ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Nguyễn Thị Dung
KHÔNG GIAN TÔ PÔ
SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2013
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Nguyễn Thị Dung
KHÔNG GIAN TÔ PÔ
SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN HỌC ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. HOÀNG VĂN HÙNG
Thái Nguyên - 2013
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i
Lời nói đầu
Các không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận nói chung, không gian metric,
định chuẩn sắp thứ tự bộ phận nói riêng được bắt đầu nghiên cứu từ những
năm 30 của thế kỷ trước, sau khi các nhà toán học phát hiện ra rằng tất
cả các không gian Banach cổ điển như các không gian L
p
, l
p
(1 ≤ p ≤ +∞),
c

Peleg (1970). Tư liệu của chương này chủ yếu được lấy từ công trình [1]
của Ghanshyam Mehta.
- Chương 2. Không gian Metric và sắp thứ tự bộ phận; Các
định lý điểm bất động dạng Caristi và Geraghty trong không gian
Metric sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng: Xét các định lý điểm bất
động trong các không gian metric sắp thứ tự bộ phận, bao gồm định lý
Caristi và các mở rộng, định lý Geraghty và các mở rộng. Các kết quả của
chương 2 được ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một bài
toán biên trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Tác giả đã trình
bày lại phát biểu cũng như chứng minh của các định lý trên theo sự lĩnh
hội của bản thân, đồng thời cũng đưa ra một chứng minh khác của kết
quả chính trong bài báo [5] của các tác giả M.E. Gordji, M.Ramezani, Y.J.
Cho, S. Pirbavata.
- Kết luận.
- Tài liệu tham khảo.
Tác giả chân thành cám ơn thầy hướng dẫn TS. Hoàng Văn Hùng, Viện
Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam vì đã tận tình hướng
dẫn tác giả trong suốt quá trình chuẩn bị luận văn. Tác giả cũng xin chân
thành cám ơn các thày cô thuộc Khoa Toán – Tin Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên vì đã quan tâm và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành
chương trình học tập cao học của trường.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Dung
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
iii
Mục lục
1 Không gian Tô pô và các tập được sắp thứ tự 1
1.1 Không gian Tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Cơ sở của một tô pô. Các tiên đề về tính đếm được . . . . 3

2) Hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc τ là thuộc τ và giao của một
họ hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ .
Một tập X cùng với một tô pô τ trên X (tức là một cặp (X, τ) ) gọi là
một không gian tô pô. Mỗi tập thuộc τ gọi là một tập mở (khi cần chính
xác ta sẽ gọi một tập thuộc τ là τ -mở).
Nếu τ và σ là hai tô pô trên cùng một tập nền X và σ ⊂ τ thì ta nói
τ mịn hơn σ hay σ thô hơn τ.
Ví dụ:
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
• Lớp tất cả các tập con của một tập X cho trước rõ ràng thoả mãn hai
tính chất 1) và 2) của định nghĩa 1.1.1, do đó lớp này là một tô pô
trên X. Tô pô này mịn hơn mọi tô pô trên X. Nó gọi là tô pô rời rạc.
Mọi tập con của X đều là mở trong tô pô rời rạc của X.
• Nếu X đã cho thì họ gồm hai phần tử τ = {∅, X} là một tô pô trên
X. Tô pô này thô hơn mọi tô pô trên X và gọi là tô pô tầm thường.
• Tập các tập mở trong một không gian metric tuỳ ý là một tô pô trên
X. Do đó các không gian metric là các trường hợp riêng của không
gian tô pô. Khi đề cập đến tô pô của một không gian metric (X, d)
ta luôn xem tô pô đó là tô pô gồm tất cả các tập mở của X sinh bởi
metric d.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử (X, τ) là một không gian tô pô và F là một
tập con của X. Khi đó tập F gọi là đóng trong X nếu X\F là tập mở.
Vậy tập đóng là các tập con của X mà phần bù của nó là mở.
Các tập đóng có tính chất:
1’) X và ∅ là đóng.
2’) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. Hợp hữu hạn của các
tập đóng là đóng.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (X, τ) là một không gian tô pô và x là một
phần tử của X (ta sẽ gọi các phần tử của X là các điểm của nó). Một tập

