MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận
Đất nước ta đã và đang trong giai đoạn đổi mới có nhiều thời cơ cũng
như thách thức to lớn. Kinh tế, xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi phải có
một thế hệ những người lao động mới có năng lực, có bản lĩnh, chủ động,
sáng tạo, dám nghĩ, dám làm để thích ứng với thực tiễn.
Trong các môn khoa học kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng.
Môn toán góp phần phát triển nhân cách, cùng với việc tạo điều kiện cho học
sinh sáng tạo những trí thức, rèn luyện những kỹ năng cần thiết. Môn toán còn
có tác dụng phát triển những năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp,
phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ
Thực tế công tác giáo dục thời gian qua đã có nhiều cố gắng trong việc
nâng cao chất lượng đào tạo, đi sâu cải tiến cách dạy, cách học song vẫn chưa
đạt hiệu quả cao trong đó có môn toán do học sinh mắc phải những sai lầm
trong giải toán. Thể hiện rất rõ ở tỉ lệ thi đỗ Trung học phổ thông, Đại học và
Cao đẳng.
Toán học là khoa học của những ký hiệu trừu tượng, nó khác với các
ngành khoa học thực nghiệm như Lý, Hóa, Sinh ở chỗ không có vật chất cụ
thể. Cho nên phần lớn học sinh đã không hiểu được nguồn gốc và ý nghĩa của
các kiến thức toán học một cách đúng bản chất để có thể áp dụng vào tình
huống thực tiễn. Hơn nữa kiến thức mà học sinh phải tiếp thu trong chương
trình phần lớn là những biến đổi đại số mà không hề có một hình ảnh minh
họa nào. Do đó các em thường cảm thấy vấn đề rắc rối và phức tạp. Điều này
khiến các em nhìn nhận đối tượng theo một khía cạnh đơn giản và phiến diện,
không đầy đủ bản chất nên thường mắc các sai lầm khi đối mặt với một bài toán.
Tìm ra những nguyên nhân của sai lầm đó và biện pháp khắc phục, sửa
chữa chúng là điều cấp thiết.
1
Trên thế giới, nhiều nhà khoa học nổi tiếng đã phát biểu nhiều ý kiến
bổ ích về vấn đề này G.Pôlya đã nói: ”Con người phải biết học ở những sai
lầm và những thiếu sót của mình”. [14].

HS thông qua các GV dạy toán, qua dạy và kiểm tra trực tiếp HS.
• Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Tiến hành thử nghiệm tại khối
9 một số trường Trung học cơ sở để xem xét tính khả thi, tính hiệu quả của
các biện pháp đã đề xuất.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: Các sai lầm khi giải toán của học sinh lớp 9.
• Phạm vi: Dạy học toán lớp 9 trường trung học cơ sở Hạc Trì, thành
phố Việt Trì, tỉnh Phú Thọ.
6. Ý nghĩa khóa luận
- Góp phần làm rõ cơ sở lý luận về dạy học giải bài bài tập toán ở THCS.
- Đưa ra những nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải toán.
- Đưa ra các biện pháp các biện pháp sửa chữa sai lầm khi giải toán lớp 9
của học sinh.
- Làm tài liệu tham khảo có ích cho việc giảng dạy của giáo viên Trung
học cơ sở và sinh viên ngành sư phạm.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành các chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Khắc phục sai lầm của học sinh lớp 9 khi giải toán.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm.
3
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số cơ sở lý luận về dạy học giải bài tập toán ở THCS
1.1.1. Quan niệm về bài toán
Bài toán là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không có
sẵn ở người giải tại thời điểm bài toán được đưa ra.
Định nghĩa này bao hàm 3 ý chính:
a. Chỉ có bài toán đối với người nào đó, hay nói chính xác hơn đối với

