BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ THANH TÚ
TỐC ĐỘ TẠO PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ
DO TƯƠNG TÁC ELECTRON-PHONON
BỊ GIAM GIỮ
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
TS. LÊ ĐÌNH
Huế, Năm 2012
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng
tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là
trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa
từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào
khác.
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Thanh Tú
ii
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Lê Đình đã
tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và
thực hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Vật lý, phòng
Đào tạo Sau đại học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình
học tập tại trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế.
Xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên Cao học chuyên ngành Vật

2.2.2. Tán xạ electron-phonon quang . . . . . . . . . . 47
Chương 3: Kết quả tính số và thảo luận 49
3.1. Tán xạ electron-phonon âm . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Tán xạ electron-phonon quang . . . . . . . . . . . . . . 52
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
2
DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
3.1 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon
âm vào tần số trường laser Ω ứng với giá trị biên độ điện
trường E
0
= 4.0 × 10
6
V/m, nhiệt độ của hệ là 101 K,
chiều rộng giếng lượng tử theo trục z là L
z
= 10 × 10
−9
m. Hình bên trái ứng với trường hợp phonon giam giữ,
hình bên phải ứng với trường hợp phonon khối (phonon
không bị giam giữ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon
âm vào biên độ điện trường E
0
ứng với giá trị tần số
trường laser là Ω = 10
13
Hz, nhiệt độ của hệ là 101 K,

−9
m. Hình bên trái ứng với trường hợp phonon giam giữ,
hình bên phải ứng với trường hợp phonon khối. . . . . . 52
3.5 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon
quang vào biên độ điện trường E
0
ứng với giá trị tần số
trường laser là Ω = 10
13
Hz, nhiệt độ của hệ là 101 K,
chiều rộng giếng lượng tử theo trục z là L
z
= 10 × 10
−9
m. Hình bên trái ứng với trường hợp phonon giam giữ,
hình bên phải ứng với trường hợp phonon khối. . . . . . 53
4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khi bán dẫn thấp chiều được tìm ra vào những năm bảy mươi của
thế kỉ hai mươi, thì ngay sau đó đã có sự chuyển hướng đối tượng nghiên
cứu chính từ bán dẫn khối (3D) sang bán dẫn thấp chiều (D<3). Trong
các cấu trúc có kích thước nhỏ và thấp chiều, các quy luật lượng tử bắt
đầu có hiệu lực, thể hiện ở sự biến đổi đặc trưng phổ năng lượng làm
thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu, đồng thời xuất hiện thêm
nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà bán dẫn khối không có. Những thay
đổi này có vai trò rất lớn trong khoa học, công nghệ đặc biệt là lĩnh vực
chế tạo các linh kiện bán dẫn mới đáp ứng nhu cầu trong lĩnh vực quang
điện tử.
Bằng cách hấp thụ năng lượng của trường laser và tương tác với

phonon khối (phonon không bị giam giữ). Gần đây, trong luận văn Thạc
sĩ của Huỳnh Thị Thanh Tuyền (2010) nghiên cứu tốc độ tạo phonon
trong dây lượng tử hình trụ có xét đến tính giam giữ phonon [8].
Ở ngoài nước, lý thuyết gia tăng phonon đã được chú ý từ lâu nhưng
các nhóm nghiên cứu chủ yếu tập trung vào bán dẫn khối [16], giếng lượng
tử và siêu mạng [12],[13],[17] chỉ xét trong trường hợp phonon khối.
Tóm lại, sự gia tăng phonon do hấp thụ năng lượng trường laser
6
trong vật liệu bán dẫn đang được nghiên cứu ráo riết bởi nhiều nhóm
nghiên cứu trong và ngoài nước. Hiện tượng gia tăng phonon đã được
nghiên cứu trong bán dẫn khối, trong bán dẫn hai chiều (giếng lượng tử
và siêu mạng), trong dây lượng tử. Các nghiên cứu trên chỉ xét trường
hợp phonon khối (phonon không bị giam giữ) mà chưa xét đến trường
hợp phonon bị giam giữ. Gần đây, đã có một số công trình nghiên cứu
tốc độ tạo phonon có xét đến sự giam giữ phonon trong dây lượng tử
hình chữ nhật [9], dây lượng tử hình trụ [8], ở đây phonon bị giam giữ
theo hai chiều. Tuy nhiên chưa có nghiên cứu nào đề cập đến bài toán
tốc độ tạo phonon trong giếng lượng tử xét trường hợp phonon bị giam
giữ theo một chiều.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều
hạt trong vật lí thống kê trong đó tập trung vào phương trình động lượng
tử cho phonon.
- Các phương pháp tính số và vẽ đồ thị.
5. Nội dung nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử đối với phonon
để tìm biểu thức giải tích cho tốc độ kích thích phonon do hấp thụ năng
lượng của trường laser, tìm điều kiện và tốc độ gia tăng phonon.
- Khảo sát số và vẽ đồ thị các biểu thức giải tích về tốc độ thay
đổi phonon khi xét đến sự giam giữ phonon, tìm sự phụ thuộc của tốc

