứu
1
+ Đề tài nghiên cứu giúp các em học sinh có thêm một lựa chọn tốt khi giải các bài
toán điện xoay chiều nói riêng và các bài toán dao động điều hoà nói chung, từ đó vận
dụng nhanh, linh hoạt vào việc giải các bài tập, góp phần hình thành lòng say mê, sự
hào hứng tạo điều kiện để các em học sinh học tốt khi học tập bộ môn vật lí. Góp phần
nâng cao chất lợng, số lợng học sinh khá giỏi bộ môn vật lí. Tạo nền tảng tốt để các em

B. NI DUNG
Phần 1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Số phức
1.1.1. Xét tập hợp các cặp số thực (x,y) lấy theo một thứ tự xác định. Cặp số thực này có
thể coi nh một vectơ trong mặt phẳng Đềcac vuông góc xOy. Mỗi cặp số thực trên đợc
gọi là một số phức và mặt phẳng Đềcac xOy đợc gọi là mặt phẳng số phức. Nh vậy là
giữa tập hợp các số phức (x,y) và tập hợp các điểm z của mặt phẳng xOy có sự liên hệ
tập hợp các điểm z có sự liên hệ một đối một, do đó ta có thể viết đẳng thức.
z = (x,y)
Trong thành phần của số phức z = (x,y): x đợc gọi là phần thực, y đợc gọi là phần
ảo.
Kí hiệu:
Re
Im
=


=

x Z
y Z

( )
1 1 1
,z x y=
và
( )
2 2 2
,z x y=
đợc coi là bằng nhau

,z x y=
ứng với hai điểm đối xứng nhau đối
với trục thực đợc gọi là hai số phức liên hợp.
Kí hiệu:
( ) ( )
, ,x y x y =
Chú ý: Hai số phức liên hợp bằng nhau khi chúng đều là số thực.
1.1.2. Xác định các phép tính trên tập hợp số phức
4
Phép cộng: Tổng của hai số phức:
( )
1 1 1
,z x y=
và
( )
2 2 2
,z x y=
đợc xác định bằng
đẳng thức sau:
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( , ) ( , ) ( ; )z z x y x y x x y y+ = + = + +
Phép cộng hai số phức thực chất là phép cộng hai vectơ trên mặt phẳng xOy.
Phép nhân: Tích của hai số phức
( )
1 1 1
,z x y=
và
( )
2 2 2
,z x y=

Tính chất đặc biệt của tập hợp số phức: bình phơng của một số thuần ảo lại là
một số thực.
Tính chất khác nữa: mọi số thuần ảo đều có thể coi nh tích của đơn vị ảo với
một số thực có giá trị bằng phần ảo

(0, ) (0,1)( ,0)y y jy= =
Dựa vào (1) và (2) ta có thể viết số phức bất kì
( )
,z x y=
dới dạng sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ,0 0, ,0 0,1 ,0z x y x y x y x jy= = + = + = +
Dạng
z x jy= +
đợc gọi là dạng đại số hay dạng Đềcac của số phức.
1.1.4. Dạng lợng giác của số phức
5
y
y
z
x
x
O
z
r
Hình 1
Để thấy rõ hơn bản chất hình học của số phức ta sẽ có cách biểu diễn hình học của
nó (hình 1). Gọi độ dài của
Oz
uur

. Góc

gọi
là acgumen của số phức
z
.
Về hình học, một số phức
z
đợc xác định hoàn toàn bởi hai đại lợng là
r
và

.
Chúng đợc gọi là toạ độ cực của số phức
z
.
Kí hiệu:
r z
Argz

=


=

Chú ý: Môđun của số phức đợc xác định duy nhất còn acgumen đợc xác định sai
khác một bội của
2

.

arg
y
tg z
x
=
( )
cos sin cos sin

= + = + = +z x jy r jr r j
Đây là dạng lợng giác của số phức.
áp dụng công thức ơle:
( )
cos sin
j
j e


+ =
.
Số phức
z
còn đợc viết dới dạng:
.
j
z r e

=
.
6
1.2. Các phơng pháp biểu diễn dao động điều hoà

2
A
cos(
22

+t
)
Nếu hai dao động cùng biên độ
A
1
= A
2
= A
x = 2Acos(
22
2121

+
+
+
t
).cos(
22
2121


+

t
)

A
r
tạo với Ox một góc

bằng pha ban đầu và có độ dài tỉ lệ với biên độ A. Ta
gọi nó là vectơ biên độ.
Cho vectơ biên độ quay quanh O theo chiều dơng (ng-
ợc chiều kim đồng hồ) với vận tốc bằng

