ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀM VĂN MẠNH
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP
NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP
NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành : PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
Mã số : 60 46 46
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS ĐẶNG THỊ OANH
THÁI NGUN - 2013
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Mục lục
Bảng ký hiệu 5
Danh mục bảng và hình vẽ 6
1 Kiến thức cơ sở 9
1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 10
1.2.1 Chuẩn của ma trận, chuẩn của vectơ . . . . . . . . 10
1.2.2 Phương pháp Gauss (Phương pháp khử) . . . . . . . 11
1.2.3 Phương pháp lặp đơn (phương pháp lặp Jacobi) . . . 14

cơ sở bán kinh (RBF) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.3 Nội suy với độ chính xác đa thức . . . . . . . . . . . 36
2.5.4 Sai số, ổn định và hội tụ của hàm nội suy theo bán
kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Ứng dụng của phương pháp nội suy 40
3.1 Tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Tính tích phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Cơng thức hình chữ nhật trung tâm . . . . . . . . . 42
3.2.2 Cơng thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Cơng thức Simson (cơng thức Parabol) . . . . . . . 46
3.2.4 Cơng thức cầu phương Gauss . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.5 Cơng thức Newton - Cotet . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Bài tốn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Phương pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.3 Phương pháp Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.4 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.5 Vấn đề xác định nghiệm gần đúng với sai số cho trước 57
3.4 Ứng dụng nội suy RBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 Bài tốn Dirichlet với phương trình Poisson trong
miền giới nội Ω ⊂ R
d
và vectơ trọng số . . . . . . . 58
3.4.2 Vectơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính . . . . 59
3.4.3 Lược đồ RBF – FD giải phương trình poisson . . . . 61
Kết luận 62
Tài liệu tham khảo 63
3
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Giá trị lớn nhất của đạo hàm cấp k
E Sai số tích phân
||A|| Chuẩn của A
∀x Với mọi x
∃x Tồn tại x
∈ thuộc
∆ Sai phân tiến
∇ Sai phân lùi
L
n
(x) Đa thức nội suy bậc khơng q n
f(x
i
, x
i+1
, , x
i+n
) Tỉ sai phân cấp n của hàm f(x) tại các
điểm x
i
, x
i+1
, , x
i+n
P f Hàm xấp xỉ hàm f
R
d
Khơng gian thực d chiều
R
n

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Danh mục bảng và hình vẽ
Bảng 1.1 Bảng tỉ sai phân
Bảng 1.2 Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng
ε > 0
Hình 2.1 Hình biểu diễn các điểm M(t
i
, log k) trong hệ trục Oxy
Hình 2.2 Đồ thị hàm cơ sở bán kính Gauss
Hình 2.3 Đồ thị hàm cơ sở bán kính MQ
Hình 2.4 Đồ thị hàm cơ sở bán kính IMQ
Hình 2.5 Đồ thị hàm cơ sở bán kính Cơsi (CauChy)
Hình 3.1 Hình biểu diễn xấp xỉ hình thang cong bởi các hình chữ
nhật trung tâm trên mỗi đoạn chia
Hình 3.2 Biểu diễn xấp xỉ hình thang cong bởi hình thang trên
mỗi đoạn chia
6
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Mở đầu
Bài tốn nội suy và xấp xỉ hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng trong
tốn học khơng chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng
vai trò như là một cơng cụ đắc lực của các mơ hình liên tục cũng như các
mơ hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp
xỉ, lý thuyết biểu diễn nghiệm [5].
Bài tốn nội suy được mơ tả như sau [4]:
Cho D ⊂ R
n
, đối với hàm số f : D → R
m
đã xác định được một