nên gọi là bán dẫn có cấu trúc nano. Vật lý nghiên cứu bán dẫn có cấu
trúc nano gọi là vật lý hệ thấp chiều.
Bán dẫn giếng lượng tử là một trong những ví dụ của các tinh thể
dị cấu trúc. Khi đặt một lớp mỏng bán dẫn có vùng cấm hẹp giữa hai
lớp chất bán dẫn khác có có vùng cấm rộng hơn ta được một cấu trúc
gọi là giếng lượng tử. Đó là các tinh thể nhân tạo gồm các vật liệu khác
nhau được "nuôi" cấy trên bề mặt của một đế tinh thể dày hơn. Bề dày
của lớp tinh thể được "nuôi" cấy có thể điều chỉnh với độ chính xác cỡ
nguyên tử. Khi đó, ta có thể dễ dàng đạt được kích thước phù hợp để
có thể dễ dàng quan sát được hiệu ứng giam giữ lượng tử với electron.
9
Bán dẫn giếng lượng tử đơn giản nhất có thể nuôi cấy được là trường
hợp cấu trúc GaAs/GaAlAs đượ c "nuôi" lớn trên đế GaAs. Khi đó, một
lớp bán dẫn GaAs có bề dày cỡ 10 nm được đặt xen kẽ giữa hai lớp
bán dẫn GaAlAs có bề dày lớn hơn, độ rộng vùng cấm của GaAlAs lớn
hơn so với GaAs. Vì vậy các hàng rào thế được sinh ra tại các biên tiếp
xúc, giữa các lớp bán dẫn hình thành nên một hố thế ở lớp GaAs gọi
là giếng lượng tử. Khi đó, các electron bị "giam nhốt" trong các hố thế
này, chúng có đặc điểm chung là chuyển động theo một phương nào đó
bị giới hạn mạnh. Lúc này, chuyển động của electron theo trục đó bị
lượng tử hóa, electron chỉ còn chuyển động tự do trong mặt phẳng của
hai trục còn lại. Vì vậy cấu trúc giếng lượng tử được gọi là các bán dẫn
hai chiều và hệ electron trong cấu trúc này được gọi là các hệ electron
hai chiều.
Có nhiều loại giếng lượng tử với các thế khác nhau, ví dụ giếng
lượng tử thế hữu hạn, giếng lượng tử thế vô hạn, giếng lượng tử thế
parabol Trong giới hạn luận văn này chúng tôi chỉ đề cập đến giếng
lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn.
1.2. Phổ năng lượng, hàm sóng của electron trong
giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn

.
(1.3)
Vì chuyển động của electron trong mặt phẳng (x, y) độc lập với chuyển
động theo trục z nên phổ năng lượng và hàm sóng của electron có thể
viết lại
E
x,y,z
= E
x,y
+ E
z
, (1.4)
ψ(x, y, z) = ψ(x, y)ψ(z). (1.5)
Do electron chuyển động tự do trong mặt phẳng (x, y) nên ta có
E
x
=

2
k
2
x
2m
e
, ψ(x) =
1
√
L
x
e

(k
2
x
+ k
2
y
)
2m
e
=

2
⃗
k
2
⊥
2m
e
, (1.8)
ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y) =
1

L
x
L
y
e
i
⃗
k

y
⃗
j, ⃗r
⊥
= x
⃗
i + y
⃗
j.
Bây giờ ta giải phương trình Sch¨odinger để tìm năng lượng và hàm
sóng của electron theo trục z. Phương trình Sch¨odinger có dạng
ˆ
Hψ(z) = E
z
ψ(z), (1.10)
trong đó
ˆ
H = −

