www.vnmath.com
www.vnmath.com

1 bài: Cho hình chóp SABCD có đáy
ABCD là hình vuông tâm O cnh a. SA

(ABCD), SA =
3a . Gi H, I, K ln
lt là hình chiu vuông góc ca A trên
SB, SC, SD và J là hình chiu ca B
trên SC. Gi M, N, P, Q ln lt là
trung đim ca AB, AD, BC, SC.

D'
P
Q
N
M
J
I
K
H
O
A
B
D
C
S
4)
(AHK)

( SCD)5)
(SBD)

(SAC)6)
(AHK)

(SAC)

7)
(OQM)

(SAB)8)
(OQN)

(SAD)


E. Tính khong cách t 1 đim đn 1 đng thng
1) A; SC 2) O; SC 3)O;SB
4)O;SD 5)
www.vnmath.com
www.vnmath.com

2

F. Tính khong cách gia 2 đng thng
1) AD; SC 2) AB; SC 3) BC; SA 4) CD; SA 5) AB; SO
6) CD; SO 7) BC; SD 8) AD; SB G. Tính góc gia 1 đng thng và 1 mt phng
1) SB; (ABCD) 2) SC; (ABCD) 3) SD; (ABCD) 4) SO; (ABCD)
5) SC; (SAB)
6) SC;( SAD) 7)SO;(SAB) 8)SO;(SAD) 9) SA;(SCD) 10)SA;(SBC)

H. Tính góc gia 2 mt phng
1)
(SBC); (ABCD)

2)
(SCD); (ABCD)

3)
(SBD); (ABCD)

LI GII

A. Chng minh đng thng vuông góc vi mt phng
1) BC  ( SAB) 2) CD  ( SAD) 3) AH  ( SBC) 4) AK  ( SCD) 5) SC  ( AHK)
6) BD  (SAC) 7) SC  ( AIK) 8) HK  (SAC) 9) OM  (SAB) 10) ON  ( SAD)
11) BC  (OPQ) 12) AB  (OMQ) 13) AD  (ONQ) 14) SC  ( JBD) 1) BC  AB ( g/t hình vuông), BC  SA ( SA  ( ABCD),BC  ( ABCD))  BC  ( SAB)
2) CD  AD ( g/t hình vuông), CD  SA ( SA  ( ABCD),CD  ( ABCD))  CD  ( SAD)
3) AH  SB ( gt), AH  BC ( BC  ( SAB) (câu 1))  AH  ( SBC)
4) AK  SD ( gt), AK  CD ( CD  ( SAD) (câu 2))  AK  ( SCD)
5) AH  ( SBC) (do câu 1)  AH  SC,AK  ( SCD) ( do câu 2)  AK  SC SC  ( AHK)
6) BD  AC ( g/t hình vuông), BD  SA ( SA  ( ABCD),BD  ( ABCD))  BD  ( SAC)
www.vnmath.com
www.vnmath.com

3
7) AK  ( SCD) ( do câu 2)  AK  SC, AI  SC (GT)  SC  ( AIK)
8)  SAB =  SAD ( c.g.c)  SB = SD và
฀
฀
A
SB ASD

, AH  SB và AK  SD ( cmt)  có 
SAH =  SAK ( cnh huyn, góc nhn)  SH = SK 

3) BD  (SAC) ( câu 6 phn A), SO  (SAC)  BD  SO
4) BD  (SAC) ( câu 6 phn A), SC  (SAC)  BD  SC
5) AH  (SBC) ( câu 3 phn A), SC  (SBC)  AH  SC
6) AK  (SCD) ( câu 4 phn A), SC  (SCD)  AK  SC
7) AI  ( SAC) , HK  ( SAC ) ( câu 8 phn A)  HK  AI
8) SC  ( JDB) ( câu 14 phn A), DJ  ( JDB)  DJ  SC.

