HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CỦA HỌC SINH
1
PHẦN I. MỞ ĐẦU
Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh
vực khác nhau. Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc cải tạo tự
nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài người ngày một tốt đẹp hơn.
Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học
phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất,
năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên
cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên
mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người.
Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số là
"Số" và "Hàm số". Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chương trình môn đại số ở phổ
thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số. Với các khái niệm
hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng, phần hàm số được phân lượng thời
gian không nhiều. Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu
trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gian
luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của đối
tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng chính
vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: "HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI QUYẾT MỘT
SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CỦA
HỌC SINH".
Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa ra
một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan.
Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối
tượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em,
tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có
nhiều nội dung ứng dụng phong phú. Hàm số còn được coi là công cụ giải quyết một số
bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phương trình, sau đây là nội

Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f
b. Các loại ánh xạ:
* Đơn ánh
Ánh xạ: f: X Y
x a y = f(x)
Ánh xạ f là đơn ánh
⇔
∀
x
1
, x
2
∈
X: x
1
≠
x
2
thì f(x
1
)
≠
f(x
2
)
Hoặc
⇔
∀
x
1

X: (x) = y
Hoặc f là toàn ánh
⇔
phương trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y
∈
y cho
trước
Ví dụ: f: R R
x a y = f(x) = 2x
Là một toàn ánh vì phương trình 2x = y luôn có nghiệm x =
2
y
với y xác định.
* Song ánh: Ánh xạ f: X Y
3
x a y = f(x)
Ánh xạ f là song ánh
⇔
f là đơn ánh và f là toàn ánh
2. Hàm số:
a. Theo quan điểm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập hợp và
ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y.
Trong chương trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1991 - 2001) Khái
niệm hàm số được trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 (được nhắc lại trong sách giáo
khoa lớp 9) như sau:
Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho tương
ứng mỗi giá trị x
∈
X một và chỉ một giá trị y
∈

;y
M
)
∈
đồ thị hàm số y = f(x)
⇔
y
M
= f(x
M
)
c. Cách cho một hàm số:
Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi các cách:
+ Cách 1: Cho quy tắc tương ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)
+ Cách 2: Cho quan hệ tương ứng thể hiện bởi bảng giá trị
+ Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số
4
II. Các hàm số trong chương trình THCS:
1. Hàm số bậc nhất:
a. Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a,b là các
hằng số xác định a
≠
0, x
∈
R
b. Tính chất:
+ Tập xác định: R
+ Tính biến thiên: a > 0 thì hàm số đồng biến trong R
a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R

; +
∞
) và nghịch biến trong (-
∞
;
2a
b
−
)
a < 0 Hàm số nghịch biến trong (
2a
b
−
; +
∞
) và đồng biến trong (-
∞
;
2a
b
−
)
c. Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0, x
∈
R) là Parabol (P) có đỉnh là D(

0}
2. Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x- 70 có TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y =
x
x
2
2+
có TXĐ: {x
∈
R/ x
≠
0}
+ Ví dụ 3: Hàm số y =
14 +x
có TXĐ:






−≥∈
4
1
xRx
3. Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số:
a. y = x – 3
x
+2

∈
[-1; 1]
Giải
Ta có x
≥
-1
⇒
2x
≥
-2
⇒
2x – 5
≥
-7
⇒
y
≥
-7
x
≤
1
⇒
2x
≤
2
⇒
2x-5
≤
-3
⇒

∈
[2;3]
Giải:
Hàm số y = x
2
+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x
≥
1
Vậy với x
∈
[2;3] ta có y(2)
≤
y(3)
⇒
3
≤
y
≤
6
Vậy miền giá trị của hàm số y = x
2
+ 2x + 3 với x
∈
[2;3] là [3;6]
*Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
- 4
x
+ 3
Giải:

- 2x + 1) – 3
= -(x – 1)
2
- 3
≤
- 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
2xx
x
2
2
++
++ 6x
(1)
Giải:
Hàm số có tập xác định: R vì x
2
+ x + 2 = (x +
2
1
)
2
+
4
7
≥
4
7
Giả sử y là một giá trị của hàm số

≥
0
⇔
1< y
≤

7
23
Vậy giá trị của hàm số là 1< y
≤

7
23
+ Với y =
7
23
ta có x =
2
1
−
vậy hàm số có giá trị lớn nhất là
Max y =
7
23
tại x =
2
1
−

+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dưới dạng:


7
23
ta chỉ ra y
∈
Z
⇔
y = 2 hoặc
y = 3
Giải phương trình
2xx
x
2
2
++
++ 6x
=2
⇔
x
2
+ x + 2 = 0
⇔
x = 1; x = -2
2xx
x
2
2
++
++ 6x
=3