2
2m
e
∂
2
∂z
2
.
Phương trình vi phân
d
2

ψ(0) = ψ(L
z
) = 0,
ta thu đượ c biểu thức của năng lượng
ε
n
= n
2
z
π
2

2
2m
e
L
2
z
(n
z
= 1, 2, 3 ). (1.13)
Và hàm sóng được viết lại
ψ
n
z
(z) = A sin

n
z
πz

z
(z) =

2
L
z
sin

n
z
πz
L
z

=

2
L
z
sin (k
n
z
z) , (1.15)
trong đó k
n
z
= nπ/L
z
là các giá trị của vectơ sóng của electron theo
phương z, L

e
, (1.16)
ψ(x, y, z) =

1
L
x
L
y
e
i
⃗
k
⊥
⃗r
⊥

2
L
z
sin

n
z
πz
L
z

. (1.17)
1.3. Thừa số dạng của electron trong giếng lượng

⃗
Q
+ a
+
−
⃗
Q
), (1.18)
13
trong đó
⃗
Q = ( ⃗q
⊥
, q
z
) là vectơ sóng của phonon và V
Q
là hằng số tương
tác electron-phonon
V
Q
=

2πe
2
ω
V
⃗
Q
2

F r
=

2πe
2
ω
V

1
ϵ
∞
−
1
ϵ
0

1/2

q
x
,q
y
,q
z
1
q
e
−iq
x
x

−
1
ϵ
0

1/2

q
x
,q
y
,q
z
1
q
e
−iq
x
x
e
−iq
y
y
e
−iq
z
z
× (a
q
x

q
x
,q
y
,q
z
>0
1
q
e
−iq
x
x
e
−iq
y
y
×

e
−iq
z
z
(a
q
x
,q
y
,q
z

(1.21)
Đặt
γ =

2πe
2
ω
V

1
ϵ
∞
−
1
ϵ
0

1/2
,
λ
m
=
1
q
=
1

q
2
x

e
−iq
y
y
14
×

(cos q
z
z − i sin q
z
z)(a
q
x
,q
y
,q
z
+ a
†
−q
x
,−q
y
,−q
z
)
+(cos q
z
z + i sin q

−iq
x
x
e
−iq
y
y
×

cos q
z
z(a
q
x
,q
y
,q
z
+ a
†
−q
x
,−q
y
,−q
z
+ a
q
x
,q

q
x
,q
y
,−q
z
− a
†
−q
x
,−q
y
,q
z
)

= γ

q
x
,q
y
,q
z
>0
λ
m
e
−iq
x

y
,−q
z
+ a
†
−q
x
,−q
y
,q
z
)

+ sin q
z
z

−i(a
q
x
,q
y
,q
z
− a
q
x
,q
y
,−q

1
√
2
[a
q
x
,q
y
,q
z
+ a
q
x
,q
y
,−q
z
],
a
−
(q
x
, q
y
) =
−i
√
2
[a
q

(−q
x
, −q
y
) và a
−
(−q
x
, −q
y
). Vận dụng định nghĩa (1.24) vào
(1.23) ta được
H
2D
F r
= γ

q
x
,q
y
,q
z
>0
λ
m
e
−iq
x
x


a
−
(q
x
, q
y
) + a
†
−
(−q
x
, −q
y
)


=
√
2γ

q
x
,q
y
,q
z
>0
λ
m

z

a
−
(q
x
, q
y
) + a
†
−
(−q
x
, −q
y
)


. (1.25)
15
Khi phonon bị giam cầm, năng lượng phonon bị lượng tử hóa theo
phương z, nên xung lượng bị lượng tử hóa
q
z
=
mπ
L
z
,
ở đây q

,q
y
e
−iq
x
x
e
−iq
y
y
×


m=1,3,5
λ
m
cos
mπz
L
z

a
+
(q
x
, q
y
) + a
†
+



.
(1.26)
Khi ta chọn cạnh của giếng lượng tử −L
z
/2 → L
z
/2 thì hàm sóng có
dạng là hàm cos
|ϕ
k
⟩ =
1
√
L
x
e
ik
x
x
1

L
y
e
ik
y
y


) =

2π


|M
±
|
2
δ(ε
⃗
k
′
− ε
⃗
k
± ω), (1.28)
trong đó dấu cộng (trừ) tương đương sự phát xạ (hấp thụ), ε
⃗
k
′
là năng
lượng của electron ở trạng thái cuối, ε
⃗
k
là năng lượng của electron ở
16
trạng thái đầu.
Và yếu tố ma trận cho tương tác electron-phonon
M