C. Chng minh hai mt phng vuông góc
1)
(SBC)

( SAB)

2)
(SCD)

( SAD)3)
(AHK)

(SBC)4)
(AHK)

( SCD)


10)
(SAC)

( JBD)11) (SBC) ( JBD)

12)
(SCD)

(JBD)

1) BC  (SAB) ( câu 1 phn A), BC  (SBC)  (SBC) (SAB)
2) CD  (SAD) ( câu 2 phn A), CD  (SCD)  (SCD) (SAD)
3) AH  (SBC) ( câu 3 phn A), AH  (AHK)  (AHK) (SBC)
4) AK  (SCD) ( câu 4 phn A), AK  (AHK)  (AHK) (SCD)
5) BD  (SAC) ( câu 6 phn A), BD  (SBD)  (SBD) (SAC)
www.vnmath.com
www.vnmath.com

4
6) SC  (AHK) ( câu 5 phn A), SC  (SAC)  (AHK) (SAC)
7) OM  ( SAB) ( câu 9 phn A), OM  (OQM ) (OQM) ( SAB).
8) ON  ( SAD)( câu 10 phn A), ON  (ONQ) ( ONQ)  (SAD).
9) BC  ( OPQ)( câu 11 phn A) , BC  (SBC)  ( OPQ)  (SBC).
10) SC  ( JBD)( câu 14 phn A) , SC  (SAC)  ( SAC)  (JBD)

111127
33
A
ESAAO aa a
 

d( A,(SBD) = AE =
21
7
a6)OM  (SAB) ( câu 9 phn A)  d( O,(SAB) ) = OM =
2
a

7)ON  (SAD) ( câu 10 phn A)  d( O,(SAB) ) = ON =
2
a

8)(OPQ)

( (SBC) ( câu 9 phn C), (OPQ)

( (SBC) = PQ,

OPQ vuông ti O nên h AF
 PQ thì AF 
(SBC)  d( O,( SBC) ) = AF.
222222


(SAB) mà ( SAB)

(SBC ) = SB. Trong mt
phng ( SAB) có AH

SB
 ( SAB)

( SBC)
 AH

SC.  Câu 2 phn A có đc CD

(SAD)
 ( SCD)

(SAD) mà ( SAD)

(SCD ) = SD. Trong mt
phng ( SAD) có AK

SD
 ( SAD)

( SCD)
 AK

*) SIH SBC nên ta có
3
.2
.35
2
5
5
a
a
SI SH SH SB a
SI
SB SC SC
a
  

Vy d( S,(AHK) =
35
5
a

11)Tính d(S,(JBD)?
 SJBSBC nên có
22
445
5
5
SB a a
SJ
SC
a

2) Vì O là trung đim AC nên d( O,SC ) =
130
OJ ( , )
210
a
dASC==
3) SO =
2
22
5
2
a
SA AO
2
2
2
a
OB 
 d(O,SB) =
22
OS. 15
6
OB a
SO OB
=
+

4) d(O,CD) = d(O,SB) =
15
6

'33AN SA AN a a a
=+ =+=
 AN=
39
3
a 6)H DD’
 SN  DD’ // AN’ nên DND’ =  ANN’  DD’ = AN’

 d( CD,SO ) = DD’ = AN’ =
39
3
a

7)BC//AD
 BC // ( SAD ) cha SD d( BC,SD ) = d( BC,(SAD) = d( C,(SAD) ) = CD = a.
8)AD// BC (gt hình vuông)
(SBC) //AD  d( AD,SB) = d( A , (SBC)) = AH =
3
2
a
= ( Câu 3
phn A)

G. Tính góc gia 1 đng thng và 1 mt phng
1) SB; (ABCD) 2) SC; (ABCD) 3) SD; (ABCD) 4) SO; (ABCD)
5) SC; (SAB)
6) SC;( SAD) 7)SO;(SAB) 8)SO;(SAD) 9) SA;(SCD) 10)SA;(SBC)

SA
SDA SDA SDA
AD
Þ==Þ=
4)
SA  (ABCD) (gt)  AO là hình chiu ca SO trên ( ABCD) 
·
(,( ))SO ABCD =
··
tan 6
SA
SOA SOA a
AO
Þ==
5)
BC  ( SAB)  SB là hình chiu ca SC trên ( SAB) 
·
·
·
(,( ))(,SC SAB SC SB CSB==
·
1
tan
22
BC a
CSB
SB a
===
www.vnmath.com
www.vnmath.com

2
22 2
13
3
42
aa
SA AM a+=+=
8)ON
 ( SAD)  SN là hình chiu ca SO trên ( SAD) 
·
·
·
(,( ))(, )SO SAD SO SN OSN==
·
tan
ON
OSN
SN
=, OM =
2
a
,SN=
2
22 2
13
3
42
aa
SA AN a+=+=


