Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội
2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Ts.Nguyễn
Văn Hùng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa
luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những
ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Nhung

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 1


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận
tình của thầy giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân.


Chƣơng 1:

7

Một số kiến thức cơ sở

7

1.1 Không gian metric

7

1.2 Không gian định chuẩn

9

1.3 Không gian Hilbert

16

1.4 Không gian Ca ;b 

22

1.5 Không gian Lp a ; b 

25

Chƣơng 2:


Ứng dụng giải phương trình tích phân

45

3.1 Khái niệm về phương trình tích phân tuyến tình

45

3.2 Giải phương trình tích phân tuyến tính

47

3.2.1 Phương pháp xấp xỉ dần. Hạch lặp

47

3.2.2 Phương pháp nhân suy biến

57

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 3


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

3.2.3 Phương trình tích phân với nhân không suy biến


của tập hợp số thực thành các không gian tương ứng và mở rộng các vấn đề
cơ bản của giải tích cổ điển vào những không gian đó.
Vì vậy, việc học và nắm vững môn học này là rất cần thiết đối với mỗi
sinh viên khoa toán. Tuy nhiên kiến thức trên lớp với thời lượng eo hẹp, cùng
với sự mới mẻ và cái khó của môn học này đã làm cho việc tiếp thu những
kiến thức của Giải tích hàm trở nên không dễ dàng với mỗi sinh viên khoa
toán. Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản của Giải tích hàm, đồng thời
quyết tâm đi vào nghiên cứu khoa học, được sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng, em đã chọn đề tài: “ Toán tử tích phân và ứng
dụng giải phƣơng trình tích phân ” để làm khóa luận tốt nghiệp.
2.

Mục đích nghiên cứu.
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu

hơn về Giải tích hàm, đặc biệt là lý thuyết toán tử.
3.

Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu một số cơ sở lý thuyết liên quan đến toán tử tích phân, tính

chất của toán tử tích phân, ứng dụng của toán tử tích phân vào giải phương
trình tích phân.

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 5


Trường ĐHSP Hà Nội 2

4.

Định nghĩa 1.1.1
Không gian metric là một tập hợp  khác rỗng cùng với một ánh xạ

d từ tích Descartes   

vào tập hợp số thực

 , thỏa mãn các tiên đề sau:

1)  x, y    d  x, y   0, d  x, y   0  x  y (tiên đề đồng nhất)
2)  x, y   d  x, y   d  y, x   x  y

(tiên đề đối xứng)

3)  x, y, z    d  x, y   d  x, z   d  z, y  (tiên đề tam giác)
Ánh xạ

d gọi là metric trên  , số d  x, y  gọi là khoảng cách giữa

hai phần tử x và y . Các phần tử của  gọi là điểm, các tiên đề 1), 2), 3)
gọi là tiên đề metric.
Không gian metric được kí hiệu    , d  .
 Sự hội tụ trong không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2
Cho không gian metric   , d  , dãy điểm

x0   . Dãy điểm

 xn 



y khi n   thì :
lim d  xn , y n   d  x, y 

n 

 Không gian metric đầy.
Định nghĩa 1.1.3
Cho không gian metric   , d  . Dãy điểm

 xn    gọi là dãy

cơ bản trong  , nếu:

   0   n0   *   n, m  n0  d  xn , xm   
hay

lim d  xn , xm   0 .

m,n

Dễ thấy mọi dãy điểm xn    hội tụ trong  đều là dãy cơ bản.
Điều khẳng định ngược lai không đúng.
Định nghĩa 1.1.4
Không gian metric   , d  gọi là không gian đầy nếu mọi dãy cơ
bản trong không gian này đều hội tụ.
 Nguyên lý Banach về ánh xạ co.
Định nghĩa 1.1.5
Cho hai không gian metric 1   , d1  , 2   , d2  . Ánh xạ


 Định lý Axcoli
Giả sử  là không gian metric compact. Gọi C  là tập hợp tất cả
các hàm liên tục trên  (với giá trị thực hay phức). Nếu họ A  C    thỏa
mãn các điều kiện:
a) A là bị chặn tại từng điểm trên 
b) A là đồng liên tục trên 
thì A là một tập hợp compact tương đối trong
1.2

C   .

Không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.1
Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là một

không gian tuyến tính  trên trường
ánh xạ từ tập  vào  , kí hiệu là

 (    hoặc    ) cùng với một
 và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề

sau:
1)  x   

x  0, x  0  x   (kí hiệu phần tử không là  );

2)  x       
3)  x, y  

x    x ;

Định nghĩa 1.2.2
Dãy điểm

 xn 

trong không gian định chuẩn  gọi là dãy cơ bản,

nếu:

lim x n  x m  0

n , m 

Định nghĩa 1.2.3
Không gian định chuẩn  gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ
bản trong  đều hội tụ.
 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.4
Cho không gian đinh chuẩn  , x   .