Ví dụ: Tập các hình cầu mở (với tâm tại một điểm tuỳ ý và bán kính
tuỳ ý) trong một không gian metric X là một cơ sở của tô pô gồm tất cả
các tập mở trong X.
Một cơ sở B của tô pô τ trên tập X có các tính chất sau:
1) ∀x ∈ X, ∃G ∈ B : x ∈ G.
2) Nếu x được chứa trong giao của hai tập G
1
, G
2
thuộc B thì tồn tại
tập G thuộc B sao cho x ∈ G ⊂ G
1
∩ G
2
.
Ngược lại mọi họ B các tập con của một tập X có hai tính chất nêu
trên đều là một cơ sở của tô pô τ gồm tất cả các tập con của X biểu diễn
được dưới dạng hợp của một họ con nào đó của B. Tô pô này gọi là tô pô
sinh bởi B. Nếu A là họ các tập con của X có tính chất hợp của các tập
thuộc A bằng X thì tập B các tập con của X nhận được từ các tập của A
bởi một số hữu hạn các phép giao thoả mãn cả hai tính chất 1), 2). Do đó
A được gọi là một tiền cơ sở của tô pô sinh bởi B .
Định nghĩa 1.2.2. Không gian tô pô (X, τ) gọi là thoả mãn tiên đề
thứ hai về tính đếm được nếu tô pô τ có một cơ sở B không quá đếm được.
Nhận xét: Mọi không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ hai về tính
đếm được đều khả ly.
Đối với không gian metric ta có:
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Mệnh đề 1.2.1. Nếu không gian metric (X, d)khả ly thì không gian

hình cầu mở B(x
j
; r) thuộc họ B sao cho x ∈ B(x
j
; r) ⊂ G. Theo tiên đề
chọn, tồn tại một ánh xạ đơn trị f : G → B sao cho x ∈ f(x) ⊂ G với mọi
x ∈ G . Từ đó ta có: G ⊂

x∈G
f(x) ⊂ G.
Vậy G =

x∈G
f(x). Vì mỗi f(x) là một phần tử của B nên ta suy ra B
là một cơ sở của tô pô gồm tất cả các tập mở của X.
Định nghĩa 1.2.3. Cho không gian tô pô (X, τ). Một họ U các lân
cận của điểm x ∈ X được gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mọi lân
cận G của x đều tìm được một phần tử U của họ U sao cho U ⊂ G.
Không gian tô pô (X, τ ) gọi là thoả mãn tiên đề thứ nhất về tính đếm
được nếu mọi điểm x ∈ X đều có một cơ sở lân cận đếm được.
Mệnh đề 1.2.2. Mọi không gian metric đều thoả mãn tiên đề thứ nhất
về tính đếm được.
Chứng minh. Nếu x là một điểm của không gian metric X thì họ lân cận
của x gồm các hình cầu mở B(x; 1/n) (n là số nguyên dương) lập thành
một cơ sở lân cận đếm được của x.
Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian tô pô (X, τ). Họ các tập con
(U
α
)
α∈I

của phủ (U
α
)
α∈I
sao cho x ∈ U
α
. Vì B là một cơ sở của tô pô τ thì
tồn tại tập mở G
n(x)
sao cho x ∈ G
n(x)
⊂ U
α
(*). Rõ ràng họ

G
n(x)

là họ
con của B nên họ này không quá đếm được. Với mỗi tập G
n(x)
có thể có
nhiều tập U
α
thoả mãn (*) nhưng theo tiên đề chọn, tồn tại ánh xạ đơn
trị f từ họ

G
n(x)


