ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
VŨ SỸ MINH

LÝ THUYẾT NEVANLINNA
ĐỐI VỚI TỐN TỬ SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

THÁI NGUN – NĂM 2013 THÁI NGUN – NĂM 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
1
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1. Mục đích và lý do chọn luận văn . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2. Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Lý thuyết Nevanlinna cổ điển 4
1.1. Cơng thức Poisson -Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Các hàm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Quan hệ số khuyết và định lý Picard . . . . . . . . . . . 10
1.5. Định lý 5 điểm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân 18
2.1. Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Định lý cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Quan hệ số khuyết và định lý Picard . . . . . . . . . . . 27
2.4. Các hàm chung các giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5. Áp dụng cho các phương trình sai phân . . . . . . . . . . 31
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo 36
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
2
Mở đầu
0.1. Mục đích và lý do chọn luận văn

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
3
linna, các định lý cơ bản, Quan hệ số khuyết, định lý Picard và định lý
5 điểm Nevanlinna.
Chương 2. Lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kết quả mở rộng Lý
thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna cho tốn tử sai
phân. Một trong những kết quả chính là mơ hình hóa định lý cơ bản
thứ hai của lý thuyết Nevanlinna. Hệ quả của định lý bao gồm các
mơ hình hóa của quan hệ số khuyết, định lý Picard, định lý năm điểm
Nevanlinna. Nghiên cứu ứng dụng cho phương trình sai phân và đưa ra
một số ví dụ minh họa cho kết quả đã trình bày.
Trong q trình học tập và thực hiện luận văn, tơi đã nhận được sự
dạy bảo tận tình của các thầy cơ giáo ở trường Đại Học Sư Phạm - Đại
Học Thái Ngun, Đại Học Sư Phạm Hà Nội, Viện Tốn Học. Đặc biệt
là sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS. TSKH. Trần Văn Tấn.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, cơ giáo đã giúp đỡ tơi trong
suốt thời gian qua. Xin cảm ơn gia đình và các bạn bè đồng nghiệp đã
giúp đỡ và động viên tơi hồn thành bản luận văn này.
Thái Ngun, ngày 07 tháng 7 năm 2013
Tác giả
Vũ Sỹ Minh
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
4
Chương 1
Lý thuyết Nevanlinna cổ điển
Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ sở của Lý
thuyết Nevanlinna cổ điển.
1.1. Cơng thức Poisson -Jensen
Điểm z = a được gọi là điểm bất thường cơ lập của hàm f (z) nếu

2π

0
log


f

Re
iθ



R
2
− r
2
R
2
− 2Rrcos (φ − θ) + r
2
dθ
+
M

µ=1
log








, (1.1)
Cơng thức (1.1) chỉ ra rằng nếu biết giá trị của mơđun f(z) trên
biên, các cực điểm và khơng điểm của f(z) trong |z| < R thì ta có thể
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
5
tìm được giá trị của mơđun f(z) bên trong đĩa |z| < R.
Trường hợp đặc biệt tại z = 0 cơng thức (1.1) có dạng:
log |f (0)| =
1
2π
2π

0
log


f

Re
iθ



dθ +
M


n (t, f) − n (0, f)
t
dt + n (0, f) log r,
trong đó n (0, f) = lim
t→0
inf n (t, f).
Hàm xấp xỉ của hàm f được kí hiệu m(r, f) và được xác định bởi:
m (r, f ) =
1
2π
2π

0
log
+


f

re
iθ



dθ.
Hàm đặc trưng Nevanlinna của f, ký hiệu là T (r, f ) và được xác định
bởi
T (r, f) = m (r, f ) + N (r, f ) .
Với mỗi a ∈ C, ký hiệu n(r;
1


log r.
Hàm xấp xỉ tại các a− điểm của hàm f, được ký hiệu m(r,
1
f − a
),
được xác định bởi
m(r,
1
f − a
) =
1
2π
2π

0
log
+
1
|f (re
iθ
) − a|
dθ.
Hàm đặc trưng Nevanlinna tại các a− điểm của hàm f, được ký hiệu
T (r,
1
f − a
), được xác định bởi:
T (r,
1



dθ =
1
2π
2π

0
log
+


f

re
iθ



dθ−
1
2π
2π

0
log
+

1
|f (re

|
−


1
2π
2π

0
log
+
1
|f (re
iθ
)|
dθ +
M

µ=1
log
r
|a
µ
|


Suy ra
log |f (0)| = m (r, f) + N (r, f) −

m

Một số tính chất của các hàm Nevanlinna
1. m(r,
n

k=1
f
k
) ≤
n

k=1
m(r, f
k
) + log n;
2. m(r,
n

k=1
f
k
) ≤
n

k=1
m (r, f
k
);
3. N (r,
n


n

k=1
T (r, f
k
) + log n;
6. T (r,
n

k=1
f
k
) ≤
n

k=1
T (r, f
k
).
Trong trường hợp đặc biệt với n = 2, f
1
(z) = f(z), f
2
(z) = −a (a là
hằng số) ta có
T (r, f − a) ≤ T (r, f ) + T (r, a) + log 2,
suy ra
T (r, f − a) ≤ T (r, f ) + log
+
|a| + log 2.

