BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN VĂN DO

PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC


2

NGHỆ AN – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN VĂN DO

PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đồi tượng và phạm vi nghiên cứu
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
6. Giả thuyết khoa học
7. Đóng góp của luận văn
8. Cấu trúc của luận văn
Chương 1. Một số sai lầm của học sinh trong quá trình học chủ đề

Trang
1
1
3
3
3
4
4
4
5

phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình
1.1. Sự cần thiết của việc phát hiện và khắc phục sai lầm cho học sinh khi

7

giài toán

65

1.3. Kết luận chương 1
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục các sai lầm

67

cho học sinh THPT trong dạy học phương trình, bất đẳng thức

68

và bất phương trình
2.1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
2.1.1. Cơ sở lí luận
2.1.2. Thực trạng dạy học chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất

68
68

phương trình ở trường phổ thông hiện nay
2.1.2.1. Tình hình chung
2.1.2.2. Tình hình thực tế qua điều tra
2.2. Một số biện pháp nhằm khắc phục các sai lầm của học sinh trong

76
76
77
79

dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường THPT


2.2.3.2. Vấn đề rèn luyện cho học sinh phát triển ngôn ngữ Toán học
2.2.3.3. Vấn đề rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh
2.2.3.4. Vấn đề rèn luyện các hoạt động nhằm khắc phục những sai lầm

105
117

liên quan đến suy luận
2.2.4. Biện pháp 4: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để

124

học sinh được thử thách với những sai lầm đó

127

2.2.4.1. Tạo điều kiện để HS phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải toán

127

2.2.4.2. Học sinh được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn
đến sai lầm trong lời giải
2.2.4.3. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua tình huống sai

128

lầm
2.2.4.4. Thiết kế tình huống gợi vấn đề cho học sinh thảo luận trong hoạt


TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt

HS
GV
THPT
PT
BĐT
TH
THGVĐ
GQVĐ
H
HĐ
SGK
Nxb

Viết đầy đủ

:
:
:
:
:
:

tổ quốc ở nước ta trong giai đoạn hiện nay”.
Điều 24, Luật Giáo dục quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, …; bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
1.2. “Dạy học toán là dạy hoạt động toán học” [38, tr.12] là một luận điểm
được mọi người thừa nhận. Hoạt động toán học chủ yếu của học sinh (HS) là
hoạt động giải bài tập toán. Trong quá trình dạy học, có những học sinh tiếp thu
kiến thức rất nhanh và biết vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài tập toán,
bên cạnh đó có những HS do học lực yếu sẽ không đạt được kết quả như vậy.
Trình độ học toán của HS sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải toán. Các
bài toán là phương tiện có hiệu quả trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức,
phát triển tư duy, phát triển kỹ năng và kỹ xảo. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc
dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán. Tuy nhiên,
thực tế ở trường phổ thông cho thấy chất lượng dạy học Toán đôi khi còn chưa
tốt, biểu hiện qua năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn
mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên chưa
chú ý một cách đúng mức việc phát hiện và sửa chữa các sai lầm cho học sinh
ngay trong các giờ học Toán.


2

1.3. Nghiên cứu những sai lầm của HS khi giải toán là vấn đề cấp thiết,
bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy HS còn mắc nhiều kiểu sai lầm. Đã có nhiều
quan điểm hoặc ý kiến được nêu ra xoay quanh vấn đề sai lầm trong cuộc sống
cũng như trong nghiên cứu khoa học. G. Polia đã phát biểu: “Con người phải biết
học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” [25, tr.204], còn A. A. Stôliar
thì nhấn mạnh rằng: “Không được tiếc thời gian để phân tích trong giờ học các
sai lầm của học sinh”. Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv viết: “Năng lực bình thường

nên giúp các em tự nhận ra sai lầm trong giải toán và có giải pháp sửa chữa phù
hợp là việc cần thiết. Nếu học sinh giải sai một bài toán nhưng phát hiện kịp thời
và có sự điều chỉnh hợp lí, chính xác thì có nghĩa là học sinh ấy đã giải đúng bài
toán đó. Chính vì những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận văn là: “Phát
hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học phương trình, bất đẳng
thức và bất phương trình ở trường Trung học phổ thông”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh khi học chủ đề phương trình, bất
đẳng thức và bất phương trình.
- Nghiên cứu cách thức bồi dưỡng kỹ năng giải toán về chủ đề phương
trình, bất đẳng thức và bất phương trình.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Các sai lầm của học sinh trong dạy học chủ đề phương trình, bất đẳng
thức và bất phương trình ở trường Trung học phổ thông.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Khảo sát thực tế trên địa bàn các trường THPT ở tỉnh Đồng Tháp.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Học sinh thường mắc phải một số kiểu sai lầm phổ biến nào khi học chủ
đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình? Nguyên nhân nào dẫn đến
các sai lầm đó?