đóng.
Ví dụ: Đường thẳng thực R với tô pô thông thường là liên thông.
Mệnh đề 1.2.4.Nếu (X, τ) là một không gian tô pô và Y là một tập
con của X thì họ τ
Y
gồm tất cả các tập dạng G ∩ Y , trong đó G là một
tập mở tuỳ ý thuộc họ τ, là một tô pô trên Y .
Định nghĩa 1.2.6. Không gian tô pô (Y, τ
Y
) gọi là không gian con của
không gian tô pô (X, τ).
Mệnh đề 1.2.5. Các khoảng của đường thẳng thực R với tô pô
thông thường là các không gian con liên thông của R và ngược lại, mọi
không gian con liên thông của R phải là một trong các khoảng dạng
(a; b), [a; b), (a; b], [a; b] (a có thể bằng −∞, b có thể bằng +∞).
1.3 Các tiên đề về tính tách được
Định nghĩa 1.3.1. Không gian tô pô X được gọi là thoả mãn tiên đề
thứ nhất về tính tách được hay T
1
− không gian nếu với hai điểm phân biệt
bất kỳ x, y của X tồn tại một lân cận U
x
của x không chứa y và một lân
cận U
y
của y không chứa x.
Mệnh đề 1.3.1. Không gian tô pô X là T
1
− không gian khi và chỉ khi
mọi tập gồm chỉ một điểm là đóng.

thứ nhất và tiên đề thứ ba về tính tách được gọi là không gian chính quy.
Nhận xét: Lớp các không gian chính quy là lớp con thực sự của lớp
các T
2
− không gian.
Định nghĩa 1.3.5. Không gian tô pô X được gọi là chuẩn tắc nếu X
là T
1
− không gian và thoả mãn tính chất:
Nếu A, B là hai tập đóng không giao nhau của X thì tồn tại một tập
mở U chứa A và một tập mở V chứa B sao cho U ∩ V = ∅. Các không
gian chuẩn tắc còn được gọi là các T
4
− không gian.
Mệnh đề 1.3.2. Mọi không gian metric đều là các không gian chuẩn
tắc.
1.4 Các ánh xạ liên tục. Đồng phôi
Định nghĩa 1.4.1. Cho X, Y là hai không gian tô pô. Ánh xạ f của
không gian tô pô X vào không gian tô pô Y được gọi là liên tục tại điểm
x
0
nếu với mọi lân cận U
y
0
của điểm y
0
= f(x
0
) tìm được lân cận V
x

−1
(U) = V . Do x là phần tử tuỳ ý của
V nên từ điều này ta suy ra V là mở.
Điều kiện đủ: Giả sử nghịch ảnh của mọi tập mở trong Y là một tập
mở trong X và x là một điểm tuỳ ý của X, y = f(x). Lấy một lân cận tuỳ
ý U của y, khi đó V = f
−1
(U) là mở và x ∈ V , tức V là một lân cận của
x. Nhưng rõ ràng f(V ) = f(f
−1
(U)) ⊂ U, vậy f liên tục tại x. Do x tuỳ ý
nên f là ánh xạ liên tục.
Từ mệnh đề 1.4.1 ta suy ra hệ quả:
Mệnh đề 1.4.2. Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô
pô Y liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh bởi f của mọi tập đóng trong Y là
một tập đóng trong X.
Mệnh đề 1.4.3. Giả sử X, Y, Z là các không gian tô pô và f : X →
Y, ϕ : Y → Z là các ánh xạ liên tục. Khi đó ánh xạ hợp ϕ ◦f từ X vào Z
cũng liên tục.
Định nghĩa 1.4.2. Giả sử f là một song ánh từ không gian tô pô X
lên không gian tô pô Y . Nếu các ánh xạ f và f
−1
đều liên tục thì f được
gọi là một phép đồng phôi từ X lên Y .
Hai không gian tô pô X và Y gọi là đồng phôi nếu tồn tại một phép
đồng phôi từ X lên Y .
Mệnh đề 1.4.4. Nếu f là một phép đồng phôi từ X lên Y thì ảnh bởi
f của một tập mở trong X là mở trong Y và ảnh bởi f của một tập đóng
trong X là một tập đóng trong Y .
Ví dụ: Ánh xạ f từ R vào khoảng (−

