BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SAU ĐẠI HỌC
——————– * ———————
Nguyễn Trọng Đức
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ y = f(x) TRONG TOÁN 12
TIỂU LUẬN
CẦN THƠ - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SAU ĐẠI HỌC
Nguyễn Trọng Đức
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ y=f(x) TRONG TOÁN 12
TIỂU LUẬN
Ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN
Mã ngành: 60 14 01 11
Người hướng dẫn: GVC. TS. NGUYỄN VĂN QUANG
Cần Thơ - 2013
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân, được xuất phát từ
yêu cầu trong công việc để hình thành hướng nghiên cứu. Các bài toán được trình bày
trong tiểu luận này là quá trình tham khảo tài liệu của các tác giả cụ thể và quá trình
lao động của bản thân. Kết quả cuối cùng ở mỗi bài toán là trung thực.
Cần Thơ, ngày 29 tháng 12 năm 2013
Học viên
Nguyễn Trọng Đức
LỜI CẢM ƠN

2.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Một số các dạng bài tập nằm ở mức độ nâng cao vừa sức cho HS về
chủ đề tìm GTLN - GTNN của hàm số 17
3.1 Ví dụ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Ví dụ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3
3.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.5 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.6 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.7 Một số bài tập về nhà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4
NHỮNG TỪ VIẾT TẮT
GTLN: Giá trị lớn nhất
GTNN: Giá trị nhỏ nhất
HS: học sinh
5
LỜI MỞ ĐẦU
0.1 Lý do chọn đề tài
Theo thang Bloom Sáng tạo là cấp độ tư duy cao nhất trong 6 cấp độ gồm nhớ, hiểu,
áp dụng, phân tích, đánh giá, sáng tạo. Rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học
sinh là một nhiệm vụ quan trọng của nhà trường phổ thông, đặc biệt trong dạy học

0.5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là quá trình dạy học tìm GTLN, GTNN của hàm số trong chương
trình Toán 12;
Phạm vi nghiên cứu là các bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số;
0.6 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận;
Phương pháp nghiên cứu trường hợp;
Bố cục của tiểu luận bao gồm 3 chương.
• Chương 1 của tiểu luận trình bày tóm tắt các phương pháp tìm GTLN - GTNN
của hàm số trong chương trình Toán 12.
• Chương 2 của tiểu luận t ập trung trình bày các một số các bài to án tìm GTLN
- GTNN của hàm số gắn liền với các phương pháp nêu ra trong Chương 1;
• Chương 3 của tiểu luận trình bày thêm một số các phương pháp giải và các dạng
bài tập nằm ở mức độ nâng cao vừa sức cho HS về chủ đề GTLN - GTNN của
hàm số.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm tiểu
luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý
và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
Cần Thơ, ngày 29 tháng 12 năm 2013
Học viên
Nguyễn Trọng Đức
7
Chương 1
Các phương pháp tìm GTLN -
GTNN của hàm số trong chương
trình Toán 12
1.1 Tìm GTLN - GTNN bằng phương pháp khảo
sát trực tiếp
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
• Tìm miền xác định D của hàm số y = f(x);

1
), }
1.2 Tìm GTLN - GTNN của hàm số bằng phương
pháp gián tiếp
Ta thực hiện theo các bước sau:
• Biến đổi hàm số y = f(x) về dạng y = F (ϕ(x))
• Đặt t = ϕ(x) ta có: Điều kiện của ẩn t là D
t
và y = F (t);
• Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = F (t) trên D
t
8
1.3 Tìm GTLN - GTNN của h àm số bằng phương
pháp miền giá trị
Ta thực hiện các bước như sau:
• Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và y là tham số;
• Tìm điều kiện của y để y = f(x) có nghiệm;
• Kết luận min y và max y
Trên đây là những phương pháp cơ bản để giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của
hàm số y = f (x). Trong chương sau, chúng tôi đề cập đến những bài tập gắn liền với
các phương pháp nhưng không quá khó đối với HS. Thêm vào đó chúng tôi khai thác
sâu phương pháp thứ hai, vì dạng bài tập liên quan đến phương pháp này rất phong
phú và đa dạng. Trong quá trình chúng tôi trình bày tiểu luận đôi chổ có đề cập đến
những bài tập mang hướng thi đại học, vì mục đích cuối cùng vẫn là tạo tư thế chuẩn
bị cho các em tiếp cận những bài tập hay và có phần thú vị này.
9
Chương 2
Một số các bài toán tìm GTLN -
GTNN của hàm số
2.1 Ví dụ 1

