Chuyên đề 9: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Các ký hiệu:
• A, B, C: là các góc đỉnh A, B, C
• a, b, c : là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C
• h
a
, h
b
, h
c
: là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C
• m
a
, m
b
, m
c
: là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C
• l
a
, l
b
, l
c
: là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A, B, C
• R : là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
• r : là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
• p =
2
1

⎩
⎨
⎧
==
==
=
+=
=
+=
==
gBbtgCbc
gCctgBcb
BaCac
CaBab
cbha
cbh
cbh
cba
cabab
cot
cot
.7
cos.sin.
cos.sin.
.6 5
111
.4
3
.2
1

Đònh lý hàm số CÔSIN:
Trong tam giác ABC ta luôn có : C
abbac
Bcaacb
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
−+=
−+=
−+=47c
b
a
A
B
C

Ghi nhớ: Trong một tam giác, bình phương mỗi cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ đi hai

Đònh lý hàm số SIN:
Trong tam giác ABC ta có : R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
=== Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có: CRcBRbARa sin2,sin2,sin2
=
=
= c
a
b
O
A

+
=
−
+
=
−
+
=48 4. Đònh lý về diện tích tam giác:

Diện tích tam giác ABC được tính theo các công thức sau: ))()((.5
.4
4
.3
sin
2c
a
b
m
a
M
B
A
C
c
a
b
h
a
H
B
A
C

5. Đònh lý về đường phân giác: ba
C
ab
l

VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
AB
sinA sinB sinC 4.cos .cos .cos
22
++=
C
2

b)
222
sin A sin B sin C 2 2cosA.cosB.cosC++=+
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (
tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC++=
Δ
ABC không vuông)
b)
AB BC CA
tg .tg tg .tg tg .tg 1
22 22 22
++
=Dạng 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC

I. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :

≥

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b

Tổng quát :
Cho
n số không âm a
1
,a
2
, a
n
ta có :

12
12

.
n
n
n
aa a
aa a
n
+
++
≥

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a
1

12
12

n
n
a
aa
bb b
===
với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng

3) Bất đẳng thức cơ bản:

1111
()
4
≤
+
+
x
yxy
a) Cho hai số dương x, y ta luôn có:

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi x = y b) Với mọi số thực x, y ta luôn có:
xyyx 2
22
≥+

+

)2( ≥n
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
n
xxx
=
=
=

21

2) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) > 0
);( bax
∈
∀
(f là hàm lõm) thì
Với mọi ta có: );(, ,,
21
baxxx
n
∈

50

)

(
)( )()(
2121

Phương pháp 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến đến một bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Phương pháp 2: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đã biết (Cô si, BCS, ) để suy ra bất đẳng thức cần
chứng minh
VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
8
1
2
sin.
2
sin.
2
sin
≤
CBA

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)
2
33
2
cos
2
cos
2
cos ≤++
CBA

b)
2

33
1
2
.
2
.
2
≤
C
tg
B
tg
A
tgDạng 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

KIỂU ĐỀ TOÁN 1:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
KIỂU ĐỀ TOÁN 2:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Δ⇔
⎥

trước" đến một đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận được tính chất của tam giác
3) Nhận dạng tam giác đều
Ngoài phương pháp đã nêu trên ta có thể giải quyết bài toán theo cách sau

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Gồm 2 bước (áp dụng khi "Điều kiện cho trước" có dạng
đẳng thức A = B

Bước 1: CM bất đẳng thức
B
A
≥
hoặc
B
A
≤
(1)

Bước 2: Lập luận để đẳng thức ở (1) xãy ra mà khi đẳng thức (1) xảy ra thì tam giác ABC đều
VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Tam giác ABC có
tgA
A
B
BA
=
+
+
cossin
cossin
. Chứng minh rằng

1cosA1cosB1cosC
++=
+++52
1)
1
cosA.cosB.cosC
8
=
3)
AB
cosA cosB cosC sin sin sin
22
++=++
C
2
4)
111111
AB
cosA cosB cosC
sin sin sin
22
++=++
C
2

Ví dụ 5: Xác đònh dạng của tam giác ABC biết:
1)

++=+ +
2

Ví dụ 7: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
≤−
8
332
2
sin
2
sin
2
sin
)(4
CBA
bcapp

trong đó BC = a, AB = c,
2
cba
p
+