x ∈ D khơng trùng với x
k
thì P f(x) ≈ f(x).
Từ lâu các nhà tốn học đã quan tâm đến việc xây dựng các phương
pháp, thuật tốn nội suy cũng như tìm kiếm các ứng dụng của nó trong
thực tiễn. Một số phương pháp nội suy đã tìm được nhiều ứng dụng phải
kể đến như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton,
phương pháp nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function – RBF),
phương pháp bình phương bé nhất.
Sử dụng hàm đa thức làm hàm nội suy cùng với thuật tốn đơn giản,
hai phương pháp nơi suy Lagrange và phương pháp Newton đã giải quyết
khá đầy đủ bài tốn nội suy hàm một biến. Đối với bài tốn nội suy hàm
nhiều biến cả hai phương pháp này đều cho thấy sự phức tạp trong thuật
tốn và kết quả khơng tốt.
Phương pháp nội suy RBF là một phương pháp nội suy dựa trên các
hàm cơ sở bán kính và được đề xuất bởi Powell vào năm 1987. Thuật tốn
được sử dụng trong phương pháp là phức tạp, khối lượng tính tốn lớn
nhưng kết quả thu được là tốt, đặc biệt trong các bài tốn nội suy hàn
nhiều biến. Việc giải quyết các u cầu của bài tốn trên hàm một biến
thường đơn giản hơn rất nhiều khi thực hiện trên hàm nhiều biến, vì thế
ưu thế lớn nhất của phương pháp là chuyển bài tốn hàm nhiều biến về
bài tốn của hàm một biến. Các bài tốn thực tiễn như: Bài tốn dự báo
7
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
thời tiết, trí tuệ nhân tạo, trắc địa, giải số phương trình vi phân, khơi phục
hình ảnh, mạng nơron nhân tạo, nhận dạng chữ viết tay, là những bài
tốn trong khơng gian nhiều chiều. Việc giải quyết những bài tốn này cần
đến những phương pháp nội suy hàm nhiều biến. Một số cơng trình nghiên
cứu của Đặng Thị Thu Hiền, Trần Đức Thụ, Lê Tiến Mười,. . . cho thấy:
Sử dụng nội suy bằng hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function-RBF)

lặp đơn. Các khái niệm nội suy như: bài tốn nội suy hàm số, sự tồn tại
duy nhất của đa thức nội suy hàm một biến, khái niệm nội suy với dữ liệu
phân tán, ma trận xác định dương, hàm xác định dương, hàm bán kính,
hàm cơ sở bán kính.
1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính
Hệ phương trình đại số tuyến tính n ẩn là hệ có dạng
Ax = b (1.1)
trong đó
A =



a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
n1
a
n2
a



Với a
ij
; b
i
(i = 1, n, j = 1, n) là những số thực đã biết, x
i
(i = 1, n) là ẩn
số phải tìm, A là ma trận hệ số.
Nếu ma trận A khơng suy biến nghĩa là detA = 0 thì hệ (1.1) có nghiệm
duy nhất x = A
−1
b.
9
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại
số tuyến tính
1.2.1 Chuẩn của ma trận, chuẩn của vectơ
a) Chuẩn của ma trận [1]
Cho ma trận A =



a
11
a
12
a
1n

i
|a
ij
| chuẩn cột. (1.2)
||A||
2
=



i,j
|a
ij
|
2


1
2
chuẩn Ơclit. (1.3)
||A||
∞
= Max
i

j
|a
ij
| chuẩn hàng. (1.4)
b) Chuẩn vectơ [1]

i=1
|x
i
| (1.5)
10
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
||x||
2
=

n

i=1
|x
i
|
2

1
2
(1.6)
||x||
∞
= max
i
|x
i
| (1.7)
1.2.2 Phương pháp Gauss (Phương pháp khử)
a) Nội dung phương pháp

1
+ a
22
(0)
x
2
+ + a
2n
(0)
x
n
= b
2
(0)

a
n1
(0)
x
1
+ a
n2
(0)
x
2
+ + a
nn
(0)
x
n

1
x
2
+ a
(2)
23
x
3
+ + a
(2)
2n
x
n
= b
(2)
2
x
n
= b
(n)
n
• Q trình khử các ẩn số (q trình thuận)
Khử x
1
: Giả sử a
(0)
11
= 0 (a
(0)
11

