Nguyễn Hồng Điệp
Tích phân và ứng dụng
𝑧 = 0.8
𝐴
𝐵
𝐶
𝑎
𝑢𝑣
𝐹
16 tháng 01, 2014
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
2
nd
−L
A
T
E
X−2014
01
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Copyright
c
○ 2014 by Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Lời nói đầu
Đôi khi người ta tung đồng xu không phải để xem mặt
sấp hay ngửa, cái quan trọng là biết ta đang đợi mặt nào.
Các em học sinh cuối cấp đang đứng trước bước ngoặt cuộc
đời. Chúc các em có kết quả thi tốt nhất và chọn đúng

1.4.1 Dạng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau . . . . . . . 20
1.4.3 Dạng phân thức
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.4 Dạng biểu thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.5 Biểu thức có logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Đổi biến sang lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.3 Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.4 Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.5 Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6 Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.1 Tích phân chứa nhị thức . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.2 Tích phân chứa tam thức . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.3 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7.1 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7.2 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7.3 Các trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . 47
5
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Mục lục Mục lục
1.7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác 58
1.7.5 Dùng hàm phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.8 Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.8.1 Biểu thức có tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . 67
1.8.2 Phép thế Eurle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

𝑥
𝛼
𝑑𝑥 =
𝑥
𝛼+1
𝛼+1
+ 𝐶

(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝛼
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑥
𝛼+1
𝛼+1
+ 𝐶

1
𝑥
𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶

1
𝑎𝑥+𝑏
𝑑𝑥 =
1
𝑎

𝑎
𝑢
𝑙𝑛𝑎
+ 𝑐

cos 𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

cos(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =
1
𝑎
sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶

sin 𝑥𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶

sin(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = −
1
𝑎
cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶)

1
cos
2
𝑥
𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶

1
cos
2
𝑎𝑥
𝑑𝑥 = tan(𝑎𝑥) + 𝐶

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
∙
𝑏

𝑎
𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘
𝑏

𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∙
𝑏

𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −
𝑎

𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∙
𝑏

𝑎
[𝑓(𝑥) ±𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 =
𝑏

𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ±
𝑏


𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥
𝑏

𝑎
𝑔(𝑥)𝑑𝑥
1.2 Phương pháp phân tích
Ví dụ 1.2.1. Tính các tích phân sau:
(a) 𝐼
1
=
2

1
𝑥
2
− 2𝑥
𝑥
3
𝑑𝑥 (b) 𝐼
2
=
3

1
(𝑥
2
− 1)
2
𝑥
𝑑𝑥

0
6𝑥 − 3
𝑥
2
− 𝑥 + 5
𝑑𝑥
Giải
(a) Ta có: 𝐼
1
=
2

1

1
𝑥
−
2
𝑥
2

𝑑𝑥 =

ln |𝑥| +
2
𝑥

⃒
⃒
⃒

1
4
𝑥
4
+ 𝑥
2
+ ln |𝑥|

⃒
⃒
⃒
⃒
3
1
= 28 + ln 3.
(c) Ta có: 𝐼
3
=
1

0

1
𝑒
𝑥
+
1
𝑒
2𝑥


−
1
𝑒
−
1
2𝑒
2
.
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 9
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.2. Phương pháp phân tích Chương 1. Tích phân
(d) Ta có: 𝐼
4
=
1

0

𝑒
𝑥
− 2
√
𝑒
𝑥
+ 1

𝑑𝑥 =
1

2

0
2𝑥 − 1
𝑥
2
− 𝑥 + 5
𝑑𝑥 = 3

ln |𝑥
2
− 𝑥 + 5|

⃒
⃒
2
0
(dạng

𝑢
′
𝑢
𝑑𝑥)
= 3 ln
7
5
Ví dụ 1.2.2. Tính các tích phân sau:
(a) 𝐼
1
=

0
[(𝑥 − 1)
2005
+ (𝑥 − 1)
2004
] 𝑑𝑥
=
1

0
(𝑥 − 1)
2005
𝑑𝑥 +
1

0
(𝑥 − 1)
2004
𝑑𝑥
=

(𝑥 − 1)
2006
2006
−
(𝑥 − 1)
2005
2005

⃒

3
2

⃒
⃒
⃒
4
3
=
4
3
(
√
2 − 1)
10
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.2. Phương pháp phân tích Chương 1. Tích phân
Bài toán tương tự
1.
4

3
1
√
𝑥 + 2 −
√
𝑥 − 3

4

0
sin
2

𝜋
4
− 𝑥

𝑑𝑥. Đáp số:
𝜋−2
8
.
5.
𝜋
2

0
sin
4
𝑥 𝑑𝑥. Đáp số:
3𝜋
16
6.
𝜋
4

0
tan

1
√
𝑥 + 2 +
√
𝑥 − 2
𝑑𝑥. Đáp số:
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 11
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.3. Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max Chương 1. Tích phân
10.
1

0

𝑒
2𝑥
+
3
𝑥 + 1

𝑑𝑥. Đáp số:
𝑒
2
2
+ 3 ln 2 −
1
2
11.


