ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
NGUYỄN QUANG LONG
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH
PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG
DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH Ở MÔN TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NGUYỄN QUANG LONG
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH
PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG
DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH Ở MÔN TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS_TS. ĐÀO THÁI LAI
Nguyễn Quang Long
Xác nhận
của Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS-TS. Đào Thái Lai
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
iii
LỜI CẢM ƠN
2. Mục đích nghiên cứu 3
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu 3
4. Giả thuyết khoa học 4
5. Nhiệm vụ nghiên cứu 4
6. Phƣơng pháp nghiên cứu 4
7. Đóng góp của luận văn 5
Chƣơng 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỰC TẾ HỌC TOÁN GIẢI PT Ở
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 6
1.1 Nội dung chƣơng trình dạy học PT THPT 6
1.2 Một số công trình liên quan. 8
1.3 Nghiên cứu một số sai lầm phổ biến của HS phổ thông khi giải toán về
chủ đề PT. 9
1.3.1 Sai lầm do tính toán thông thƣờng và hiểu sai kí hiệu logic. 9
1.3.2 Sai lầm liên quan đến điều kiện xác định của PT: 11
1.3.3 Sai lầm liên quan đến sử dụng công thức biến đổi dẫn đến sai nghiệm,
thiếu trƣờng hợp. 16
1.3.4 Sai lầm trong khi HS thực hiện phép biến đổi tƣơng đƣơng và rút ra hệ quả. 25
1.3.5 Sai lầm liên quan đến tƣ duy hàm. 37
1.4 Sự cần thiết phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán PT. 43
1.5 Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong giải toán PT 45
Kết luận chƣơng 1 47
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
v
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM
CỦA HỌC SINH THÔNG QUA PHÂN TÍCH SỬA CHỮA SAI LẦM. 48
2.1. Cơ sở lý luận 48
2.1.1 Một số quan điểm về dạy học sửa chữa sai lầm trong phƣơng pháp dạy học. 48
2.2.1.1. Quan điểm trong phƣơng pháp dạy học theo thuyết hành vi 48
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm. 87
3.4.1. Đánh giá kết quả định tính 87
3.4.2. Đánh giá về mặt định lƣợng 89
KẾT LUẬN 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
iv
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN Viết tắt
Viết đầy đủ
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
NXB
Nhà xuất bản
PPDH
Phƣơng pháp dạy học
PT
Phƣơng trình
SBT
Sách bài tập
SGK
Sách giáo khoa
trí là xuất sắc nhƣng vẵn mắc phải sai lầm khá cơ bản. B.V.Gownhenvenco khi
nêu ra 5 phẩm chất toán học thì có nói 3 phẩm chất liên quan đến tránh sai lầm
trong giải toán.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
2
- Năng lực nhìn thấy đƣợc tính không rõ ràng của suy luận; thấy đƣợc
thiếu mắt xích cần thiết của chứng minh.
- Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ.
- Sự chính xác của lý luận.
Tiếp tục chƣơng trình phổ thông là các trƣờng chuyên nghiệp nếu không
phân tích sửa sai trong tƣ duy của ngƣời học dẫn đến sai lầm nối tiếp sai lầm là
hậu quả của ngƣời học.
,
.
Chủ đề PT có vị trí quan trọng trong chƣơng trình môn Toán THPT.
Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối
cấp. Những kiến thức về PT còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc
hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình
học giải tích. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề
PT một cách đầy đủ theo quy định của chƣơng trình, việc rèn luyện kỹ năng
giải PT cho HS có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lƣợng dạy học
nhiều nội dung môn Toán ở trƣờng THPT.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
3
C PT rất quen thuộc với HS phổ thông nhƣng
HS
phòng ngừa những sai lầm đó thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học PT ở THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về tình huống dạy học giải toán, rèn luyện
kỹ năng giải toán, quan điểm khắc phục khó khăn và sai lầm của HS khi giải
toán trong một số PPDH tích cực
HS THPT khi
giải toán chủ đề PT
PT.
PT cho HS THPT.
5.4. Thực
.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về
các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.
6.2 Phương pháp điều tra – quan sát:
PT
.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm và
xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm
đƣợc xử lý bằng phƣơng pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
5
6.4 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu đƣợc sau quá trình
thực nghiệm sƣ phạm.