+
3
x
trên đoạn [1; 3]
2.1.1
Nhìn sơ qua chúng ta thấy đây là dạng bài tập thuộc phương pháp 1. Cách giải ta đã
giới thiệu ở trên, việc còn lại ta cứ theo các bước mà làm. Ví dụ này vừa sức với học
sinh trung bình, khá, các em có thể làm được một cách dễ dàng. Bây giờ ta tiến hành
giải. Đối với câu 1, sau khi đạo hàm ta có: f
′
(x) =
9
2
x−2; cho f
′
(x) = 0 ⇔ x =
4
9
(loại)
Lập bảng biến thiên:
x
f
′
(x)
f(x)
4
9
1
2
+∞

′
(x) = 0 ⇔ x =
1
16
(nhận).
Ta xét bảng biến thiên sau:
x
f
′
(x)
f(x)
0
1
16
1
4
−
0
+
1212
191
16
191
16
25
2
25
2
Vậy min
x∈

12;
25
2

=
25
2
là GTLN của hàm số.
2.1.3
Chúng ta tiếp tục bài tập 3. Ta có f
′
(x) = −3x
2
− 3x + 6.
Cho hàm số f
′
(x) = 0 ⇔ x = 1(n) hoặ c x = −2(n). Với f (−2) = −7 và f(2) = 1.
Xét bảng biến thiên sau:
x
f
′
(x)
f(x)
+∞
−2
1 2
+∞
0
+
0

3
− 3
x
2
; cho f
′
(x) = 0 ⇔ 2x
3
−3 = 0 ⇔ x =
3

3
2
(n)
Mặt khác ta có: f(1) = 4 và f(3) = 10. Xét bảng biến thiên:
x
f
′
(x)
f(x)
1
3

3
2
3
−
0
+
44

nhiều hơn. Trong các bài tập tìm GTLN, GTNN thì dạng bài tập có chứa trị tuyệt đối
có phần làm học sinh hơi khó xử, đơn cử như bài tập 1 của mục ví dụ 2. Hoặc như các
bài tập có chứa căn, đòi hỏi các em phải biết tính đạo hàm của hàm số dạng y =
√
x
với x ≥ 0 hay như hàm số y =
√
u trong đó u = u(x). Hay như dạng hàm số y = lnx
với x > 0 hoặc dạng hàm số y = ln(u) với u = u(x), đều là dạng khó đạo hàm đối với
HS, nhưng các em hoàn toàn có thể tính đạo hàm được để tìm GTLN, GTNN bằng
cách chú ý những gì đã học trên lớp. Vậy chúng ta hãy xét ba ví dụ điển hình dưới
đây.
2.2 Ví dụ 2
Cho các hàm số y = f(x), hãy:
1. Tìm GTLN của hàm số y = |x
3
+ 3x
2
− 72x + 90| trên đoạn [−5; 5]
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
x + 1
√
x
2
+ 1
trên đoạn [−1; 2]
3. Tìm GTLN của hàm số y =
lnx
2
x

−1 + 3
√
3

= 164 − 144
√
3
Do đó:
max
x∈[−5;5]
g(x) = max

g(−5); g(−1 + 3
√
3); g(5)

= g(5) = 400
Ta có x ∈ [−5; 5] ⇒ g(x) ∈

164 −144
√
3; 400

⇒ |g(x)| ∈ [0; 40 0]
Vậy
max
x∈[−5;5]
f(x) = max
x∈[−5;5]
|g(x)| = 400

√
2
3
√
5
3
√
5
Vậy max
x∈[−1;2]
y = y(1) =
√
2 là GTLN của hàm số.
Và min
x∈[−1;2]
y = min {y(−1); y(2)} = min

0;
3
√
5

= 0 là GTNN của hàm số.
2.2.3
Làm tương tự đối với bài tập 3. Đạo hàm hàm số, ta được:
y
′
=
2.lnx.
1

+
+
0
−
0
+
0
−
00
4
e
2
4
e
2
9
e
3
9
e
3
Nhận xét thấy rằng max
x∈[1;e
3
]
y = y

e
2


x
2
+ 2x + 10
∀x ∈ R
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
2 sin x + cos x + 1
sin x − 2 cos x + 3
∀x ∈ R
3. Tìm GTLN của hàm số y =