khác hằng trên đĩa đóng D(r) = {z ∈ C : |z| ≤ r}. Khi đó ta có:
T (r,
1
f − a
) = T (r, f) − log |f (0) − a| + ε (r, a) , (1.7)
trong đó |ε (r, a)| ≤ log
+
|a| + log 2.
Hay
T

r,
1
f − a

= T (r, f ) + O (1) , (1.8)
trong đó O(1) là đại lượng bị chặn.
Chứng minh. Theo (1.3) ta có
T

r,
1
f − a

= T (r, f − a) − log |f (0) − a| .
Theo (1.6) ta có
T (r, f − a) = T (r, f) + ε (r, a) ,
trong đó |ε (r, a)| ≤ log
+
|a| + log 2. Do đó

q

j=1
m

r,
1
f − a
j

≤ 2T (r, f) − N
1
(r, f ) + S (r, f ) , (1.9)
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
9
trong đó
N
1
(r, f ) = N

r,
1
f


+ 2N (r, f) − N (r, f

) ,
S (r, f) = m


|f

(0)|
.
Định lý 1.3.3. (Định lý cơ bản thứ hai) Cho f là hàm phân hình
khác hằng trên C và a
1
, a
2
, , a
q
là các số phức phân biệt. Khi đó với
mọi ε > 0 ta có bất đẳng thức
(q − 1)T (r, f) ≤
q

j=1
N(r,
1
f − a
j
) + N(r, f ) − N
1
(r, f ) + S(r, f ) (1.10)
đúng với mọi r > 0 đủ lớn nằm ngồi một tập có độ đo Lebesgue hữu
hạn, trong đó
N
1
(r, f ) = N


1
f − a
j

ta có
m (r, f ) + N (r, f ) +
q

j=1

m

r,
1
f − a
j

+ N

r,
1
f − a
j

≤ 2T (r, f) + N (r, f) +
q

j=1
N



,
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
10
T

r,
1
f − a
j

= T (r, f − a
j
) + O (1) .
Do đó
(q + 1) T (r, f) + O (1) ≤ 2T (r, f) +
N

j=1
N

r,
1
f − a
j

+N (r, f ) − N
1
(r, f ) + S (r, f ) .
Vậy

q

j=1
N(r,
1
f − a
j
) + S(r, f ) (1.11)
1.4. Quan hệ số khuyết và định lý Picard
Cho a là hằng số. Ký hiệu: n(t, a) = n(t, a, f) là số nghiệm của phương
trình f(z) = a trong |z| < t, nghiệm bội được tính cả bội. n (t, a) là số
nghiệm phân biệt của phương trình f(z) = a trong |z| < t. Khi đó ta
định nghĩa
N (r, a, f) =
r

0
n (t, a) − n (0, a)
t
dt + n (0, a) log r,
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
11
N (r, a, f) =
r

0
n (t, a) − n (0, a)
t
dt + n (0, a) log r.
Nếu a = ∞. Khi đó ta ký hiệu N(r, f) thay cho N(r, a, f) và N(r, f)

N (r, a)
T (r, f)
.
Khi đó, với mỗi ε > 0, r đủ gần R
0
ta có

N (r, a) − N (r, a) > {θ (a) − ε} T (r, f)
N (r, a) < {1 − δ (a) + ε} T (r, f )
Suy ra
N (r, a) < {1 − δ (a) − θ (a) + 2ε} T (r, f)
Kéo theo
δ (a) + θ (a) ≤ Θ (a) .
Định lý 1.4.1. (Quan hệ số khuyết) Giả sử f(z) là hàm phân hình
khác hằng số trong |z| < r. Khi đó tồn tại khơng q đếm được giá trị
a ∈ C sao cho Θ(a) > 0. Đồng thời ta có

a∈C∪{∞}
{δ (a) + θ (a)} ≤

a
Θ (a) ≤ 2. (1.12)
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
12
Chứng minh. Giả sử q ≥ 2, a
1
, a
2
, . . . , a
q

q

j=1
N(r,
1
f − a
j
) − N(r,
1
f

)