. Khi đó điểm
đầu mút vectơ
A
r
trên trục x sẽ biểu diễn một dđđh quanh
điểm O theo phơng trình
( )
cosx A t

= +
.
7
y
O
A
ur
x
y
ở điện học, trong phơng pháp này các đại lợng vô hớng nh cờng độ dòng điện,
hiệu điện thế, đợc biểu diễn bằng các vectơ . Các vectơ này có độ lớn bằng biên độ
0 0

j
a Ae A j A jA


= = + = +
Một dao động điều hoà dạng
( )
cosx A t

= +
có thể biểu diễn phần thực của
một số phức
( )
j t
a Ae

+
=
hoặc
( )
j t
a Ae

+
=
hay cũng có thể viết dới dạng:
( )
expa A j t

= +

=
ta có:
2j j
aa Ae Ae A


= =
1.3. Phơng pháp dùng số phức để giải bài toán mạch điện xoay chiều
a. Đối chiếu công thức ơle với phơng trình của dao động điện từ ta thấy một đại lợng
biến thiên điều hoà theo thời gian
( )
sina A t

= +
có thể biểu diễn bằng một số phức
kí hiệu
a

( )
j t
a a Ae

+

=
8
Bởi vì trong bài toán mạch điện xoay chiều, tần số góc

có trị số xác định nên để
thuận tiện trong tính toán ta quy ớc:

(v) thì nó đợc biểu
diễn bằng số phức
*
100 2=u
(v) vì
0

=
.
Nếu cờng độ dòng điện có dạng:
5 2 sin 100
4
i t



= +
ữ

(A)
thì nó đợc biểu diễn bằng số phức :
4
5 2 5 5
j
I e j


= = +
(A)
Và ngợc lại, nếu có

2
cos(100
24


+t
) = 5
2
cos(100
2


t
)(v).
Ngoài ra vì
R
gắn với
R
u
uur
,
L
Z
gắn với
L
u
uur
,
C
Z

,
1 2
U U U

= + +
với
,
i i
Z U

là tổng trở và hiệu điện thế của đoạn mạch thứ
i
.
9
c. Còn nếu mạch gồm nhiều đoạn mạch ghép song song thì tổng trở của toàn mạch và
dòng điện chính trong mạch là:
* * *
1 2
* * *
1 2
1 1 1
; I I I
Z Z Z
= + + = + +L
với
* *
1 2
1 2
, ,
U U

* * *
1 2 3
Z Z
Z
Z Z Z
=
+ +

* *
*
1 2
3
* * *
1 2 3
Z Z
Z
Z Z Z
=
+ +

1.4 . Giải toán số phức trên máy tính cầm tay CASIO fx-570ES.
a) Nhng thao tỏc c bn
thc hin tớnh toỏn s phc trờn mỏy, chỳng ta phi vo mode CMPLX bng
cỏch n:
[Mode] [2]. Trờn mn hỡnh hin CMPLX.
10
Trong mode CMPLX, để nhập kí hiệu i ta nhấn phím “ENG”
Để nhập ký hiệu ngăn cách ∠ , ta nhấn [SHIFT] [(-)]
- Khi máy tính hiển thị ở dạng đại số (a+bi), thì chúng ta sẽ biết được phần thực
và phần ảo của số phức

8( )R =
cuộn thuần cảm có hệ số tự cảm
1
( )
80
L H

=
, một tụ điện có điện
dung
4
10
( )
8
C F


=
. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều có biểu
thức
34 2 sin(2000 ) ( )u t V

=
.
1. Tìm biểu thức cờng độ dòng điện tức thời trong đoạn mạch.
2. Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, hai đầu cuộn cảm và hai
đầu tụ điện.
Lời giải
1.
1

AB
U =
( )
*
*
*
34 2 2 2
8 15
8 15 17
AB
AB
AB
U
I j
Z j
= = = +

2 2
0
2 2 2 2
8 15 17 2 2
17 17
I = + = ì =
13
( )
15 62
2 2 sin 2000 2 2 sin 2000 1,08 2 2 sin 2000
8 180
i t arctg t t
π

R R
U I R j j= × = + × = +
( )
31
16 2 sin 2000
90
π
π
 
⇒ = +
 ÷
 
R
u t V
+)
( ) ( )
* * *
2 2 50 2
8 15 25 8 15
17 17
L AB L
U I Z j j j= × = + × × = −
14
8 28
50 2 sin 2000 50 2 sin 2000
15 180
L
u t arctg t