) không phải là không gian metric
đầy đủ. Như vậy, tính đầy đủ của các không gian metric không phải là tính
chất tô pô.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
Mệnh đề 1.4.5. Nếu X là không gian tô pô liên thông và f là ánh
xạ liên tục từ X vào không gian tô pô Y thì f(X) là không gian con liên
thông của Y . Nói riêng nếu X và Y là hai không gian tô pô đồng phôi và
X liên thông thì Y liên thông.
Như vậy tính liên thông của không gian tô pô là một tính chẩt tô pô.
1.5 Tính Compact
Định nghĩa 1.5.1. Không gian tô pô X được gọi là compact nếu từ
mọi phủ mở của X đều có thể trích ra một phủ con hữu hạn.
Tập con Y của X gọi là một tập compact trong X nếu Y xem như
không gian con của không gian tô pô X là một không gian compact.
Định nghĩa 1.5.2. Họ (A
i
) các tập con của một tập T gọi là có tính
tương giao hữu hạn nếu giao của một họ con hữu hạn tuỳ ý của họ (A
i
) là
khác rỗng.
Định lý 1.5.1. Điều kiện cần và đủ để không gian tô pô X compact
là mọi họ các tập con đóng có tính chất tương giao hữu hạn của X đều có
giao khác rỗng.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là không gian compact và (F
i
)
là một họ các tập con đóng của X có tính tương giao hữu hạn. Giả sử
trái lại rằng giao

n
). Nhưng khi đó
lại theo luật De Morgan ta có:
F
i
1
∩ ∩F
i
n
= ∅
Điều này mâu thuẫn với tính tương giao hữu hạn của họ (F
i
). Do đó
phải có

i
F
i
= ∅.
Điều kiện đủ. Giả sử X có tính chất: “mọi họ các tập đóng có tính
tương giao hữu hạn của X đều có giao khác rỗng”, (U
i
) là một phủ mở tuỳ
ý của X. Đặt F
i
= X\U
i
ta được một họ các tập đóng của X. Nếu mọi họ
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9

F
i
= ∅. Nhưng nếu vậy, theo luật De Morgan ta suy ra:
X\

i
U
i
= ∅, tức họ (U
i
) không phải là một phủ của X. Mâu thuẫn. Vậy
phải tồn tại một phủ con hữu hạn của X trích từ phủ (U
i
), do đó X là
không gian compact.
Mệnh đề 1.5.2. Mọi không gian con đóng của một không gian tô pô
compact là compact.
Mệnh đề 1.5.3. Nếu Y là tập con compact của không gian tô pô
Hausdorff X thì Y đóng trong X.
Mệnh đề 1.5.4. Mọi không gian tô pô compact đều là không gian
chuẩn tắc.
Đối với không gian metric compact ta có các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.5.5. Nếu X là không gian metric compact thì:
1) X là không gian đầy đủ và khả ly.
2) Mọi dãy phần tử của X luôn chứa một dãy con hội tụ.
Mệnh đề 1.5.6. Đối với không gian metric X hai khẳng định sau là
tương đương:
1) A là tập con compact của X.
2) Mọi dãy điểm của A đều chứa một dãy con hội tụ tới một điểm
thuộc A.

Định nghĩa 1.6.3. Nếu trên tập X có một quan hệ tựa thứ tự ta nói
X là một tập tựa được sắp. Nếu trên tập X có một quan hệ tựa thứ tự
đầy đủ ta nói X là một tập tựa được sắp đầy đủ hay tựa được sắp tuyến
tính.
Định nghĩa 1.6.4. Một quan hệ tựa thứ tự ≺ trên X gọi là một quan
hệ thứ tự (bộ phận) nếu nó có thêm tính chất phản đối xứng:
(d) x ≺ y&y ≺ x ⇒ x = y.
Nếu trên tập X có một thứ tự bộ phận ≺ ta nói X là một tập được
sắp. Nếu thứ tự bộ phận ≺ thoả mãn thêm điều kiện (c) ( tính đầy đủ)
thì X được gọi là một tập được sắp đầy đủ hay được sắp tuyến tính.
Quan hệ ≺ đưa ra trong các ví dụ 1 và 2 không phải là một quan hệ
thứ tự nếu X có số chiều > 0. Quan hệ ≤ thông thường giữa các số thực
là một quan hệ thứ tự. Tập số thực R với quan hệ ≤ là một tập được sắp
đầy đủ. Quan hệ bao hàm ⊂ giữa các tập con của một tập X cho trước là
một quan hệ thứ tự bộ phận nếu X có nhiều hơn một phần tử.
Định nghĩa 1.6.5. Giả sử (X, ≺) là một tập tựa được sắp đầy đủ.
Một hàm tiện ích đối với bộ đôi (X, ≺) là một hàm giá trị thực sao cho
f(x) ≤ f(y) khi và chỉ khi x ≺ y.
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
Nhận xét:Hàm tiện ích là một hàm giá trị thực bảo toàn thứ tự trên
một tập tựa được sắp đầy đủ. Khi trên(X, ≺) có một hàm tiện ích ta nói
rằng X có một biểu diễn tiện ích.
Một quan hệ tựa thứ tự đầy đủ trên X liên kết với nó hai quan hệ hai
ngôi khác.
Ta định nghĩa