+ {N (r, f

) − N (r, f )} + S(r, f ).
Xét hiệu
{N (r, f

) − N (r, f )}
Nếu b là một cực điểm của f bội k thì log
r
|b|
được tính k lần trong tổng
N(r, f ).
Do b là cực điểm bội (k + 1) của f

nên log
r
|b|

q

j=1
N(r,
1
f − a
j
) lấy theo cực điểm của hàm
1
f − a
j
, tức là lấy theo
các khơng điểm của hàm (f − a
j
), đồng nghĩa là nghiệm của phương
trình f − a
j
= 0.
Giả sử b là một nghiệm bội k của phương trình f −a
j
= 0. Khi đó log
r
|b|
được tính một lần trong tổng
q

j=1
N(r,
1
f − a

f − a
j
) − N(r,
1
f

)

.
Nên ta có

q

j=1
N(r,
1
f − a
j
) − N(r,
1
f

)

=
q

j=1
N(r,
1


j=1
N(r,
1
f − a
j
)
Do đó
(q − 1)T (r, f) ≤
q

j=1
N(r,
1
f − a
j
) + N(r, f ) + S(r, f ). (1.13)
Chọn dãy r
n
→ ∞ sao cho
S (r
n
, f)
T (r
n
, f)
→ 0. Suy ra
(q − 1) ≤
q



j=1
(1 − Θ (a
j
)) + (1 − Θ (∞))
Suy ra
q − 1 ≤ q + 1 −

Θ (∞) +
q

j=1
Θ (a
j
)

.
Vậy

Θ (∞) +
q

j=1
Θ (a
j
)

≥ 2.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
14

Định lý được chứng minh.
Định lý 1.4.2. (Định lí Picard) Mọi hàm phân hình khác hằng nhận
mọi giá trị trong C ∪ {∞}, trừ ra cùng lắm hai giá trị phân biệt.
Chứng minh. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng khơng nhận ba giá
trị phân biệt a
1
, a
2
, a
3
∈ C ∪ {∞}. Khi đó
N(r, a
1
) = N(r, a
2
) = N(r, a
3
) = 0.
Suy ra
Θ(a
1
) = Θ(a
2
) = Θ(a
3
) = 1.
Nên

a∈C∪{∞}
Θ (a) ≥ 3.

f − a
j
) = 0; j = 1, . . . , 4.
Vì f
−1
(a
j
) = g
−1
(a
j
) với j = 1 . . . , 4 nên
N(r,
1
g − a
j
) = 0; j = 1, . . . , 4.
tức là g(z) khơng nhận 4 giá trị phân biệt a
j
với j = 1, . . . , 4, theo định
lý Picard g(z) phải là hàm hằng.
Trường hợp 2: Giả sử f, g khác hàm hằng và f ≡ g. Khi đó áp dụng
định lý cơ bản thứ hai cho hàm f và năm giá trị a
j
với j = 1, . . . , 5 ta
có
4T (r, f ) ≤
4

j=1

j
) − N(r,
1
f

)

+ {N (r, f

) − N (r, f )} + S(r, f ).
Lập luận tương tự như chứng minh trong quan hệ số khuyết để suy ra
bất đẳng thức (1.13) ta có
4T (r, f ) ≤
5

j=1
N(r,
1
f − a
j
) + N(r, f ) + S(r, f ).
Vì S(r, f ) = o(T (r, f )) và N(r, f) ≤ N(r, f ) ≤ T (r, f ) nên
4T (r, f ) ≤
5

j=1
N(r,
1
f − a
j

j
) với j = 1, . . . , 5 nên
N(r,
1
f − a
j
) = N(r,
1
g − a
j
), ∀j = 1 . . . , 5.
Vì f ≡ g ⇒
1
f − g
là hàm phân hình. Theo định lý cơ bản thứ nhất ta
có
T (r,
1
f − g
) = T (r, f − g) + O(1)
≤ T (r, f ) + T(r, g) + O(1)
≤
2
3
5

j=1
N(r,
1
f − a

5

j=1
N(r,
1
f − a
j
) + S(r, f ).
Điều này vơ lý vì f khác hằng số và S(r, f ) là đại lượng vơ cùng nhỏ.
Như vậy f ≡ g. Định lý được chứng minh.
Ta thấy nghịch ảnh của 5 điểm đủ xác định một hàm phân hình. Số
5 là tốt nhất khơng thể thay thế bởi số nhỏ hơn.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
17
Ví dụ
Xét hai hàm f (z) = e
z
, g(z) = e
−z
tại các điểm a
1
= 0, a
2
= 1, a
3
= −1,
a
4
= ∞. Ta thấy f
−1

c
f = f (z + c) − f(z).
Trước khi đi vào chi tiết sự phân bố giá trị của sai phân chính xác,
đầu tiên chúng ta phải trả lời chính xác cho câu hỏi: Cái gì là mơ hình
sai phân của một điểm với bội số cao? Do hình thức rời rạc của đạo hàm
f

