SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 2
BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC TÌM
TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH
ĐỀ TÀI SKKN BỘ MÔN TOÁN
NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC
QUỲNH LƯU – 2012
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 2
NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC
BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC TÌM
TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH
QUỲNH LƯU - 2012
MỤC LỤC
Trang
A, ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán học
a, Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
b, Các chức năng của bài tập toán
c, Phân loại bài tập toán
d, Dạy học giải bài tập toán học
2. Thực trạng việc dạy học giải toán ở trường phổ thông hiện nay 7
II. NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI
……………………… 7
B, NỘI DUNG 8
I. CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG
5. Rèn luyện tính hoàn thiện trong kiểm tra, đánh giá lời giải bài
toán
IV. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm
a, Tổ chức thực nghiệm
b, Nội dung thực nghiệm
3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
a, Đánh giá định tính
b, Đánh giá định lượng
4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO 57
6
A, ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN
Giáo dục Toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp bao gồm
những bộ phận, những vấn đề sau đây:
+ Truyền thụ cho học sinh hệ thống nhất định những kiến thức Toán học.
+ Rèn luyện những kỹ năng và kỹ xảo Toán học.
+ Phát triển tư duy Toán học.
Toán học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát
huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết
các bài tập trong sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó
thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ
bản, và thông qua sự hướng dẩn của giáo viên, học sinh huy động kiến thức
để giải quyết hệ thống các bài tập mới đó, đồng thời để các em phát hiện các
vấn đề mới khác, để từ đó các em phát triển năng lực sáng tạo của mình.
1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán học
nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên.
b, Các chức năng của bài tập toán
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh,
trong đó giải bài tập toán là hình thức chủ yếu. Do vậy, dạy học giải bài tập
toán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của
phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh có thể coi
việc giải bài tập toán là một hình thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập
toán có những chức năng sau:
- Chức năng dạy học:
Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lý
thuyết đã học. Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thức rất tốt để
8
dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới. Có khi bài tập lại là một định
lý, mà vì một lí do nào đó không đưa vào lý thuyết. Cho nên qua việc giải bài
tập mà học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
- Chức năng giáo dục:
Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan
duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
Qua những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính
chất thực tiễn của Toán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài toán từ
cuộc sống chiến đấu và xây dựng tổ quốc. Đồng thời, học sinh phải thể hiện
một số phẩm chất đạo đức của người lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn
luyện được: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỹ
luật, năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm, trung thực, khiêm
tốn, tiết kiệm, biết được đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn.
- Chức năng phát triển:
Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt
là phát triển tư duy sáng tạo, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra:
Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng học
chứng minh là xác định xem một kết luận nào đó là đúng hay sai, là xác nhận
hay bác bỏ kết luận đó.
- Đứng trên quan điểm môn học thì ta có thể phân chia các bài tập
toán trong chương trình phổ thông thành ba loại: Các bài tập toán đại số sơ
cấp; các bài tập toán giải tích và các bài tập toán hình học sơ cấp.
- Nếu theo tiêu chí về số lượng các đại lượng thay đổi trong một bài
tập toán, thì ta có thể chia các bài tập tập toán trong chương trình toán phổ
thông thành hai dạng: dạng toán không chứa tham số và dạng toán có chứa
tham số.
10
- Nếu theo tiêu chí thuật giải thì ta lại có thể chia các bài tập toán
thành hai loại: Loại các bài tập toán đã có quy trình giải và loại các bài tập
toán không có quy trình giải (không có quy trình giải theo nghĩa là không
được trình bày trong sách giáo khoa hiện hành).
d, Dạy học giải bài tập Toán học
Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ
năng quan trọng, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần
không thể thiếu trong dạy học giải Toán. Trong tác phẩm [25] của G. Pôlya
ông đã đưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán.