U I Z j j j= ì = + ì =
( )
8 7
80 2 sin 2000 80 2 sin 2000
15 45
80 2 sin 2000 0,49 ( )
C
u t arctg t
t V






= + =
ữ ữ
ữ


=
*á p dụng tính trên máy tính casio fx-570ES:
Sau khi tìm đợc kết quả cờng độ dòng điện tức thời ở trên
Thực hiện nhớ kết quả vào bộ nhớ máy bằng thao tác nhấn: [ M+ ]
Lấy kết quả lần lợt nhân với 8; 25i; (-40)i ta đợc kết quả u
R
; u
L
; u
C


= = = =
ữ

31
2 2 sin 2000 ( )
90
i t A



= +
ữ

+)
31 31
2 2 sin 2000 8 16 2 sin 2000
90 90
R
u i R t t
= ì = + ì = +
ữ ữ

+)


)
Bài 1.1.2
Một mạch điện gồm điện trở thuần
75( )R =
mắc nối tiếp với cuộn cảm có độ
tự cảm
5
( )
4
L H

=
và với một tụ điện có điện dung
3
10
( )
5
C F


=
. Dòng điện xoay
chiều chạy trong mạch có biểu thức
( )
2sin 100 ( )i t A

=
.
1. Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, giữa hai cuộn cảm, giữa


1. +)
* *
2 75 150
R R
U I R= × = × =
150sin100 ( )
R
u t V
π
⇒ =
= 150.cos(100
t
π
-
2
π
) (V)
+)
* * *
2 125 250
L L
U I Z j j= = × × =
250sin 100 ( )
2
L
u t V
π
π
 

75 125 50 75 75 ( )
AB L C
Z R j Z Z j j= + − = + − = + Ω
( ) ( )
* * *
2 75 75 150 1 ( )
AB AB
U I Z j j V⇒ = = + = +
150 2 sin 100 ( )
4
AB
u t V
π
π
 
⇒ = +
 ÷
 
= 150
2.
.cos( 100
4
π
π
−t
) (V)
Cách 2:
1. Ta có: Z
L
= L.

π
-
2
π
) (V
+) U
0C
= I
0
.Z
C
= 2. 20 = 100
Ω

⇒
u
C
= 100.sin( 100
2
π
π
−t
) (V) = 100.cos(100
ππ
−t
) (V).
+) U
0L
= I
0.

AB
so vi i:
tan

=
1
50
75125
=

=

R
ZZ
CL



4


=

u
AB
sm pha
4

so vi i
+) U

- Nhn xột: So vi phng phỏp truyn thng, phng phỏp s phc trong bi tp
trờn t ra u vit hn.
1.2. Xác định các đại lợng trong mạch
1.2.1. Cho mạch điện nh hình vẽ.
1
50( ), ( )R L H

= =
. Đặt vào hai đầu mạch
điện xoay chiều
( )
220 2 sin 100 ( )u t V

=
. Biết tụ điện có thể thay đổi. Tính
C
để
hiệu điện thế cùng pha cờng độ dòng điện.
Lời giải
*
220 2 ( )
AB
U V=
1
100 100 ( )
L
Z L


= = ì =

1
C
Z
C

=
4
1 1 10
( )
100 100
C
C F
Z


= = =
ì
Suy ra khi đó xảy ra hiện tợng cộng hởng.
1.2.2. in ỏp gia hai u cun dõy v cng dũng in qua cun dõy l:
18
80sin(100 ); 2 sin(100 )
8 8
u t i t= + =
.
in tr thun R v t cm L ca cun dõy l:
A. 40 v 0,368 H B. 40 v 0,127 H
C. 40

b. Hiệu điện thế giữa hai điểm Q, N trễ pha
2

so với dòng điện.
c. Hiệu điện thế giữa hai điểm P, Q sớm pha
2

so với dòng điện.
2. Giải sử
, ,R L C
là các đại lợng đã cho. Hỏi có thể biến đổi tần số của dòng điện để
cho hiệu điện thế trên từng đoạn mạch PQ, QN và trên toàn mạch MN cùng pha với
dòng điện đợc không? Giải thích?
Lời giải
19
1.
( )
*
0 0
sini I t I I

= =
+) Hiệu điện thế giữa hai điểm M, P là:
* * *
0MP MP
U I Z I R= =
0
sin
MP
u I R t

