SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"KHAI THÁC YẾU TỐ TRUNG ĐIỂM TRONG BÀI TOÁN HÌNH
HỌC"
Phần I. Mở đầu
I. lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học mang tính trừu tượng và lôgíc cao,đồng thời còn là
môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc học tập các môn học khác của chương trình phổ
thông. Hình học là phân môn quan trọng của Toán học vừa rèn luyện khả năng đo đạc,
tính toán, suy luận lôgíc vừa phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.Khi nắm chắc kiến
thức và học giỏi hình học nó còn có tác dụng làm cho các em phát huy được tính độc lập
sáng tạo,linh hoạt trong cách tìm lời giải cho các bài toán nói chung và nó còn có ý nghĩa
thực tiễn rất cao trong việc vận dụng kiến thức vào cuộc sống sau này. Qua nhiều năm
trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tôi rút ra được kinh nghiệm thực tế là:
Việc bồi dưỡng HSG không đơn thuần chỉ là cung cấp cho các em các dạng toán từ cơ
bản đến nâng cao mà phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo, tư duy trừu tượng và suy luận
lôgíc – phải biến những điều đó thành kỹ năng và cao hơn là hình thành phương pháp giải
toán, học toán, ứng dụng kiến thức toán thế nào cho hiệu quả. Muốn đạt được những điều
đó trước hết người thầy giáo phải nắm chắc bản chất của từng loại toán, từ đó vừa phân
loại vừa liên kết được từng dạng với nhau đó chính là phương pháp dạy và học toán nói
chung cũng như việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng. Trong rất nhiều những dạng
toán mà tôi đã dày công nghiên cứu, tập hợp trên hai mươi năm làm nghề dạy học qua rất
nhiều tài liệu và các kênh thông tin khác nhau từ SGK trong chương trình đến các loại tài
liệu tham khảo, đề thi các như : Toán về phần nguyên, Toán về diện tích, Toán về
thẳng hàng, Đồng qui,Bất đẳng thức, Cực trị…, từ việc ban đầu là tâp hợp thành
những dạng toán sau đó liên kết chúng để hình thành kỹ năng, phương pháp dạy và học
toán như tôi đã trinh bày ở trên.
Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học là một đề tài mà tôi muốn
xâydựng một phương pháp học mới để đạt được những yêu cầu sau đây:
- Sử dụng thành thạo kẻ đường phụ trong bài toán có yếu tố trung điểm.
- Chứng minh sự bằng nhau, song song, thẳng hàng,đồng quy…

bậc THCS . Đó là khi gặp bài toán có yếu tố trung điểm ta nghĩ ngay đến việc tạo ra
đường phụ theo một trong các hướng sau:
+ Hướng 1: Lấy thêm đoạn thẳng mới để cùng với đoạn đã cho có chung trung điểm từ
đó sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm ở lớp 7, hoặc tính chất của hình
bình hành ở lớp 8.
+ Hướng 2: Lấy thêm trung điểm thứ hai để tạo ra đường trung bình trong tam giác,
trong hình thang, trong tứ giác nếu có nhiều đường trung bình liền nhau càng tốt, từ đó sử
dụng các tính chất của các đường trung bình này.
+ Hướng 3: Nếu trung điểm đó là trung điểm của cạnh huyền của tam giác vuông đăc
biệt lại là cạnh huyền chung của nhiều tam giác vuông thì ta kẻ thêm các đường trung
tuyến thuộc cạnh huyền này để sử dụng tính chất đường trung tuyến thuộc cạnh huyền
trong tam giác vuông.
+ Hướng 4: Nếu trung điểm đó là trung điểm của dây cung của đường tròn thì ta kẻ ngay
đường kính của đường tròn đi qua trung điểm đó để sử dụng tính chất của đường kính đi
qua trung điểm của dây cung trong đường tròn.
Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài toán minh họa cho những kinh nghiệm mà tôi đã
có được trong những năm trực tiếp làm nhiệm vụ giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi.
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN QUEN THUỘC TRONG CHƯƠNG TRÌNH.
Trong chương trình toán 7 khi nghiên cứu các trường hợp bằng nhau của tam gíac để
giúp học sinh nắm vững kỹ năng ,vận dụng thành thạo kiến thức ta giới thiệu cho học
sinh các bài toán sau:
Bài toán 1: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh còn
lại và có độ dài bằng nửa cạnh đó.
Ta hướng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất của trung điểm bằng cách: Trên tia đối
của tia NM lấy điểm P sao cho NP = NM,
Khi đó hai đoạn AC và MP có chung trung điểm là N, từ các tính chất trung điểm
chung ta có các cặp tam giác (ANM, CNP) và (AMP, MBC) bằng nhau dẫn đến hai đoạn
MP, BC song song và bằng nhau từ đó ta có điều cần chứng minh.
Sau khi chứng minh xong, ta cũng cho học sinh chứng minh bài toán ngược lại. Qua đó
học sinh được hình dung tính chất đường trung bình của tam giác.