1) Hiểu rõ bài toán:
Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải
có hứng thú giải bài toán đó. Vì vậy điều đầu tiên người giáo viên cần chú ý
hướng dẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải
Toán của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải, muốn vậy cần phải:
Phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu
là điều kiện? Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì?. Có thể biểu diễn
bài toán dưới một hình thức khác được không?. Như vậy, ngay ở bước
“Hiểu rõ đề toán” ta đã thấy được vai trò của tư duy sáng tạo trong việc định
hướng để tìm tòi lời giải.
2) Xây dựng chương trình giải:
Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước. Em đã thấy
rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng
không?
4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:
Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của
bài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì
12
không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì
vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên
thực hiện các yêu cầu sau:
- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.
- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán.
- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có nhiều cách
giải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán, và kết
quả là có nhiều lời giải độc đáo và sáng tạo. Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để
phát huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một
bài toán. Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học
sinh trung bình và kém chán nản.
2. Thực trạng việc dạy học giải Toán ở trường phổ trông hiện nay
Thực tế dạy học phần bài tập ở các trường phổ thông hiện nay có thể
được mô tả như sau: Giáo viên cho học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít
phút tại lớp, sau đó gọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác
nhận xét lời giải, giáo viên sửa hoặc đưa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố
kiến thức cho học sinh. Một số bài toán sẽ được phát triển theo hướng khái
quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa cho đối tượng học sinh khá giỏi.
Việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh không đầy đủ, thường chú
ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp. Giáo viên
ít khi chú ý đến việc dạy Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi
hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hay các
tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất
biệt về nội dung.
14
Đến đầu lớp 11, Sách giáo khoa trình bày các kiến thức về phương
trình và bất phương trình lượng giác. Đây là sự tiếp nối mạch kiến thức về
hàm số luợng giác và các công thức lượng giác đã được học từ cuối lớp 10.
Tuy nhiên so với sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì các kiến thức ở mảng
này được trình bày đơn giản hơn: Chỉ giới thiệu và nêu cách giải các phương
trình lượng giác cơ bản; phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số
lượng giác; phương trình đẳng cấp bậc hai, và phương trình bậc nhất đối với
sinx và cosx. Còn phương trình đối xứng đối với sinx và cosx cũng như bất
phương trình lượng giác được đưa vào phần đọc thêm. Như vậy chương trình
mới phù hợp với tinh thần giảm tải của Bộ GD&ĐT đã đề ra.
Đến chương trình lớp 12, Sách giáo khoa đã đưa ra định nghĩa và các
phương pháp giải phương trình và bất phương trình mũ và logarit, đây cũng là
dạng phương trình và bất phương trình cuối cùng được trình bày trong
chương trình Toán trung học phổ thông.
2. Các dạng bài tập và phương pháp giải toán phương trình và bất phương
trình
+ Phương trình, bất phương trình đa thức và phân thức:
Đối với dạng toán phương trình đa thức và phân thức, thì các phương
trình “cơ bản” được trình bày trong chương trình là phương trình bậc nhất và
phương trình bậc hai. Thông thường, các dạng phương trình khác, trong quá
trình giải đều đưa về các dạng cơ bản trên. Vì vậy Sách giáo khoa đã nêu
thuật giải chi tiết để giải các loại phương trình đó.
Bên cạnh đó, nhằm mục đích phục vụ cho việc khảo sát hàm số ở lớp
12, nên từ lớp 10, Sách giáo khoa cũng đã đưa ra phương trình bậc ba và
phương trình bậc bốn.