4

- Xây dựng một số biện pháp khắc phục các sai lầm ở trên và rèn luyện kỹ
năng của học sinh khi học chủ đề này.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi của những biện pháp
sư phạm nêu trên.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

toán
1.2. Một số sai lầm thường gặp trong quá trình giải toán phương trình, bất đẳng
thức và bất phương trình
1.2.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng
1.2.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt
1.2.3. Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định
lí
1.2.4. Sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy
1.2.5. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng
1.2.6. Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức”
1.2.7. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
1.2.8. Sai lầm liên quan đến suy luận
1.2.9. Sai lầm liên quan đến việc không hiểu bản chất đối tượng
1.3. Kết luận chương 1
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục các sai lầm cho học
sinh THPT trong dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình
2.1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
2.2. Một số biện pháp nhằm khắc phục các sai lầm của học sinh trong dạy học
phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường THPT
2.2.1. Biện pháp 1: Tăng cường các hoạt động sư phạm nhằm hình thành tốt cho
học sinh các khái niệm, định lí về chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất


6

phương trình
2.2.2. Biện pháp 2: Khi hướng dẫn học sinh phát hiện và sữa chữa các sai lầm,
cần chú ý đến tính giáo dục, tính kịp thời và tính chính xác
2.2.3. Biện pháp 3: Khắc phục một số sai lầm của học sinh trong dạy học về
chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình

với dạy học khái niệm toán học và dạy học định lí, do đó khi phát hiện thấy học
sinh còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải Toán thì điều này cũng
có tác dụng khuyến cáo những điểm cần chú ý trong quá trình dạy khái niệm và
định lí toán học.
Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải
Toán là cấp thiết, bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy học sinh còn mắc rất nhiều
kiểu sai lầm. Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận và


8

thậm chí là những kiểu sai lầm rất tinh vi. Một nguyên nhân không nhỏ là giáo
viên chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các
sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Vì điều này nên ở học sinh
nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.
Rất nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm
cho học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn G. Polia cho rằng: "Con
người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình" [25, tr. 204], A. A.
Stôliar phát biểu: "Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai
lầm của học sinh" [39, tr. 105], còn theo J. A. Komenxki thì: "Bất kì một sai lầm
nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay
đến sai lầm đó, và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm" (dẫn
theo Nguyễn Anh Tuấn 2003). Tâm lí học đã khẳng định rằng: "Mọi trẻ em bình
thường không có bệnh tật gì đều có khả năng đạt được học vấn toán học phổ
thông, cơ bản dù cho chương trình toán đã hiện đại hóa" [12, tr. 49]. Như vậy có
thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh khi giải Toán là cần và có thể khắc
phục được.
1.2. MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI
TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1.2.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng

.
3

(!): Học sinh này dù đã nắm được khái niệm giá trị tuyệt đối nhưng vẫn
chưa ý thức được rằng, tham số được xem như là những số đã biết nhưng chưa rõ
cụ thể là bao nhiêu, bởi vậy không chắc gì m – 1 đã lớn hoặc bằng 1;

m +1
đã
3

bé thua 1.
Ví dụ 3: Giải và biện luận bất phương trình
m(x – m + 3) ≥ m(x - 2) + 6
(?): Bất phương trình ⇔ mx - m2 + 3m ≥ mx - 2m +6 ⇔ m2 – 5m + 6 ≤ 0
⇔2 ≤ m ≤ 3

Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2 ≤ m ≤ 3.


10

(!): Thực ra 2 ≤ m ≤ 3 chỉ là điều kiện để bất phương trình có nghiệm chứ
không phải là nghiệm của bất phương trình. Khi m nằm ngoài [2; 3] thì bất
phương trình sẽ vô nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trường hợp này trong khâu
biện luận.
1.2.1.2. Không ý thức được sự suy biến của tham số, áp dụng thuật giải một
cách máy móc vào những trường hợp không thuộc hệ thống
Kỹ năng phân chia trường hợp riêng hiện diện rất rõ trong dạy học toán.
Chẳng hạn như giải và biện luận phương trình có tham số, có nhiều phương trình

11
1
⇔ x 2 = a 3 − a 4 (3)
4

Giải đến đây vẫn chưa kết thúc lời giải mà phải chia (3) ra một số tình
huống mới:
a > 4
a = 4