7. Đóng góp của luận văn.
:
PT.
.
hệ PT. Lớp 11 HS đã học mở rộng về PT là PT lƣợng giác một trong các PT
siêu việt đầu tiên mà HS gặp trong chƣơng trình phổ thông. Lớp 12 HS đã học
về các PT siêu việt nhƣ PT mũ PT lôgarit. Cuối năm học này HS học thêm về
PT bậc nhất bậc hai nhƣng đƣợc mở rộng trên trƣờng số phức.
Cụ thể chƣơng trình dạy học PT của THPT ở các lớp trong phân phối
chƣơng trình:
Lớp 10 nâng cao: Chương 3 học kỳ 1.
Đại cƣơng về PT: (2tiết).
PT bậc nhất và bậc hai một ẩn (4 tiết).
Một số PT quy về bậc nhất bậc hai (4 tiết).
Lớp 10 cơ bản.
Đại cƣơng về PT: (2tiết).
Một số PT quy về bậc nhất, bậc hai(2).
Lớp 11 cơ bản.
PT lƣợng giác cơ bản (6 tiết).
Một số PT lƣợng giác thƣờng gặp (5 tiết).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
7
Lớp 11 Chương trình nâng cao:
PT lƣợng giác cơ bản (6 tiết).
Một số PT lƣợng giác đơn giản (7tiết).
Lớp 12 cơ bản:
PT mũ và PT lôgarit (4 tiết).
PT bậc 2 đối với hệ số thực (2 tiết).
Lớp 12 Chương trình nâng cao:
PT mũ và PT lôgarit (2 tiết).
Căn bậc hai của số phức và PT bậc 2 (3 tiết).
Ngoài những tiết đƣợc nêu trên thì đan xen các bài tập trong các chƣơng
giúp cho ngƣời đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy,
nghiên cứu. Do số lƣợng chủ đề kiến thức của luận án là rất nhiều không đi sâu
vào từng khía cạnh nhỏ mà gộp chúng lại để thành chủ đề lớn dẫn đến mỗi
khía cạnh xét còn chung chung mà không có điều kiện xem xét hết đặc trƣng
của từng dạng. Trong Luận án của mình, tác giả Lê Thống Nhất đã đƣa ra bốn
biện pháp sƣ phạm và tám dấu hiệu để nhận biết sai lầm nhƣng chƣa thực sự đi
sâu vào một kiểu sai lầm nào và chƣa phân tích một cách bao quát các nguyên
nhân dẫn tới những sai lầm đó, mà một nguyên nhân không kém phần quan
trọng ảnh hƣởng tới chất lƣợng giải bài tập Toán đó là nguyên nhân do ảnh
hƣởng về mặt tâm lí. Nhóm tác giả Trần Phƣơng - Lê Hồng Đức trong Sai lầm
thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004) cũng đề cập đến một số sai
lầm của HS ở một số dạng cụ thể. Ngoài ra phải kể tới nhóm tác giả Lê Đình
Thịnh - Trần Hữu Phúc Nguyễn Cảnh Nam trong công trình Mẹo và bẫy trong
các đề thi môn Toán (1992), trong công trình này các tác giả đã đƣa ra thuật
ngữ "bẫy" và phân tích khá nhiều ví dụ và cho rằng, mỗi khi HS mắc sai lầm là
đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" trong các bài toán là các tình huống đƣợc
các tác giả cài đặt mà nếu HS không vững kiến thức cơ bản thì sẽ mắc phải sai
lầm. Với cách sắp xếp sai lầm theo từng chủ đề kiến thức nhƣ các tác giả nói
trên thì không thể giải thích một cách tƣờng minh, dễ hiểu hết tất cả các kiểu
sai lầm cho HS để từ đó họ có ý thức phát hiện phòng tránh các sai lầm này,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
9
mặt khác chƣa đề cập đƣợc một số kiểu sai lầm thƣờng gặp nhƣ: sai lầm ngôn
ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tƣ duy, sai lầm liên quan đến phân chia
trƣờng hợp riêng,
Nhƣ vậy trên phƣơng diện lí luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề
tài nghiên cứu của chúng tôi cũng đã đƣợc nghiên cứu ở một mức độ nào đó.