11
; j = 2, 3, , n.
Dùng phương trình (1.9) khử x
1
trong n −1 phương trình còn lại của (1.8)
ta được hệ phương trình



a
(1)
22
x
2
+ a
(1)
23
x
3
+ + a
2n
(1)
x
n
= b
2
(1)

a
(1)

(1)
i
= b
(0)
i
−b
(0)
1
a
(1)
1j
.
Khử x
2
: Giả sử a
(1)
22
= 0 (a
(1)
22
gọi là trụ đứng thứ hai).
Chia cả hai vế của phương thứ nhất của (1.10) cho a
(1)
12
ta được
x
2
+ a
(2)
23

a
(1)
22
với j = 2, 4, 5, , n.
Sử dụng (1.11) khử x
2
trong n − 2 phương trình còn lại của (1.10) q
trình tiến hành cho đến khi ta được một phương trình x
n
= b
(n)
n
với các
trụ a
(0)
11
; a
(1)
22
; a
(2)
33
; ; a
(n−1)
nn
khác khơng.
Thì hệ (1.8) tương đương với hệ phương trình "tam giác" sau




3
+ + a
(2)
2n
x
n
= b
(2)
2

x
n
= b
(n)
n
(1.12)
• Q trình tìm ẩn (q trình ngược)
Giải hệ (1.12) từ dưới lên trên ta tìm được







x
n
= b
(n)
n

n
Chú ý rằng điều kiện áp dụng phương pháp Gauss là các phần tử trụ là
khác khơng.
Phân tích q trình áp dụng phương pháp Gauss ta thấy để đưa hệ (1.1)
về hệ tam giác tương đương ta chỉ cần tính các hệ số a
(k)
ij
.
b) Khối lượng tính
Căn cứ vào những cơng thức tính của phương pháp Gauss ta đếm được
S
n
các phép tốn cộng, trừ, nhân, chia trong đó có
•
n(n −1)(2n + 5)
6
phép nhân.
•
n(n + 1)
2
phép chia.
•
n(n −1)(2n + 5)
6
phép cộng hoặc trừ.
Vậy S
n
=
4n
3

(0)
11
; a
(0)
21
; ; a
(0)
n1
làm trụ thứ nhất và hốn vị hàng chứa trụ lớn
nhất thứ nhất với hàng thứ nhất. Trụ thứ nhất là số lớn nhất trong
các hệ số của x
1
q trình khử x
1
tiến hành như phương pháp Gauss.
• Khử x
2
trong hệ phương trình n − 1 ẩn thu được sau khi khử x
1
, ta
tìm hệ số lớn nhất về trị tuyệt đối trong các số a
(1)
22
; a
(1)
32
; ; a
(1)
n2
làm

x
3
= b
(0)
1
a
(0)
21
x
1
+ a
(0)
22
x
2
+ a
(0)
23
x
3
= b
(0)
2
a
(0)
31
x
1
+ a
(0)

x
3
= b
(3)
3
(1.15)
Phương pháp đưa (1.14) về (1.15)
Bước 1: Khử x
1
ở phương trình thứ hai và thứ ba ở (1.14) ta được hệ sau.





x
1
+ a
(1)
12
x
2
+ a
(1)
13
x
3
= b
(1)
1

phương trình sau.





x
1
+ a
(2)
13
x
3
= b
(2)
1
x
2
+ a
(2)
23
x
3
= b
(2)
2
a
(2)
33
x

trong đó
α =



α
11
α
12
α
1n
α
21
α
22
α
2n

α
n1
α
n2
α
nn



14
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
β =

(0)
, x
(1)
, , x
(k)
, có giới hạn là
x
∗
= lim
k→+∞
x
(k)
thì giới hạn ấy là nghiệm đúng của hệ (1.18) và cũng là nghiệm đúng của
(1.1).
Thật vậy lim
k→+∞
x
(k+1)
= lim
k→+∞
(β + αx
(k)
) = β + α lim
k→+∞
x
(k)
hay x
∗
= β + αx
∗

||
p
≤
||α||
p
1 −||α||
p
||x
(k)
− x
(k−1)
||
p
(1.21)
và
||x
(k)
− x
∗
||
p
≤
(||α||
p
)
k
1 −||α||
p
||x
(1)

