Vũ Tiến Võ
BÀI TẬP LỚN CƠ HỌC KẾT CẤU 2
1. NỘI DUNG
Tính hệ phẳng siêu tĩnh bằng phương pháp lực.
Tính hệ phẳng siêu động theo phương pháp chuyển vị.
Vẽ biểu đồ bao nội lực.
2. SỐ LIỆU TÍNH TOÁN
Mã đề: 121
Sơ đồ tính và các trường hợp tải:
L
1
L
2
L
2
L
1
EI=Const
TH1
TH2
g
TH3
q
1
q
3
TH4
TH5
TH6
q
2

2 20 x 35 4 3
1
Vũ Tiến Võ
Số liệu tải trọng:
Stt q
1
(kN/m) q
2
(kN/m) q
3
(kN/m) q
4
(kN/m)
1 8 10 12 14
Số liệu dùng chung:
3 3
3
3
2.4 10 /
12
25 /
E kN cm
bh
I
kN m
γ
= ×
=
=
Ta có:

P
X X X
X X X
X X X
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
+ + + ∆ =


+ + + ∆ =


+ + + ∆ =

Trong đó:
1 2 3
; ;X X X
: lực tương ứng tại vị trí loại bỏ liên kết thứ 1; 2; 3.
2
Vũ Tiến Võ
kP
∆
: hệ số tự do, là chuyển vị theo phương lực X
k
do riêng tải trọng ngoài
gây ra trên hệ cơ bản.
km
δ
: các hệ số phụ, là chuyển vị theo phương lực X

2
M
3
X
3
=1
1
1/2
1
1
1/2
M
s
(M
s
)=(M
1
)+(M
2
)+(M
3
)
1
1
1
1/2
1/2
a)
b)
c)

1 3 1 2 2
2 3
M M
EI EI
δ
 
= = × × × × × = ×
 
 
( ) ( )
33 3 3 11
1
2M M
EI
δ δ
= = = ×
( ) ( )
12 21 1 2
1 1 1 1 1
1 3 1
2 3 2
M M
EI EI
δ δ
 
= = = × × × × = ×
 
 
( ) ( )
13 31 1 3

1 1 5 1
2 0
2 2EI EI
δ δ δ
 
+ + = + + = ×
 ÷
 
⇒
Kết quả phù hợp
( ) ( )
2
1 1 1
1 3 1 2 3
2
S
M M
EI EI
 
= × × × × = ×
 
 
4
Vũ Tiến Võ
Mặt khác:
21 22 23
1 1 1 1
2 3
2 2EI EI
δ δ δ

cơ bản: hình 3.1.3
4m
3m 3m
4m
a)
b)
g=1.75kN/m g=1.75kN/m g=1.75kN/m g=1.75kN/m
M
0
P
qL
2
1
/8=3.50
qL
2
2
/8=1.97
qL
2
1
/8=3.50
3.50
3.50
1.97
[kNm]
Hình 3.1.3
Tính các hệ số tự do
kP
∆

 ÷
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
1.97 3 1 2 3.94
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3 1
1
4.30
P P P
M M
EI
∆ = = ∆ = ×
Kiểm tra:
( )
( )

4.3 3.94 4.3 12.54
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 4.3 0
2
1 1
2 3.94 0
2 2
1
0 2 4.3 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =



( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.4a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
( )
( )
( )
[ ]
1 2 1 1 1
2.55 4 2.55 4 1
2 3 2 2 3
1 1 1 1 2
1.9 4 1.9 4 1
1 1 1
2 3 2 2 3
10.90 10.95 0.05
2 1 2 1 1
3.5 4 1 3.5 4
3 2 3 2 2
1 2
1.9 1.02 3 1 1.95 3 1
2 3

1.75kN/m
Q
tr
Q
ph
2.55kNm 1.90kNm
O
1
O
2
7
Vũ Tiến Võ
1
4
0 4 1.9 1.75 4 2.55
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
3.34
ph
Q kN⇒ = −
0 1.75 4 3.66
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nhịp 2:
3m
1.75kN/m
Q

4
L
,
2
4
L
,
3
4
L
và giá trị mô men uốn tại vị trí giữa nhịp
2
4
L
.
Giá trị mô men uốn tại các vị trí
1
4
L
và
3
4
L
được tính như sau:
+ Tại vị trí
1
4
nhịp 1:
8
Vũ Tiến Võ

0.75m
1.75kN/m
1.90kNm
M(kNm)
2.92kN
O
0.75
0 2.92 0.75 1.9 1.75 0.75 0.20
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × = −
∑
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 2:
9
Vũ Tiến Võ
2.25m
1.75kN/m
1.90kNm
2.92kN
M(kNm)
O
2.25
0 2.92 2.25 1.9 1.75 2.25 0.24
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Nhịp 3, 4: Được suy ra từ nhịp 1 và nhịp 2 do hệ đối xứng.
a)

1.97
-2.55
0.24
1.28
-1.90
0.56
-0.20
0.51
-1.02
0.24
3.50
1.97
-2.55
0.24
1.28
-1.90
0.56
-0.20
0.51
0.24
M
P
[kNm]
Hình 3.1.4
3.1.2. Trường hợp 2
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ
cơ bản: hình 3.1.5
10
Vũ Tiến Võ
16

10.67
2 1 1 1
16 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
13.5 3 1 13.5
3 2
P P

16 4 1 13.5 3 1
3 2 2 2 3
S P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
= = ×
 