Q
+ 1 hay bằng N
⃗
Q
phụ thuộc vào
liệu quá trình xem xét là phát xạ hay hấp thụ và trạng thái xem xét là
trạng thái đầu hay trạng thái cuối; ⟨N
⃗
Q
+ 1| − a
⃗
Q
|N
⃗
Q
⟩ = −(N
⃗
Q
+ 1)
1/2
và ⟨N
⃗
Q
− 1|a
⃗
Q
|N
⃗
Q
⟩ = (N

x
−q
x
,
1
L
y

L
y
0
e
ik
y
y
e
−ik
′
y
y
e
−iq
y
y
dy = δ
k
y
−k
′
y

y
+

mπ
L
z

2
× 2P
m

q
x
,q
y
(N
⃗
Q
+
1
2
±
1
2
)
1/2
,
(1.31)
với
P

cos

mπz
L
z

. (1.32)
Thay phương trình (1.31) vào (1.28) đồng thời nhân cả tử và mẫu vế
phải phương trình (1.28) với thể tích V của giếng lượng tử ta được
W
±
(
⃗
k,
⃗
k
′
) =
γ
2
V

(N
⃗
Q
+
1
2
±
1

y
) − ε(k
y
) ± ω),
(1.33)
17
trong đó thừa số dạng
I
2D
(q
x
, q
y
, L
z
) =

2π
L
z











lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi xét đến
tính giam giữ phonon
Ta khảo sát tương tác của hệ electron-phonon trong bán dẫn giếng
lượng tử đặt trong trường laser có vectơ điện trường
⃗
E =
⃗
E
0
sin Ωt vuông
góc với phương truyền sóng. Nếu bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại
(tương tác của electron-electron, phonon-phonon) thì Hamiltonian của
hệ electron-phonon trong giếng lượng tử có dạng
H = H
e
+ H
ph
+ H
e−ph
, (1.35)
trong đó số hạng thứ nhất và thứ hai trong phương trình (1.35) lần lượt
là Hamiltonian của electron và Hamiltonian của phonon, có dạng
H
e
=

n,
⃗
k
ε

với a
+
n,
⃗
k
, a
n,
⃗
k
lần lượt là toán tử sinh và hủy của electron ở trạng thái
|
⃗
k, n⟩; b
+
m,⃗q
, b
m,⃗q
lần lượt là toán tử sinh và hủy của phonon ở trạng thái
|⃗q, m⟩; ε
n
là phổ năng lượng của electron;
⃗
A(t) là thế vectơ được xác
định bởi công thức
⃗
A(t) =
c
Ω
⃗
E

n,
⃗
k
(b
m,⃗q
+ b
+
m,−⃗q
), (1.38)
trong đó M
n,n
′
(⃗q) là yếu tố ma trận tương tác electron-phonon trong
giếng lượng tử và được tính bằng biểu thức
M
n,n
′
(⃗q) = γI
2D
(q
x
, q
y
, L
z
), (1.39)
với γ là hệ số tương tác (phụ thuộc vào cơ chế tán xạ), I
2D
(q
x

−
e
c
⃗
A(t))a
+
n,
⃗
k
⊥
a
n,
⃗
k
⊥
+

m, ⃗q
⊥
ω
⃗q
b
+
m, ⃗q
⊥
b
m, ⃗q
⊥
+


k
⊥
(b
m, ⃗q
⊥
+ b
+
m,− ⃗q
⊥
).
(1.40)
19
Chương 2
BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CỦA TỐC ĐỘ TẠO PHONON
Chương này trình bày về tính toán giải tích để thu được dạng
tường minh của phương trình động lượng tử cho phonon bị giam
giữ trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn; thu được biểu
thức giải tích của tốc độ tạo phonon của phonon âm và phonon
quang bị giam giữ trong giếng lượng tử.
2.1. Phương trình động lượng tử cho phonon bị
giam giữ trong giếng lượng tử thế vuông góc
sâu vô hạn
Hamiltonian của hệ electron-phonon trong giếng lượng tử thế vuông
góc sâu vô hạn có xét tính giam giữ phonon có dạng
H(t) =

n,
⃗
k

+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
+

n,n
′
,m

⃗
k
⊥
,⃗q
⊥
M
n,n
′
(⃗q
⊥
)a
+
n
′
,
⃗
k
⊥

n,
⃗
k
⊥
là toán tử sinh và hủy electron, b
+
m,⃗q
⊥
và b
m,⃗q
⊥
là toán tử sinh và hủy phonon, ω
⃗q
⊥
là tần số của phonon ứng với vectơ
sóng ⃗q
⊥
, M
n,n
′
(⃗q
⊥
) là hệ số tương tác electron-phonon trong giếng lượng
tử.
20
Đặt N
m,⃗q
⊥
(t) = ⟨b
+