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 10


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp



Tập U  y   : f  x   f  y    ,   0 cho trước , f   gọi


   ). Ánh xạ A từ không gian  vào không gian  gọi là tuyến tính,
nếu ánh xạ A thỏa mãn điều kiện:
1)

 x, x '   

2)

 x        

A  x  x '  Ax  Ax '
A x    Ax

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A
chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính còn khi toán tử A
chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì toán tử A gọi là toán tử thuần nhất.

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 11


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Khi  =  thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến
tính.
Định nghĩa 1.2.8
Cho hai không gian định chuẩn  và  . Toán tử tuyến tính A từ
không gian  vào không gian  gọi là bị chặn (giới nội), nếu tồn tại hằng

A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc  .

3)

A bị chặn.

 Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.
Cho hai không gian định chuẩn  và  . Kí hiệu L  ,   là tập
hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn  vào
không gian định chuẩn  . Ta đưa vào L,   hai phép toán:

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 12


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

+) Tổng của hai toán tử A, B  L  ,   là toán tử, kí hiệu

A B ,

xác định bằng hệ thức:

 A  B x  Ax  Bx ,
+) Tích vô hướng của

x  

  (   


Ta gọi không gian L,  các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không
gian  là không gian liên hợp(hay không gian đối ngẫu) của không gian

 và kí hiệu là  ( thay cho kí hiệu L,  ).

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 13


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp



Không gian liên hợp của không gian  gọi là không gian liên hợp thứ


hai của không gian  và kí hiệu là  .
Định lý 1.2.4


Nếu không gian liên hợp  của không gian định chuẩn  là tách
được thì không gian  là tách được.
Định lý 1.2.5
Tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn  vào


không gian liên hợp thứ hai  của không gian  .
Định nghĩa 1.2.10


Như vậy tính compact của một toán tử tuyến tính mạnh hơn tính liên
tục, do đó người ta còn gọi một toán tử compact là một toán tử hoàn toàn liên
tục.
Định lý 1.2.7
Nếu A :    là một toán tử compact của không gian định chuẩn

 vào không gian định chuẩn  , thì ánh xạ A ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu
trong  thành dãy hội tụ (mạnh) trong  .
Định lý 1.2.8
Giả sử  là không gian Banach phản xạ và  là một không gian định
chuẩn tùy ý. Nếu toán tử tuyến tính:

A:   
ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong  thành dãy hội tụ (mạnh) trong  thì A
là một toán tử compact.
Định lý 1.2.9
Giả sử  là một không gian định chuẩn tùy ý và  là một không gian
Banach. Nếu An  L  ,  

n  1,2... là một dãy toán tử compact, hội tụ

trong L,   đến toán tử A  L,   , tức là:

lim An  A  0
n

thì A là một toán tử compact.
Định lý 1.2.10
a) Nếu  và  là hai không gian định chuẩn và A :    là một


2)

x, y, z   

3)

x, y        x, y     x, y 

4)

 x     x, x   0 , nếu x   
x, x   0 , nếu x  

kí hiệu là phần tử không



Các phần tử x, y, z gọi là các phần tử của tích vô hướng. Số  x, y 
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là
hệ tiên đề tích vô hướng.
 Bất đẳng thức Schwarz.
Định lí 1.3.1

x, y   , ta có  x, y    x, x  .  y, y 
Đối với mỗi x   , ta đặt:

x 

x, x

hiệu x  y , nếu x, y   0 .
Định nghĩa 1.3.4
Cho không gian Hilbert  và tập hợp A  , A   . Phần tử x  
gọi là trực giao với tập hợp A , nếu x  y y  A  , kí hiệu x  A .
 Phần bù trực giao.
Định nghĩa 1.3.5
Cho không gian Hilbert  và không gian con  của  . Tập con

F   gồm các phần tử của không gian  trực giao với tập  gọi là phần
bù trực giao của tập  trên không gian  và kí hiệu: F     .
Dễ thấy F cũng là không gian con của  khi đó ta có biểu diễn:

    F  x  x1  x2 , x1  , x2  F
Định lí 1.3.2 (định lí về hình chiếu lên không gian con)
Cho không gian Hilbert  và  0 là không gian con của  . Khi đó
phần tử bất kỳ x   biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

x  y  z, y   0 , z   0

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 17


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

 Hệ trực chuẩn.
Định nghĩa 1.3.6
Cho không gian Hilbert  . Một tập hợp (còn gọi là hệ thống) gồm hữu
hạn hay đếm được các phần tử  en n1   gọi là một hệ trực chuẩn nếu:

mệnh đề sau tương đương:
1) Hệ
2)

en n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian  ;

x   

x   x, en en ;
n1

3)

 x, y    x, y     x, en  en , y  ; (Đẳng thức Paseval)
n 1

4)

x   

x    x, en  ;
2

2

(Phương trình đóng)

n1

5) Bao tuyến tính của hệ

 Ax, y  x, By ,

x  , y   .

Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A .
 Toán tử tự liên hợp.
Định nghĩa 1.3.9
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert  vào chính
nó được gọi là tự liên hợp, nếu:

 Ax, y   x, Ay ,

x, , y   .

Toán tử liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.
Định lí 1.3.5
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert  vào chính
nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng  Ax, x  là một số thực đối với
mọi x   .

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 19


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

 Sự hội tụ yếu.
Định nghĩa 1.3.10
Cho không gian Hilbert  . Dãy điểm xn    gọi là hội tụ yếu tới

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 20


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

 Toán tử đẳng cự bộ phận.
Giả sử và  là hai không gian Hilbert. Một toán tử tuyến tính

V :    của  vào  được gọi là đẳng cự bộ phận, nếu:

với  và  là những không gian con đóng của  , trực giao với nhau sao
cho:
a) Vx  0 khi x   , tức là thu hẹp của V lên  là toán tử không.
b) Vx  x khi x   , tức là thu hẹp V lên  là toán tử đẳng cự
(của  vào  ).
Định lí 1.3.8
Mọi toán tử tuyến tính bị chặn:

A:   
của không gian Hilbert  vào không gian Hilbert  đều có thể biểu diễn
dưới dạng:

A  VT
trong đó:

:   

là một toán tử dương bị chặn trong  , và

0 của  là: 1 , 2 ,..., n ,... trong đó mỗi giá trị riêng được kể với một số lần
bằng số bội của nó, và ta có n  0, lim n  0 .
n



Nếu



n

n 1

2

  thì A được gọi là một toán tử Hilbert-Smith.

Định lí 1.3.9
Giả sử A :    là một toán tử tuyến tính liên tục của không gian
Hilbert  vào không gian Hilbert  . Để A là một toán tử Hilbert-Smith,
điều kiện cần và đủ là chuỗi:



n1

Af n

2


Khóa luận tốt nghiệp

 x  (t )   x(t ),  

Định lí 1.4.1
Không gian Ca ;b  cùng với hai phép toán trên lập thành một không
gian tuyến tính thực.
Khi đó x(t )  Ca;b  thì ánh xạ:

 : Ca;b  
x(t )  x  max x(t )
ta ;b 

(1.4.1)

xác định một chuẩn trên Ca ;b  .
Chứng minh
- Ca ;b  là không gian tuyến tính thực.
- x(t )  x  max x(t ) xác định một chuẩn trên Ca ;b  .
ta ;b 
Thật vậy:
o

x(t )  Ca ;b , suy ra x(t ) liên tục trên a ;b  , nên x(t ) đạt

GTLN trên a ;b  .
Vậy x xác định.
o Kiểm tra các tiên đề về chuẩn:
1. x(t )  C a ;b , ta có x(t )  0, t  a ; b , do đó:

ta ;b

ta ;b 

Tiên đề 2 được thỏa mãn.
3. x(t ), y(t )  Ca ;b , ta có:

x(t )  y(t )  x(t )  y(t )  max x(t )  max y(t )
ta ;b 

ta ;b 

Suy ra max x(t )  y (t )  max x(t )  max y(t )
t a ;b 

Do đó

ta ;b 

ta ;b 

x y  x  y

Tiên đề 3 được thỏa mãn.
Vậy Ca ;b  cùng với chuẩn (1.4.1) lập thành một không gian định
chuẩn.
Định lí 1.4.2
Không gian Ca ;b  là không gian Banach với chuẩn (1.4.1).
Chứng minh.
Giả sử


 1 . Vì  1 là không gian đầy nên xn (t )n1 hội tụ trong  1 .
Từ (1.4.2) cho m   ta có:

max xn (t )  x(t )  

(1.4.3)

ta ;b 

Suy ra

xn  x  

Suy ra xn  x
Từ (1.4.3) ta có xn (t )  x(t ) .
Mà xn (t ) liên tục trên a ;b  , nên x(t ) liên tục trên a ;b  .
Suy ra

x(t )  C a ;b .

Ta có sự hội tụ trong không gian Ca ;b  tương đương với sự hội tụ đều
của dãy hàm liên tục trong không gian Ca ;b  .
Do đó xn (t )n1  x(t )  Ca;b  .


Vậy Ca ;b  là không gian Banach.
1.5

Không gian Lp a ; b .