x ∼ y

khi đồng thời có x ≺ y và y ≺ x. Dễ thấy rằng

Khi đó <
1
là một thứ tự đầy đủ trên X/ ∼ .
1.7 Không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ
Định nghĩa 1.7.1. Ta nói rằng bộ đôi (X, ≺) là một không gian tô pô
tựa được sắp đầy đủ (hay tựa được sắp tuyến tính) nếu X là một không
gian tô pô và ≺ là một tựa thứ tự đầy đủ trên X.
Cho (X, ≺) là một không gian tô pô tựa được sắp đầy đủ. Giả sử f là một
hàm tiện ích liên tục trên X. Vì với mỗi số thực α các tập {x ∈ R |x ≥ α}
và {x ∈ R |x ≤ α} là đóng, nghịch ảnh của các tập này bởi f phải là các
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
tập đóng. Do đó, điều kiện cần để tồn tại các hàm tiện ích liên tục trên
(X, ≺) là với mọi y ∈ X, các tập {x ∈ X |x  y } và {x ∈ X |x ≺ y} phải
là các tập đóng. Một tô pô µ trên X sao cho các tập này là đóng gọi là
một tô pô tự nhiên đối với (X, ≺).
Giả sử (X, ≺) là một tập tựa được sắp đầy đủ. Các khoảng mở của
quan hệ ≺ là các tập dạng
{x |x < y, y ∈ X }, {x |x > y, y ∈ X }, {x |y < x < z&y, z ∈ X } và X.
Các tập này có hai tính chất của cơ sở nêu sau định nghĩa 1.2.1. Tô pô tự
nhiên đối với (X, ≺) là mịn hơn tô pô sinh bởi các khoảng mở của ≺.
Một tô pô tựa thứ tự trên đối với (X, ≺) là một tô pô trong đó các
tập {x |x < y, y ∈ X } là mở. Tương tự, một tô pô tựa thứ tự dưới đối với
(X, ≺) là một tô pô trong đó các tập dạng {x |x < y, y ∈ X } là mở.
Ví dụ: - Giả sử X = R
2
+
=

(a, b) ∈ R

2
không phải là tô pô tự nhiên đối
với (X, ≺). Vậy (X, ≺) với tô pô thông thường không thể biểu diễn được
bởi một hàm tiện ích liên tục.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng không có hàm tiện ích trên (X, ≺). Giả
sử rằng tồn tại hàm tiện ích f. Với mỗi a
0
∈ R
+
xét nửa đường thẳng
L
a
0
=

(a, b) ∈ R
2
+
|a = a
0

.
Giả sử 0 ≤ a < a
0
< b . Khi đó f(L
a
0
) bị chặn dưới bởi f(a, 0) và bị
chặn trên bởi f(b, 0) bởi vì f là hàm tiện ích. Với mỗi a
0