𝑎
min[𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 ta xét
dấu hàm ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) trên [𝑎, 𝑏] để tìm min[𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)],
max[𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)].
Ví dụ 1.3.1. Tính 𝐼 =
2

0
|𝑥
2
− 𝑥|𝑑𝑥
Giải
Cho 𝑥
2
− 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1
Bảng xét dấu
𝑥
𝑥
2
+ 𝑥
0 1 2
0
−
0
+
Khi đó: 𝐼 =
1

0

0


sin
𝑥
2
+ cos
𝑥
2

2
𝑑𝑥
=
2𝜋

0
⃒
⃒
⃒
sin
𝑥
2
+ cos
𝑥
2
⃒
⃒
⃒
𝑑𝑥
Cho sin

−
Khi đó: 𝐼 =
3𝜋
2

0

sin
𝑥
2
+ cos
𝑥
2

𝑑𝑥 +
2𝜋

3𝜋
2
−

sin
𝑥
2
+ cos
𝑥
2

𝑑𝑥
= 2

Ví dụ 1.3.3. Tính 𝐼 =
2

−1
(|𝑥| − |𝑥 − 1|) 𝑑𝑥
Giải
Bảng xét dấu chung
𝑥
𝑥
𝑥 − 1
−1
0 1 2
−
0
+ +
− −
0
+
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 13
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.3. Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max Chương 1. Tích phân
Khi đó: 𝐼 =
0

−1
(−𝑥 + 𝑥 − 1) 𝑑𝑥+
1


Bảng xét dấu
𝑥
ℎ(𝑥)
0 1 2
0
+
0
−
Do đó:
∙ Với 𝑥 ∈ [0, 1] thì max[𝑥
2
, 3𝑥 + 2] = 𝑥
2
.
∙ Với 𝑥 ∈ [1, 2] thì max[𝑥
2
, 3𝑥 + 2] = 3𝑥 − 2.
Khi đó: 𝐼 =
1

0
𝑥
2
𝑑𝑥 +
2

1
(3𝑥 − 2) 𝑑𝑥 =
17
6

5 − 4 cos
𝑥
−4 sin 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: 2
√
3 − 2 −
𝜋
6
4.
5

−5
(|𝑥 + 2| −|𝑥 −2|) 𝑑𝑥. Đáp số: 8
5.
1

−1
(|2𝑥 − 1| −|𝑥|) 𝑑𝑥. Đáp số:
3
2
6.
1

−1
|𝑥|
𝑥
4
− 𝑥
2
− 12
𝑑𝑥. Đáp số:

√
2
3
10.
3

0
|2
𝑥
− 4|𝑑𝑥. Đáp số: 4 +
1
ln 2
.
11.
3

0
√
𝑥
3
− 2𝑥
2
+ 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số:
24+
√
3+8
15
.
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 15

1 + sin 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: 4
√
2.
16.
2

0
max(𝑥, 𝑥
2
) 𝑑𝑥. Đáp số:
55
6
.
17.
2

0
min(𝑥, 𝑥
3
) 𝑑𝑥. Đáp số:
4
3
.
18.
𝜋
2

0
min(sin 𝑥, cos 𝑥) 𝑑𝑥
1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản

Đặt 𝑡 =
√
𝑥
2
+ 1 ⇒ 𝑡
2
= 𝑥
2
+ 1 ⇒ 𝑥
2
= 𝑡
2
− 1 ⇒ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑑𝑡
Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 =
√
1 ⇒ 𝑡 =
√
2
Khi đó: 𝐼 =
1

0
√
𝑥
2
+ 1.𝑥 𝑑𝑥 =
√
2

1

+ 1)
′
= 𝑥 nên
ta triệt tiêu được 𝑥 ngoài dấu căn. Bài này ta còn có thể giải theo cách
khác như ở Ví dụ 1.5.7 trang 33.
Ví dụ 1.4.2. Tính 𝐼 =
√
3

0
𝑥
3
√
𝑥
2
+ 1 𝑑𝑥
Giải
Đặt 𝑡 =
√
𝑥
2
+ 1 ⇒ 𝑥
2
= 1 − 𝑡
2
⇒ 𝑥𝑑𝑥 = −𝑡𝑑𝑡
Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0 ; 𝑥 =
√
3 ⇒ 𝑡 = 2
Khi đó: 𝐼 =