(z), chúng ta thu được
f(z + c) − f (z)
c
=:
∆
c
f
c
, (2.1)
trong đó c ∈ C
Các a-điểm của f trong đó đạo hàm triệt tiêu là các điểm đóng vai
trò đặc biệt trong lý thuyết Nevanlinna. Cơng thức (2.1) cho thấy rằng
các a-điểm xuất hiện theo từng cặp cách nhau một hằng số cố định c và
có vai trò quan trọng tương tự tốn tử ∆
c
.
2.1. Một số bổ đề
Theo kết quả của R. G. Halburd và R. J. Korhonen [4] đã khẳng định:
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
19
Bổ đề 2.1.1. Cho f là hàm phân hình khác hằng số, bậc hữu hạn, c ∈ C
và δ < 1. Khi đó
m

c
f := ∆
n−1
c
(∆
c
f)
với mọi n ∈ N, n ≥ 2.
Áp dụng Định lý 2.1.1 với hàm f(z) − a(z) chúng ta có
m

r,
∆
c
f
f − a

= m

r,
f(z + c) − a(z + c)
f(z) − a(z)

+ O(1) (2.3)
= o

T (r, f − a)
r
δ


t
= ∞ thì ta có
lim sup
r→∞
log T (r)
log r
= ∞.
Bổ đề 2.1.3. Cho c ∈ C, n ∈ N và f là hàm phân hình cấp hữu hạn.
Khi đó với mọi hàm tuần hồn nhỏ a ∈ S(f) ta có
m

r,
∆
n
c
f
f − a

= S(r, f ),
đúng với r đủ lớn nằm ngồi một tập có độ đo logarit hữu hạn.
Theo kết quả của Valiron và Mohon’ko [4] ta có
Bổ đề 2.1.4. Nếu R(z, f) là một hàm hữu tỷ với f và có các hệ số phân
hình nhỏ. Khi đó
T (r, R(z, f)) = deg
f
(R)T (r, f ) + S(r, f ). (2.7)
2.2. Định lý cơ bản thứ hai
Bổ đề về đạo hàm logarit là một trong những phần chính trong chứng
minh của Định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết Nevanlinna. Chúng ta
kết hợp các phương pháp trong chứng minh Định lý cơ bản thứ hai với

đúng với r đủ lớn nằm ngồi một tập có độ đo logarit hữu hạn, trong đó
N
pair
(r, f ) := 2N(r, f) − N(r, ∆
c
f) + N

r,
1
∆
c
f

.
Chứng minh. Chúng ta kí hiệu
P (f ) :=
q

k=1
(f − a
k
).
Ta có
1
P (f )
=
q

k=1
α

và do đó
m

r,
1
P (f )

= m

r,
∆
c
f
P (f )
.
1
∆
c
f

≤ m

r,
1
∆
c
f

+ S(r, f). (2.9)
Kết hợp Định lý cơ bản thứ nhất, cơng thức (2.9) và đồng nhất thức

f

+ O(1)
≥ m

r,
1
P (f )

+ N

r,
1
∆
c
f

+ S(r, f)
= qT (r, f) −
q

k=1
N

r,
1
f − a
k

+ N

f) = N(r, ∆
c
f) + m(r, ∆
c
f) nên ta suy ra
q

k=1
m

r,
1
f − a
k

≤ N(r, ∆
c
f) + m(r, ∆
c
f) − N

r,
1
∆
c
f

+ S(r, f).
Do đó cộng hai vế của bất đẳng thức trên với m(r, f) ta được
m(r, f ) +


r,
1
f − a
k

≤ T (r, f ) + N(r, ∆
c
f) + m(r, ∆
c
f)
− N

r,
1
∆
c
f

− N (r, f ) + S(r, f )
≤ T (r, f ) + N(r, ∆
c
f) + m(r, f ) − N

r,
1
∆
c
f



r,
1
∆
c
f

+S(r, f ).
Như vậy, Định lý 2.2.1 nói về sự phân bố giá trị của các hàm phân
hình cấp hữu hạn. Để giải thích ý nghĩa của các số hạng N
pair
(r, f ) thì
chúng ta cần một số định nghĩa.
Điểm z = z
0
được gọi là a− điểm lặp chu kỳ c của hàm f trong đĩa
đóng D(r) = {z : |z| ≤ r} nếu nó thỏa mãn f (z
0
) = a và f(z
0
+ c) = a
Điểm z = z
0
được gọi là cực điểm lặp chu kỳ c của hàm f trong đĩa
đóng D(r) = {z : |z| ≤ r} nếu nó thỏa mãn f(z
0
) = ∞ và f(z
0
+ c) = ∞
Hàm đếm n

+ α(z − z
0
)
3
+ 0((z − z
0
)
4
)
và
f(z + c) = a + c
1
(z − z
0
) + c
2
(z − z
0
)
2
+ β(z − z
0
)
3
+ 0((z − z
0
)
4
)
trong đó α = β thì điểm z

c
(0, ∞)
t
dt + n
c
(0, ∞) log r.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/