⊥
, H
e
(t)]⟩
t
(2.2)
+⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
, H
ph
(t)]⟩
t
+ ⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
, H
e−ph
(t)]⟩
t
.
Thực hiện phép biến đổi toán tử ta được

⊥
, H
e−ph
(t)]⟩
t
= ⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
,

n
1
,n
′
1
,m
′

⃗
k
′
⊥
,
⃗
q
′

1
,
⃗
k
′
⊥
(b
m
′
,
⃗
q
′
⊥
+ b
+
m
′
,−
⃗
q
′
⊥
)]⟩
t
. (2.4)
Với chú ý các toán tử sinh, hủy phonon ta có các hệ thức giao hoán
[b
+
⃗q

b
m,⃗q
⊥
, H
e−ph
(t)]⟩
t
=

n,n
′
,m
n
1
,n
′
1
,m
′

⃗
k
⊥
,⃗q
⊥
⃗
k
′
⊥
,

+ b
+
m
′
,−
⃗
q
′
⊥
)]⟩
t
×⟨a
+
n
′
1
,
⃗
k
′
⊥
+
⃗
q
′
⊥
a
n
1
,

q
′
⊥
M
n
1
,n
′
1
(
⃗
q
′
⊥
)

⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
, b
m
′
,
⃗
q
′

′
⊥
+
⃗
q
′
⊥
a
n
1
,
⃗
k
′
⊥
⟩
t
21
=

n,n
′
,m
n
1
,n
′
1
,m
′

m,⃗q
⊥
b
m
′
,
⃗
q
′
⊥
]b
m,⃗q
⊥
⟩
t
+⟨b
+
m,⃗q
⊥
[b
m,⃗q
⊥
b
+
m
′
,−
⃗
q
′


n,n
′
,m
n
1
,n
′
1
,m
′

⃗
k
⊥
,⃗q
⊥
⃗
k
′
⊥
,
⃗
q
′
⊥
M
n
1
,n

δ
⃗q
⊥
,
⃗
−q
′
⊥
δ
m,m
′
⟩
t

⟨a
+
n
′
1
,
⃗
k
′
⊥
+
⃗
q
′
⊥
a

⊥
+⃗q
⊥
a
n,
⃗
k
⊥
b
m,⃗q
⊥
⟩
t
−M
n,n
′
(−⃗q
⊥
)⟨a
+
n
′
,
⃗
k
⊥
−⃗q
⊥
a
n,

′
(⃗q
⊥
)⟨a
+
n
′
,
⃗
k
⊥
+⃗q
⊥
a
n,
⃗
k
⊥
b
m,⃗q
⊥
⟩
t
−M
n,n
′
(−⃗q
⊥
)⟨a
+

′
,
⃗
k
⊥
+⃗q
⊥
(t) ≡ F (t) = ⟨a
+
n
′
,
⃗
k
⊥
+⃗q
⊥
a
n,
⃗
k
⊥
b
m,⃗q
⊥
⟩
t
, (2.8)
ta suy ra
F

m,⃗q
⊥
⟩
t
,

F
n
′
,
⃗
k
⊥
−⃗q
⊥
;m,⃗q
⊥
n,
⃗
k
⊥

∗
(t) = ⟨a
+
n,
⃗
k
⊥
a

⃗
k
⊥
⟩
t
,
vì vậy

F
n
′
,
⃗
k
⊥
−⃗q
⊥
;m,⃗q
⊥
n,
⃗
k
⊥

∗
(t) = ⟨a
+
n
′
,

⃗
k
⊥

M
n,n
′
(⃗q
⊥
)F
n,
⃗
k
⊥
;m,⃗q
⊥
n
′
,
⃗
k
⊥
+⃗q
⊥
(t)
−M
n,n
′
(−⃗q
⊥