Ngô Quang Việt trường THPT chuyên Quảng Bình 1

KHAI THÁC,PHÁT TRIỂN TỪ CÁC BÀI TOÁN VÀ ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC

1.ĐẶT VẤN ĐỀ:
a) Lí do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy Toán ở bậc PTTH, tôi thường quan tâm đến những bài toán
Có tính khái quát cao,vì chính những bài toán này cho phép ta phát triển them một số
kiến thức mang đậm tính lý thuyết,để rồi từ đó giúp ta tìm kiếm một số kết quả mới.
Cũng chính từ những bài toán này khi xét các trường hợp riêng có thể cho ta những
kết quả bất ngờ, vì rằng: Ta đã tìm kiếm các riêng trong cái chung mà bởi lẻ cái riêng
bao giờ cũng phong phú và đa dạng. Các bài toán mà tôi muốn đề cập sau đây cũng
thuộc lớp các bài toán như vậy.
Khi giãng dạy ở phân môn Hình học,tôi thường tâm niệm phải xét bài toán dưới
nhiều góc độ nhìn nhận khác nhau để “cố” tìm được cái gì mới trong những cái đã biết
rồi, từ đó dẫn dắt học sinh đi tìm cái mới như con đường mà tôi đã suy nghĩ.
b) Mục đích của đề tài:
Trên cơ sở những kinh nghiệm giãng dạy của bản thân và thực tiễn học tập của
học sinh, kết hợp với các nội dung có trong chương trình hình học THPT,tôi đã đúc
kết thành một hệ thống lí thuyết xem như chuyên đề nâng cao dạy cho các đối tượng
học sinh ở các lớp chuyên Toán và lựa chọn để luyện thi đại học.
c) Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu xoay quanh các bài toán lien quan vè Tâm tỉ cự của một hệ
điểm, đặc biệt là các ứng dụng của nó trong một số lớp bài toán quan trọng.
d) Cơ sở nghiên cứu:
Cơ sở nghiên cứu dựa vào các kiến thức trong sách giáo khoa hình học nâng cao,
tài liệu Hình học Chuyên toán Trung học phổ thông, tạp chí Toán học & Tuổi trẻ, toán
học nâng cao cho học sinh Hình học 10 của Phan Huy Khải,các sách tham khảo của

     
    
(1)

Dấu đẳng thức xãy ra khi
N M

.Bài toán này đã có nhiều tài liệu được đề cập tới
chẳng hạn
Cái hay của bài toán là hai điểm M và N đều biến thiên: Tuy rằng điểm M có sự
ràng buộc là ở trong tam giác ABC và các hệ số
sin ,sin ,sin
  
gắn “cố kêt ”với
điểm M.
Phép chứng minh (1)có thể bằng phương pháp hình học tổng hợp,nhưng hay hơn cả
là dung phương pháp véc tơ,trước hết ta xét bổ đề sau:
Bổ đề: Cho M ở trong tam giác ABC và
1 2 3
, ,
S S S
thứ tự là diện tích các tam giác
BMC,CMA,AMB thì:
1 2 3
. . . 0
S MA S MB S MC
  
   
(bổ đề này chỉ là một bài tập cho học
sinh lớp 10 ).

 
 
   

=
.sin .sin .sin (1)
MA MB MC VP
  
  

Vì:
1 2 3
2 2 2
sin ;sin ;sin
. . .
S S S
MB MC MA MC MC MA
  
  
Nên
 
1 2 3
sin sin sin 2
. . . . . . 0
. .
MA MB MC S MA S MB S MC
MA MB MC MA MB MC
  
     
      



  





 
 
 

Các trường hợp riêng của (1)cho ta một số kết quả bất ngờ khá đẹp
 Các bất đẳng thức lien quan đến các điểm đặc biệt trong tam giác.
Ta kí hiệu O,I,G,H thứ tự là tâm của đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội
tiếp,trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC.
I)Nếu tam giác ABC có max(A,B,C) <
0
120
và xét khi điểm
0
M I

