Đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học s- phạm Giáp Xuân Tr-ờng
Về môđun đối đồng điều địa ph-ơng
cấp cao nhất
Luận văn thạc sĩ toán học


(0 :
A
p) = p p ⊇ Ann
R
A. (∗)
R m
R
R
A
A dim(R/ Ann
R
A)
H
d
m
(M)
R/ Ann
R
H
d
m
(M)
i R
R H
i
m
(M)
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3
H

1
∈ Γ A
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5
A
2
∈ Γ A
1
⊃ A
2
A
1
= A
2
.
A
1
⊃ A
2
⊃ . . . ⊃ A
n
⊃ . . . A A
A
A
1
⊇ A
2
⊇ ··· ⊇ A
n
⊇ . . .


A A

A

1
⊇ . . . ⊇
A

n
⊇ . . . A

A A

A
1
⊇ . . . ⊇ A
n
⊇ . . . A

i
= A
i
/A

i A A
1
⊇ . . . ⊇ A
n
⊇ . . .


)/A

⊇ . . . ⊇ (A
n
+ A

)/A

⊇ . . .
A

A

A

A

k t
A
n
∩A

= A
k
∩A

n ≥ k (A
n
+A

n
/(A
n
∩A

) = A
n+1
/(A
n+1
∩A

) A
n
∩A

= A
n+1
∩A

A
n
= A
n+1
n ≥ n
0
A
I
I R n
(0 :
A

a
i
(0 :
A

a
i+1
) = a
i
(0 :
A

a
i+1
) i
A

= A

A Ra A

Ra
A

=

i≥0
(0 :
A


A

a
i
) ⊆ A

z ∈ (0 :
A

a
i+1
)
a
i
z ∈ a
i
(0 :
A

a
i+1
) = a
i
(0 :
A

a
i+1
).
z

∈
A

(0 :
A

a
i+1
) ⊆ A

(0 :
A

a
i
) ⊆ A

i
A

= A

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7
A
I (0 :
A
I) A I
A I (0 :
A
I)

⊇ . . . A
i L A x ∈ a
i
(0 :
L
a
i+1
)
y ∈ (0 :
L
a
i+1
) x = a
i
y ax = a(a
i
y) = a
i+1
y = 0
ax = 0 x ∈ (0 :
A
a) a
i
(0 :
L
a
i+1
) ⊆ (0 :
A
a)

y ∈ (0 :
L
n
a
i+2
) a
i+2
y = 0 a
i+1
(ay) = 0 ay ∈ (0 :
L
n
a
i+1
)
z ∈ (0 :
L
n
a
i+1
) ay = z x = a
i+1
y = a
i
z
x ∈ a
i
(0 :
L
n

) ⊇ a
i+1
(0 :
L
n
a
i+2
) ⊇ . . .
(0 :
A
a) k
n
∈ N
E
n
= a
k
n
(0 :
L
n
a
k
n
+1
) = a
i
(0 :
L
n

k
n
+k
n+1
+1
) = E
n+1
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8
E
1
⊇ . . . ⊇ E
n
⊇ . . . (0 :
A
a)
n
0
E
n
= E
n
0
n ≥ n
0
i ≥ k
n
0
, n ≥ n
0

L
n
a
i+1

⊇ E
n
= E
n
0
.
E
n
0
= a
i

0 :
L
n
a
i+1

; ∀n ≥ n
0
i ≥ k
n
0
i = 0, 1, , k
n

(0 :
A
a) u ≥ n
0
a
i

0 :
L
n
a
i+1

= a
i

0 :
L
u
a
i+1

; ∀n ≥ u, 0  i  k
n
0
− 1.
L
n
= L
n+1

J B = (0 :
A
J) J t − 1
A
(R, m) A R
i) x ∈ R n
x
n
A = 0 x A xA = A
x A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9
ii) A A = 0 x A
x ∈ R
x ∈ R x A
p A p
iii) A = A
1
+ . . . + A
n
A
i
p
i
A
p
i
A
i
A = A
1

+ . . . + A
n
f(a
1
, . . . , a
r
) = a
1
+ . . . + a
n
A
1
+ . . . + A
n
0 A
1
⊕. . . ⊕A
n
.
A = A
1
+ . . . + A
n
A
i = j A
i
A
j
p A
i

j
A
i
A/P
i
= 0
A/P
i
= (A
i
+ P
i
)/P
i
∼
=
A
i
/(A
i
∩ P
i
)
A/P
i
0 A
i
A
i
p

P = p
k−1
(pP ) = p
k−1
P = . . . = pP = P,
Q = P/pP 0 P
0 A P p Q p
Ann
R
Q ⊆ p p ⊆ Ann
R
Q Ann
R
Q = p
(iii ⇒ i) Q = A/B Ann
R
Q = p
Q = A/B =
n

i=1
(A
i
+ B)/B
∼
=
n

i=1
A

1
∩ . . . ∩ p
m
(iii) p = p
1
∩ . . . ∩p
m
p = p
i
i
A = A
1
+ . . . + A
r
=
B
1
+ . . . + B
s
A A
i
p
i
i = 1, . . . , r B
i
q
i
i = 1, . . . , s.
r = s {p
1

1
+ . . . + B
n
A A
i
, B
i
p
i
p = p
1
. p
1
∈ min Att
R
A p
j
⊆ p
1
j > 1. x
j
∈ p
j
\ p
1
x = x
2
. . . x
n
. x ∈ p

1
, x
t
B
1
= B
1
. x
t
A = A
1
x
t
A = B
1
.
A
1
= B
1
.
A = 0 A
A A
A x ∈ R
xA = A x
n
A = 0 n xA ⊇ x
2
A ⊇ . . .
A k x

