Chuyên đề 10: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.BÀI TOÁN 1 : ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CÓ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TÓM TẮT GIÁO KHOA
Phương pháp chung:

Để vẽ đồ thò của hàm số có mang dấu giá trò tuyệt đối ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa biến bên trong dấu giá trò tuyệt đối .
Bước 2: Sử dụng đònh nghóa giá trò tuyệt đối để khử dấu giá trò tuyệt đối
Phân tích hàm số đã cho thành các phần không có chứa dấu giá trò tuyệt đối
( Dạng hàm số cho bởi nhiều công thức)
Bước 3: Vẽ đồ thò từng phần rồi ghép lại( Vẽ chung trên một hệ trục tọa độ) * Các kiến thức cơ bản thường sử dụng:
1. Đònh nghóa giá trò tuyệt đối : ⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
0A nếu
0A nếu
A

⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
)(:)(
)(:)(
)(:)(
3
2
1
xfyC
xfyC
xfyC
54

Dạng 1: Từ đồ thò
)(:)()(:)(
1
xfyCxfyC =→=

Cách giải

B1. Ta có :
⎩
Dạng 2: Từ đồ thò
))(:)()(:)(
2
xfyCxfyC =→=
( đây là hàm số chẵn)
Cách giải B1. Ta có :
⎩
⎨
⎧
<−
≥
==
(2) 0x nếu
(1) 0x nếu
)(
)(
))(:)(
2
xf

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x
3
-3x+2
23:)(
3
1
+−= xxyC
y=x
3
-3x+2
y=x
3
-3x+2
Minh họa:

x

3
-3x+2
23:)(
3
2
+−= xxyC
y=x
3
-3x+2
y=x
3
-3x+2
y
y
x
x
Dạng 3: Từ đồ thò
)(:)()(:)(
3
xfyCxfyC =→=

Cách giải B1. Ta có :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧


Minh họa:

56
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x
3

y=x
3
-3x+2

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số : (1) xxy 3
3
+−=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thò các hàm số sau:

xxya 3)
3
+−=
b)
xxy 3
3
+−=
c)
xxy 3
3
+−=

Bài 2: Cho hàm số :
1
1
−
+
=

=
x
x
y
d)
1
1
−
+
=
x
x
y
e)
1
1
−
+
=
x
x
y 2.BÀI TOÁN 2 : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Bài toán tổng quát:
Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thò hai hàm số :

1
x
2
x
1
M
2
M
2
y
1
y
0
M
)(
2
C
)(
1
C
(C

). Chú ý 1 :
* (1) vô nghiệm
⇔
(C
1
) và (C
2
) không có điểm điểm chung
* (1) có n nghiệm
⇔
(C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
Chú ý 2 :
* Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C
1
) và (C
2
).
Khi đó tung độ điểm chung là y
0
= f(x
0

13:)(
−
−= xydMinh họa:
f(x)=(2*x-1)/(x+1)
f(x)=-3*x-1
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=2
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-20
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
1
12
:)(
+
−
=
x
x
yC
13:)(

f(x) g(x)
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
M
O
Δ
)(
1
C
)(
2
C
y
x
Áp dụng:
Ví dụ: Cho và 13:)(

-15
-10
-5
5
10
15
x
y
)(C )(P

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số (1)
2
(1)( )yx xmxm=− + +
Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 2: Cho hàm số (C)
32
23yx x=−−1
Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt
(C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 3: Cho hàm số (C) 23
3
+−= xxy
Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để đường thẳng (d)
cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 4 : Cho hàm số (1)
42
1yx mx m=− +−
Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Bài 5: Cho hàm số

++
=
+

Tìm các giá trò của m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thò hàm số tại hai điểm phân biệt
thuộc cùng một nhánh của đồ thò.
Bài 8: Cho hàm số
2
1
mx x m
y
x
++
=
−
(1)
Tìm m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành t hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ
dương .
Bài 9: Cho hàm số
2
1
1
x
mx
y
x
+−
=
−
(1)

2
5
) sao cho (d) cắt đồ thò (C) tại hai điểm
phân A,B và M là trung điểm của AB.
Bài 12: Cho hàm số
)1(2
33
2
−
−+−
=
x
xx
y
(1)
Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thò hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=1
Bài 13: Cho hàm số
2
(1)( )
y
xxmxm=− + +
(1)
Tìm m để đồ thò hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành. Xác đònh tọa độ tiếp điểm trong mỗi trường
hợp tìm được