biệt không thuộc cùng một lớp tương đương.
(ii) Nếu a < b thì M
a
< m
b
, do đó nếu a = b thì (m
a
, M
a
) ∩ (m
b
, M
b
)
= ∅ .
(iii) Từ (ii) suy ra họ các khoảng {(m
a
, M
a
) |a > 0} đếm được vì tập
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
các số hữu tỉ trù mật trong tập các số thực.
Do đó ta có một song ánh giữa một tập đếm được và một tập không
đếm được. Mâu thuẫn.
1.8 Tính trù mật thứ tự và tô pô
Trong mục này ta dùng ký hiệu ≤ thay cho ≺ để chỉ một quan hệ tựa
thứ tự hoặc thứ tự trong một tập X nào đó, X không nhất thiết phải là
tập số thực R. Nếu a là phần tử của X có tính chất x ∈ X, x ≤ a kéo theo
x = a thì a gọi là phần tử tối tiểu của X, tương tự nếu b là phần tử của X

rỗng chứa một phần tử của Z. Do đó Z là trù mật tô pô và X là khả ly tô
pô.
Nhận xét: Tính đầy đủ của quan hệ tựa thứ tự dường như không đóng
vai trò gì đặc biệt trong chứng minh trên. Điều này gợi ý rằng kết quả vẫn
còn đúng đối với không gian sắp thứ tự bộ phận.
Mệnh đề 1.8.2. Giả sử (X, ≤ ) là không gian tô pô tựa được sắp đầy
đủ với tô pô sinh bởi các khoảng mở của ≤. Khi đó (X, ≤ ) thoả mãn tiên
đề thứ hai về tính đếm được nếu và chỉ nếu nó là khả ly thứ tự hoàn thiện.
Chứng minh. Giả sử rằng (X, ≤) là không gian tô pô thoả mãn tiên đề
thứ hai về tính đếm được và B = B
1
, B
2
, là một cơ sở đếm được. Chọn
z
i
∈ B
i
để nhận được một tập đếm được trù mật tô pô Z. Giả sử X/ ∼
là tập các lớp đồng nhất. Không giảm tổng quát ta có thể xem X/ ∼ có
nhiều hơn một phần tử.
Bây giờ xét cặp phần tử a, b của X sao cho a < b và khoảng mở
(a, b) = ∅. Với mỗi cặp a, b như vậy ta liên kết với một phần tử B
b
của cơ
sở B như sau. Tập {x ∈ X |x < b}là mở và chứa a. Vì B là một cơ sở, tồn tại
B
b
∈ B sao cho a ∈ B
b

b
nhưng a
1
/∈ B
b
và nếu a
1
< b
1
≤ a < b thì a ∈ B
b
, a /∈ B
1
b
Vì quan hệ tựa
thứ tự ≤ đầy đủ nên không xảy ra các khả năng khác (nhớ rằng (a, b) =
∅ và (a
1
, b
1
) =∅). Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng có một đơn ánh từ
tập tất cả các cặp (a, b) với a < b và (a, b) = ∅ vào cơ sở đếm được B. Điều
này chứng tỏ rằng tập tất cả các cặp như vậy là đếm được. Chú ý rằng ta
đã sử dụng thực sự tính đầy đủ của quan hệ tiền thứ tự để nhận được kết
quả này. (Với thứ tự bộ phận có thể xảy sự “ bện chéo”, chẳng hạn, nếu
(a, b) và (a
1
, b
1
) là hai cặp, ta có thể có a

1
nào đó ∈ Z
1
. Do đó, tồn tại một phần tử z
trong Z
1
sao cho x ≤ z ≤ y. Như vậy trong mọi trường hợp, tồn tại phần
tử z ∈ Z ∪Z
1
sao cho x ≤ z ≤ y. Điều này chứng tỏ rằng (X, ≤) là khả ly
thứ tự hoàn thiện.
Ngược lại, giả sử rằng (X, ≤) là khả ly thứ tự hoàn thiện với tập con
trù mật thứ tự hoàn thiện đếm được Z. Giả sử U là một tập mở với x ∈ U.
Xét trường hợp x không phải là phần tử tối tiểu và cũng không phải là
phần tử tối đại của X. Khi đó do U mở và (X, ≤) tựa được sắp đầy đủ,
tồn tại một phần tử của cơ sở, chẳng hạn B có dạng B = {q |a < q < b }
sao cho x ∈ B ⊂ U. Vì X là khả ly thứ tự hoàn thiện và a < x < b, tồn tại
z
i
, z
j
∈ Z sao cho a ≤ z
i
≤ x ≤ z
j
≤ b. Có hai trường hợp có thể xảy ra:
(1) z
i
< x < z
j