Phương trình bậc ba được nêu ra trong chương trình chủ yếu là các
phương trình đặc biệt, có thể tìm ra một nghiệm nguyên một cách tương đối
15
( 1)(2 3)
x
x x
−
⇔ <
+ −
Bảng xét dấu vế trái:
x
∞−
-1
4
1
2
3
∞+
1-4x
+ + 0 − −
x+1
− 0 + + +
2x-3
− − − 0 +
Vế trái
+ || − 0 + || −
Ta được nghiệm -1 < x <
4
1
; x >
2
2 2
( ) ( )
( ) 0
f x g x
g x
=
≥
⇔
( ) ( )
( ) 0
f x g x
g x
= ±
≥
3) |f (x)|< α
⇔
- α < f (x) < α (α >0)
|f (x)|> α
⇔
( )
( )
f x
f x
>
6) f (x)| < g (x)
⇔
( ) 0
( ) ( ) ( )
g x
g x f x g x
>
− < <
Ví dụ 2: Giải phương trình
2 2 1 0x x− − − =
Nhận xét:
Đối với dạng toán này, trong chương trình toán trung học phổ thông,
thường có các định hướng như sau:
+ Thứ nhất, nếu dùng công cụ là định nghiã giá trị tuyệt đối, ta có bài toán
tương đương như sau:
Nếu x ≥2 phương trình trở thành x +1 = 0
⇔
x = -1 (không thỏa mãn).
Nếu x <2 phương trình trở thành 3x - 3 = 0
⇔
x = 1 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1.
A
2
có nghĩa
⇔
A
≥
0
k
A
2
≥
0 với mọi A
≥
0
Và cần áp dụng các phép biến đổi tương đương cơ bản sau đây:
1)
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( )
k
k
f x g x f x g x
+
+
= ⇔ =
2)
22
xg
xgxf
xgxf
kk
5)
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
f x
f x g x
f x g x
≥
< ⇔
<
6)
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x
≥
< ⇔ >
+ Phương trình, bất phương trình mũ và logarit
Từ định nghĩa các hàm số mũ và hàm số lôgarit, với mọi a > 0 và a ≠ 1
ta có các phép biến đổi tương đương như sau:
1) a
f (x)
=b
⇔
f (x) = log
a
b (b>0)
18
2) a
f (x)
=a
g (x)
⇔
f (x) = g(x)
3) log
a
f (x) = b
⇔
f (x) = a
b
4) log
a
f (x) = log
( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x
>
<
8) 0<a <1: log
a
f (x)<log
a
g (x)
⇔
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
>
>
Ví dụ 3: Giải phương trình
(2 3) (2 3) 4
x x
− + + =
Tương tự như ví dụ 4 ở trên, ta có nhận xét
)15( +
)15( −
=1, vì vậy,
với x ≠-1 bất phương trình
⇔
1
1
)25(
1
)25(
+
−
−
+≥
−
+
x
x
x
⇔
1 1 ( 1)( 2)
1 ( 1)(1 0 0 2 1, 1.
1 1) 1
x x x
x x x x
x x x
− − +
⇔ − ≥ − ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≤ < − >
+ + +
+ bx + c = 0, giải và biện luận phương bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao, chỉ rõ các kỹ năng giải, biện luận cần đạt
của học sinh là:
+) Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn.
20
+) Phương trình dạng ax + b = cx + d và phương trình chứa ẩn ở
mẫu.
+) Phương trình trùng phương.
+) Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất, bậc hai đơn giản có
chứa tham số.
Nội dung giải và biện luận phương trình, bất phương trình chứa một thời
lượng khá lớn trong nội dung phương trình và bất phương trình, điều này
được thể hiện ngay trong bài giảng và bài tập rèn luyện sau mỗi tiết học. Số
lượng bài tập giải và biện luận mà sách giáo khoa Đại số 10 đưa ra là tương
đối lớn. Tuy nhiên bài tập giải và biện luận có nhiều mức độ khác nhau nhằm
vào các mục đích: củng cố kiến thức được học, tăng cường khả năng vận
dụng kiến thức và rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh.
Bài tập củng cố kiến thức được học, chẳng hạn như:
Ví dụ 5: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) (m
2
+ 2)x - 2m = x - 3.
b) (m - 1)x
2
+ 3x - 1 = 0.