tượng học sinh khá giỏi cần khai thác bài toán nhấn mạnh chức năng phát
triển.
1.1.3. Ý nghĩa của việc giải bài toán
Việc giải bài toán có nhiều ý nghĩa:
- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức
và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.
- Đó còn là phương tiện có hiệu quả để dạy học sinh biết suy nghĩ sáng
tạo và thúc đẩy học sinh tích cực thu nhận kiến thức mới.
- Đó là hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào các vấn đề cụ
thể và thực tế.
- Đó là hình thức để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra
mình về năng lực về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
1.1.4. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để phát huy được tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm
vững các yêu cầu của lời giải bài toán. Nói một các vắn tắt, lời giải phải đúng
và tốt. Nói như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng cô đọng. Để thuận
tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và
đánh giá học sinh có thể cụ thể hoá các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận
những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết.
5
(i) Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian.
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức đúng, một
hàm số, một hình vẽ, thoả mãn yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian
cũng phải đúng. Như vậy lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ
hình, biến đổi biểu thức,
(ii) Lập luận chặt chẽ.
Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
- Luận đề phải nhất quán.
- Luận cứ phải đúng.
- Luận chứng phải hợp lôgic.

- Phân tích bài toán, tách ra những yếu tố chính của bài toán, xem xét
các yếu tố chính nhiều lần và ở nhiều mặt. Nếu là bài toán chứng minh thì yếu
tố chính là giả thiết và kết luận. Nếu là bài toán về tìm tòi thì yếu tố chính là
ẩn (cái cần tìm, cái chưa biết), là dữ kiện (những cái đã biết) và điều kiện
(mối liên quan giữa cái cần tìm và cái đã cho) của bài toán.
- Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả
đề bài.
i) Hình vẽ: Làm hiện lên đồng thời các yếu tố cũng như các chi tiết cùng mối
liên hệ giữa các chi tiết đã cho trong bài. Khi vẽ hình cần chú ý:
- Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường
hợp đặc biệt vì như thế dễ gây ngộ nhận.
Ví dụ: Các đoạn thẳng không nên vẽ bằng nhau, tam giác không nên vẽ
cân, đều…
- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác dễ nhìn thấy những quan hệ, tính chất
mà bài toán đã cho.
7
ii) Kí hiệu: Dùng kí hiệu toán học có thể ghi lại các đối tượng và mối liên
quan giữa chúng trong bài toán một cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát. Cách
kí hiệu thích hợp giúp ta nhanh chóng hiểu được đề toán. Khi chọn kí hiệu
cần chú ý:
- Mỗi kí hiệu phải có nội dung và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu
nước đôi.
- Thứ tự các kí hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tưởng đến
thứ tự và quan hệ đại lượng tương ứng.
- Không được dùng một kí hiệu để chỉ hai đối tượng khác nhau.
* Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán,
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ bài
toán cần giải với một bài toán tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán
tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương

Bước 2 : Xây dựng chương trình giải
Đây là bước rất quan trọng không thể xem nhẹ.
Có nhiều cách để chứng minh OA
⊥
BC
1.
∆
ABC cân có góc Â
1
= Â
2
=> OA
⊥
BC
2.
∆
OBC cân có góc Ô
1
= Ô
2
=> OA
⊥
BC
3. OA là đường trung trực của BC => OA
⊥
BC
Cả 2 cách 1 và 2 học sinh phải biết dựa vào giả thiết và vận dụng định
lý về 2 tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm để suy luận, giả thiết còn lại có liên
quan đến kết luận. Tuy nhiên đối với học sinh kém toán thì không biết suy
luận những điều kiện tiềm ẩn bên trong giả thiết không thấy Â

⊥
BC. Vậy để chứng minh OA
⊥
BC ta phải chứng minh điều gì ? OA
là đường trung trực của BC không ? Gợi ý học sinh nhìn vào hình vẽ để
chứng minh OA là đường trung trực của BC.
GV ghi tóm tắt lên bảng
Chứng minh OA
⊥
BC
OA là đường trung trực của BC
(định lý)
OB = OC (=R) ; AB = AC (tính chất tiếp tuyến).(GT)
b. GV hướng dẫn tương tự đối với câu b
OA//BD (hay OH // BD)

OH là đường trung bình của tam giác CBD
OC = OD (= R) ; BH = CH (chứng minh câu a)
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Phân tích: (1) (2) (3) (kết luận đến giả thiết)
Trình bày: (3) (2) (1) (giả thiết đến kết luận)
10
Giáo viên lưu ý học sinh dựa vào phần phân tích để trình bày bài giải.
Dựa vào phần phân tích học sinh dễ dàng thực hiện và bài chứng minh không
bị lủng củng.
a. Ta có : OB = OC (=R)
AB = AC (tính chất tiếp tuyến)
=> OA là đường trung trực của BC
=> OA
⊥