(
0
I
là điểm nhìn
các cạnh AB,AC,BC dưới cùng một góc
0
120

N G

,ta thu được:  
3
. os . os . os
2 2 2 4
a b c
A B C
m c m c m c a b c
    
với
, ,
a b c
m m m
là các đường trung tuyến

b) Khi
N O

,ta thu được:

os os os
2 2 2 2
A B C a b c
R c c c
 
 






, ,
AHB BHC CHA
bằng nhau và có cùng bán
kính R là bán kính của đường tròn


ABC

nên

2 .sin 2 .cos
HA R ABH R A
 
; tương tư
2 .cos , 2 .cos
HB R B HC R C
 

III)Xét VP(1) khi
M H

và khi tam giác ABC có ba góc đều nhọn
Với chú ý
sin sin ,sin sin ,sin sin
A B C

2 2 2
A B C
b c a a c b b a c a A b B c C
          
Vì
 
.sin 2 .sin . os 2( )sin sin
2 2 2 2
A A A A
IA A IA c p a b c a      ;
tương tự
   
.sin sin , .sin sin
2 2
B C
IB B a c b IC C b a c     
b)
N O

,ta thu được

.cos .cos .cos
2
a b c
a A b B c C
 
  

c)
N G


, ta thu được





2 .sin 2 .sin 2 .sin2 3 sin 2 sin 2 sin 2
a b c
m A m B m C R A B C
    

b)
N I

, ta thu được

     
2 sin .cos sin .cos sin .cos
2 2 2
A B C
b c a A a c b B b a c C
 
       
 
 


sin 2 sin2 sin 2
R A B C

)

Tương tự như đã làm với BĐT (1),ta thu được nhiều kết quả thú vị nữa.
Để tìm kiếm một kết quả tương tự trong không gian “cải tạo” (1) như sau:
Do
1 2 3
2 2 2
sin ;sin ;sin ;
. . .
S S S
MB MC MC MA MA MB
  
  
Khi đó (1)
2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . . . . . . . .
S MA NA S MB NB S MC NC S MA S MB S MC
     
(2)

V. Xét khi
M G

thì (2) viết là:

2 2 2
. . .
GA NA GB NB GC NC GA GB GC
    

b)
N I

với chú ý
     
; ;
bc p a ac p b ab p c
IA IB IA
p p p
  
  
.
Thì ta thu được
     
2 2 2
2 . . .
a b c
bc p a ac p b ba p c
m m m a b c
p p p
 
  
    
 
 
 

c)
N H


. . . .
S MB S MC
MA MB MC MA MB MC
 
  .
Ngô Quang Việt trường THPT chuyên Quảng Bình 6

Thay vào (1) và biến đổi rút gọn ta đượcBất đẳng thức: 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . . . . . . . .
MA NA S MB NB S MC NC S MA S MB S MC S
    
(2)

Bài toán tương tự như bài toán (1) phát biểu trong không gian là:
BÀI TOÁN 2:
Cho
M
nằm trong hình tứ diện ABCD,khi đó với mọi điểm N trong không gian,
ta có Bất đẳng thức: 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4

2 2 2 2
R GA GB GC GA GB GC GD
     
2 2 2 2 2 2
4
AB AC AD BC BD CD
    


Việc tìm thêm các BĐT khác xin dành cho bạn đọc.Sau đây là một số các bài tập
mà việc giải chúng chỉ là vận dụng BĐT (3) một cách sang tạo
Bài tập 1:
Cho M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD,các tia AM,BM,CM,DM lần lượt
cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại
1 1 1 1
, , ,
A B C D
và gọi Plà phương tích của M đối
với mặt cầu (O).
Chứng minh rằng:
 
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 1 1
. . . . . . . .
MA MB MC MD
P V V V V R V MA V MB V MC V MD
MA MB MC MD
 
      
 






