ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích
Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
1
S GIÁO DC VÀ ÀO TO LÀO CAI
TRNG THPT S 2 TP LÀO CAI CHUYÊN 
:
NG DNG O HÀM TRONG GII
BÀI TOÁN I S & GII TÍCH
Ngi vit : Phm Hng Lan
T: Toán - Tin

toán: Chng minh bt đng thc, gii phng trình, bt phng trình,
h phng trình, h bt phng trình
- Cung cp thêm phng pháp cho hc sinh và giáo viên trong dy và
hc toán.
III. Gi thuyt khoa hc
Nêu h thng hoá các kin thc liên quan cùng
vi vic đa ra phng pháp cùng ví d minh ha c th thì s giúp hc sinh
có thêm 1 phng pháp hay khi tìm li gii nhng bài toán đi s.
Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
2
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích
IV. Bin pháp thc hin.
- Nghiên cu các tài liê, các sách tham kho, đ thi đi hc, cao đng,
các đ d b đi hc, đ thi th đi hc ca các trng…
- Gii thiu khong 6 tit cho hc sinh lp 12 và hc sinh ôn thi đi hc
V. Ni dung

I . Kin thc c bn
II. Phng pháp
. hàm s bin lun phng trình, bt phng trình
III. Các bài toán minh ha phng pháp hàm s
IV. Bài tp t luyn
NI DUNG
I. KIN THC C BN

1. y = f (x) đng bin / (a, b) ⇔
(
)
12
,

(
)
k
x
xfx
′
=⇔ đi du ti đim b

jjj
xxx
−
ε+ε
iii
xxx−ε +ε
a
x
k
x

n
xab
f
xfxfxfaf
∈
=Khi đó: b
[]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
1
,
M in M in , , , ,
n
xab
f
xfxfxfaf
∈
= b
• Nu y = f (x) đng bin / [a, b] thì
[]

)
[]
(
)(
,
,
Min ; Max
xab
xab
)
f
x
f
b
f
x
f
a
∈
∈
==

[
]
;ab
• Hàm bc nht
(
)
fx x=α +β
trên đon đt giá tr ln nht, giá tr nh

ux=
nm  phía trên
.
so vi phn đ th
(
)
y
vx=
3. Nghim ca bt phng trình u(x) ≤ v(x) là
phn hoành đ tng ng vi phn đ th
(
)
y
ux=
nm  phía di so vi phn đ th .
(
)
y
vx=
4. Nghim ca phng trình u(x) = m là hoành đ
giao đim ca đng thng y = m vi đ th
(
)
y
ux=
.
5. BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔
(
)
I


8. BPT u(x) ≤ m có nghim x∈I ⇔
(
)
I
Min
x
ux m
∈
≤ Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
5
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích

+
+−
.
3
1
8
m
⇔
≤≤
 ƒ(x) = 0 có nghim x∈[1; 2] thì
[]
(
)
[]
(
)
1;2
1;2
Min Max
x
x
g
xm
g
x
∈
∈
≤≤
(
)

∈
⇔≥
.
()
()
2
3
11
gx
x
=
+−
[]
()
()
1;4
1
Min 4
8
x
g
xg m
∈
=
=≥Do gim trên [1; 4] nên ycbt ⇔
(
)
2
23mx x
+

⇔
(
]
0;3x ∈
(
]
0;3x ∈
(
)
g
xm
≤
có nghim .
(
]
()
0;3x
M
in g x m
∈
⇔
≤
()
()
2
3
11
gx
x
=

≥
có nghim
[
)
1; 0x ∈−
()
(
)
()
[]
2
2
32 2
0, 1;0
2
x
gx x
xx
−+
′
=≤∀∈
+
[
)
(
)
1;0
M
ax g x m
−

⎣
U
Kt lun: ƒ(x) ≥ 0 có nghim x∈
[
]
1; 3−

Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
6
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích
3
3
1
32xmx
x
−
−+ −<
Bài 2. Tìm m đ bt phng trình: nghim đúng ∀x ≥ 1
()
32
34
112
32,13mx x x m x f x x
x
xx
⇔<−+∀≥⇔<−+= ∀≥
Gii: BPT
,1
.
()


Bài 3. Tìm m đ bt phng trình
()
2
.4 1 .2 1 0
xx
mm m
+
+
−+−>
đúng x∀∈¡
Gii: t thì đúng
()
2
.4 1 .2 1 0
xx
mm m
+
+− +−>
2
x
t =>
x
∀
∈ ¡
0
()()
(
)
22

++
. Ta có nên
(
)
g
t
nghch bin
trên
[
suy ra ycbt ⇔
)
0; +∞
(
)
(
)
0
01
t
M
ax g t g m
≥
=
=≤
(
)
12 5 4
x
xx m x x
+

′
=++>⇒ = + >
+
Th thut: t
() ()
11
540
25 24
hx x x h x
xx
−
′
=−+−>⇒ = − <
−−

0

()
1
0
hx
>
và tng; > 0 và gim hay và tng Suy ra:
(
)
0gx>
()
hx
()
(

⎦
⎣⎦

(
3
32
31 1xx mxx+−≤ −−
)
Bài 5. Tìm m đ bt phng trình: có nghim.