12x (x −a)
x
2
+ 36

3
4
Dạng bài tập này ta dùng phương pháp miền giá trị của hàm số.
2.3.1
Trong câu 1 gọi y
0
là một giá trị tùy ý của hàm số, thì phương trình sau (của x)
y
0
=
2x
2
+ 7x + 23
x
2

5
2
Tóm lại (2) có nghiệm ⇔
3
2
≤ y
0
≤
5
2
.
Vì y
0
là giá trị tùy ý của f (x) cho nên min
x∈R
f(x) =
3
2
và max
x∈R
f(x) =
5
2
2.3.2
Điều kiện để phương trình α sin x + β cos x = γ có nghiệm khi và chỉ khi α
2
+ β
2
≥ γ
2

)
2
≥ (3y
0
− 1)
2
⇔ 2y
2
0
− 3y
0
− 2 ≤ 0 ⇔ −
1
2
≤ y
0
≤ 2 (3)
Từ (3) suy ra min
x∈R
f(x) = −
1
2
và max
x∈R
f(x) = 2
2.3.3
Xét câu 3, hàm số xác định khi và chỉ khi x (x −a) ≥ 0
Ta xét hàm số g(x) =
12x (x −a)
x

36
a
(a = 0) suy ra phương trình (1) có nghiệm.
Suy ra phương trình ban đầu có nghiệm.
15
• g
0
= 12: (2) có nghiệm khi và chỉ khi: ∆ ≥ 0
⇔ g
2
0
− 12g
0
− a
2
≤ 0 ⇔ 6 −
√
a
2
+ 36 ≤ g
0
≤ 6 +
√
a
2
+ 36
Vì g(x) ≥ 0 cho nên 0 ≤ g
0
≤ 6 +
√

nhiều dạng bài tập. Bây giờ chúng ta đi tìm hiểu những ví dụ cụ thể thú vị sau.
3.1 Ví dụ 1.
Cho các biểu thức y = f(x), hãy:
1. Tìm GTLN, GTNN của A = 3
2x
+ 3
y
với x ≥ 0; y ≥ 0 và x + y = 1
2. Tìm GTLN, GTNN của B = 2

x
3
+ y
3

− 3xy với x, y ∈ R thõa điều kiện
x
2
+ y
2
= 2
3. Tìm GTLN, GTNN của C =

4x
2
+ 3y

4y
2
+ 3x

1−x
= 3
2x
+
3
3
x
x ∈ [0; 1]
Ta đặt t = 3
x
, khi đó t ∈ [1; 3]
17
Lúc này hàm số A viết lại sẽ là A = f (t) = t
2
+
3
t
∀t ∈ [1; 3]
Đây là ví dụ 1, câu 4 chúng ta đã làm trong chương 2. Việc giải nữa chúng ta không
tiến hành ở đây, ta sẽ sử dụng lại kết quả.
Vậy max A = max
t∈[1;3]
f(t) = max
t∈[1;3]
{f(1); f (3 ) } = max {4; 10} = 10 ⇔ t = 3 ⇔

x = 1
y = 0
Và min A = min
t∈[1;3]

2
y = 1 −log
3
3

3
2
Cách khác. Đặt





x =
1
2
+ t
y =
1
2
− t
(t ∈

−
1
2
;
1
2


t
Cho f
′
(t) = 0 ⇔ 6.3
3t
−
√
3 = 0 ⇔ t =
1
3
log
3

√
3
6

(n)
Mà:
f

−
1
2

= 4; f

1
2


−
1
2
;
1
2
]

f(−
1
2
); f(
1
2
)

= max {4; 10} = 10
⇔ t =
1
2
⇔

x = 1
y = 0
Và
min A = min
t∈
[
−
1


⇔











x =
1
2
+
1
3
log
3

√
3
6

y =
1
2
−


− 3xy = 2 (x + y ) (2 − xy) − 3xy (1)
Vì thế sau khi thay xy vào (1), đồng thời đặt t = x + y ta được:
B = 2t

2 −
t
2
− 2
2

− 3
t
2
− 2
2
= −t
3
−
3
2
t
2
+ 6t + 3 (2)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số sau (1; 1) và (x; y) được:
(1 + 1)

x
2
+ y

2
= 2
x + y = 1
⇔





x =
1 +
√
3
2
y =
1 −
√
3
2
∨





x =
1 −
√
3
2

2
+ 3y

4y
2
+ 3x

+ 25xy
= 16x
2
y
2
+ 12

x
3
+ y
3

+ 34xy
= 16

x
2
+ y
2

+ 12 (x + y)

x

(x + y)
2
4
=
1
4
Suy ra 0 ≤ t ≤
1
4
Lúc này hàm số viết lại sẽ là C = f(t) = 16t
2
− 2t + 12
Bài tập này ta đã làm trong ví dụ 1, câu 2 của chương 2. Chúng ta sử dụng lại kết quả
đấy.
Ta có min
t∈
[
0;
1
4
]
f(t) = f