·
·
·
(,( ))(, )SA SBC SA AH ASH==
·
tan
AH
ASH
SH
=, SH=
3
2
a
,AH =
3
2
a
· ·
0
1
tan 30
3
AH
ASH ASH
SH
Þ==Þ=

H. Tính góc gia 2 mt phng
1)
(SBC); (ABCD)

(( ),( )) ( , )SCD ABCD AD SD SDA và tan
฀ ฀
0
360
SA
SDA SDA
AD
 
3)
 (SBD)  (ABCD) = BD ,BD AC ( gt hv) (1)
  SAB = SAD ( c.g.c)   SBD cân ti S và O là trung đim BD  SO  BD (2)
 T (1) và (2) ta có
฀
฀
฀
(( ),( )) ( , )SBD ABCD AO SO SOA và tan
฀
6
SA
SDA
A
O


4)
 SA ( ABCD)  SA  BC, BC AB  BC  ( SAB) . Li có BC 
( SBC)  ( SBC)  (
SAB) hay
฀
0

(( ),( )) 2SBC SCD BJD BJO
*) Tam giác OBJ vuông ti J có tan
฀
15
3
OB
BJO
JO
 .
8) AK
( (SCD), AE  ( (SBD) 
฀
฀
฀
(( ),( )) ( , )SCD SBD AK AE EAK, cos
฀
27
7
AE
EAK
AK

9) AH
( (SBC), AE  ( (SBD) 
฀
฀
฀
(( ),( )) ( , )SBC SBD AH AE EAH, cos
฀
27

3)Vì qua A ch có mt phng duy nht vuong góc vi SC nên (AHK)  SC = I vy thit din chính
là t giác AKIH.
 SB = SD = 2a, SH = SK =
3
2
a
, SC =
5a , SI =
35
5
a
,BD =
2a
.32
4
SH BD a
HK
SB


Có din tích
2
1 1 30 3 2 15

225420
AKIH
aaa
SAIHK 
4) Cách 1:
 SI =

www.vnmath.com

9

.
.
.
99

16 16
SAHK
SAHK SABD
SABD
V
SA SH SK
VV
VSASBSD


.
.
.
27 27

20 20
SIKH
S IHK SABD
SBCD
V
SI SH SK


 
6)
Cách 1:
SJ =
5
45
5
a

23
.
11154523
.
3310515
SBJD JBD
aaa
VSSJ

 

7)
D thy G là trng tâm ca tam giác ABD
G
D'
Q
N
A
B
D

()
36 62 3
A
OACCG ACAC 

.

.
21 1 1
.
32 3 3
CQBG
C QBG S ABC
SABC
V
CG CQ CB
VV
VCACSCB
 
3

11 1 3
(1 )
23 6 36
Q ABG S ABC S ABC
a
VVV
  

www.vnmath.com

CD CJ CB
VCDCSCB

 ,
3

13
26
SBCD SABCD
a
VV

Vy
3
.
3
30
CJBD
a
V
Ta đã bit AE
 ( SBD)
Xét phép chiu vuông góc lên mt phng (SBD) ta có
ES S
ESD S
EBD S
.cos (1)





Th vào h trên ta có
2
S
2
SD
2
BD
.cos (1")
.cos (2")
.cos (3")
EB SBD
ESBD
ESBD
SS a
SS b
SS c







Cng các v ca h cui ta đc
222 222
( os os os ) os os os 1



www.vnmath.com
www.vnmath.com

11
D'
P
Q
N
M
J
I
K
H
O
A
B
D
C
S
N'
E

Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cnh a, SA  (ABCD) và SA =
2a.Trên cnh AD ly đim M sao cho AM = x ( 0< x ≤ a ).
a)
Tính khong cách t đim M đn mt phng (SAC).
b)
Nu MH  AC ti H.Tìm v trí ca M đ th tích khi chóp SMCH ln nht.

22
.
.
SAHM
SAHM SAOD
SAOD
V
AM AH x x
VV
VADAOa a

.

.
2( )

SMCD
SAHM SAOD
SACD
V
DS DC DM a x a x
VV
VDSDCDAa a


2
.

2
.
11 3
3
43 12
SAOD
a
Vaa
khi và ch khi
21
xxx
x
aMD
aaa

 