()
3
1xx
Gii: iu kin . Nhân c hai v BPT vi
1
x
≥ 0
+
−>
ta nhn đc
()
()
()
3
32
31 1
f
xx x xx=+− +−≤
bt phng trình
m

x
∀≥
(
)
0hx>
(
)
(
)
(
)
.
f
x
g
xhx=
tng
1
x
∀≥
Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
7
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích
Khi đó bt phng trình
()
f
xm
≤
có nghim
(

xx x x x⇔=−+++−≤m đúng
()
()()
()
()()
22
1
22 1 2 0
24 6 4 6
x
1
f
xx x x
xx xx
−+
⎛⎞
′
=− + + = − + = ⇔ =
⎜⎟
+− +−
⎝⎠

Lp bng bin thiên suy ra Max
[]
(
)
(
)
4,6
16

22
24, 0;5 24 ; 0;5ttm t fttt mt≤− + + ∀ ∈ ⇔ = + − ≤ ∀ ∈ . Ta có:
(
)
[
]
;0;5ft m t
≤
∀∈ ⇔
(
)
210ft t
′
=+>
⇒
()
f
t
tng nên
[]
(
)
(
)
0;5
max 5 6
f
tf m
=
=≤

22
1
18 3 3 6 9 ; 3;3 2
2
xx x x t t
⎡
⎤
⇒+−=+ −= −∈
⎣
⎦

() () () ()
2
3;3 2
9
1
; 1 0; 3;3 2 max 3 3
22
ft t t f t t t ft f
⎡⎤
⎣⎦
⎡⎤
′
=− + + = − < ∀ ∈ ⇒ = =
⎣⎦
Xét
ycbt
()
22
3;3 2

13

1
(
)
g
t
′
+ 0 –
(
)
g
t
0
13
– 1
[
)
4
4
1
2
10
11
x
u
xx
−
==−∈
++

()
2
28 2xx mx+−= − luôn có đúng hai nghim phân bit.

x 2
+
∞
(
)
g
x
′
+
(
)
g
x
0

+
∞
Gii: iu kin: .
2x ≥
Bin đi phng trình ta có:
()() ()
26xx mx⇔− += −2
2

()() ()
22

)
g
x
(
)
g
x
(
)
(
)
20;lim
x
ggx
→+∞
==+∞
nên
(
)
g
xm
=
có đúng mt nghim ∈ .
(
)
2;
+
∞
Vy , phng trình
0m∀>

44
2 2 26 26 ; 0;6 fxxxxxx=++−+− ∈

Ta có:
()
() ()
()
33
44
11 1 1 1
,0;
2
26
26
fx x
xx
xx
⎛⎞⎛⎞
′
=− +− ∈
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
−
⎝⎠
6

t
()

220
,0,2
ux vx x
uv
ux vx x
⎧
>∀∈
⎪
⇒==
⎨
⎪
<∀∈
⎩

()
() 0, 0,2
() 0, 2,6
(2) 0
fx x
fx x
f
′
⎧
>∀∈
⎪
′
⇒<∀∈
⎨
⎪
′

⇔
4
26 26 32 6m
+
≤< +Bài 11. ( TSH khi D, 2007):
Tìm m đ h phng trình có nghim
33
33
11
5
11
15 10
xy
xy
xy m
xy
⎧
+++=
⎪
⎪
⎨
+
++ = −
⎪
⎪
⎩


Khi đó h tr thành
()
33
5
5
8
31510
uv
uv
uv m
uv uv m
+=
⎧
+=
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
=
−
+− += −
⎪
⎩
⎩

⇔
u
là nghim ca phng trình bc hai
,v
()

t
−∞
– 2 2 5/2 + ∞
()
f
t
′–

–
0
+

()
f
t

+
∞

22 2

7/4
+
∞

210,2,2Min
u
gu xu x u gu
⎡⎤
∈−
⎣⎦
⎡⎤
⇔= ++≥∀∈− ⇔ ≥
⎣⎦
0

Do đ th
()
yg
u=
là mt đon thng vi
2, 2u
⎡
⎤
∈−
⎣
⎦
nên
()
2, 2
Min 0
u
gu
⎡⎤
∈−

Bài 13. Cho Chng minh rng:
abc
,, 0
3
abc
abc
≥
⎧
⎨
++=
⎩
222
4abc
+
++ ≥Gii: BT ⇔+
() ()()
22
22
243 2a b c bc abc a a a bc 4+ − + ≥⇔+− +− ≥
0
() ( )
2
2265fu a u a a⇔=−+−+≥trong đó
(
)
()
2