(1’) x < z
i
≤ b
(2’) x ∼ z
j
Trong trường hợp (2’), ta có thể xem khoảng (z, b) = ∅ vì nếu trái lại
ta sẽ tìm được z

∈ Z sao cho x < z

≤ b tức là trở về trường hợp (1’). Nếu
xảy ra (2’) ta đặt b = f(z).
Tương tự, nếu x là phần tử tối đại của X thì tồn tại a ∈ X, z
i
∈ Z sao
cho một trong hai trường hợp sau xảy ra:
(1”) a < z
i
≤ x
(2”) a ∼ z
i
, (a, x) = (z
i
, x) = ∅
Nếu xảy ra (2”) ta đặt f(z
i
) = a.
Bây giờ xét hai họ tập sau:
S
1

.Trong trường hợp chỉ tồn tại
một trong hai điểm f(z
i
) hoặc f(z
j
) ta sẽ xem khoảng (f(z
i
), f(z
j
)) =
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
{x |xf(z
j
)} hoặc = {x |f(z
i
)x}. S
2
cũng là họ đếm được các tập mở. Đặt
S = S
1
∪S
2
. Khi đó S là cơ sở đếm được đối với tô pô của (X, ≤). Như vậy
(X, ≤) là không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ hai về tính đếm được.
Hệ quả 1.8.3. Lớp các tập khả ly thứ tự hoàn thiện nằm trong lớp
các tập khả ly thứ tự yếu.
Chứng minh. Nếu (X, ≤) là một tập tựa được sắp đầy đủ và khả ly hoàn
thiện thì xem X như không gian tô pô với tô pô sinh bởi các khoảng mở
của (X, ≤) ta có X là một không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ hai về

x
≈
<
z
≈
<
y. Một tập Z như vậy được gọi là một tập trù mật (thứ tự) hoàn
thiện. (X, <) được gọi là khả ly (thứ tự) yếu nếu tồn tại một tập con đếm
được Z sao cho nếu I là khoảng mở = ∅ thì tồn tại z ∈ Z sao cho z ∈ I .
(X, <) được gọi là khả ly thứ tự nếu tồn tại một tập con đếm được Z với
tính chất là nếu x < y thì tồn tại z ∈ Z sao cho x < z < y.
Nhận xét: Nếu (X, ≤) là tựa được sắp đầy đủ, quan hệ ≈ và ∼ là như
nhau. Do đó các định nghĩa về tính trù mật thứ tự phù hợp với các định
nghĩa đã được cho ở trên.
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
Giả sử (X, <) là không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận ngặt. Thứ tự <
trên X được gọi là liên tục nếu với mọi y ∈ X, tập {x ∈ X |x < y} = L
y
là mở. Thứ tự bộ phận < được gọi là liên tục mạnh nếu, thêm nữa, tập
U
y
= {x ∈ X |y < x } mở với mọi y ∈ X. Ký hiệu bao đóng tô pô của một
tập con A của X bởi A. Khi đó < được gọi là rộng nếu x < y kéo theo
L
y
⊇ L
x
.
Mệnh đề 1.8.4. Giả sử (X, <) là không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận

(1) → (2) tầm thường.
(2) và (4) tương đương theo mệnh đề 1.8.2.
(3) và (5) tương đương theo mệnh đề 1.8.1.
Vì không gian tô pô đếm được loại hai ( gọi tắt của không gian tô pô
thoả mãn tiên đề thứ hai về tính đếm đươc) là khả ly tô pô, ta cũng có (2)
→ (3) (hệ quả 1.8.3).
Các ví dụ: (a) Giả sử X = R
2
+
với thứ tự từ điển. Khi đó X là không
gian tựa được sắp đầy đủ nhưng không khả ly yếu.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
(b) Giả sử X = {0, 1} với tựa thứ tự đầy đủ thông thường. Khi đó X
khả ly thứ tự hoàn thiện nhưng không khả ly.
(c) Với mỗi số vô tỷ ξ đặt tương ứng một “lỗ hổng mở” (a
ξ
, b
ξ
), a
ξ
< b
ξ
( a
ξ
, b
ξ
là các phần tử trừu tượng, không phải là các số thực). Giả sử X
chứa tất cả các số hữu tỷ và các đầu mút của các “lỗ hổng mở” (a
ξ

