Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C

x
α

1
1
x
C
α
α
+
+
+

()ax b
α
+

a
1
1
()
1
ax b

a
C
a
+x
e

x
eC+

ax b
e
+

1
ax b
eC
a
+
+

sinx -cosx + C sin(ax+b)

1
cos( )ax b C
a
−+
+


-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b
+1
cot ( )gax b C
a
−+
+

'
()
()
ux
ux

ln ( )ux C+

22
1
x
a
−1

Phương pháp 1:
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên
hàm cơ bản
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
3
1
() cos
1
fx x
x
x
=+
+−
2.
2
2x 5
f(x)
x4x3
−
=
−

. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì:

[]
() () () ()
b
b
a
a
f
xdx Fx Fb Fa==−
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz)

2. Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì :
() 0
b
a
fxdx
=
∫

•
Tính chất 2:
() ()
ba
ab
f
xdx f xdx=−

• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[
]
;ab
và
[
]
() () x a;bfx gx≥∀∈
thì

() ()
bb
aa
f
xdx gxdx≥
∫∫

• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên
[
]
;ab
và
( ) ( m,M là hai hằng số)mfx M
≤
≤
thì

() () ()
b
a

.() . ()
bb
aa
kf xdx k f xdx=
∫∫
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[
]
;ab
và c là một hằng số thì

() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫

• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên
[
]
;ab
cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa
là :
( ) ( ) ( )
bbb
aaa
f x dx f t dt f u du==
∫∫∫
=

dx
x5x6
+
++
∫

5)
1
2
0
2x 5
dx
x4x4
−
−+
∫
6)
3
3
2
0
x
dx
x2x1++
∫
7)
6
66
0
(sin x cos x)dx

∫
11)
2
6
1sin2xcos2x
dx
sinx cosx
π
π
++
+
∫
12)
1
x
0
1
dx
e1+
∫
.
13)
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
14)

x
x

17)
∫
−+
−
0
2
2
32
4
dx
x
x

18)
∫
+
+
−
1
1
2
52
x
x
dx
1
x2
x
+−
∫
dx

5)
3
x
0
24dx−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
2
0
1sinxdx
π
+
∫
8)
dxxx
∫
−

DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x)
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
Công thức đổi biến số dạng 1:
[]
∫
=
∫
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt t dxxudtxu )()(
'
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax

π
∫
2)
2
5
0
cos xdx
π
∫
3)
4
2
0
sin 4x
dx
1cosx
π
+
∫
4)
1
32
0
x1xdx−
∫

5)
2
23
0

9)
e
2
1
1lnx
dx
x
+
∫
10) 11)
1
536
0
x(1 x)dx−
∫
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
−+
∫
12)
3
4
0
tg x
dx

−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
16)
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x

17)
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx

cos31
sin2sin
π
dx
x
xx

21)
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
22)
∫
+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x
23)
∫
2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x =
b
a
f(x)dx
∫
(t)
ϕCông thức đổi biến số dạng 2:
[]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt dttdxtx )()(
'
ϕϕ

1)
1
2
0
1xdx−
∫
2)
1
2
0
1
dx
1x
+
∫
3)
1
2
0
1
dx
4x
−
∫
4)
1
2
0
1
dx

x
dx
1x−
∫
8)
2
22
1
x4xdx−
∫86
9)
2
3
2
2
1
dx
xx 1
−
∫
10)
3
2
2
1
93x
dx

7cos2
x
dx
x
π
+
∫
14)
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
15)
2
0
cos
1cos
x
dx
x
π
+

x
xxII. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Tính các tích phân sau:
1)
8
2
3
1
1
dx
xx
+
∫
2)
7
3
32
0
1
x
dx
x+
∫
3)
3
52
0

0
1
x
xd+
∫
x
7)
∫
+
32
5
2
4xx
dxIII. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần: []
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(

[]
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Bước 3: Tính
[
và
]
b
a
vu.
∫
b
a
vdu

Tính các tích phân sau:
1)
2
5
1
lnx
dx
x

dx
cos x
π
+
∫87
7) 8)
2
0
xsinxcos xdx
π
∫
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
9)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫

14)
1
2
0
x
tg xdx
∫
15)
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
16) 17)
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
∫
e
dx
x
x
1
ln
18)

2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
aa
a0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
∫∫
Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì:
a)
22
00
f(sinx)dx f(cosx)dx
ππ
=
∫∫

b)
00
xf(sinx)dx f(sinx)dx
2
ππ
π
=
∫∫

ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau:

88
1)
n

π
+
∫4) 5)
5
0
xsin xdx
π
∫
2
2
2
4sin
xcosx
dx
x
π
π
−
+
−
∫
6)
1
4
2
1
sin

Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì
+
0
()
( ) với R và a > 0
1
x
fx
dx f x dx
a
αα
α
α
−
=∈
+
∫∫
;
a1
≠

ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau:
2)
1
2
1
1
12
x
x

Công thức: 89
1
C
y
2
C
y
2
C
x
1
C
x ]
dxxgxfS )()(


⎨
⎪
=
⎪
⎩
2) (H
2
) :
2
yx4x3
yx3
⎧
=
−+
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
3) (H
3
):
3x 1
y
x1
y0
x0
−
−
⎧

⎧=
⎪
⎨
=
−
⎪
⎩
6) (H
6
):
2
yx50
xy30
⎧
+
−=
⎨
+
−=
⎩

7) (H
7
):
lnx
y
2x
y0
xe
x1

9
):
2
33
yx x
2
yx
⎧
2
=
+−
⎪
⎨
⎪
=
⎩

10) (H
10
): 11)
2
y2yx0
xy0
⎧
−+=
⎨
+=
⎩
⎪
⎩

V.
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.

Công thức:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=Δ
=Δ
=
=
bx
ax
xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
⎪

1
yfxC =
)(:)(
2
ygxC =
a
y
=
by =
O
y
x
x
)(H
a
b
)(:)(
1
xfyC
a
=
=
)(:)(
2
xgyC
bx =
O
= []
dxxfV
b
a
2
)(
∫
=
π
[]
dyyfV
b
a
2
)(
∫
=
π
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x

==
+

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Hết

90