.
15
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
1.3 Bài tốn nội suy hàm số
Trong thực tế, ta thường gặp những hàm số y = f(x) mà khơng biết
biểu thức giải tích cụ thể của chúng. Thơng thường ta chỉ biết các giá
trị y
0
, y
1
, , y
n
của hàm số lần lượt tại các điểm khác nhau x
0
, x
1
, , x
n
của một đoạn [a; b], các giá trị này có thể nhận được trong q trình thí
nghiệm, đo đạc, Khi sử dụng hàm số trên nhiều khi ta cần biết giá trị
hàm số tại một số điểm x = x
i
(i = 0, n) trên đoạn [a; b]. Vấn đề đưa ta
đến bài tốn sau:
1.3.1 Bài tốn nội suy hàm số
Bài tốn 1.1 [5]
Trên [a; b] cho n giá trị khác nhau x
0
, x
1

(x) thỏa mãn điểu kiện của bài tốn (1.1) nếu
có thì duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử từ những điều kiện (1.23) ta xây dựng được hai đa thức nội suy
L
n
(x) và P
n
(x) với P
n
(x
i
) = L
n
(x
i
) = y
i
, (i = 0, n).
Khi đó Q(x) = L
n
(x) −P
n
(x) là một đa thức có bậc khơng q n.
Vì Q(x
i
) = L
n
(x
i

y
1
y
2
y
i
y
i+1

16
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
trong đó y
i
= f(x
i
), (i = 0, 1, 2, )
Và các nút x
i
cách đều nhau 1 khoảng bằng h > 0 tức là x
i
= x
0
+ ih
với i = 0, 1, 2,
∆y
i
= y
i+1
−y
i

.
Ta định nghĩa sai phân lùi
∇y
i
= y
i
− y
i−1
gọi là sai phân lùi cấp một của hàm f(x) tại điểm x
i
.
∇
2
y
i
= ∇(∇y
i
) = ∇y
i+1
− ∇y
i
gọi là sai phân lùi cấp hai của hàm số
f(x) tại điểm x
i
.
Tổng qt, ta có sai phân lùi cấp n của hàm số y = f(x) tại điểm x
i
là
∇
n

Tính chất 3: Sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:
i) Nếu m = n thì sai phân cấp m là hằng số.
ii) Nếu m > n thì sai phân cấp m bằng 0.
Tính chất 4: Giả sử f ∈ C
n
[a;b]
và (x
i
; x
i
+ nh) ⊂ [a; b]. Khi đó
∆
n
y
i
h
n
= f
(n)
(x
i
+ εnh) với ε ∈ (0; 1).
Tính chất 5: Nếu f ∈ C
n
[a;b]
và khi h đủ nhỏ thì f
(n)
(x
i
) ≈

y
i+1

trong đó y
i
= f(x
i
), (i = 0, 1, 2, ) và ∆x
i
= x
i+1
− x
i
= 0, i = 0, 1, 2,
Ta gọi f(x
i
, x
i+1
) =
f(x
i+1
) −f(x
i
)
x
i+1
− x
i
=
y

i+2
− x
i
; (i = 1, 2, )
17
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
là tỉ sai phân cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x
i
, x
i+1
, x
i+2
Tổng qt ta có tỉ sai phân cấp n của hàm số y = f(x) tại điểm x
i
, x
i+1
, ,
x
i+n
được tính thơng qua tỉ sai phân cấp n − 1 bằng cơng thức truy hồi
sau
f(x
i
, x
i+1
, , x
i+n
) =
f(x
i+1

y
1
f(x
1
, x
2
) f(x
0
, x
1
, x
2
)
x
2
y
2
f(x
2
, x
3
) f(x
1
, x
2
, x
3
) f(x
0
, x

