

“Trong môn toán HS còn mắc nhiều sai lầm, nếu trong dạy học người giáo
viên hình dung trước những thiếu sót hoặc sai lầm mà HS có thể mắc phải thì sẽ
biết cách nhấn mạnh, lưu ý hoặc biết cách chốt lại những chỗ cần thiết và nhạy
cảm. Ngược lại, nếu chúng ta không có khả năng cảm nhận và tiên lượng sai
lầm mà HS thường hoặc sẽ mắc phải thì ta không thể hình dung được chỗ nào là
chỗ cần thiết, cần thiết hơn, chỗ nào mang tính cơ học. Không có một trình độ
nhận biết về kiểu sai lầm và khó khăn của HS trong môn toán thì việc dạy toán e
rằng cũng chỉ trang bị kiến thức dĩ nhiên mức độ cảm nhận về toán sẽ không
có”. 
!"#$ %&'()*+,  /.,.01 2. ,
*3!14*!"
5 * !*6 6*7 !8*39:*4 ;< = ;
> ? .*@*=AB+C.+ năng lực giải Toán của học sinhcòn hạn
chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầmDE**3!/FC.
*3! . <G1E*  '<1H + *+=@I,
/.  ,.01 ! ,.*3!  9 !J'(8
 ,(KL*J*3sai lầm nối tiếp sai lầm.
#M ;(C.'B1!L GKN'7 C.*F1(6'(sai lầm
*3! E ,@ O*3! HK!. (K!. 'M
61*P.*3? 2.+ ,  /.,.01 2. ,*3!C*3J
!= Q=R)4.'M*ABS&!9AN* 8
/,.01/*N,;* 2.1J"TU=*3VWXY= ?ZZ*4.3*J6
13[S“Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của
học sinh”  ;*BKQ'\3[=  ,.01 2. ,*3!
! ;*B1I KI ] '7 .
^+*.1 O'M ;1E*,@* C.*F1'N6'(=*3! 
4*3J H'( *P,.01 2. ,*3!! ;*BKB
*PN,_ 2.@6*TXY'M`a1`b*  ,.01
2. ,8*c 2'(KN*H & F .*a!KB 2.* 

 (,*-&./012'34(056( l
789/(-:,
m&n3. ! ,*6/,.01*91I o.';=
,B'<A 6* 2.6'(
mpdi ! ,(=Kg*!o.';
,F .!K*=,*!
;&9(-:,
m)F*   F,.01 2. ,K 1* 
F
m#(`6*  A+,1'B N,  /.,.01
m#*5 *NC*3J]A*1=* F
+ H]* F!*5 *=  A*!C.='B ;'7 A
*!! n ` 
<=3>((-:,
m& A*!1=* FH] 2.* Fm qqq=
* PfV
2
?3@(00(-:,
m)'(*3.
m)'@ H
ABCD
E')(+"0 !"#" "$%& F
+(,*-&G/01"*
3!C*3J3r+5 *! ! ,=9!
0*N**+K\*9/,.01 2. ,K*!='d*9
]  A+,  /.,.01';&4+  ncK
5 *! 2. ,'M'2,H *5'9 2.1J(K
! nH*<KP*+  !*!91k'B1!3[
 , ;*BAN*!L /A*!**5*5 *N !*6
3[=,5*N*4*1!'.'N ! , ;(N

 %  f%
x
g x x e
−
= −

Mét số học sinh có lời giải như sau:
. ;S
u
 % f %   %
x x x
F x e x e x e f x
− − −
= − + + = =
=,3.v`%1E*
1 2.w`%
. ;S
 %  f%
x
g x dx x e dx
−
= −
∫ ∫
3

 f %
f %  
− − − −
− − −
= − = − + + − − +

f %
x x
x x
x e C e C
x e e C C
− −
− −
= − + + − − +
   
   
= − + + + −


x
x e C
−
= − +
P
f V
C C C= −
%
/  9 7 tB1  *3. 
 % , %%F x x=
 ;        1  2.
!*
 %
, %
x
f x
x

, %%x

v`%K4*d*K4*B1 2.w`%
4
/9;* F
W
V
f
V V
dx
I
x x
−
=
+ +
∫

• Một học sinh có lời giải như sau:
W W
V V
f f
W
 f% f W
f
V V  f% f X
dx dx
I arctg x arctg arctg
x x x
π
− −

+ +
⇒ = = = = = =
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫

/9<* F
{
V
X
fU−
=
∫
x
I dx
x

• Một học sinh có lời giải như sau:

{ {
V V
V
X X
fU fU− −
= =
∫ ∫
x x x
I dx dx
x x

#L*

X
X |
|
π
= −

x%$M*J1F*N,;*, *N,;*';
y%
• Nguyên nhân thiếu sótS
5
3!  *1*.'MeKN*CAB*a!.3 *K
+1K4 ;*3!, !K!.+*9
• Lời giải đúngS
#L*
V
X X,
!, !,
t
x dx dt
t t
= ⇒ =
| | |
V V
V
V
W W
X, f
fU f% X *. X f *. % f
X
!,

dx
I
x
−
=
+
∫
• Một học sinh có lời giải như sau:
V V
V V
V V
V
 f% f f X
f
V
 f%  f% f | |
dx d x
I
x x x
− −
+
= = = − = − − = −
−
+ + +
∫ ∫

x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<?
y%
• Nguyên nhân sai lầm:
}!1,@ 

'7 ,-]'\
Chú ý: &;*B`b*
V V
f f
f f
1 = 1
 f%  f%
x x
x x
− +
→− →−
= +∞ = +∞
+ +
 1,@
K4A\ L*3
[ ]
VsV−
=!';* FK4*d*
 K"$%&7. Không bảo đảm tính lôgic của lời giải
6
/9
|
V f%x dx+
∫

• Một học sinh có lời giải như sau:
. ;S
X
|
V f%

V f% V f% V f% V f%
V V
d x
x dx x x d x
−
+ = − = − −
∫ ∫ ∫

X
V f%
{
x
C
−
= +

/97* F
X
V
W
U •I x x dx= − +
∫

• Một học sinh có lời giải như sau:

X X X
V V
W W W
U •  |%  |%I x x dx x dx x dx= − + = − = −
∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

[ ]
| X
V V
W |
| X
 |%  |%
 |%  |%  |%  |%
W |
V V
x x
x d x x d x
− −
= − − − + − − = − +
∫ ∫
7

• f
‚
V V
= + =

/9;* F
V
W
f ,I xdx
π
= +
∫


• Lời giải đúng:
V V V
W W W
f , , !, V V , %
V V V X
x x x
I xdx dx dx
π π π
π
= + = + = +
∫ ∫ ∫
€
|
V
V
|
W
V
V V , % V V , %
V V V V
x x
dx dx
π
π
π
π π
+ + +
∫ ∫


= − + + +

V V V V V V X V= + − + =

/9<* F
( )
f
V
V
V fI x dx
−
= +
∫

• Một học sinh có lời giải như sau:
8
#L*
V
= ⇒ =
dt
x t dx
t
t
Vx = −
*J
Xt =
=K
fx =
*J
ft =

= − − = − − = −
∫ ∫
t dt t dt t t t

x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<
y%
• Nguyên nhân sai lầm:
#B 2.A*!*3=K4*B'L*
x t=
P
[ ]
Vsfx∈ −

• Lời giải đúng:
. ;
( )
f f f
|
V V
V V V
f f
V
V f V V V fV
V V
|
x
I x dx dx x dx x
− − −
= + = + = + =
− −

π π
π π
−
= =
∫ ∫

V
f f
, V
W
V X V
x x
π
π
π
 
= − =
 ÷
 

x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<
y%
• Nguyên nhân sai lầm:
&.9*3'(1,.K4` '\'<JQ= 0A
*!'MA\,.*H '(A\'*3!%9*H6* !3[*B* 
K@*3?`!.'M !A[*B* K@*3?`!.!JQPA8
 '9
f= W= W=y y x x
π
= = = =

 
= − = = + =
 ÷
 
∫ ∫

77HFI, "$%&L2)()M(F(J(,*-&G
/01
"Các sai lầm về chiến lược giải toán.
#F/,.0136*1*3=;,jk$'*a! !'9
1 ;*B QA.!9*P' !L *P' L36*(*38
& ,.01*9`6*+!$5.  N7 K4e7
PA*!J_3[A*!**5P1E*,@A*!11J
'MAN*  .'M,_*a!/lối thông thường
/9.…b*  A*!*  * F,.S

X
f
V
W
V
V
V
W
f
,` !, %
f
,` !, %
I dx
x

W
f
f
!,
, !, % *. f%
f
X
x
I dx dx
x x x
dx x
π π
π
π
π
= =
+ +
= = =
∫ ∫
∫
&?'@PI
2
K ,,-]  *3,j,.01JK . *-
1k !
V
!, =c x
!L 
V
, x
'B'L*t=tanx!L t=cotx*J1kA[W*   

