TÊN SÁNG KIẾN
GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH NHỮNG SAI LẦM
TRONG KHI GIẢI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN

PHẦN I. MỞ ĐẦU
I – Lý do chọn đề tài :
Như chúng ta đã biết trong thế kỷ 21 này, đầu các thập kỷ của thế kỷ
này muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước thì phải nhanh chóng
tiếp thu khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự phát triển như vũ
bão của khoa học, kỹ thuật và công nghệ, kho tàng kiến thức của nhân loại
tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay còn là mới thì ngày mai đã trở thành
lạc hậu. Nhà trường không thể nào luôn luôn cung cấp cho học sinh những
hiểu biết cập nhật được. Điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng
lực tự học, tự tiếp thu kiến thức để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức
khi cần thiết trong tương lai.
Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nền kinh tế tri
thức trong tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo
và có những phẩm chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnh
tranh khốc liệt này. Việc thu thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở
lên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền thông tuyên truyền, máy tính, mạng
internet .v.v. Do đó, vấn đề quan trọng đối với con người hay một cộng đồng
không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là xử lý thông tin để tìm ra giải pháp
tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng như của
xã hội.
Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng về
việc truyền thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực
hoạt động cho học sinh. Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng
bộ các thành tố của quá trình dạy học về mục tiêu, nội dung, phương pháp,
hình thức tổ chức, phương tiện, cuối cùng là khâu kiểm tra đánh giá.
- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THPT đã được mở rộng, các kiến
thức và kỹ năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :

học tích cực rất dễ thực hiện.
+ Giúp giáo viên toán THPT nói chung và giáo viên dạy toán 12 THPT
nói riêng có thêm thông tin về Phương pháp dạy học tích cực này nhằm giúp
họ dễ ràng phân tích để đưa ra biện pháp tối ưu khi áp dụng phương pháp
vào dạy học và trong sáng kiến này cũng tạo cơ sở để các Giáo viên khác
xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn.
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc
phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương NGUYÊN HÀM – TÍCH
PHÂN để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc
phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra
…
Cũng qua sáng
kiến này tôi muốn giúp Giáo viên toán 12 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn,
chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về nguyên hàm – tích
phân cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy
- 2 -
lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con
người học sinh.
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh
nghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm
tiếp theo.
III – Phạm vi nghiên cứu:
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh
thường mắc phải trong quá trình làm bài tập về tích phân và ứng dụng của
tích phân trong chương III – Giải tích 12.
Phát hiện sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được
những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác.
Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về tích phân
và ứng dụng.
Cho nên khi cầm bút viết đề tài này tôi cũng còn rất nhiều nỗi băn

phải học thuộc vận dụng vào bài tập rất nhiều, kiến thức thì đa dạng , nhiều
bài tập đòi hỏi tư duy rất cao, có những bài tập phối hợp các kiến thức phổ
thông trước đây. Chúng tôi từng dậy những em học lực trung bình , yếu kết
quả thu được học ở nguyên hàm - tích phân gặp rất nhiều khó khăn, vì
những đối tượng học sinh này hầu như đã quên, hỏng kiến thức.
- 4 -
PHẦN II. NỘI DUNG
* Phần lý thuyết cần nêu tóm tắt như sau:
- Khi dạy học về khái niệm tích phân hoặc các bài về tích phân, các thầy - cô
giáo rất là băn khoăn về dạy khái niệm thế nào để học sinh của mình hiểu,
nắm chắc kiến thức cần truyền đạt. Đó cũng là mục đích nhỏ mà tôi muốn
khai thác một phần – chỉ một phần thôi. Như các thầy cô đã biết kiến thức
tích phân là rất rộng , mà lại còn khó dạy, học sinh có em tiếp thu được
ngay, bên cạnh có những em thầy dạy rồi nhưng khi hỏi lại thì rất lúng túng
trả lời. Chính vì lẽ đó tôi nêu một phần lý thuyết giảng dạy như sau :
Trong thực tiễn ta thường gặp những hình phẳng được giới hạn bởi những
đường cong, chẳng hạn bờ biển cong, cánh cổng có vòm parabol, Vấn đề
đặt ra là tính diện tích những hình phẳng đó như thế nào, để quy về tính diện
tích một hình thang cong như thế nào ?
+) Tiếp cận phương pháp giải quyết vấn đề:
Xét một trường hợp cụ thể : hình thang cong được giới hạn bởi các đường :
2
0; 1; 0y y x x= = + =
và x = 4.
- Tính gần đúng diện tích của nó bằng các
cách sau:
Cách 1 : Thay cạnh cong của nó bằng cạnh thẳng.
Cách 2 : Chia đôi hình thang cong bằng đường
trung bình song song với trục tung Oy và tính
mỗi nửa của nó theo cách 1.