Tuy nhiên chƣa có một công trình nào nghiên cứu các sai lầm nhìn từ góc độ
Toán và do đó, để khắc phục cần đƣa vào chƣơng trình các sớm càng tốt nội
dung lôgic Toán và dạy thật kĩ nó. Tuy nhiên, một phản ví dụ là ở Pháp, sau
nhiều thập niên nhấn mạnh đặc biệt đến vai trò của dạy các yếu tố lôgíc, các
chƣơng trình toán THPT sau năm 1990 đều ghi rõ “cấm mọi trình bày về Lôgíc
Toán”. Trong khi mà nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng ngƣời Cộng hòa Pháp rất
quan tâm đến khó khăn và sai lầm của HS trong dạy học suy luận và chứng
minh. Nhƣng, thay vì gia tăng dạy học các yếu tố lôgíc thì họ lại loại bỏ nó đi.
Nói cách khác, thể chế dạy học ở Pháp đang cố gắng thoát khỏi những hạn chế
của quan điểm sƣ phạm dựa trên Thuyết Hành vi ngay từ sự lựa chọn và tổ chức
các nội dung toán học cần giảng dạy.
Nhiều HS hiểu sai kí hiệu và hoặc nên sử dụng một cách tùy tiện trong
trình bày. Nên khi kết luận nghiệm sai hoặc thiếu. Không hiểu bản chất của kí
hiệu nhất là HS học lớp 10. Trong hầu hết các lớp HS giải điều kiện và giải PT
thƣờng mắc phải sai lầm trong kí hiệu logic này thể hiện ở ví dụ sau:
Ví dụ 1.3.1.1: Giải PT:
2
3 2 0 (1)xx- + =
.
HS thƣờng nhầm kí hiệu và hoặc
1
(1)
2
x
x
í
=
ï
ï
Û
ì
ê
ê
Û
ê
ê
ê
+¹
¹-
ë
ê
ë
Khi đó PT đã cho tƣơng đƣơng với
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
11
( )( ) ( )( )
2
2 5 3 5 5 3 1 3 28 0x x x x x x- + = - - Û + - =
PT này có nghiệm hai nghiệm x=4 và x= 7 cả hai nghiệm này đều thỏa
mãn điều kiện trên nên đều là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ trên thấy rằng HS đọc sách tham khảo nhƣng chƣa hiểu hết các kí hiệu.
Lời giải đúng: Điều kiện
1
10
5
3 5 0
3
Hai ví dụ trên ta thấy rằng HS thƣờng kí hiệu bừa kí hiệu mà
không hiểu rõ kí hiệu này.
“Trong sách giáo khoa viết dƣới dạng, chẳng hạn:
,
62
x k k
pp
= + Î ¢
để làm nổi rõ bội nguyên của
2
p
, chứ không viết dƣới dạng
62
k
x
p
p=+
” [1]
1.3.2 Sai lầm liên quan đến điều kiện xác định của PT:
Một trong các nguyên nhân giải PT mắc sai lầm của HS là thiếu điều kiện.
Ví dụ 1.3.2.1 Giải PT:
2 3 4 3x x x
Lời giải sai:
2 3 4 3 2 4 2x x x x x
Kết luận PT có nghiệm x=2
HS giải bỏ bƣớc đặt điều kiện: x≥3 nên x=2 không thỏa mãn điều kiện,
PT đã cho vô nghiệm.
Kết luận PT có 2 nghiệm x=1 và x=2
HS giải bỏ bƣớc điều kiện nên thừa nghiệm x=1.
Lời giải đúng: Điều kiện:
1 0 1xx
Trong điều kiện đó PT tƣơng đƣơng với PT.
2
1( )
1 2 1
1 1 2 1 3 2 0
2
11
xl
x
x x x x x x
x
xx
Kết luận PT có 1 nghiệm x=2
Ví dụ 1.3.2.3: Giải PT:
2
2
1
4 3 0
( 4 3) 2 0 3
20
2
x
xx
( ) ( ) 0
0
fx
fx
g x f x
gx
í
³
ï
ï
ï
ï
é
=
=Û
ì
ê
ï
ï
ê
=
ï
ë
ï
î
Ví dụ 1.3.2.4 Giải PT:
1 2 3
7
2
PT đã cho trở thành:
21
2 4 2 526 2 256 2 1 263 2 264
21
n
n n n
-
+ + + = Û = Û - = Û =
-
Hồi ẩn
264x =
Vậy PT có nghiệm
264x =
Lời giải đúng: Do giả thiết x phải có dạng
*
2,
n
xn=Î¥
PT đã cho trở thành:
21
2 4 2 526 2 256 2 1 263 2 264
21
n
n n n
-
+ + + = Û = Û - = Û =
.
