Rèn luyện nghiệp vụ 3
KỸ NĂNG GIẢI VÀ KHAI THÁC
TOÁN VỀ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Phần 1: ĐẠO HÀM, ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ
ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP ĐẠO HÀM HÀM SỐ HỢP
1
Rèn luyện nghiệp vụ 3
VẤN ĐỀ 1:SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Định lí :Giả sử hàm số y =f(x) có đạo hàm trên I(I là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa
đoạn )
1.Nếu f’(x)>0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) đồng biến trên I
2. Nếu f’(x)<0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) nghịch biến trên I
3 Nếu f’(x)=0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) không đổi trên I
2.Định lí mở rộng :
Giả sử cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên I .Nếu f’(x) ( hoặc f’(x) 0)
và f’( x )= 0 chỉ tại hữu hạn điểm của I thì hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến trên
I)
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x)
1.Tìm tập xác định (hay miền xác định của hàm số).
2
Rèn luyện nghiệp vụ 3
2.Tính đạo hàm f’(x).Tìm các điểm (i=1,2…n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định
3.Lập bảng xét dấu f’(x)
4.Dựa vào định lí tên để kết luận các khoảng đông biến nghịch biến
Định gía trị của tham số để hàm số y=f(x) đồng biến nghịch biến trên khoảng
cho trước
Cho hàm số y=f(x) phụ thuộc tham sô m ,Ta phải định tất cả giá trị m sao cho hàm

-Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực trị tại điểm (a;b )
thì f’( = 0
3.Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
ĐL 1:
-Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm và có đạo hàm trên
các khoảng (a, ( b) khi đó
a.BBT
5
Rèn luyện nghiệp vụ 3
X a b

y’ _
y cực tiểu (f
b.BBT
X a b

y’ + _
y cực đại f( )
6
Rèn luyện nghiệp vụ 3
* Quy tắc 1: tìm cực trị của hàm số
1.Tím TXĐ
2.Tính f’(x) .Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định
3.Lập BBT
4.Từ BBT suy ra các điểm cực trị
ĐL2:
- hàm số đạt cực đại tại điểm
hàm số đạt cực tiểu tại
điểm
*Quy tắc 2 : tìm cực trị của hàm số

HÀM SỐ
Hàm số
1.TXĐ D=R
2.Sự biến thiên
a) Giới hạn: ……………:: …………
* Tính y’=3a +2bx+c .Tìm nghiệm của y’=0
* Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )
Kết luận
• Các khoảng đông biến ( nghịch biến)
• Cực trị
3 .Vẽ đồ thị
Điểm uốn :tính y”=6ax+2b. cho y’’=0 x=
Nếu y’’đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = thì U (- = )) là điểm uốn
của đồ thị
Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục
tọa độ
9
Rèn luyện nghiệp vụ 3
(trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tìm giao điểm phức tạp thì bỏ
qua phân này )
Nhận xét
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Hàm số y = a + b +c (a # 0)
1.TXD D=R
2.Sự biến thiên
a) Giới hạn: ……………:: …………
b) Bảng biến thiêng
* Tính y’’=4a +2bx .Tìm nghiệm của y’=0
* Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )
Kết luận

11
Rèn luyện nghiệp vụ 3
Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
Hàm số y= (y = =
1.TXĐ D=R { }
2.Sự biến thiên
a) Giới hạn: ……………: ……………
đường thẳng y = là đường tiệm
cận ngang
b) .Sự biến thiên
-Tính y’= Tìm nghiệm của phương trình y’=0
-Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )
Kết luận
3 .Vẽ đồ thị
• -Vẽ các đường tiệm cận
• -Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ
thị với trục tọa độ
• (trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tim giao điểm phức
tạp thì bỏ qua phân này )
Nhận xét
• Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
12
Rèn luyện nghiệp vụ 3
VẤN ĐỀ 5: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tìm giao điểm của 2 đường: (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x)
- Bước 2: Số nghiệm của pt (*) bằng số giao điểm của (C) và (C’)
Điều kiện để 2 đường y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau là:
2. Biện luận theo m số nghiệm của pt: F(x,m) = 0 (*)
• Viết (*) lại dưới dạng f(x) = g(m) ( đây là pt hoành độ giao điểm của

1
; x
2
; x
3
; …; x
n
- Tìm y
i
= f(x
i
) (i=1, 2, 3, …)
- Pt tiếp tuyến có dạng y = k(x – x
i
) + y
i
Chú ý: Cho 2 đường thẳng: (d
1
): y = k
1
x + m ; (d
2
): y = k
2
x + n
• Nếu d
1
// d
2
thì k

2). luôn giảm trên từng khoảng xác định.
14
Rèn luyện nghiệp vụ 3
3). giảm trên khoảng
(0;3).
Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau
1).
2). ,
3).
Bài 5: Tìm cực trị của các hàm số sau
1).
2)
3).
4).
Bài 6: Với giá trị nào của m thì hàm số
1). đạt cực
tiểu tại x=1
15
Rèn luyện nghiệp vụ 3
2) có hai điểm
cực trị và sao cho
3). , có ba cực trị tạo thành ba
đỉnh của một tam giác vuông.
4). có cực tiểu
mà không có cực đại.
5). có 2 diểm cực trị A và B sao cho
6). , có ba điểm cực trị
và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số sau
1).

1. Nguyên hàm:
ĐN: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), x K.
ĐL: Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K.
b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số
C sao cho G(x) = F(x) + C, x K.
Từ định lí trên ta thấy nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C R. Vậy, F(x) + C, C
R là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Kí hiệu là
Vậy,
2. Tính chất của nguyên hàm:
a.
b. =
c. (k là hằng số)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
1.
2.
C
x
dxx +
+
=
∫
+
1
1
α
α

Gặp ln x ( có kèm theo ), ta đặt t = ln x
Gặp có kèm theo , ta đặt t =
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Dạng 1: Tính tích phân: I = ( hoặc I =
hoặc
I = ) với P(x) là một đa thức và a R
*
Phương pháp chung
• Bước 1: Đặt :
+ u = P(x) => du = P’(x)dx
+ dv= ( hoặc

=> v = ( hoặc hoặc
• Bước 2: Áp dụng công thức: I = uv -
Dạng 2: (CTNC) Tính tích phân: I = hoặc ( I =
)
với a, b 0
Phương pháp chung
• Bước 1: Đặt :
+ u = => du =
+ dv = => v =
Khi đó: J =
(1)
• Bước 2: Xét J =
Đặt: u = => du =
dv= => v =
Khi đó: J =
(2)
• Bước 3: Thay (2) vào (1) ta tìm được kết quả tích phân I
Dạng 3: Tính tích phân I = , với a \