⊥
BC (hoặc OH
⊥
BC) hay OA
⊥
BC
1.1.6. Quan niệm sai lầm trong giải toán
“Sai lầm” là trái với yêu cầu khách quan hoặc lẽ phải, dẫn đến hậu quả
không hay.
Đặc điểm của "sai lầm trong khi giải toán" là có sự mất cân đối giữa
hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh trong đó:
11
+ Giáo viên là người truyền đạt, giảng dạy theo tài liệu có sẵn trong
sách giáo khoa, sách giáo viên. Giáo viên trở thành trung tâm và việc làm này
lặp đi lặp lại một cách máy móc, ít quan tâm đến khả năng sáng tạo của học sinh.
+ Học sinh học tập một cách thụ động, máy móc làm việc theo mẫu có
sẵn, không có tư duy dẫn đến nội dung học tập đơn điệu, các năng lực tiềm
ẩn, khả năng sáng tạo không có cơ hội bộc lộ và phát triển.
+ Học sinh giải toán vi phạm các yêu cầu của một lời giải.
1.2. Các quan điểm về khắc khục sai lầm của học sinh khi giải toán
1.2.1. Quan niệm chung về khắc phục sai lầm của học sinh trong học tập
Các nhà tâm lý học đã khẳng định rằng: “ Mọi trẻ em bình thường đều
có khả năng đạt được học vấn toán học phổ thông cơ bản, dù cho chương
trình toán học đã hiện đại hoá”. [12].
Như vậy có thể thấy các sai lầm của học sinh khi giải toán có thể hạn
chế và sửa chữa được với những biện pháp sư phạm thích hợp. Các biện pháp
này phải dựa trên mối quan hệ hữu cơ của các khoa học: Tâm lý học, giáo dục
học, triết học duy vật biện chứng, toán học, logic học, phương pháp dạy học
môn toán Các biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh, cũng như phương
pháp dạy học nói chung phải phản ánh: cấu trúc bên ngoài và cấu trúc bên

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên nghiên cứu và dự doán được các sai lầm
của học sinh ở những thời điểm của năm học, từng giờ lên lớp.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên luôn ở tư thế thường trực với mục tiêu
dạy học nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán. Sự sai
lầm càng muộn bao nhiêu thì sự vất vả của thầy và trò càng vất vả bấy nhiêu.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải tranh thủ giao tiếp với học sinh,
không chỉ ở trên lớp mà còn trong nhiều hoàn cảnh khác để tận dụng cơ hội
thực hiện các biện pháp dạy học.
13
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên tìm cách hạn chế nguyên nhân sai lầm
của học sinh kể cả khi sai lầm chưa xuất hiện.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải củng cố thường xuyên các sai lầm
cho học sinh nhằm không để các sai lầm tái diễn.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên đánh giá bài giải học sinh qua điểm số
một cách công bằng.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải biết hướng dẫn, điều chỉnh, sửa
chữa một lời giải sai để học sinh tự tìm ra lời giải đúng.
1.2.2.2. Quan điểm 2: Tính chính xác
Sự chính xác trong lời giải là một yếu tố cơ bản của nhiệm vụ dạy học
toán. Tính chính xác đòi hỏi giáo viên phải diễn đạt chính xác từ ngôn từ tự
nhiên tới ngôn ngữ toán học. Giáo viên phải là chuẩn mực về tư duy chính
xác, lời giải chính xác.
Đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai lầm. Đối với
học sinh giỏi thì có thể sự sai lầm của bài toán sẽ được học sinh phát hiện
nhưng đối với học sinh yếu hoặc trung bình có thể gây hoang mang mất niềm
tin ở giáo viên.
Giáo viên cần lựa chọn chính xác các biện pháp tối ưu cho mỗi tình
huống dạy học.
1.2.2.3. Quan điểm 3: Tính giáo dục
Tính giáo dục đòi hỏi giáo viên phải lấy sự phát triển nhân cách của