1 1 2 2 3 3 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
. . . . . . . .
. . . . . . . . .
V MA V NA V MB V NB V MC V NC V MD V ND
V MA V MB V MC V MD V NA V NB V NC V ND
   
      
Kết hợp VT(3) ta thu được BĐT:

2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
. . . . . . . .
V NA V NB V NC V ND V MA V MB V MC V MD
      
(4)
Áp dụng (4) khi
,
N O M G
 
, ta suy ra

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2

.
Đặt
1
n
i
i
a a






0
a

thì ta có:
a)
2
1
2
1
.
i j i j
n
i j n
i i
i
a a A A
a GA


 
 


và
2 2 2
2. .
i j i j i j
GA GA GA GA A A
  


Chứng minh b)


2
2 2 2
1 1 1
.
n n n
i i i i i i
i i i
a MA a GA GM a GA a MG
  
   
  
 

Đặt

2
1
n
i i
i
a MA



Nếu
0
a

thì
2
1
n
i i
i
a MA


nhận giá trị nhỏ nhất khi chỉ khi
2
.
a MG
nhỏ nhất
Nếu
0
a


2 2 2
min
MA MB MC
 
=
2
Q HG

với H là hình chiếu vuông góc của G trên d với
câu a) và trên mặt phẳng


P
cho câu b).
Ví dụ2:
Trong không gian Oxyz cho điểm






1;1;0 , 0;1; 1 , 3;0;2
A B C
và mặt phẳng


: 2 2 2 0
x y z

 
.
GH t n
H








 
(*)
với


2; 1;2
n  

là vtpt của



ta có: (*)
2
3
2 2
4
2

  


 
 
 
 

 
   






Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi
2 4 7
; ;
3 3 3
M
 

 
 

Ta có thể giải bài toán này bằng phương pháp đại số kết hợp với phương pháp tọa độ
2) Tìm tập hợp điểm: Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
2
1


Nếu
0
k Q
a


thì tập hợp


M
là mặt cầu tâm G bán kính
k Q
r
a



Nếu
0
k Q
a


thì
M G


Nếu
0

   
thì
2 2 2 2 2 2 2
0 0
MA MB MC AB AC BC MG
       
2 2 2 2
MG a b c
   
(theo
(1))
Nếu

2 2 2
0
a b c C
   
nhọn thì tập hợp


M
là đường tròn tâm G bán kính
2 2 2
r a b c
  
nằm trong


mp ABC


.Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
2 2 2 2 '2 '2 '2 '2 2
10
MA MB MC MD MA MB MC MD a
       
(*)
Gọi O là tâm hình hộp thì
' ' ' '
0
OA OB OC OD OA OB OC OD
       
   
    

Và (*)
 
2
2
2 2 2 2 2 2
8 8 10 2. 2 8 10
4
a
OA OM a OA OM a OM
       
2
a
OM
 

Vậy tập hợp

  .
Áp dụng kết quả:
. . . 0
a IA b IB c IC
  
   
và công thức (1)
ta có:
2 2 2
. . .
a IA b IB c IC abc
  
.Xét khi
M O

thay vào công thức (2) ta được
Ngô Quang Việt trường THPT chuyên Quảng Bình 10

   
2 2 2
.
abc
R a b c abc a b c OI OI R
a b c
        
 
(*)

, , ,
n
A A A
cho trước và n số
1 2
, , ,
n
a a a
thỏa
mãn
1
0
n
i
i
a



thì có tồn tại điểm G nào có tính chất
1
. 0
n
i i
i
a GA



 

a MA


= k
2
1
2 . .
n
i i
i
MO v a OA k

  

 
.
Đặt
2
1
.
n
i i
i
a OA Q



thì Q không đổi, do đó
1
2. .