59
Bài 14: Cho hàm số
1
1
2

+−
=
x
xx
y
(C) và hai đường thẳng
3:)(&:)(
21
+
=
+
−
=
xydmxyd

Tìm tất cả các giá trò của m để (C) cắt (d
1
) tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua (d
2
)
Bài 17: Cho hàm số
x
xy
4
+=
(1)
Chứng minh rằng đường thẳng
mxyd
+
=
60
3.
BÀI TOÁN 3: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG
a. Dạng 1:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C):y = f(x) tại điểm
000
M(x;y) (C)∈

(C): y=f(x)
0
x
x
0
y
y
0
M
Δ


)
k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f
'
(x
0
) Áp dụng:
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số tại điểm uốn của nó 33
3
+−= xxy

`b. Dạng 2:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi
00
(;)()
M
xy C∈ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)


tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .

(C): y=f(x)
Δ
x
y
ak /1
−
=
O
baxy
+=
Δ
:
2

(
C
)
:
y
=f
(
x
)

x
y
ak =
baxy

( ; ) và B(x ; ) với x x
AA B B
A
xy y ≠ thì hệ số
góc của ( ) là :
Δ

B
A
B
A
yy
k
x
x
Δ
−
=
−

Đònh lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ()
12
và ()Δ . Khi đó:
Δ

12
12

=
x
x
y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
xy 3:)(
−
=
Δ

c. Dạng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
A
;y
A
)

y
x
AAAA
yxxkyxxkyy
+
−=⇔

f( )
A
y
xk
+
⎧
⎪
Δ⇔
⎨
=
⎪
⎩

Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm. Áp dụng:
Ví dụ1: Cho đường cong (C): 43
23
++= xxy
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)
Ví dụ 2: Cho đường cong (C):
25
2
x
y
x
−
=
−

Bài 3: Cho hàm số
1
63
2
+
++
=
x
xx
y
(C)
Tìm trên đồ thò (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
xyd
3
1
:)( =

Bài 4: Cho đường cong (C):
2
1
1
x
x
y
x
++
=
+

Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C).

song với đường thẳng 5x-y=0
Bài 7: Cho đường cong (C): 23
23
+−= xxy
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7) 63
4.BÀI TOÁN 4: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình f(x) = g(x) (1)
Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C
1
):y=f(x) và (C
2
):y=g(x)

64


x
0
x
)(
1
C
)(
2
C
y
x
)(:)( xfyC =
);0( m
1
m
2
m
m
Δ
O

y
=
x
y
Δ
ky
=
);0( k
K
1
M
O
2
K

Áp dụng:
Ví dụ: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số 41292
23
−+−= xxxy
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
041292
23
=−−+− mxxx
3) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
mxxx =+− 1292
2
3


2432 1xx mx−−+ −=0
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

32
2
32logxx m−+ −− =0
Bài 6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
3
2
23
3
x
xx
e
ee
m
−
+=

Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm:

22
11 11
9(2).321
tt
aa
+− +−
−+ + +=0

5. BÀI TOÁN 5: HỌ ĐƯỜNG CONG

• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M
0

• Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M
0

•
Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M
0

Trong trường hợp này ta nói rằng M
0
là điểm cố đònh của họ đường cong )(
m
C

Áp dụng:
Ví dụ: Gọi (C
m
) là đồ thò hàm số
mx
m
mxy
+
−++−=
2
1 . Tìm m để tiệm cận xiên của (C
m
) đi qua điểm
A(2;0)

Dạng 2:
0
2
=++ CBmAm m
∀

Áp dụng đònh lý: (2)
0=+ BAm
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔∀
0
0
B
A
m

66
(3)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=

xx
y
x
++
=
+

Tìm điểm thuộc đồ thò hàm số sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng
cách từ đó đến trục tung .
Bài 3: Cho hàm số
21
1
x
y
x
+
=
+

Tìm trên đồ thò hàm số những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất
Bài 4: Cho hàm số
2
22
1
xx
y
x
+−
=
−

(C)
Tìm hai điểm A,B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất
Bài 8: Cho hàm số
2
2
1
xx
y
x
++
=
−

Tìm trên đồ thò hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm
5
(0; )
2
I

Bài 9: Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
−

Tìm trên đồ thò hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x-1


x
mx m
y
x
++
=
+
(C
m
)
Tìm tất cả các giá trò của tham số m để đồ thò (C
m
) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc
toạ độ
Bài 3: Cho hàm số (C
322
33(1)1yx mx m x m=− + − +−
2
m
)
Tìm tất cả các giá trò của tham số m để đồ thò (C
m
) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc
tọa độ
Bài 4: Cho hàm số
2
45
2
x
mx m