≥
≥
mxg
mxf
)(
)(
(2)
Nếu
∃
x
0

∈
D thoả mãn (2) thì x
0
là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x
2
– 2=
1343221 −+−+−+− xxxx
(1)
+Tập xác định: R
+Ta có VT = 6x – x
2
– 2 = 7 – (x - 3)
2



⇔
x = 3
Kết luận phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2:
Giải phương trình – 16x
4
+ 72x
3
– 81x
2
+ 28 = 16(x –
2−x
) = 0 (3)
Ta có VT = – 16x
4
+ 72x
3
– 81x
2
+ 28 - 16


















+






−
4
7
2
1
2
t
≥
28
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t =
2
1
⇔
x =
4

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3






+−








+
a
b
b
a
a
b
b
a
8
2
2
2
2

2
;y
2
)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
B(x
2
;y
2
)
∈
d nên ax
2
+ b = y
2
Ta có hệ phương trình



=+






=
=
2
3
2
1
-a
b
Kết luận hàm số cần tìm là y =
2
3
2
1
+− x
b. Đồ thị đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và song song với đường thẳng d' có phương trình
y = a
1
x + b
1
(a
≠

với đường thẳng d' có phương trình y = 2x -
2
1
Giải:
Vì A(1;
2
1
)
∈
d nên a + b =
2
1
10
Vì d song song với d' nên a = 2
⇒
b =
2
3
−

Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x
2
3
−

c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và vuông góc với đường thẳng d' có

+
1
a
1
x
1
Kết luận hàm số cần tìm là y =
x
1
a
1-
+ y
1
+
1
a
1
x
1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;1) và vuông góc với
đường thẳng d có phương trình y =
2
3
+− x
2
1
Giải:
Vì A(1; 1)
∈
d nên a + b = 1

2
+ b'x + c' nên phương trình hoành độ giao
điểm: ax + b = a'x
2
+ b'x + c' có nghiệm kép
⇔
a'x
2
+ (b' – a)x + c' – b = 0 có nghiệm kép
⇔
∆
=(b' - a)
2
- 4a'(c' – b) = 0 (2)
Giải hai hệ phương trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(-
1;2) và tiếp xúc với Parabol
d đi qua điểm A(-1;2)
∈
d nên –a + b = 2 (1)
Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = x
2
+ 1 nên phương trình hoành độ giao điểm: ax
+ b = x
2
+ 1 có nghiệm kép
⇔
x
2
– ax + 1 – b = 0 có nghiệm kép




=+
+=
0)2(
2
2
a
ab
⇔



−=
=
2
0
a
b
Vậy hàm số cần tìm là y = -2x
2. Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Pharabol(P)
a. Đi qua 3 điểm phân biệt A(x
1
;y
1
), B(x
2

2
+ bx
2
+ c = y
2
(2)
Vì C(x
3
;y
3
)
∈
(P)nên ax
3
2
+ bx
3
+ c = y
3
(3)
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Pharabol (P) đi qua 3
điểm phân biệt A(-1;0), B(0;3), C(1;0)
Giải:
Vì A(-1;0)
∈
(P) nên a- b+ c = 0 (1)

−=
3
0
3
c
b
a
Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = - 3x
2
+ 3
b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và đi qua điểm A(x
1
;y
1
)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
(P) nên ax
1
2
+ bx

(3)
Giải hệ gồm ba phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua điểm
A(-1;2) và có đỉnh là D(1;2)
Giải:
Vì A(-1;2)
∈
(P) nên a+b+c = 2 (1)
12
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên
1=
2a
b-
(2)
2
4
4
2
2
−=
−
−⇒−=
∆
a
acb
4a
-

⇔





=−−
=+
=+−
084
02
2
2
aacb
ba
cba
⇔





−=
−=
=
1
2
1
c
b

Giải:
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên
1=
2a
b-
;
1
4
4
1
2
=
−
−⇒=
∆
a
acb
4a
-
(2)
Vì (P) tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x –2 nên phương trình hoành độ ax
2
+ bx + c = 2x – 2 có nghiệm kép
⇔
ax
2
+ (b – 2)x + c – 2 = 0 có nghiệm kép
⇔