A
D
C
B
Ta có thể hướng dẫn cho học sinh làm bài này như sau:
Ta lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD xét đặc điểm của tam giác CBD với trung
tuyến CA và các quan hệ đã cho ta sẽ có điều cần chứng minh.
Hoàn toàn tương tự ta cho học sinh lớp 7 làm các bài toán sau:
Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến. Chứng
minh góc BAM lớn hơn góc CAM khi và chỉ khi cạnh AB bé hơn cạnh AC.
Hướng làm: Xét trên hình của bài toán 2, ta thấy: Việc so sánh góc BAM với góc
CAM cũng như cạnh AB với cạnh AC ta đi so sánh góc ADC với góc DAC và cạnh CD
với cạnh AC của tam gíac ACD ( Sử dụng quan hệ cạnh và góc đối diện trong tam giác).
Bài toán 6: Chứng minh rằng: trong một tam giác độ dài đường trung tuyến luôn bé
hơn nửa tổng hai cạnh còn lại.
Hướng làm: Cũng tương tự trên hình của bài toán 2, sử dụng bất đẳng thức trong tam
giác của tam giác ACD ta sẽ có điều cần chứng minh.
Đến đây ta khẳng định giá trị to lớn của tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm.
Từ việc sử dụng tính chất của hai đoạn thẳng có chung trung điểm ta đã chứng minh
tính chất đường trung bình của tam giác, tứ đó ta cũng chứng minh tính chất đường trung
bình của hình thang, tính chất “ Đường trung bình của tứ giác”.
Bài toán 7: Chứng minh đường trung bình của hình thang song song với cạnh đáy và
có độ dài bằng nửa tổng hai đáy.
Hướng làm: Xét thêm trung điểm I của đường chẻo AC,Ta có IM,IN là các đường trung
bình của các tam giác ADC vầ ABC

Khi đó sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được bài toán
này.
Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng minh
độ dài đoạn MN

Việc giải bài toán này không khó với học sinh lớp 8 còn với học sinh lớp 7 ta thay đổi
một số tên gọi cho phù hợp thì bài này trở nên khá hấp dẫn, vì với học sinh lớp 7 việc
chứng minh bài toán này đã phải sử dụng khá nhiều kiến thức: Tính chất đường trung
bình của tam giác, đường thẳng song song, hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, hai
tam giác bằng nhau, . . .
Từ bài toán này học sinh có thêm một tính chất hình học:
Các “đường trung bình của tứ giác” gặp nhau tại trung điểm của chúng
Cũng từ bài toán 10 ta có bài toán tổng quát hơn sau:.

Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H lần lượt là trung điểm của
các đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC.
Chứng minh các đường MN, PQ, EF, GH đồng quy.
C. CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN
I. BÀI TOÁN CHỨNG MINH
Bài toán 12: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác vuông cân tại A là
ABM và ACN. Chứng minh rằng đường thẳng chứa trung tuyến AI của tam giác ABC
cũng chứa đường cao của AH của tam giác AMN.
Hướng làm: Đây là bài toán khá khó đối với học sinh lớp 7, và bài toán này lại được
gặp ở lớp 8, nên ở lớp 7 ta dùng ngôn ngữ sau:
Do đã có trung điểm I của BC nên ta nghĩ đến việc tạo ra I là trung điểm chung của
hai đoạn, cụ thể là trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho I là trung điểm của AD.