V X V X
 !, %%
X

I dx dx
c x c x
d x x
c x
π π
π
π
π π
π π
π
= =
− −
= − = − =
−
∫ ∫
∫

/97* F
W
f ,
dx
I
x
π
=
+

x t t
−
⇒ = = + + = − + = − +
+ + +
+
∫ ∫ ∫

W
V V V
W
f , *.W f
*. f *. f
V V
dx
x
x
π
π
π
⇒ = − = − +
+ +
+ +
∫

}!
*.
V
π
K4` '\* F*3K4*d*
x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<x

x
π π π
π
π π
−
= = =
+
+ − −
∫ ∫ ∫

*. % *. *. % V
W
V X X X
x
π
π π π
= − = − − =

Chú ý: &<*.G3[*3! *3J*!:*4K4*3JA
(* F,3E
NCác sai lầm về chiến thuật giải toán.
#F  ,.01*E (+ *5 +*c*.!* *3!*N*3J
*!= ;*B ;KN*C,! ?(,.,;*J1E**3!  F
,.S
+ Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng. /*J@,.
'FF .*397S* FC.'N*.1,@=*3\*+*
'@=    *H =  1 max, min Q   *  *   FS 
f
V
W

S  =  % € m|1
V V

x
TH x m I x m dx mx≥ ⇒ = − = −
∫
|
V
|
V W
W
•
S  =  %  % €|1m
V V

x
TH x m I x m dx mx< ⇒ = − − = − −
∫
9*3'M,.01KB,. / x 8'F@8*3!
*3J=8*3!A*!* FxK4 ]*BA.! 1;
1E*C*3J=x *3!*3Jk .AN* ]*BA[A.!;k
1E**3\ ]*B!';
R'<A,.S
N
[ ]
W= Ws|m x x m x m x m≤ ∈ ⇒ ≥ ⇒ − = −
12
|
V
|

W W
q€  %  %
m m
m m
x mdx x mdx x m dx x m dx− + − = − − + −
∫ ∫ ∫ ∫

V V
|
W
V V
V V V
 %  %
V V
• •
| |
V V V V
m
m
x x
mx mx
m m
m m m m m
= − − + −
= − + + − − + = − +
+ Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.
&QK'L*‡]$*9MC'L*'(K+ 2.‡]
DL e ;'L*'(K+='(K+K4'<]P'F1E*
1 HS
/9;* F

∫ ∫ ∫
x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<.
y%
• Nguyên nhân sai lầm:
J
V
 f%u x= +
K41,@''+*3
[ ]
VsW−
K4*B
':AN=': 9*3'7 N1@':AN*JN**  0
***: 2..* F1
V
 f%u x= +
''+9*3 ?,.
01
KN*
V f%
V
du du
dx
x
u
= =
+
=*c
V
 f%u x= +
,3.

Vs f∈ − −x
 
f Wx + ≤
 
f
V
du
x u dx
u
+ = − ⇒ =
−
=P 
Vx = −
 *J 
fu =
sP
fx = −
*J
Wu =

}!';
|
W f
V
f
f W
f
f
W
V | |


}!';
|
f f
V
V
W W
f
f
W
V | |
V
udu u u
I du
u
= = = =
∫ ∫
3.
f V
V
|
I I I= + =

Chú ý:9*31@ n+ ':AN HK49*@*6*
. ;*B',.S
W W
|
V V
V V
W

2011 2011 2012
1 1 x 1 x 1 x 1 x


( ) ( )
− −
= − + +
2012 2013
1 x 1 x
I C
2012 2013

$ ,*:C*A*!**q€
( )
x a.x b dx
α
+
∫
P
Rα∈
=
a 0
≠
=***5*3'7 S
14
q€
( ) ( )
α+ α+
 
+ +

N
1α = −
*Jq€
 
− + +
 
2
1
a.x b.ln a.x b C
a
K4 !KN*CA
*!*:C*=! ,K4G*H '7 ,5,AN 2.1K
α
*.':*:C*;.,.
d)Các sai lầm liên quan đến suy luận
}!$K4I1//C*I 4 ,=*c';
8,5,*N L* j='*K43cG=O=*3iA9
*NK!. =!3.*4 ****! ONk'N'F
1E**3!/,.01K:AN 2.('@*7$
+ Sai lầm về luận cứ. .01*E !!*35  5.! 
1+'(,.!E=!L 1+'( .'7  H1'<=!L
5.!1+'(*'P1+'( 0 H1
ˆ Sai lầm về luận chứng.01 2N!$,*N! 
/9
VWff
V f%x dx−
∫

• Một học sinh có lời giải như sau:
. ;S

n
u dx
∫
• Lời giải đúng:
. ;S
VWff VWff VWff
V f% f
V f% V f% V f% V f%
V V
d x
x dx x x d x
−
− = − = − −
∫ ∫ ∫

VWfV
V f%
XWVX
x
C
−
= +

ˆ Sai lầm về luận đề.
15
.01 2N'*3!'(=*.*N1+'( 0 H1A[
/1+'(K4*'
!3.= ;*BKB*11E*,@KB,.01:ANK SCác sai
lầm về hình thức K4I1/A 6*  AB*H !L K+*!
 %sCác sai lầm về công thức],.!L  . `    4