(2) → (4) theo mệnh đề 1.8.5.
(3) ↔ (5) theo mệnh đề 1.8.4.
Vì không gian tô pô đếm được loại hai là khả ly tô pô, còn không gian
khả ly thứ tự hoàn thiện là khả ly thứ tự yếu.
1.9 Các hàm tiện ích. Các định lý Debreu
và Peleg
Đối với các không gian tựa được sắp đầy đủ có hai kết quả cơ bản được
chứng minh bởi Debreu, các kết quả này chỉ ra các điều kiện mà các không
gian này có các biểu diễn tiện ích liên tục.
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
Định lý 1.9.1 (Debreu 1954) – Giả sử (X, ≺) là không gian tô pô
tựa được sắp đầy đủ liên thông và khả ly tô p. Khi đó (X, ≺) có biểu diễn
tiện ích liên tục trong mọi tô pô tự nhiên.
Định lý 1.9.2 (Debreu 1954) – Giả sử (X, ≺) là không gian tô pô
tựa được sắp đầy đủ thỏa mãn tiên đề thứ hai về tính đếm được. Khi đó
(X, ≺) có biểu diễn tiện ích liên tục trong mọi tô pô tự nhiên.
Năm 1970 B. Peleg chứng minh định lý sau:
Định lý 1.9.3 (Peleg 1970) – Giả sử < là một thứ tự bộ phận ngặt
trên không gian tô pô X. Nếu thứ tự < là mở, khả ly và rộng thì tồn tại
hàm tiện ích liên tục đối với (X, <).
Vì mỗi tựa thứ tự đầy đủ có một thứ tự bộ phận ngặt liên kết thì một
cách tự nhiên nảy sinh phỏng đoán rằng định lý của Debreu có thể suy ra
từ định lý của Peleg. Phỏng đoán này đã được chứng minh một phần bởi
Lee ( 1972).
Điểm cốt lõi trong lý luận của Lee như sau: Giả sử (X, ≺) là tựa được
sắp đầy đủ. Khi đó nếu X/ ∼ là không tầm thường thì có thể định nghĩa
một thứ tự bộ phận ngặt trên X/ ∼ bằng cách nói rằng lớp đồng nhất
a(x) của phần tử x là đứng trước ngặt đối với lớp đồng nhất a(y) của phần
tử y nếu và chỉ nếu mọi phần tử của a(x) là đứng trước mọi phần tử của

của cả định lý Debreu về các không gian đếm được loại hai ( định lý 1.9.2).
Điều này cấu thành một mở rộng của công trình của Lee.
Không khó khăn để tìm các ví dụ về các không gian tô pô đếm được
loại hai tựa được sắp đầy đủ nhưng không khả ly thứ tự. Do đó, lý luận
của Lee không thể áp dụng trực tiếp cho X. Nếu chúng ta có thể mở rộng
X đến một không gian X

khả ly thứ tự, khi đó chúng ta có thể áp dụng
kết quả của Lee cho X

và kết luận rằng X

( và bởi vậy, X ) có một biểu
diễn tiện ích liên tục. Dưới đây là tóm tắt chứng minh của G. Mehta.
Giả sử X là một không gian đếm được loại hai và Y = X/ ∼ là tập
các lớp đồng nhất của X. Khi đó Y được gọi là có bước nhảy (a, b) nếu
a, b thuộc Y và không tồn tại c trong Y sao cho a < c < b. Có thể dễ dàng
chứng minh rằng tính đếm được loại hai kéo theo chỉ có một số đếm được
các bước nhảy (a
n
, b
n
) , n = 1, 2, 3, Mở rộng Y bằng cách đặt giữa mỗi
bước nhảy (a
n
, b
n
), n = 1, 2, 3, một khoảng thực mở (n, n + 1) với thứ
tự thông thường. Gọi không gian mở rộng này là Y