D
H
I
N
M
C
B
A

và vuông góc với nhau.
Từ bài toán này ta có loạt các bài toán sau:
Bài toán 15 :Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành các tam giác
ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N; BDP vuông cân tại P; CDQ vuông cân tại
Q.
Chứng minh rằng tứ giác NMPQ là hình vuông.
B
C
A
H
F
E
D
I
J
M
B
C
A
D
N
Q
P
M
I
Hướng làm: Từ kết quả bài toán 14 ta có các tam giác IMN, INQ, IQP, IPM đều
vuông cân tại I từ đó suy ra tứ giác MNQP là hình vuông.
Từ bài toán này ta lại đưa ra bài toán sau:
Bài toán 16: Cho hình bình hành ABDC, về phía ngoài hình bình hành các hình
vuông ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H lần lượt là tâm của các hình vuông

VJ bằng nhau và vuông góc với nhau.
Đối với bài toán này việc vẽ đường phụ là quan trọng.ngoài việc biết khai thác yếu tố
trung điểm như đã nêu học sinh cần áp dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau, kiến
D
C
B
A
P
Q
M
N
F
E
H
G
V
K
J
S
I
R
thức về tam giác cân, tam giác đều , đã được học vào giải bài toán.Từ đó học sinh mới
tư duy và tìm tòi lời giải. Giáo viên không nên đưa ra lời giải mà phải hướng dẫn để học
sinh dần dần tìm lời giải cho mỗi bài toán.
Bài toán 18: Cho tam giác ABC trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho
BM = CN, gọi E, F là trung điểm các đoạn BC, MN. Chứng minh EF song song với phân
giác góc A.
Hướng làm: Trong bài toán này đã có hai trung điểm M, N nên ta nghĩ đến việc lấy
thêm một trung điểm nữa để cùng với hai trung điểm đã cho tao ra các đường trung bình
của tam giác sẽ giúp ta giải bài toán, cụ thể như sau:

B
A

Sau đó lại sử dụng tính chất đường trung bình IK của tam giác GAH để chứng minh hai
tam giác: GIK và GOM bằng nhau từ đó có được ba điểm G, H, O thẳng hàng. ( Xin phép
không trình bày chi tiết phép chứng minh này vì đây là bài toán điển hình mà ai cũng
biết)
Bài toán 20: Cho lục giác ABCDEF
có M, N, P, I, K, L lần lượt là trung
điểm các cạnh: AB, CD, EF, BC, DE, FA.
Chứng minh hai tam giác MNP và IKL
có chung trọng tâm.
S
G
Y
X
L
K
I
P
N
M
F
E
D
C
B
A
Hướng làm: Từ kết quả bài toán 10, gọi S là trung điểm đoạn BE thì hai đoạn
MP và LS cũng như hai đoạn IK và SN có chung trung điểm là X và Y, khi đó NX và

A'A
+
CC'
A'A
+
D'
'
D
BB
+
'
'
CC
BB
= (A’A + B’B)(
'
1
CC
+
D'
1
D
)
=
( )( )
DDCC
DDCCBBAA
'.'
'''' ++


trung điểm của PQ dẫn đến M là trung điểm của CQ, từ đó ta có tứ giác ACPQ nội tiếp
.
⇒
MA.MP = MC.MQ = MC
2

⇒
MP =
MA
MC
2
Q
I
P
K
N
M
D
C
B
A
A
Khi đó :
KC
KA
=
MP
MA
= MA :
MA

O
D
C
B
A
Bài toán 25: Cho đường tròn tâm O, qua trung điển I của dây cung AB kẻ hai dây
cung bất kỳ CD và MN, gọi P, Q là giao điểm của CN, DM với AB. Chứng minh I cũng
là trung điểm của PQ.
Hướng làm: Đây là bài toán “ Con bướm” nổi tiếng !
Ta thấy trong bài toán đã có trung điểm của dây cung nên ta kẻ ngay đường kính đi qua
trung điểm I của dây cung AB, cũng như vậy ta kẻ các đường kính đi qua các trung điểm
của các dây cung CD, MN (hình vẽ ).
O
F
E
Q
P
N
M
D
C
I
B
A
R
Khi đó xét các tứ giác nội tiếp PIOE, QIOF và từ các tam giác đồng dạng ICN, IMD
dẫn đến các tam giác ICE, IMF đồng dạng dẫn đến tam giác OPQ cân tại O (vì có đường
cao cũng là phân giác) từ đó suy ra I là trung điểm của PQ
Bài toán “Con bướm” này cũng có trong tam giác:
Bài toán 26: cho tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC, đường trẳng d bất kỳ qua I