;x a b∈
ta có :
( )
( ) ( )
( )
0
0
0
S x S x
f x f x
x x
−
< <
−
Suy ra :
( ) ( )
( )
0
0
0
0
lim
x x
S x S x
f x
x x
→
−
=
−

a
f x d
∫
+ Hoạt động 2 (Kiểm nghiệm) : Kiểm nghiệm bằng diện tích hình chữ nhật,
hình thang, nửa đường tròn.
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn
[ ]
;a b
. Khi đó diện tích S
của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành Ox và
hai đường thẳng x = a, x= b là
S =
( )
x
b
a
f x d
∫
+ Hoạt động 3 : Định nghĩa tích phân như sau
Cho hàm số f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là
một nguyên hàm của f(x) trên K thì hiệu số
F(b) – F(a)
được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b và kí hiệu là
( )
x
b
a
f x d
∫
a < b, ta gọi

∫
là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) nên ta có

( )
x
b
a
f x d
∫
= (
( )
xf x d
∫
)
b
a
Trong đó : a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b là cận trên, f(x) là
hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là
biến số lấy tích phân.
• Chú ý:
( ) ( ) ( )
; ;
b b b
a a a
f t dt f u du f y dy
∫ ∫ ∫
đều là một số và số đó bằng
F(b) – F(a)
⇒
tính chất: tích phân không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân

a a a
f x g x d f x d g x d
 
+ = +
 ∫ ∫ ∫
5) Tính chất 5 :
( ) ( )
. x x
b b
a a
k f x d k f x d=
∫ ∫
với k
∈¡
+ Hoạt động 5 : Các phương pháp tính tích phân
1) Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây
Trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên
tục và sao cho hàm hợp
( )
f u x
 
 
xác định trên K; a và b là hai số thuộc K.
Cách 1: Giả sử ta cần tính
( )
.
b
a
g x dx

∫
. Đặt x = x(t) (
t K∈
) và a, b
∈
K thỏa
mãn
( ) ( )
,x a x b
α β
= =
thì công thức (1) cho ta :

( ) ( ) ( )
. ' .
b
a
f x dx f x t x t dt
β
α
 
=
 ∫ ∫
Vậy bài toán quy về tính
( )
.
b
a
g t dt
∫

=
 
∫ ∫
Trong đó các hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộc
K.
Công thức (2) gọi là công thức tích phân từng phần và còn được viết dưới
dạng:

( )
. . .
b
b b
a a
a
u dv u v v du= −
∫ ∫
Đó là một phần lý thuyết gợi mở để học sinh các em có phần hứng thú của
mình hơn. Đặc biệt làm cho đề tài này tôi viết càng được tâm đắc hơn nữa
giúp ích cho công việc học lý thuyết gắn kết với thực hành ở dưới đây như
sau. Cụ thể tôi muốn dẫn dắt :
* Phần thực hành làm rõ cho đề tài như sau :
I/ Vấn đề I : Phát hiện các dạng sai lầm khi tính các tích phân:
1- Tránh những câu hỏi đáp của giáo viên và học sinh khi dạy và học
1.1.Bài toán 1: Tính tích phân sau đây
2
0
sinx
x
sinx osx
d

Suy ra: kết luận
2 – Phát hiện đổi biến số nhưng không đổi cận
- 8 -
2.1.Bài toán 2: Tính tích phân sau đây
dxxI
∫
−=
π
0
2
1
+ Hướng dẫn :
• Phát hiện lời giải sai của học sinh là : Đặt x = sint suy ra dx = cost.dt
Do đó
4
1
82
2cos1
cos.cos.sin11
4
0
4
0
2
4
0
2
0
2
+=




+=
+
==−=
−=
∫∫∫
∫
4
arcsin2sin
4
1
4
arcsin
2
1
2
2cos1
cos.cos.sin1
1
4
arcsin
0
4
arcsin
0
2
4
arcsin



=⇒=
=⇒=
10
31
tx
tx
Do đó
( )
81
20
1
3
1
4
1
4
12
4
3
1
4
3
1
5
1
0
2
=

( )
81
10
1
3
1
8
1
82
1
12
4
3
1
4
3
1
5
1
0
2
=






−−=−==
+

=
=
xx
ev
u
ev
xu 1'
'
Từ đó
1
2
2
0
2
0
2
0
+=−==
∫∫
edxeexdxexI
xxx
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt :



=
=
⇒



I
inx
π
=
+
∫
• Phát hiện sai lầm thường gặp ở học sinh
Đặt
( )
2
2
2
2 1 1
tan ;
2 1 1 sin
1
x dt t
t dx
t x
t
+
= ⇒ = =
+ +
+

( )
( ) ( )
2
2
2 2

Do
tan
2
π
không xác định nên tích phân trên không tồn tại .
• Phát hiện nguyên nhân sai lầm ở học sinh là : Do tích phân là giới hạn
của tổng vô hạn các hạng tử nên
2 2
0
tan 1
2
π
− −
= =
∞
+
vẫn được thừa nhận .
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau :
- 10 -
•
0
2
0 0 0
2 4
tan tan tan 2
1 sin 2 4 4 4
1 cos( )
2
2 4
x

liên tục và có đạo hàm liên tục trên
[ ]
ba;
.
6 – Phát hiện phép biến đổi hàm số dưới dấu tích phân là không tương
đương
6.1.Bài toán 6 : Tính tích phân sau
4
2
0
6 9.I x x dx= − +
∫
• Phát hiện sai lầm thường gặp ở học sinh :
( ) ( ) ( )
( )
2
4 4 4
4
2
2
0
0 0 0
3
1 9
6 9 3 3 3 4
2 2 2
x
I x x dx x dx x d x
−
= − + = − = − − = = − = −

2 2
9 1
5
2 2
I x x dx x dx x d x
x x
x d x x d x
= − + = − = − −
− − −
= − − − + − − = + 
 
= + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
* Những điều chú ý đối với học sinh :
( )( ) ( )
xfxf
n
n
=
2
2

( )
Nnn ∈≥ ,1
- 11 -
I =
( )( )
=
∫

+
∫
=
( )
2
2
2 2 2
0 0 0
0
sin os . sin os . 2 sin os 2 os sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 1 4
x x x x x x x x x
c dx c dx c d c
π
π π π
         
= + = + = + = − +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
= + =
∫ ∫ ∫
* Giúp học sinh phân tích sai lầm: Lời giải sai lầm khi biến đổi biểu thức
2
3
2
2
3
0
2

x x
−
=
+ +
∫
• Phát hiện việc thiếu sót thường gặp ở học sinh :

( )
( )
( )
0 0
0
2
2
1
1 1
1
arctan 1 arctan1 arctan 0
2 2 4
1 1
d x
dx
I x
x x
x
π
−
− −
+
= = = + = − =

du
I dt t
u u
x
π π
π
π
−
⇒ = + = +
+
+
⇒ = = = = = =
+ +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
7.2.Bài toán 9 : Tính tích phân sau
8
2
4
16x
I dx
x
−
=
∫

*Phát hiện việc thiếu sót thường gặp ở học sinh:

8 8
2 2

x
x x t dt
I dx dt t
x t t
π
= − ⇒ = ⇒ =
−
−
   
= = = − = − = −
 ÷
 
+ +
   
∫ ∫ ∫
• Phát hiện nguyên nhân thiếu sót trong bài làm của học sinh : Trong cách
tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctan là khái niệm
không còn trong sách giáo một vài năm, mấy năm nay lại được dùng trở
lại.
• Ta cũng có một cách chuyển dạng làm như sau:
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt
2
4 4.sin
cos
t
x dx dt
t cos t
= ⇒ =
+ Đổi cận:
4 0x t= → =

 ÷
 
 
∫ ∫ ∫
4
4 3
3
I
π
= −
- 13 -
7.3. Bài toán 10: Tính tích phân
2
2
0
1
1
x
I dx
x
+
=
−
∫
• Phát hiện việc thiếu sót thường gặp ở học sinh :
• Đặt
( )
2
2
2

dt
t
+
+
∫
.Đặt
( )
( )
2
2
2
.
1
2 1
1
u t
du dt
t dt
dv
v
t
t
=

=



−
⇒

t
t
t
I arc
π π π
+ +
+ +
 
−
 
⇒ = = + = − +
+
+
 
+
 
 
 
= − + + − = − + − = + −
 ÷
 
 
∫ ∫
• Phát hiện nguyên nhân thiếu sót trong bài làm của học sinh : Trong cách
tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctan là khái niệm đã
bị bỏ một vài năm, bây giờ lại dùng trở lại ký hiệu đó.
• Ta cũng có một cách chuyển dạng làm như sau:
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt
cos sinx t dx tdt= ⇒ = −
+ Đổi cận:

−
∫ ∫
* Những điều chú ý đối với học sinh :
Các khái niệm arcsinx, arctanx bị bỏ trong một vài năm. Học sinh có thể đọc
thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một số sách tham khảo, vì
các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000
đến 2009 do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh
- 14 -
không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng
∫
+
b
a
dx
x
2
1
1
ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx

∫
−
b
a
dx
x
2
1
1
thì đặt x = sint hoặc x = cost

1
thì
1
arcsin
4
t =
* Phát hiện nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2
1 x−
thì thường đặt x = sint nhưng
đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =
4
1
không
tìm được chính xác
1
arcsin
4
t =
* Giúp học sinh có lời giải đúng như sau :
Đặt t =
2
1 x−
⇒
dt =
2
1
x
dx tdt xdx

4 4
2
4
1
1 1
1
15 15 15 2 33 15 2
1
3 4 192 3 192 3
t t dt
t
t dt t
t
−
 
 
− = − − = − − = − − + = − +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
* Những điều chú ý đối với học sinh :
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2
1 x−
thì thường đặt x = sint hoặc
gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x
2


+






−
=
+
−
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
dx
x

dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2
−
−
+
∫
−
=(ln
2+t
-ln
2−t
)
2
2
2
2
2
2
ln
−−

1
1
1
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
là sai vì trong
[ ]
1;1−
chứa
x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
- 16 -
* Giúp học sinh có lời giải đúng như sau :
Xét hàm số F(x) =
12
12
ln
22
1
2
2
++
+−

−
+
−
1
1
4
2
1
1
dx
x
x
=
12
12
ln
22
1
2
2
++
+−
xx
xx
ln
2
1
1
1
=

u x du x dx dx
x
u
= + ⇒ = + ⇒ = =
+
Với x = - 2 thì u = 1; x = 0 thì u = 1. Do đó
( )
0 1 1
2
2 1 1
1
1 0
2
2
udu
x dx udu
u
−
+ = = =
∫ ∫ ∫
* Giúp học sinh phân tích sai lầm: Lưu ý
( )
2
1u x= +
không phải hàm số đơn
điệu trên
[ ]
2;0−
nên không thể đổi biến, đổi cận như lời giải ở trên được.
Nếu muốn đổi biến thì phải viết tích phân cần tính thành tổng của hai tích

1
2
1
2 . os 1
dx
x x c
α
−
− +
∫
* Phát hiện lời giải sai lầm từ phía học sinh:
Ta có
( )
1 1 1
2 2 2
2
2
1 1 1
os
1 1
sin
sin sin
os sin os os
1 1
sin sin
x c
d
dx dx
I
x c x c x c

 ÷
 
1 1 os 1 os
arctan arctan
sin sin sin
c c
I
α α
α α α
 − − − 
   
= −
 ÷  ÷
 
   
 
* Giúp học sinh phân tích sai lầm: Lời giải chưa thể dừng lại ở kết quả trên,
tức là nếu dừng lại như thế học sinh đang còn nợ bài toán rút gọn. Cần tiếp
tục lời giải sau đây:
1 1
arctan tan arctan cot arctan tan arctan tan
sin 2 2 sin 2 2 2
I
α α α π α
α α
 
   
       
= + = + −
 

tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của học sinh lớp 12 khi giải toán về
tích phân
Chúng tôi chủ yếu nghiên cứu những nguyên nhân về kiến thức của học sinh
đã dẫn tới sai lầm.
1.1.Nguyên nhân 1: Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các
khái niệm toán học
Chúng tôi xin lưu ý tới nguyên nhân này vì nếu giáo viên không có các biện
pháp sư phạm kịp thời thì chính từ đó sẽ gây ra hậu quả lớn cho học sinh, thể
- 18 -
hiệnquasơđồ sau:
- 19 -
Không nắm vũng
nội hàm
Không nắm vững các thuộc tính
khái niệm
Không nắm vững ngoại diện
Học sinh
Nhận dạng sai
T
H
Ể

H
I
Ệ
N
S

1.4. Nguyên nhân 4. Học sinh không nắm vững phương pháp giải các bài
toán cơ bản
- Học sinh không nắm vững phương pháp giải của các bài toán cơ bản thì
dẫn tới sai lầm trong lời giải.
- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh không nghĩ được đủ các khả
năng cần xét và dẫn tới đặt điều kiện sai.
- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh sẽ biện luận không đủ các
trường hợp xảy ra của bài toán.
- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh sẽ áp dụng không đúng phạm
vi và dẫn tới bế tắc không đi tới lời giải.
Các dạng bài tập tương tự : Tính các tích phân sau đây
+ Bài tập 1:
1 )
1
2
1
2
2
0
2 2
.
2 2
2 2
x x x dx
I
x x
x x x
− − +
=
− +