3
MA MB MC MO
  

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và R là bán kính mặt cầu này.
2 2 2 2
3 0 2. . 0
MA MB MC MO MI v
     
 
(*) (do k =0; IA=IB=IC=R )
với
3. 3.
v IA IB IC IO OA OB OC OG
       
        
(G là trọng tâm tam giác ABC )
nên (*)


6. . 0
MI OG MI OG M mp P
     

qua I vuông góc với đường
thẳng OG.
Kết luận: Quỹ tích cần tìm là mặt phẳng (P).

BÀI TOÁN 4: (Về tâm tỉ cự cách đều )
Cho G là tâm tỉ cự của hệ n điểm

.
M

trong không gian
Ngô Quang Việt trường THPT chuyên Quảng Bình 11

Ta có:
 
. 1
. . . . . . . .
i i i i
i i i i i i i i i i
GA MA a a
a MA a GA MA GA MG GA a R a MG GA
R R R R
     
      

Nên
1 1 1 1
.
n n n n
i i i i i i
i i i i
a MA R a MG a GA R a
   
 

( )
O
tại
i
B
.
Chứng minh rằng:
2
1
1
. 2 tan
n
i i i
i
A A MB nr
n





(quy ước
1 1
n
A A


)
Vì
1 1 1 1

 
 
  
.
Theo tính chất của phép quay thì
1
1
. 0
n
i i i
i
A A OB




 

Vậy O là tâm tỉ cự của hệ n điểm
1 2

n
B B B
gắn với họ hệ số
1
i i i
a A A






.
Ta có 0
2
i


 
và


1 1
tan tan 1, 1
i i i i
A A r i n
 
 
    
,


1 2 1
tan tan
n
A A r
 
 
1
1

i i i i i
i i
A A MB r A A
 
 

 
2
2 tan
nr
n

 .Vậy
1
1
.
n
i i i
i
A A MB




2
2 tan
nr
n

(đpcm)


có độ dài bằng
1
Q
hướng ra phía ngoài hình tứ diện
Ngô Quang Việt trường THPT chuyên Quảng Bình 12

ABC, tương tự cho các véc tơ
1
2
OA
.Q
r

,
1
3
OB
.Q
r

,
1
3
OC
.Q
r

. osS S c

 
 
1 2 3 4 1
1
1
os
Q Q Q Q Q
c

 
    
 
  S

C
A

1
S


 
    
 
 

Đặt
tan 0 1
2
t t

   
khi đó
 
2
2 2
1 2
cot 1 ( )
2 os 1
f t
c t t


 
  
 

 

Do


a) Chứng minh:
. , . , .
a MA b MB c MC
luôn lập thành độ dài ba cạnh của một tam giác
nào đó mà ta kí hiệu là
( )
M


b) Tìm vị trí của M để diện tích




S M
 đạt giá trị lớn nhất.
c) Khi M ở trong tam giác ABC,chứng minh:
2 2 2
2 2 2
.
16
A B B C C A
a b c
S S c S S a S S b  
Bài 2:
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a.Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

2 2 2 2 2
2

sin sin sin
2 2 2
a b c
m m m a b c
A B C
r
 
  
(với
, ,
a b c
m m m
thứ tự là độ dài các đường trung tuyến ứng với các cạnh
, ,
a b c
còn r
là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ).
Bài 6:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, r ) và M là điểm di động trong
không gian hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:







tan tan tan
P A MB MC B MC MA C MA MB
      .

f x x g x x c a g x a
n n
 


 
   
      
   
 
   
 


Với
, (0) 0
x g
 

và
a


.
III. TÍNH THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI:
Đề tài này bản thân tôi đã áp dụng để giãng dạy cho đối tượng học sinh giỏi ở các
năm,thấy rằng học sinh rất hứng thú,vận dụng tốt, một số em qua đề tài này đã phát
triễn ra nhiều bài toán mới khá bổ ích.Trong ôn luyên thi Đai học tôi cũng đã chắt lọc
một số nội dung phù hợp để dạy.Học sinh hiểu và vận dụng tốt.
Tuy vậy chắc chắn vãn còn có nhiều khiếm khuyết,nhiều vấn đề chưa được đề