, x
1
, x
2
, x
3
, x
4
)
x
4
y
4
f(x
3
, x
4
)
Bảng 1.1: Bảng tỉ sai phân
b) Tính chất
Tính chất 1:
Tỉ sai phân cấp k của tổng hai hàm số bằng tổng hai tỉ sai phân cùng cấp
của hai hàm số đó.
(f + g)(x
i
, x
i+1
, , x
i+k
) = f(x

, x
i−1
, x
i−2
).
iii)f(x
0
, x
1
, , x
n
) = f(x
n
, x
n−1
, , x
0
).
Tính chất 3:
i) Tỉ sai phân của hằng số bằng 0.
ii) Tỉ sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất
Nếu m = n thì tỉ sai phân cấp m là hằng số
Nếu m > n thì tỉ sai phân cấp m bằng khơng.
c) Quan hệ giữa sai phân và tỉ sai phân
Giả sử x
1
, x
2
, , x
i

, x
2
) =
∆
2
y
0
2!h
2
=
∇
2
y
2
2!h
2
.
iii) f(x
0
, x
1
, , x
n
) =
∆
n
y
0
n!h
n

, B
2
, , B
n
là các hàm cơ
sở của khơng gian tuyến tính của các hàm liên tục d biến. Ký hiệu là:
F = span{B
1
, B
2
, , B
n
} =

n

k=1
c
k
B
k
; c
k
∈ R

(1.24)
Tìm hàm P
f
∈ F sao cho
P

1
(x
1
) B
2
(x
1
) B
n
(x
1
)
B
2
(x
1
) B
2
(x
2
) B
n
(x
2
)

B
n
(x
1

Bài tốn 1.2 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ma trận A khơng suy biến,
tức là detA = 0.
Trường hợp d = 1 (trong khơng gian một chiều) ta có thể chọn cơ sở như
19
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
sau:
{B
1
, B
2
, , B
n
} = {1, x, x
2
, , x
n−1
}
Tuy nhiên khi d ≥ 2 ta có kết quả sau:
Định lý 1.5.1. [3](Mairhuber - Curtis) Nếu Ω ⊂ R
d
, d ≥ 2 và chứa
một điểm trong thì khơng tồn tại khơng gian Haar các hàm liên tục trên
Ω.
Khơng gian Haar được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.5.2. Cho Ω ⊂ R
d
, và F ⊂ C(Ω) là khơng gian tuyến tính
hữu hạn chiều có cơ sở là {B
1
, B

n

j=1
n

k=1
c
j
c
k
A
jk
≥ 0 với c = (c
1
, c
2
, , c
n
)
T
∈ R
n
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, , 0)
T
.
Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các
giá trị riêng đều dương và khơng suy biến.
Nếu hệ cơ sở {B
k
}

n

j=1
n

k=1
c
j
c
k
Φ(x
j
− x
k
) ≥ 0 (1.29)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, , 0).
Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy
có thể sử dụng các hàm xác định dương B
n
= Φ(x − x
k
) là hệ hàm cơ sở
và khi đó ta có
P
f
(x) =
n

k=1
c

dùng chuẩn Euclidean).
φ được gọi là hàm cơ sở bán kính.
1.5.5 Hàm bán kính xác định dương
Cho hàm Φ : R
d
→ R với hàm cơ sở tương ứng là φ.
Ta nói φ xác định dương trên R
d
khi và chỉ khi Φ xác định dương trên R
d
.
21
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Chương 2
Một số phương pháp nội suy và xấp
xỉ hàm số
Trong chương này chúng tơi trình bày một số phương pháp nội suy và
xấp xỉ hàm số cụ thể như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp
nội suy Newton, phương pháp bình phương bé nhất và phương pháp nội
suy hàm cơ sở bán kính RBF.
2.1 Phương pháp nội suy Lagrange
2.1.1 Thiết lập đa thức nội suy Lagrange
Giả sử trên [a; b], cho n+1 giá trị khác nhau của đối số x
0
, x
1
, , x
n
và
đối với hàm số y = f(x) biết những giá trị tương ứng y