. a = c + x
k
b ∈ A
1
+ A
2
. A = A
1
+ A
2
.
A
1
x
k
A
1
= 0. x
k
A = 0 A = A
1
.
xA = A A
2
= x
k
A = A.
A A Γ
A A ∈ Γ
Γ = ∅ A Γ L L ∈ Γ L = 0

R
A = {p
1
, . . . , p
n
}, p ∈ min Var(Ann
R
A).
√
Ann
R
A =

n
i=1
p
i
. p ⊇ Ann
R
A p ⊇ p
i
i
p
i
∈ min Att
R
A p ⊇ p
i
. p
i

Att
R
A = ∅. p ∈ Att
R
A.
Q = 0 A p = Ann
R
Q. A = 0 A = 0.
Ann
R
A = R. p Ann
R
A.
p ∈ Att
R
A. Att
R
A = ∅
0 → A

→ A → A

→ 0 R
Att
R
A

⊆ Att
R
A ⊆ Att

⊆ Att
R
A. p ∈ Att
R
A. A/P
A p− Q = P + A

. A = Q
A/P = (P + A

)/P
∼
=
A

/(P ∩ A

).
A/P p p ∈ Att
R
(A/P ). A/P
A

. p ∈ Att
R
A

. A = Q A/Q
A/P. A/P p− A/Q
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14

0
x
n
− x
m
∈ m
k
m, n ≥ n
0
. (x
n
− x
m
)u = 0
m, n ≥ n
0
. x
n
u n ≥ n
0
.
xu = x
n
u n ≥ n
0
. A
A

R A
R A

A

R A
ij

p
ij

p
i1
∩R = . . . =

p
it
i
∩R = p
i
i = 1, . . . , n p
i
Att

R
A = {

p
ij
| i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , t
i
}.
A

i
A
i
p
i
A
ij
A
i
i.
Att
R
A = {p
1
, . . . , p
n
} = {

p ∩ R |

p ∈ Att

R
A}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15
(R, m)
M R I R
I R M N R
Γ
I

I
(N) → Γ
I
(M) f
∗
(x) = f(x) Γ
I
(f) = f
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16
Γ
I
(−) R
R Γ
I
(−) I
M
0 → M → E
0
→ E
1
→ E
2
→
E
i
M R I R
n I Γ
I
(−) M

(E
1
)
u
∗
1
→ Γ
I
(E
2
) →
H
n
I
(M) = Ker u
∗
n
/ Im u
∗
n−1
n ≥ 0
n
M
M R
H
0
I
(M)
∼
=

) → Γ
I
(M) → Γ
I
(M

)
δ
0
→ H
1
I
(M

) →
→ H
1
I
(M) → H
1
I
(M

)
δ
1
→ H
2
I
(M

H
n
I
(M)
∼
=
H
n
I
(M).
0 = a ∈ R M
am = 0 m = 0 m ∈ M.
a
1
, . . . , a
n
R M a
i
M/(a
1
, . . . , a
i−1
)M i = 1, . . . , n.
a
1
, . . . , a
n
∈ R M a
1
, . . . , a

 . . .  p
n
R R n
R
R dim R M = 0
M dim M
dim(R/ Ann M) M 0 dim M = −1
(R, m) M
m q (M/q
n
M)
n  0
dim M = deg (M/q
n
M)
= inf{t | ∃x
1
, . . . , x
t
∈ m (M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞}.
x ∈ m dim(M/xM) ≥ dim M − 1
x M
R I R
M R H
i
I

→ M
p
→ M/xM → 0,
x. x M p
id
M
M H
i
I
(−)
H
i
I
(x.) = H
i
I
(x id
M
) = xH
i
I
(id
M
) = x id
H
i
I
(M)
.
H

I
(M)
i ≥ 0
0 → H
i−1
I
(M)/xH
i−1
I
(M)
f
i
→ H
i−1
I
(M/xM)
g
i
→ (0 :
H
i
I
(M)
x) → 0
i ≥ 0.
I
I
H
d
I

(M)) dim(M/Γ
I
(M)) < d
H
d
I
(M/Γ
I
(M)) = 0 H
d
I
(M) = 0
dim(M/Γ
I
(M)) = d. H
d
I
(M)
∼
=
H
d
I
(M/Γ
I
(M))
M/Γ
I
(M) I I
x M 0 → M

Im f = Ker(x.) = (0 :
H
d
I
(M)
x).
H
d−1
I
(M/xM)/ Ker f (0 :
H
d
I
(M)
x) H
d
I
(M)
I x ∈ I H
d
I
(M) Rx
H
d
I
(M)
H
i
m
(M) i ≥ 0.

) k ≥ r H
0
m
(M) = (0 :
M
m
r
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21
m
r
⊆ Ann(H
0
m
(M)) dim(H
0
m
(M)  dim R/m
r
= 0
H
0
m
(M) 0 H
0
m
(M)
i > 0 i − 1
H
i

(M).
H
i−1
m
(M/xM)/ Ker δ
i−1
∼
=
Im δ
i−1
= Ker(x.) = (0 :
H
i
m
(M)
x)
H
i−1
m
(M/xM)/ Ker δ
i−1
(0 :
H
i
m
(M)
x) H
i
m
(M)


M
dim(

R/

p) = dim

M

p ∈ min Ass

R

M M
dim

R/P = dim

M P ∈ Ass

R

M
(R, m)
R
R
ht p + dim R/p = dim R p ∈ Spec(R)
R
R p R