* * *
0QN QN C
U I Z I jZ= = ì
0
sin
2
QN C
u I Z t



=
ữ

Suy ra
QN
u
trễ pha
2

so với cờng độ dòng điện.
2. Ta thấy sự lệch pha của
PQ
u
,
QN
u
không phụ thuộc vào

hay tần số



+
ữ

(A). Nu t in
ỏp núi trờn vo hai bn t ca t in cú in dung C =
4
10.
1


F thỡ biu thc no trong cỏc
biu thc sau ỳng vi biu thc dũng in ?
A. i = 1.5
7
2cos 100
6
t



+
ữ

(A). B. i = 1.5
7
cos 100
6
t

20
C¸ch gi¶i:
U
*
=Z
L
*
I
1
*
=> I
*
2
= U
*
: Z
*
C
= Z
L
*
.I
1
*
: Z
*
C
= 3
2
∠

π
u =50cos(100πt- )V
3
C.
C
π
u =100cos(100πt- )V
2
D.
C
5π
u =50cos(100πt- )V
6
C¸ch gi¶i:
U
C
*
= I
*
. Z
C
*
= U
*
L
: Z
L
*
x Z
C

AB
có dạng
A. u
AB
= 200
2
cos (100 πt +
4
π
)V B. u
AB
= 200 cos (100 πt –
4
π
)V
C. u
AB
= 200
2
cos(100 πt –
3
π
)V D. u
AB
= 200 cos(100 πt +
3
π
)V
C¸ch gi¶i:
R

π
: (100 + 200i) x (100 -100i) =
= 200
2
∠
–
3
π
1.4.4. Giữa hai điểm A và B của một đoạn mạch xoay chiều chỉ có hoặc điện trở thuần
R, hoặc cuộn thuần cảm L, hoặc tụ có điện dung C. Điện áp giữa hai đầu mạch là u =
200cos100πt V, dòng điện qua mạch là i = 2cos(100πt -
2
π
)A. Kết luận nào sau đây là
đúng?
A. Mạch có R = 100
Ω
. B. Mạch có cuộn thuần cảm L =
1
π
H.
21
A L Đ D C
B
C. Mạch có tụ có điện dung C =
4
10
π
−
F. D. Mạch có tụ có điện dung C =

Số học sinh đạt điểm x
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
II. bài học tổng kết
Qua quá trình vận dụng đề tài trong giảng dạy tôi nhận thấy phơng pháp số phức kết
hợp giải trên máy tính cầm tay khá đơn giản, có thể giải bài toán một cách nhanh
chóng, có kết quả chính xác cao, hơn nữa việc kiểm tra lại cũng khá dễ dàng. Với ph-
ơng pháp này việc sử dụng các công thức toán học cũng không nhiều nên thuận lợi
cho học sinh trong quá trình giải bài toán xoay chiều. Ưu điểm trên rất phù hợp với
thời kỳ mới trong chơng trình cải cách từ thi tự luận sang trắc nghiệm hiện nay.
III. điều kiện áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Phơng pháp số phức kết hợp giải trên máy tính cầm tay có thể áp dụng giải cho
mạch điện xoay chiều RLC thuộc chơng trình Vật lí 12.
- Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho các học sinh đại trà và học sinh khá, giỏi lớp 12
23
+ Học sinh yếu, trung bình nắm đợc phơng pháp giải để vận dụng tính nhanh kết quả cho
các trờng hợp đơn giản.
+ Học sinh khá, giỏi có thể ứng dụng, phát triển giải các bài tập phức tạp hơn.
IV. Hạn chế
Hạn chế của đề tài là cha đề cập nhiều đến các bài tập phức tạp, các bài toán cực trị. Cha
đề cập tới các bài toán về máy phát điện, động cơ điện, sự truyền tải điện năng.
V. Hớng tiếp tục nghiên cứu mở rộng đề tài
Nhằm nâng cao chất lợng học tập của học sinh trong thời gian tiếp theo tôi sẽ
tiếp tục vận dụng và phát triển đề tài cho các chuyên đề của chơng trình vật lí 12 nh
nghiên cứu các bài toán phức tạp về điện xoay chiều, các bài toán cực trị, bên cạnh đó
sẽ tiếp tục nghiên cứu, ứng dụng sang các bài toán dao động điện từ, dao động điều
hoà và các dạng toán vật lí có liên quan.
Tiên Lữ, ngày 20 tháng 02 năm 2011
Ngời thực hiện
Nguyễn Văn Đông