∆

cacb
⇔





=−−
=+
=+−−−
044
02
04484
2
2
aacb
ba
baacb
⇔





=+−
=+
=+
044
0412
02

+ bx + c đi qua O(0;0) và có đỉnh là
D(1;-1)
Bài 3: Cho Parabol (P): Y = ax
2
+ bx + 1 (a
≥
2
1
)
a. Xác định a,b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đường thẳng d: y = 2x + 1
b. Với a, b vừa tìm được vẽ Parabol(P) và đường thẳng d trên cùng một mặt
phẳng toạ độ
4. Xác định công thức hàm số khi biết phương trình hàm
Ví dụ 1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+
2
1
) = x
2
– 1 và f(0) = 0
Giải:
+Với x
≠
0 ta đặt 1+
x
1
= t rồi rút x theo t ta có x =
1-t
1
Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (
1-t






=+






⇒






=




















=+






=






+
2
2
1
)(2
1
1



+
2
2
2
21
24
1
2)(
x
x
fxf
x
x
fxf
⇔
2
4
3
2
)(
x
x
xf
−
=
14
Vậy công thức hàm số là f(x) =
2





−1x
x
f
=
14 +− x
2
3x
8x-4
với x
≠
1 và f(1) = 0
c.






− x
x
f
2
=
)4(4
2
+− xx

x
g
x
x
f
xxgxf
12
2122)12(
b.
( )
( ) ( )



+=+++
=−+−
xxxgxxf
xxgxf
22
2321
316)13(
DẠNG IV: ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Nhắc lại về đồ thị hàm số:
a. Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ
có toạ độ (x;f(x) ) với x
∈
TXĐ
b. Đồ thị: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a
≠
0) là một đường thẳng

+ Bề lõm quay lên trên khi a > 0; Bề lõm quay xuống dưới khi a < 0
d. Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối y
Chẳng hạn: y =
x
=



≤
≥
0 x víix-
0 x víix
15
-1 0 1 2 3 4 X
-1
y
2
1
-1 0 1 2 3 4 x
-1
3
2
1
Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
của góc vuông I và II (hình1d)
0 x
e. Đồ thị phần nguyên: y =
x
trong đó
x

≥
0
+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung
*
y
=x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà chỉ
cần vẽ đường biểu diễn mói quan hệ.
2. Ví dụ:
*Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
– 4x +3
+ TXĐ: x
∈
R
+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x > 2
Nghịch biến với x < 2
Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị: y
x
.
0
1 2 3
4

y
.
3
0
-
1

3
1
-
3
+ Đồ thị:
-3
Đồ thị hàm số y = 2x -
x
có dạng như hình ở trên
*Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
+2
x
+2
Ta có: y =





≤+
≥++
0 x nÕu22x-x-
0 x nÕu22xx-
2
2
Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y
y = -x
2
+ 2x + 2 nếu x

>−
1) x ( 32x-
2)x(1 1
2) (x 32x
Đồ thị hàm số gồm các phần đường thẳng y = 2x – 3 (x > 2)
y = 2x + 3 (x < 1) và đoạn y = 1 (1
≤
x
≤
2)
Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = x
2
+2 x+2 với x
≥
0 và
y = -x
2
+2 x+2 với x < 0
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 3 khi x = 1 hoặc x = -1
*Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = -x
2
-2
1−x
+1
Giải: Ta có y =






++++−
xxxx
+ax
a. Xác định a để hàm số luôn đồng biến
b. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6). Vẽ đồ thị của hàm số
với a vừa tìm được
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y =
1239644
222
++−++++−
xxxxxx
18
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ x0y vẽ tập hợp các điểm M(x;y) mà toạ độ (x;y)
thoả mãn
1−x
+
2−y
=1
DẠNG V: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐỒ THỊ
Cơ sở lí thuyết:
+Điểm M(x
M
;y
M
)
∈
đồ thị hàm số y = f(x)
⇔
y
M

M
) là nghiệm của hệ phương trình



=
=
g(x)y
f(x)y
⇒
Vậy vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x) phụ thuộc vào số
nghiệm của phương trình



=
=
g(x)y
f(x)y
1. Cách giải:
a. Bài toán xác định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x),
(f(x) và g(x) có bậc
≤
2)
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị hàm số là nghiệm của hệ



=
=

: y = (2m – 3)x + 2
+ d song song với d
1

⇔
a = a
1
; b
≠
b
1
+ d cắt d
1

⇔
a
≠
a
1
+ Đặc biệt d vuông góc với d
1

⇔
aa
1
= -1
+ d trùng với d
1

⇔

m = 3
+ d cắt d
1

⇔
m
≠
2m – 3
⇔
m
≠
3
+ Không có giá trị nào của m để d trùng với d
1

b. Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng vuông góc. Xác định toạ độ điểm
chung cho từng trường hợp.
Giải:
+ d vuông góc với d
1

⇔
m(2m – 3) = -1

⇔
2m
2
– 3m + 1 = 0

⇔

1
x + 1 và d
1
: y = -2x + 2 vuông góc với nhau.
Toạ độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ





+=
+=
2-2xy
2
1
y 1x
⇔








=
=
5


+=
+=
(2) 1 2x y
(1) m 4x - xy
2
Phương trình toạ độ x
2
- 4x + m = 2x + 1
⇔
x
2
- 6x + m – 1 = 0 (3)
+ (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt
⇔
phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt
⇔

∆
= 9 – m + 1 > 0
⇔
m < 10
+ (P) tiếp xúc với (d)
⇔
phương trình (3) có nghiệm kép

⇔

∆
= 9 – m + 1 = 0




+++=
+=
(2) 82)x(mmx y
(1) 8 4x - xy
2
2
+ Phương trình hoành độ x
2
– 4x – 8 = mx
2
+ (m + 2)x + 8

⇔
(m – 1)x
2
+ (m + 6)x + 16 = 0 (3)
+ (P) và (P') có không quá một điểm chung
⇔
phương trình (3) có không quá
một nghiệm.
- Xét m = 1, phương trình (3) có dạng 7x + 16 = 0
⇔
x = -
7
16
là nghiệm duy
nhất.

576
m
≠
1
Vậy (P) và (P' ) có không quá một điểm chung
⇔
26 -
576
≤
m
≤
26 +
576
3. ứng dụng:
Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
* Cơ sở lí thuyết:
+ Giả sử phương trình (1) có nghiệm x=x
0
khi đó giá trị tương ứng của các
vế là f(x
0
) = g(x
0
) = y
0
+ Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x
0
;y
0
).

Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phương trình sau có nghiệm duy nhất
ax −2
+1=
3+x
(1)
Giải:
Phương trình (1)
⇔

ax −2
=
3
+
x
-1
22
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
Xét hai hàm số y =
ax −2
=










34
3
xx
xax
Ví dụ 3:
Tìm tất cả các giá trị thực của k để phương trình: (x-1)
2
= 2
kx −
có bốn nghiệm phân
biệt.
Giải:
Ta có (x-1)
2
= 2
kx −

⇔
kx −
=
( )
2
1-x
2

⇔
x-k =
±
( )
2

y=2k là đường thẳng (d) song song với 0x
b. Xét hàm số y=x
2
+1 và y=2k
Vẽ đồ thị hàm số trên cùng hệ trục toạ độ
y=x
2
+1 là Parabol(P
2
) có đỉnh là S'(0;1)
23
y=2k là đường thẳng song song với trục 0x
Khi đó phương trình (x-1)
2
=2
kx −
có 4 nghiệm phân biệt
⇔
(d) cắt (P
1
) và (P
2
) tại 4
điểm phân biệt
⇔




≠

-2x-3 và (C'): y=2x
2
+2x+1
Bài 2: Chứng minh (P): y=mx
2
-2mx+(m-1) tiếp xúc với mọi đường thẳng cố định
với mọi m
≠
0
Hướng dẫn:
Các đường thẳng x=a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi a. Nên dường thẳng (D)
tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b
Vậy đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m
≠
0
⇔
∆
=0
∀
m
≠
0
⇔
(2m+a)
2
-4m(m-1-b) =0
∀
m
≠
0

m
≠
0
Bài 3: Cho Parabol(P) y= x
5
+5x-5. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(3;2) và hệ
số góc m
a. Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (p) tại hai điểm phân biệt B, C.
b. Xác định m để BC có độ dài ngắn nhất.
Chú ý:
+ Nếu B(x
b
; y
b
); C(x
c
; y
c
) thì BC
2
=(x
b
- x
c
)
2
+(y
b
- y
c

0
)
⇔
y
0
=f(x
0
) với mọi m
+ Phương trình ax
2
+bx+c=0 có nhiều hơn hai nghiệm
⇔





=
=
=
0
0
0
c
b
a
1. Cách giải:
Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y=f(x) (có phụ thuộc vào tham số m) đi
qua với mọi m
Giả sử M (x

m∀
.
⇔
y
0
=(2m+1)x
0
-3m+2 đúng với
m∀
.
⇔
2mx
0
-3m+x
0
-y
0
+2=0 đúng với
m∀
.
⇔
(2x
0
-3)m+(x
0
-y
0
+2)=0 đúng với
m∀
⇔

Vậy đường thẳng đi qua điểm M(
2
7
;
2
3
) với
m
∀
Ví dụ 2:
Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d): (-m
2
+m-2)y=(m
2
+m-3)x+2m-5 đi qua với
m∀
.
Giải:
Giả sử M(x
0
; y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với
m∀
⇔
(-m
2
+m-2)y
0
=(m