3.
Suy luận không lôgic: S
4
.
Hiểu sai đề toán: S
5
.
Nhớ sai công thức, tính chất, quy tắc: S
6
.
Diễn đạt kém: S
7
.
Trường Trung học cơ sở Hạc Trì:
Tổng số học sinh lớp 9A: 29 học sinh.
Tổng số học sinh lớp 9B: 27 học sinh.
15
Bảng 1
Lớp 9 A
Sai lầm S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
S

lầm
18,52 70,37 77,78 44,44 11,11 66,67 74,07
Bảng 3 (Bảng tổng hợp)
56 học sinh
Sai lầm S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
S
6
S
7
Số học
sinh mắc
sai lầm
10/56 41/56 43/56 21/56 6/56 38/56 46/56
Tỉ lệ % sai
lầm
17,86 66,07 76,79 37,5 10,71 67,86 82,14
Nhận xét:
Qua điều tra hai lớp thuộc khối lớp 9 trường Trung học cơ sở Hạc Trì –
Phường Minh Nông – Thành phố Việt Trì – Tỉnh Phú Thọ, tổng số học sinh
điều tra là 56 em, chúng tôi nhận thấy: các học sinh còn mắc rất nhiều sai lầm
trong giải toán, tỷ lệ học sinh mắc sai lầm xuất hiện nhiều ở các sai lầm thiếu

khái niệm khác. Mối quan hệ giữa các khái niệm trong toán học có tính liên
kết lôgic. Có nhiều khái niệm khó trong toán học nếu ta không kịp thời có
những cố gắng hoàn thiện, đổi mới về phương pháp dạy học các khái niệm thì
học sinh rất khó khăn trong việc lĩnh hội các khái niệm đó.
17
Ví dụ: Học sinh không hiểu khái niệm điểm nằm giữa hai điểm sẽ dẫn
tới việc không nắm vững được các khái niệm về trung điểm của một đoạn
thẳng, một tia nằm giữa hai tia từ đó sử dụng các phép chứng minh rất lúng
túng. Nắm không vững khái niệm về nghiệm của hệ phương trình nên nhiều
khi kết luận hệ có hai nghiệm x = ; y =
Như vậy việc nắm không vững các khái niệm của học sinh có thể dẫn
tới sai lầm trong lời giải. Nếu như giáo viên không có biện pháp kịp thời thì
chính từ đó sẽ gây ra hậu quả lớn cho học sinh.
1.4.2. Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc logic của định lý, quy tắc
Định lý là một mệnh đề được khẳng định đúng. Cấu trúc thông thường
của định lý có dạng
A B⇒
. Trong cấu trúc của định lý
A B⇒
thì A là giả
thiết của định lý cho chúng ta biết phạm vi sử dụng của định lý. Người ta còn
nói A là điều kiện đủ để có B. Nhưng khá nhiều học sinh không nắm vững
hoặc coi thường giả thiết A của định lý nên dẫn tới sai lầm
Nhiều học sinh nhầm giả thiết của định lý cũng là điều kiện cần để có
kết luận nên mắc sai lầm.
Không nắm vững giả thiết của định lý nên học sinh áp dụng định lý ra
ngoài phạm vi của giả thiết.
Ví dụ: Khi học về bất đẳng thức Cauchy, học sinh không để ý đến giả
thiết chỉ áp dụng cho các số không âm nên khi gặp bài toán so sánh
1

nhiều sai lầm khi thực hiện các phép tính chứng minh. Phân tích các suy luận
trong chứng minh toán học ta thấy mỗi chứng minh bao gồm các bước cơ bản,
mà mỗi bước cơ bản được thực hiện theo những quy tắc nhất định gọi là quy
tắc suy luận.
Học sinh nhiều khi nhầm phép suy ngược tiến là phép chứng minh.
Ví dụ: Chứng minh với mọi a, b, c ta có bất đẳng thức:

2 2 2 2
3( ) ( )a b c a b c+ + ≥ + +
.
Có học sinh giải:

2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
3( ) ( )
2 2 2 2 2 2 0
( ) ( ) ( ) 0
a b c a b c
a b c ab ac bc
a b a c b c
+ + ≥ + +
⇒ + + − − − ≥
⇒ − + − + − ≥
Do bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức cần
chứng minh đúng.
Lời giải đúng ở đây phải là:
Với mọi a, b, c ta luôn có
19


- Không nắm vững phương pháp giải, lời giải của học sinh sẽ không có
trình tự logic, sẽ không biết khi nào kết thúc lời giải.
1.4.5. Nguyên nhân 5: Học sinh không biết cách vận dụng mối liên hệ giữa
một số nội dung kiến thức trong chương trình.
Ví dụ: Khái niệm phương trình và hàm số có nhiều mối liên hệ với
nhau. Ta thấy phương trình là một hàm mệnh đề nói đến sự bằng nhau của hai
giá trị hai hàm số đã cho. Giải phương trình là đi tìm biến số đó để hai hàm số
cho bởi công thức ở mỗi vế của phương trình có giá tri bằng nhau. Bài toán
giải phương trình f(x) = 0 có thể phát biểu là tìm giá trị của x để hàm số
y = f(x) có giá trị bằng 0.
20
Nếu học sinh nắm được những mối liên hệ đó thì việc giải bài toán đã
cho có thể chuyển về việc giải bài toán phát biểu tương đương. Hoặc nếu
không nắm vững mối liên hệ việc vận dụng dẫn đến sai lầm. Chẳng hạn: học
sinh không hiểu nghiệm của hệ phương trình
{
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=
=
là giao hai tập
hợp nghiệm của từng phương trình trong hệ thì quá trình giải hệ phương trình
dẫn đến sai lầm.
Kết luận:
Trong chương 1, chúng tôi đã giải quyết được một số vấn đề:
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về dạy học giải bài tập toán ở THCS.

Chương II: Hàm số bậc nhất
1. Nhắc lại và bổ xung khái niệm về hàm số.
2. Hàm số bậc nhất.
3. Đồ thị của hàm số
(a 0)y ax b= + ≠
.
4. Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau.
5. Hệ số góc của đường thẳng
(a 0)y ax b= + ≠
.
Chương III: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn.
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
22
5. Giải bài toán bằng phương pháp lập hệ phương trình.
6. Giải bài toán bằng phương pháp lập hệ phương trình (tiếp theo).
Chương IV: Hàm số
2
( 0)y ax a= ≠
- Phương trình bậc hai một ẩn.
1. Hàm số
2
( 0)y ax a= ≠
.
2. Đồ thị hàm số
2
( 0)y ax a= ≠
.

7. Tứ giác nội tiếp.
8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp.
9. Độ dài đường tròn. Cung tròn.
10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn.
Chương IV: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu
1. Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.
2. Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón,
hình nón cụt.
3. Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.
2.2. Một số ví dụ về sai lầm của học sinh khi giải toán
Qua thực tế hướng dẫn học sinh lớp 9 khi giải toán, chúng tôi nhận thấy
một số biểu hiện sai lầm của học sinh thể hiện qua các ví dụ sau:
2.2.1. Sai lầm khi giải các bài toán về căn bậc hai, căn bậc ba
Nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai, căn bậc ba và
trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu
sai đầu bài, thực hiện sai mục đích…Những sai lầm thường gặp khi học về
căn thức là: thiếu điều kiện để căn thức có nghĩa, nhầm lẫn trong các phép
biến đổi biểu thức chứa căn thức, đưa thừa số vào dấu căn và ra khỏi dấu căn,
áp dụng sai hằng đẳng thức, sai lầm về thuật ngữ…
24
Ví dụ 1: So sánh
2
( 2 1)A = −2
(1 3)B = −
Lời giải sai
2
( 2 1)A = −

1 3 3 1− = −
Ta có:
3 1 2 1− > −
. Vậy A < B.
Ví dụ 2 : Tìm x, biết :
2
)1(4 x
−
- 6 = 0
Lời giải sai

2
)1(4 x
−
- 6 = 0
6)1(2
2
=−⇔ x
⇔
2 (1- x) = 6
⇔
1- x = 3
⇔
x = - 2.
Phân tích sai lầm
25