)
()
(
)
()( )
2
22
2
3
11 1
02 6 52 0; 3 1 2
22 4 4
faa a f a aa=−+=−+≥ − =− +≥0
nên suy ra
()
0;fu≥
()
2
1
0; 3
4
ua
⎡⎤
∀∈ −
⎢⎥
⎣⎦
.
Vy . ng thc xy ra
222
4abcabc+++ ≥ 1abc

)
(
)
(
)
(
)
(
)
12 1 12 1 12ab c abc a a abc a a au
f
u++−=−+−=−+−=

 th
(
)
(
)
(
)
12 1
yf
uaua==−+−a
vi
(
)
()
2
2
1

()
(
)
(
)
2
2
32
77
11 111
1212
44 27433
fa aa aa−=−++=− + −≤
27

Do đ th
()
yf
u=
là mt đon thng vi
()
2
1
0; 1
4
ua
⎡
⎤
∈−
⎢

===

Bài 15. Chng minh rng:
(
)
(
)
24,abc abbcca+− ++ ≤∀
[
]
,, 0,2abc∈
.
+

Gii: Bin đi bt đng thc v hàm bc nht bin s a, tham s b, c ta có
(
)
(
)
(
)
[
]
2 2 4, , , 0,2f a b c a b c bc abc=−− + +−≤∀ ∈

 th
()
yf
a=
là mt đon thng vi

)
(
)
[]
1111 1,,,,0,abcdabcd abcd−−−−++++≥∀ ∈1Gii: Biu din bt đng thc v hàm bc nht bin s a, tham s b, c, d, ta có:
() ( )( )( )
[
]
()()( )
[
]
11 1 1 1 1 1 1, ,,, 0,1fa b c d a b c d b c d abcd=−−−− +−−−+++≥∀ ∈
 th
(
)
[
,0,yfa a=∀∈
]
1
là mt đon thng nên
[]
(
)()
()
{
}
0,1

(
)
()
{
}
0,1
Min 0 , 1
b
gb Ming g
∈
=
Ta có
()
() ( )
(
)
111;011 1gcd g cdcdcd=+ +≥ = − − ++ =+ ≥1
]
0,1

⇒ . Vy
() ()
[
01,fgbb=≥∀∈
(
)
1fa≥
hay ta có (đpcm)

 gii các bài toán dng trên có bài ta gii đc bng nhiu phng pháp

x
1
2
1
22
22
2
x
x21
x
x1
−=−
−=

d. 2
x
=
2
x
3 + 1
e.
xcos3
2
x
=
Bài 2: Tìm m đ bt phng trình sau có nghim
1m1x1x
2
+≤++−
Bài 3: Tìm m đ phng trình sau có nghim

[
]
5;4
∈

Bài 6: Cho bt phng trình:
04.m6).1m2(9.m
xx2xx2
2x
2
x22
≥++−
−−
−
Tìm m đ bt phng trình nghim đúng vi mi x tho mãn
2
1
x ≥

Bài 7: Cho phng trình:
3m
)8x4(log
)2x.(2)2x(
2
−=−
−
a. Gii PT khi m = 2
b. Tìm m đ phng trình có 2 nghim tho mãn:
4xx
2

- Tránh phi xét nhiu trng hp  mt s bài toán.
- Tránh vic bình phng hai v d dn đn sai sót ,tha nghim và tránh vic
gii phng trình bc cao.
Trên đây là mt s ng dng mà theo tôi là hay gp trong khi gii phng
trình và bt phng trình. Rt mong các thy cô và các đng chí góp ý đ bài
vit đc hoàn thin hn. Xác nhn ca nhà trng

Ngi vit

Phm Hng Lan- Trng THPT s 2TP Lào Cai
5
ng dng đo hàm trong gii bài toán i S& gii tích Phm Hng Lan

TÀI LIU THAM KHO

1. Sách giáo khoa gii tích 12 c bn.
2. Sách bài tp gii tích 12 c bn.
3. Sách giáo khoa gii tích 12 nâng cao.
4. Sách bài tp gii tích 12 nâng cao.
5. Báo Toán hc và tui tr
6.  thi i hc t nm 2002-2010