−
=
− −
∫
4 )
1
4
2
0
9 5
4 4 4
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
+ Bài tập 2 : Tính các tích phân sau:
1/
∫
−
5
0
4
)4(x
dx
.
2/
dxxx

2/ I =
∫
+−
3
0
23
2 xxx
dx
3/ I =
∫






−+
2
2
1
2
2
2
1
x
x
dx
4/ I =
∫
−+

322
7/ I =
∫
−
3
1
0
8
3
1 x
dxx
8/ I =
dx
x
x
∫
+
7
0
2
3
1
- 21 -
9/ I =
∫
+
2
1
2
1xx

( )
0=
∫
−
a
a
dxxf
”
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau: Đặt x =
π
+ y
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫ ∫
− −
−−=++=+=
π π
π
π
π
π
2
0
.sinsin1.sinsin.sinsin dxynydxnnyydxnxxI
n
Mặt khác ta lại có : g(y) = sin ( ny – siny ) xác định trên
[ ]
ππ
;−
là hàm liên




=
=
xfv
dxdu
dxxfdv
xu
cossin
- 22 -
Suy ra hàm số f liên tục trên đoạn
( ) ( ) ( )
∫∫
+−==
π
π
π
0
0
0
coscossin dxxfxxfdxxxfI
Do hàm số f liên tục trên đoạn
[ ]
π
;0

⇒

( ) ( ) ( )

=⇒=⇒
−=−−−==
−
π π
π
π ππ
π
π
πππ
0 0
0
0 00
sin
2
sin2
sin.sinsinsin
dxxfIdxxfI
dxxfxdxxfdttftdxxxfI

Vậy ta có I = J.
Bài toán 17: Cho hàm số f liên tục trên đoạn
[ ]
ba;
. CMR tồn tại ít nhất một
điểm c
∈

[ ]
ba;
thỏa mãn:

dxxfcfdxcfxfdxcfxf
• Phát hiện nguyên nhân sai lầm là ở chỗ: Không hiểu về hàm số liên tục
lên tính tích phân sai.
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Áp dụng định lý về giá trị trung
bình của tích phân
∃⇒
ít nhất một điểm c
∈

[ ]
ba;
sao cho :
( ) ( )( )
( )
∫∫
=−=
b
a
b
a
dxcf
abcfdxxf

- 23 -
4
2
-2
-4
-5
5

c
a
b
c
dxxfcfdxcfxf
( đpcm ).
III/ Vấn đề III : Phát hiện các dạng sai lầm khi tính diện tích hình
phẳng bằng tich phân
III.1. Vấn đề : Phát hiện sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tich
phân
1.Kiến thức chung
- Cho hàm số f(x) khả tích trên đoạn
[ ]
ba;
. Khi đó diện tích hình phẳng giới
hạn bởi : Ox ,
y = f(x) và x = a , x = b là :
( )
dxxfS
b
a
∫
=
2. Phát hiện những sai lầm thường gặp sau đây
2.1. Phát hiện thấy giải bài toán chưa hợp lý
2.1. Bài toán 18 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường
cong
2
2
4 ;

4 xI x d= −
∫
bằng cách đổi biến số : x = 2sint ta được
( )
3
3 3
3
2 2
1
0
0 0 0
1 3
4 x os d 2 1 os2 . 2 sin 2 2
2 3 4
I x d c t t c t dt t t
π π
π
π
 
 
= − = = + = + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫

Tính
3

10
3
1
O
Thay cho việc tính
1
I
ta thấy : các giao điểm của hai đường là
( )
3;1M
và
( )
3;1N −
.
Gọi O (0;0), A(2;0) thì tan
∠
MOA =
1
3
nên
∠
MOA
=
0
30
. Diện tích hình
quạt tròn MON bằng
1
3
diện tích hình tròn , bằng

( đvdt )
2.2. Phát hiện sử dụng còn sai công thức
2.2. Bài toán 19 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :



===
−=
4;1;0
9
2
xxy
xy
+ Hướng dẫn : y

• Phát hiện lời giải sai của học sinh là :
- Diện tích hình phẳng là :
( )
7
3
1
99
4
1
3
4
1
2
=


38
9
2
65
9
3
1
3
1
9
4
3
3
3
1
3
=−=






−+







⇒
x = 1
- 25 -