14*! K+1='\=C*I ='L A+*
 A**! %tK+1 0 <G'NE1=!
1@C.+/.  K+1sK'\ 0 <G'N 6*3< 4
*N* 2.'\
16
+3! A**!=R 0 <G*P  !*'E[1
*  5 ;.!*'E * 2.$=1 !$ 2'EI1KN*H
A[lao động 2. 1J#;  !*'E=*B+=!*
'E*! H 7=!*'E*3*+!*'E4/4C.
/!*'E$1PAE E/,.01=*c';'B5'!=?
*3,/. /.,.01
+#L A+*= ';.*3?K4h*3!+ ?
*3  ,.01 !$N$'7 1CaP  
1P=K7*3*?1?=,*!=AN**+CN*6'(*J,j
*5*='E=*!*F1*N/= N+ 1I ,.01*3!
*!
 b. Làm cho HS nắm vững các kiến thức về lôgic
Šr+*4 1E*+1]'0 2.+  *!8
*39:*4+1]';'?h! ;BAN* 0*N*(4
 =K!. (,=(*=]KN*H !14*!
“Phát triển tư duy lôgic cho HS trong quá trình giảng dạy Toán và một
nhiệm vụ đáng được đặc biệt quan tâm đối với GV và các nhà phương pháp”T•=
*3XfY
! +''7 `F5*3(* 2.*N**7
4 *!tN*H (4 *!';.*3?C.*3*3! 
*!=< !*N*3J*!'7  ` =3z36*CDE*
*3!/Fk'N,.01 2.$K*!*3J'EB
AN*  KN*H  0*N*(4  ?N$*9K;*6  ,.
01(4 3!*N*3J*!=  ,.01*9L 2.$S
m& ,K474 

5. * 7P*c'@*7 ,'B B*
/E*3*H '<< a1. ;*J13.,.01 2.1E*
9!';
qqqtS
*rong quá trình rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh, ngời
giáo viên cần thiết phát hiện kịp thời những sai lầm của học sinh khi giải toán,
đồng thời áp dụng các biện pháp sửa chữa sai lầm đó.
#@P!iệc chỉ ra sai lầm cho học sinh là cần thiết, nhng điều
quan trọng hơn là phân tích đợc những nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm
đó*c'; 0 ; 'B NKI ] KB
,.01*3! *!; 2'(1=* F;
3
PQR,JE
*!. 2'(*9L*3! '(**@*+ O
'(*' = .!'Q}!'; ,*9 ;*F1*3!IK
.I1/'7 6* ?1I ,.01'M
8*3=K'7 ! n3.Pk a1*3!C
*3J a1'M*5* 1*6* *<P 2'(#; ;*B
!1E** 4 2.'(*o.';'M< a1,.AE
14!p '; O*! ! a1*F1*5*KAP !
K*C.*3tN**< '(**4'M*: H ! a1 ,P
fV&UfV&V 11E*'(KB1*3.X<*PE A*!N*
*3J'9*Q*E ;*3!'(*#d*96PfV&X
39$)Zq%'B1P'@ H OP'(KB1*3.';tN*C
36*KC.= ]*B,.S
18
Rh t 3AJ •N
PfV&U5 +1% f|‘ ‚W‘ |W‘ „‘
PfV&V5 +1% ff‘ ‚W‘ |f‘ {‘
PfV&X#@ H% V‘ f‚‘ X|‘ XW‘

19
*!*1* FC.'; ! ,B*1(  H
] 2.;*3! E ,@
#(* 2.*4 I QK4*B*3Kh*N,;*Š6*1!CG*0
4='d+ e' ';;GKN !*4='B'(* 2.*4'7
!*+“
Xin ch©n thµnh c¶m ¬n !


…”&$•&•Z$•Š–^R#—˜
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 6 năm 2013
4` .1'!.'Ftt 2.
1JN*=K4,.! bE 2.
9K 
(Ký và ghi rõ họ tên)
TUVDWCXD
20
YZCX8P[\
f $#!. 2A%30)}m…F1m
)1\p  m#!oŽm#L$eIVWW{% Bài tập
Giải tích 12 nâng cao=`6*AR!] =$4
V $?aVWWf%= Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Toán=
`AR!] =$E=
| pt1VWW•%=Phương pháp dạy học môn Toán,`6*A
# 1=$E
X
@6*f••U%=Rèn luyện năng lực giải Toán cho HS phổ thông
trung học thông qua việc phân tích và sữa chữa sai lầm của HS khi giải
Toán=)K!. 1mF1=39# 1


*!1=* F›››››››››››››››››››ff
|& A+ NKI ] ,.01›››››››››››f„
qqqtN*VW
ftN*C*5 +VW
VtN\,.K*5 +'(*Vf
q+*.1K!VV
22