2 < a < 4

Học sinh thường giải thiếu trường hợp đối với các bài toán biện luận hay
tìm tham số. Nhiều HS còn lúng túng khi gặp dạng toán này, nguyên nhân chính
có thể là do các em không nắm vững phần lí thuyết nên dẫn tới lời giải sai hoặc
xét thiếu các trường hợp của tham số.
Ví dụ 5: Tìm m để biểu thức f ( x) = (m + 2) x 2 + 2(m + 2) x + m + 3 luôn dương
(bài 50, tr. 140 – Đại số 10 nâng cao).
Lời giải của HS:
a = m + 2 > 0
f ( x) > 0, ∀x ∈ R ⇔  '
⇔ m > −2
2
∆
=
(
m
+
2
)

(?): Điều kiện: x ≠ 2 . Khi đó (*) ⇔ (a − 5)( x − 2) + 2a + 5 = 0
⇔ (5 − a )( x − 2) = 2a + 5 ⇔ x(5 − a ) = 15


12

Nếu a ≠ 5 thì x =

15
5−a

Nếu a = 5 thì phương trình vô nghiệm.
(!): Sai lầm là HS không để ý x =

15
khi nào không là nghiệm của
5−a

phương trình. Vì nghiệm phải thõa mãn x ≠ 2 nên khi

15
5
= 2 ⇔ a = − thì
5−a
2

phương trình vô nghiệm. Lời giải phải bổ sung điều này và kết luận đúng là:
a ≠ 5
15



đó suy ra điều kiện của m, còn nếu nó không thỏa điều kiện x ≠ −1 thì phương
trình (*) vô nghiệm, tức là:
- Nếu

m+4
3
= −1 hay m = − thì phương trình (*) vô nghiệm.
m −1
2


13

- Nếu
x=

m+4
3
≠ −1 hay m ≠ − thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất
m −1
2

m+4
.
m −1

Như vậy, trong trường hợp này:
3
m = − : Tập nghiệm của phương trình (*) là S = Ø.

⇒ phương trình (1) có
m−2

1
.
m−2

+ Giải và biện luận phương trình ( * *) :
• m = 0 : phương trình ( * *) vô nghiệm ⇒ phương trình (1) vô nghiệm.
• m ≠ 0 : phương trình ( * *) có nghiệm x = −

nghiệm x = −

3
⇒ phương trình (1) có
m

3
.
m

(!): Học sinh giải và biện luận phương trình như trên là không đúng vì
phương trình (1) bao gồm hai trường hợp: phương trình ( *) hoặc phương trình

( * *) .Khi

m = 2 thì phương trình ( *) vô nghiệm nhưng phương trình ( * *) có


14

x=

x=−

1
1
=−
m−2
2
1
x=
m−2

3
3
=−
m
2

vô nghiệm
x=−

3
m

Nghiệm của (1)
3
2
1
x=−


15

(*) ⇔ x − 3 = 16 – 2x ⇔ x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2
x = 7
⇔ 4 x − 65 x + 259 = 0 ⇔ 
 x = 37 .

4

thỏa mãn x ≥ 3 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 7 hoặc x =
(!): Sai lầm khi viết

x − 3 = 16 – 2x

⇔

37
.
4

x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2 .

Cần lưu ý HS rằng:
B ≥ 0
A=B⇔ 
2
A = B

(không cần đặt điều kiện a ≥ 0 ). Ta có x =


(?): Ta có 4 log

2

x

= (2 log x ) 2 = x 2 nên phương trình tương đương với
2

 x = −3

x2 + x – 6 = 0 ⇔ 
.
x = 2


16

(!): Cần lưu ý HS: 2 log

2

x

= x chỉ khi x > 0. Do đó chỉ lấy được x = 2 là

nghiệm.
Ví dụ 13: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất
lg(x2 + 2mx) - lg(x - 1) = 0 (1)

∆ > 0
thì học sinh lại chỉ nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có

x
>
1
≥
x
 2
1
nghiệm duy nhất.
Ví dụ 14: Giải phương trình log0,5xx – 2log4xx = 0 (1)
(?): (1) ⇔

1
2
−
=0
log x 0, 5x log x 4x


17

⇔

1
2
−
= 0 ⇔ log x 2 = 1 ⇔ x = 16 .
1 − log x 2 1 + 2 log x 2

• Sai lầm thường gặp:
x 2 − 5x + 6 > 0

x −1
>0
Điều kiện: 
 2
 x − 3 > 0

x > 1
⇔ 
x > 3

PT ⇔ log 3 ( x 2 − 5 x + 6) = log 3
⇔ x 2 − 5x + 6 =
⇔( x

⇔x
⇔

x −1
+ log 3 x − 3
2

x −1
x−3
2

− 2)( x − 3) =