) triệt tiêu tại n điểm x
0
, x
1
, , x
i−1
, x
i+1
, , x
n
nên L
i
(x)
có thể viết dưới dạng
L
i
(x) = C
i
(x −x
0
)(x −x
1
) (x −x
i−1
)(x −x
i+1
) (x −x
n
) (2.2)
trong đó C

i
− x
n
)
Thay vào (2.2) ta được
L
i
(x) =
(x −x
0
)(x −x
1
) (x −x
i−1
)(x −x
i+1
) (x −x
n
)
(x
i
− x
0
)(x
i
− x
1
) (x
i
− x

n
(x) khơng q n.
ii) L
n
(x
j
) =
n

i=0
L
i
(x
j
)y
i
= L
j
(x
j
)y
j
= y
j
; j = 0, n.
Vậy L
n
(x) xác định bởi (2.3) là đa thức nội suy phải tìm.
Thay biểu thức L
i

)(x
i
− x
i+1
) (x
i
− x
n
)
.y
i
(2.5)
là đa thức nội suy Lagrange.
Ta xét hai trường hợp đặc biệt của đa thức nội suy Lagrange.
a) Nội suy bậc nhất hay nội suy tuyến tính
Khi n=1 ta có hai nút nội suy x
0
và x
1
với giá trị hàm số tương ứng là y
0
và y
1
. Khi đó
L
1
(x) =
x −x
1
x

b) Nội suy bậc hai
Khi n = 2 ta có ba nút nội suy x
0
, x
1
, x
2
và
L
2
(x) =
(x −x
1
)(x −x
2
)
(x
0
− x
1
)(x
0
− x
2
)
y
0
+
(x −x
0

2
(2.7)
phương trình y = L
2
(x) là phương trình Parabol đi qua ba điểm M
0
(x
0
; y
0
);
M
1
(x
1
; y
1
); M
2
(x
2
; y
2
).
2.1.2 Đánh giá sai số đa thức nội suy Lagrange
Định lý 2.1.1. [7] Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n+1
trên [a; b] chứa tất cả các nút nội suy x
0
, x
1

Chứng minh. Xét hàm số phụ sau:
U(x) = f(x) − L
n
(x) −kπ
n+1
(x) (2.9)
trong đó k là hằng số nào đó.
Dễ thấy U(x
i
) = 0, i = 0, n, ta chọn k sao cho U(x) triệt tiêu tại điểm
thứ n + 2 bất kỳ nhưng cố định x của [a; b] và khơng trùng với các nút nội
suy. Muốn vậy ta chỉ cần cho f(x) −L
n
(x) −kπ
n+1
(x) = 0 vì π
n+1
(x) = 0
nên:
k =
f(
x) −L
n
(x)
π
n+1
(x)
(2.10)
Với giá trị k xác định bởi (2.10) thì U(x) bằng 0 tại n+2 điểm x
0

f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
(2.11)
Từ (2.10) và (2.11) ta suy ra
f(x) − L
n
(x)
π
n+1
(x) =
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
và
f(x) − L
n
(x) =
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
π
n+1
(x). (2.12)
Vì x là một điểm bất kỳ của [a; b] khơng trùng với các nút nội suy nên có
thể viết (2.12) dưới dạng
R

|R
n
(x)| = |f(x) −L
n
(x)| ≤
M
n+1
(n + 1)!
|π
n+1
(x)| (2.14)
24
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Trích đoạn Bài tốn Dirichlet với phương trình Poisson trong Lược đồ RBF – FD giải phương trình poisson

---