 
+ × × × − × + × × ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1
10.67 13.5 13.5 37.67
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
11

⇔
1
2
3
4.27
4.26
5.68
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.6a

 
=
 
 
+ × × × + × × × × − × × × ×
 
 
 
+ × × × × − × × × ×
 
=
[ ]
1 1
41.45 43.65 2.20
EI EI
− = − ×
Sai số:
2.20
100% 5.04%
43.65
× =
12
Vũ Tiến Võ
Tính toán và vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
+ Nhịp 1:
4m
8kN/m

= + = ≈
+ Nhịp 3:
3m
12kN/m
Q
tr
Q
ph
4.26kNm 5.68kNm
O
1
O
2
1
3
0 3 5.68 12 3 4.26
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
18.47
ph
Q kN⇒ = −
0 12 3 17.53
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nhịp 4:
13
Vũ Tiến Võ

1
4
L
và
3
4
L
được tính như sau:
+ Tại vị trí
1
4
nhịp 1:
1m
8kN/m
13.87kNm
M(kNm)
18.40kN
O
1
0 18.4 1 13.87 8 1 0.53
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 1:
3m
8kN/m
13.87kNm

12kN/m
M(kNm)
O
4.26kNm
17.53kN
2.25
0 17.53 2.25 4.26 12 2.25 4.81
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Nhịp 2, 4: dể dàng tính được bằng cách giải hình học.
15
Vũ Tiến Võ
a)
b)
18.40
13.60
17.53
18.47
2.40
10.40
5.60
8.53
0.47
9.47
13.60
2.13
17.53
20.60
18.40

3.1.3. Trường hợp 3
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ
cơ bản: hình 3.1.7
q
2
=10kN/m
q
4
=14kN/m
28
28
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
11.25
[kNm]
Hình 3.1.7
Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
16
Vũ Tiến Võ
( )
( )

1 2 1 1
28 4 1
2 3 2 3
1 1
18.67
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
Kiểm tra:
( )
( )
0

P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 11.25 0
2
1 1
2 11.25 0
2 2
1
0 2 18.67 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =




0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.8a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
17
Vũ Tiến Võ
( )
( )
( )
( )
1 1 1 2 1 1 1 1
2.55 4 1 2.55 4 5.09 4
2 3 2 3 2 2 3 2
1 2 2 1
5.09 4 1 11.25 3 1 5.09 2.15 3 1
2 3 3 2
1 1 2 1 2 1 1
2.15 8.8 3 1 28 4 1 28 4
2 3 2 3 2 2
1 1 1 1 2 1 2 1
8.8 4 8.8 4 1 23.6 4
2 3 2 2 3 2 3 2
1 1
23.6 4 1
2 3

Q
: hình 3.1.8b
a)
b)
1.90
2.22
3.70
17.88
31.70
11.80
26.52
1.90
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
17.70
10.30
15.98
1.90
1.90
14.02
24.30
31.70
2.22
2.22
8.48
0.98

16
q
2
=10kN/m
q
4
=14kN/m
28
28
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
11.25
[kNm]
Hình 3.1.9
Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
( )
( )
0
1 1
1 2 1 1
16 4 1

3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
19
Vũ Tiến Võ
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1
28 4 1
2 3 2 3
1 1
18.67
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 

 
   
 
 
 
= + × × × + × × × − × + = ×
 
 ÷
 
 
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1
21.92 11.25 18.67 51.84
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3

0.63
9.18
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.10a
20
Vũ Tiến Võ
Kiểm tra biểu đồ
( )
P

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
× × × × − × × × ×
 
 
[ ]
1
110.29 110.30 0
EI
= − ≈
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.10b
11.25
16.00
28
-10.60
-10.80

[kNm]
17.46
10.55
18.39
0.05
15.95
11.61
24.55
31.46
2.85
2.85
10.89
3.39
4.11
7.95
16.05
21
Vũ Tiến Võ
Hình 3.1.10
3.1.5. Trường hợp 5
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ
cơ bản: hình 3.1.11
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P

( )
( )
0
2 2
1 2 1 2 1 1
11.25 3 1 13.5 3 1 24.75
3 2 3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × + × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1
13.5 3 1 13.50
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
Kiểm tra:
( )

2 2
1
0 2 13.5 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =



+ + + =



⇔
1
2
3
2.97
10.61
4.10
X
X
X

( )
1 1 1 2 1 1 1 1
1.49 4 1 1.49 4 2.97 4
2 3 2 3 2 2 3 2
1 2 2 1
2.97 4 1 11.25 3 1 2.97 10.61 3 1
1
2 3 3 2
2 1 1 1 1
13.5 3 1 10.61 4.1 3 1 4.1 4
3 2 2 3 2
1 2 1 1 1 2 1
4.1 4 1 2.05 4 1 2.05 4
2 3 2 3 2 3 2
S P
M M
EI
 
× × × × − × × × × + × × × ×



− × × × × + × × × − + × ×

=


+ × × × − + × × + × × × ×



15.83
20.17
1.12
3.56
-0.27
1.14
4.40
4.46
6.15
a)
b)
2.17
13.57
1.54
28.93
17.37
1.12
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
1.54
12.45
1.12
17.55
6.83
11.17
4.95

0
P
[kNm]
q
4
=14kN/m
28
28
q
1
=8kN/m
16
16
q
3
=12kN/m
13.5
Hình 3.1.13
25