1
16

=
191
16
Và max

1
16
⇔



x =
2 +
√
3
4
; y =
2 −
√
3
4
x =
2 −
√
3
4
; y =
2 +
√
3
4
Và giá trị lớn nhất của C đạt được khi
t =
1
4

4
≥
(x
2
+ y
2
)
4
2
(3)
Áp dụng (1) vào (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2 ta được:
(x + y)
3
+ 4xy ≥ 2
⇒ (x + y)
3
+ (x + y)
2
≥ (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2
⇒ (x + y)
3
+ (x + y)
2
− 2 ≥ 0
⇒ [(x + y) − 1]


x
4
+ y
4
+ x
2
y
2

− 2

x
2
+ y
2

+ 1
=
3
2

x
2
+ y
2

2
+
3
2


+ 1 (do (3))
Đặt f (t) =
9
4
t
2
− 2t + 1 với điều kiện t = x
2
+ y
2
≥
1
2
Nhận thấy D ≥
9
4
t
2
−2t + 1, bài toán đưa đến yêu cầu ta tìm GTNN. Trường hợp này
ta đã làm trong câu 1, ví dụ 1, chương 2. Vậy:
min
t≥
1
2
f(t) = f

1
2


dễ hiểu và dễ làm theo. Tuy các bài tập này có những phần thêm bên ngoài chương
trình Toán 12 nhưng về cốt lõi, tất cả các ví dụ đều được chúng tôi sàng lọc để làm
sao vẫn gắn chặt với chương trình và khả năng tiếp thu của HS lớp 12.
3.2.1 Ví dụ
Ví dụ đầu tiên mà chúng tôi đưa đến có nội dung như sau:
Cho x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R. Hãy tìm giá trị lớn n hất của biểu thức:
P = 3

1
4
x
+
1
9
y−1
+
1
16
z−2

− 2

1
8
x
+
1
27
y−1
+

27
y−1

+

3
16
z−2
−
2
64
z−2

Xét hàm số f(t) = 3t
2
− 2t
3
(t > 0)
Ta có f
′
(t) = 6t ( 1 − t) ; f
′
(t) = 0 ⇔ t = 0(l) ∨t = 1(n)
Xét bảng biến thiên sau:
t
f
′
(t)
f(t)
−∞

3
16
z−2
−
2
64
z−2
≤ 1, ∀z ∈ R
Cộng theo vế ta có P ≤ 3 ∀x, y, z ∈ R. Vậy max P = 3 ⇔



x = 0
y = 1
z = 2
Rèn luyện cho HS quan sát bài toán để làm đúng yêu cầu không quá khó. Quan sát để
phân tích bài toán, để có thể biến đổi để bài toán gọn hơn như ta mong muốn. Ở đây
HS cần tìm mối liên hệ giữa các hàm mũ với nhau, ví dụ như
1
4
x
,
1
8
x
, nếu ta biết biến
đổi
1
8
x

lg
2
x + 2
Điều kiện của bài toán x > 0. Sau đó ta đặt ẩn t = lgx, ∀t ∈ R ta có hàm số theo
ẩn t là:
f(t) = t
2
+
1
t
2
+ 2
⇒ f
′
(t) = 2t −
2t
(t
2
+ 2)
2
= 2t

(t
2
+ 2)
2
− 1
(t
2
+ 2)

Đặt ẩn t = lgx, bài toán có vẻ đơn giản, nhưng nếu có thể đặt t = lg
2
x ≥ 0, liệu bài
toán có dễ hơn không? Chúng ta cùng giải trường hợp này xem sao.
Ta có: y = lg
2
x +
1
lg
2
x + 2
(∗) với điều kiện x > 0.
Đặt t = lg
2
x ≥ 0 thì (∗) ⇔ f(t) = t +
1
t+2
Suy ra: f
′
(t) = 1 −
1
(t + 2)
2
=
(t + 3) (t + 1)
(t + 2)
2
Cho f
′
(t) = 0 ⇔ t = −3(l) ∨ t = −1(l) , f(x) không xác định tại t = −2.