Sai lầm ở đây là HS đã quên tìm tập xác định của PT. Để khắc phục sai
lầm này GV cần nhắc nhở HS rằng:
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn/
14
Nu l mt s tu ý thỡ PT
tan tanx a=
cú nghim
, ()x k kap= + ẻ Â
nh rng õy l s ó xỏc nh i vi hm s tang,
nờn tỡm c x cng xỏc nh tha món iu kin ca
(),
2
x k k
p
p= + ẻ Â
Kt lun ú bao hm c khng nh rng cỏc s
, ()x k kap= + ẻ Â
thoó món iu kin
cos 0x ạ
Li gii ỳng:
tan5 tan3xx=
iu kin:
5
ù
ùù
ẻẻ
ỡỡ
ùù
ùù
ạ + ạ +
ùù
ùù
ù
ù
ợ
ợ
ÂÂ
Vi iu kin ny thỡ:
tan5 tan3 5 3 ()
2
m
x x x x mk x m
p
p= = + = ẻ Â2
()
m
xm
p
=ẻÂ
Â
;
2 10 5 2 6 3
m k m lp p p p p p
ạ + ạ +
vy m l s chn.
Túm li PT cú nghim
,()x n np=ẻÂ
.
Vớ d 1.3.2.7: Gii PT
sin4
1
cos6
x
x
=
.
Li gii sai:
cos6 sin4 cos6 cos 4
2
x x x x
p
ổử
ữ
ỗ
= = -
ữ
ỗ
ữ
ờ
ờ
ẻ
ờ
ờ
ờ
ờ
= - + +
= - +
ờ
ờ
ở
ở
ÂS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn/
15
HS quờn iu kin ca PT, i vi dng bi ny ụi khi HS cú ly iu
kin nhng khi c nghim cng hay kt hp loi nghim sai.
Li gii ỳng: iu kin
( )
cos6 0 6
2 12 6
k
x x k x k
p p p
pạ ạ + ạ + ẻ Â
= = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ộ
ộ
ờ
=+
ờ
= - +
ờ
ờ
ẻ
ờ
ờ
ờ
ờ
= - + +
= - +
ờ
ờ
ở
ở
Â
Vi
4
xm
1 1 1
5 6 1
20 5 12 6 20 5 12 6 5
l k l k l
k l k l
p p p p -
+ = + + = + = - = +
Do
1
, : 5 1
5
l
k l n n l n
-
ẻ ị $ ẻ = = +ÂÂ
suy ra
20 5
l
x
pp
=+
vi
51ln=+
thỡ
cos6 0x =
.
Vy nghin ca PT l:
20 5
l
Điều kiện xác định của PT là:
2
6 7 0 3 0x x x
. Do đó ta có thể
viết:
2
2
2
2
6 7 0
30
log 6 7 log 3 3 0
7 10 0
6 7 3
3
5
2
5
xx
x
x x x x
xx
x x x
x
x
x
x
Ví dụ 1.3.2.9: Giải và biện luận PT
12x x m
2
cos
32
x
p
æö
÷
ç
-=
÷
ç
÷
ç
èø
nhiều HS giải nhƣ sau:
( ) ( )
0 0 0
00
2
cos 1 cos 1 cos45 1 45 360
2
1 45 360
x x x k
xk
- = Û - = Û - = ± +
Û = ± +Lời giải đúng:
( ) ( )
Kết luận PT có nghiệm duy nhất x=0.
Lời giải đúng:
( )
43
3 3 3 3 4 3
3
4
log 3 log 4 4 3 log 4 log 4 log log 4
3
xx
x
xx
x
æö
÷
ç
= Û = Û = Û =
÷
ç
÷
ç
èø
Kết luận PT có nghiệm duy nhất
( )
43
3
log log 4x =
12
1
2
xx
mn
xm
a b a b
xn
Copyright: Tài liệu đại học ©