Đối với dạng bài tập này, chỉ cần học sinh hiểu kiến thức được học và
tiến hành gần như tương tự thì sẽ giải quyết được.
Ở mức độ khó hơn, Sách giáo khoa đưa ra những bài tập đòi hỏi sự vận
dụng linh hoạt kiến thức đã có, chẳng hạn như:
Ví dụ 6: Giải và biện luận theo tham số m:
m
x
+
=
−
và
1
1
mx
m
x
+
= −
−
Sau đó biện luận kết quả của phương trình dựa vào kết quả biện luận của
hai phương trình trên.
Ví dụ 7: Giải và biện luận phương trình:
x
4
+ (2a - 1)x
2
+ a
2
-1 = 0 (2)
Để giải phương trình trên thì cần có bước đặt ẩn phụ, nhằm chuyển
phương trình đã cho về phương trình bậc hai.
Đặt: t = x
2
, điều kiện: t ≥ 0. Phương trình trở thành:
f (t) = t
.
Vậy với m = 1 phương trình có nghiệm.
Trường hợp 2: Với m ≠ 1, để phương trình có nghiệm thì:
∆’ = 1 + (m - 1) = m ≥ 0.
Vậy để phương trình có nghiệm thì điều kiện của tham số sẽ là: m ≥ 0.
Trên đây là dạng toán cơ bản mà việc giải chúng là khá đơn giản nhờ vào
việc vận dụng kiến thức cơ bản trong nội dung chương trình. Tuy nhiên, trong
thực tế còn nhiều bài toán với mức độ phức tạp cao hơn.
Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x + 3 (m - 3x
2
)
2
= m.
Phương trình trên có thể dễ dàng nhận ra là một phương trình bậc 4, nếu
giải bằng phương pháp đưa về phương trình tích là rất khó khăn. Nhờ vào
việc phân tích kỹ đặc điểm bài toán, ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn số
phụ:
y = m - 3x
2
Với cách đặt ẩn phụ này ta chuyển bài toán về hệ phương trình đối xứng
2 ẩn số:
23
2
2
3
3
x y m
y x m
= m.
Giá trị m để phương trình có nghiệm là m ≥
1
12
−
, nên dễ dàng suy ra giá
trị của m để phương trình vô nghiệm sẽ là: m <
1
12
−
.
c) Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất
Đối với phương trình dạng ax + b = 0 điều kiện để nó có nghiệm duy
nhất sẽ là: a ≠ 0.
Đối với phương trình dạng ax
2
+ bx + c = 0 điều kiện để nó có nghiệm
duy nhất sẽ là:
+) a = 0 và b ≠ 0.
+) a ≠ 0, ∆ = b
2
– 4ac = 0.
24
Nên bài toán tìm điều kiện của tham số để những phương trình có dạng:
ax + b = 0 và ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm duy nhất thì lời giải là khá rõ ràng,
nó cũng chính là bài tập cơ bản mà học sinh cần phải nắm được.
Tuy nhiên, có rất nhiều bài tập yêu cầu tìm điều kiện của tham số để
phương trình có nghiệm duy nhất có độ khó cao, chẳng hạn như:
hệ thức cho trước như:
x
1
= 2x
2
; x
1
= 9x
2
;
2 2
1 2 1 2
2 3x x x x+ =
; …
hoặc thỏa mãn hệ thức đối xứng:
3 3
1 2
40x x+ =
;
4 4
1 2
3x x+ =
;…
Với dạng toán này nếu đi tìm ra các nghiệm x
1
, x
2
rồi thay vào hệ thức để
tìm ra giá trị tham số sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Bởi khi đó các nghiệm sẽ
4
3
(*)
Khi đó theo Định lí Viet phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
2
1 2
2
. 1
x x m
x x m
+ = +
= +
Kết hợp với điều kiện bài ra ta thu được hệ:
+ = +
= +
+ =
+ + =
có nghiệm.
Copyright: Tài liệu đại học ©