3

⃒
⃒
⃒
⃒
2
0
=
4
3
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 17
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
Nhận xét: Trước khi đổi sang biến 𝑡 ta có bước phân tích làm xuất
hiện kết quả vi phân 𝑥𝑑𝑥 là 𝑥
3
𝑑𝑥 = 𝑥
2
.𝑥𝑑𝑥 và ta thấy cần chuyển 𝑥
2
theo biến 𝑡 thì phép đổi biến mới thành công.
Bài toán tương tự
1.
1

0
𝑥 − 1

𝑥
√
2𝑥 − 1 𝑑𝑥.
Đáp số :
144
5
4.
6

2
1
2𝑥 + 1 +
√
4𝑥 + 1
𝑑𝑥. Đáp số: ln
3
2
−
1
6
5.
𝜋
2

0
√
1 + 4 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥.
Ví dụ 1.4.3. Tính
√
3

Khi đó: 𝐼 =
√
3

1
3 − 2 ln 𝑥
√
1 + 2 ln 𝑥
·
1
𝑥
𝑑𝑥 =
√
2

1
(3 − 𝑡
2
+ 1)
𝑡
· 𝑡 𝑑𝑡
=
√
2

1
(4 − 𝑡
2
) 𝑑𝑡 =
10

3.
𝑒
√
7

1
ln 𝑥
3

1 + ln
2
𝑥
𝑥
𝑑𝑥. Đáp số: ln
3
2
−
1
3
Ví dụ 1.4.4. Tính 𝐼 =
2
√
3

√
5
1
𝑥
√
4 + 𝑥

𝑥
√
4 + 𝑥
2
𝑑𝑥 =
2
√
3

√
5
1
𝑥
2
√
4 + 𝑥
2
· 𝑥 𝑑𝑥
=
4

3
1
(𝑡
2
− 4)𝑡
· 𝑡 𝑑𝑡 =
4

3

𝑑𝑡
=
1
4
(ln |𝑡 − 2|−ln |𝑡 + 2|)|
4
3
=
1
4
· ln
5
3
Nhận xét: khi ta phân tích làm xuất hiện vi phân 𝑥𝑑𝑥 ta thấy hàm
ban đầu chưa có kết quả này do đó ta cần nhân tử và mẫu biểu thức
dưới dấu tích phân cho 𝑥. Sau đó ta cần chuyển 𝑥
2
theo biến 𝑡 thì phép
đổi biến mới thành công.
Bài toán tương tự
1.
ln 8

ln 3
1
√
1 + 𝑒
𝑥
𝑑𝑥. Đáp số: ln
3

mẫu số chung nhỏ nhất của các số mũ
𝑚
𝑛
, . . . ,
𝑟
𝑠
.
Ví dụ 1.4.5. Tính 𝐼 =
63

0
1
3
√
𝑥 + 1 +
√
𝑥 + 1
𝑑𝑥
20
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
Giải
Đặt 𝑥 + 1 = 𝑡
6
⇒ 𝑥 = 𝑡
6
− 1 ⇒ 𝑑𝑥 = 6𝑡

𝑡 + 1

𝑑𝑡 = 11 + 6 ln
2
3
Nhận xét: do
3
√
𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)
1
3
,
√
𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)
1
2
và mẫu số chung
của các số mũ
1
3
,
1
2
là 6 nên ta đổi biến 𝑥 + 1 = 𝑡
6
.
Bài toán tương tự
1.
729


𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
nói chung trong nhiều trường hợp ta đặt 𝑡 = 𝑔(𝑥).
Ví dụ 1.4.6. Tính 𝐼 =
4

0
√
2𝑥 + 1
1 +
√
2𝑥 + 1
𝑑𝑥
1
Phương pháp giải tổng quát xem mục 1.6 trang 37
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 21
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
Giải
Đặt 𝑡 = 1 +
√
2𝑥 + 1 ⇒ 𝑡 − 1 =
√
2𝑥 + 1
⇒ 2𝑥 + 1 = (𝑡 − 1)
2
⇒ 𝑑𝑥 = (𝑡 − 1)𝑑𝑡
Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 2 ; 𝑥 = 4 ⇒ 𝑡 = 4


0
𝑥
3
𝑥
2
+ 1
𝑑𝑥
Giải
Đặt 𝑡 = 𝑥
2
+ 1 ⇒ 𝑥
2
= 𝑡 − 1 ⇒ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
2
Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 2
Khi đó: 𝐼 =
1

0
𝑥
2
𝑥
2
+ 1
· 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
2

1

22
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
Bài toán tương tự
1.
𝜋
2

0
sin
3
𝑥
1 + cos 𝑥
𝑑𝑥
1.4.4 Dạng biểu thức lũy thừa
Thông thường ta đặt 𝑡 là biểu thức lấy lũy thừa.
Ví dụ 1.4.8. Tính 𝐼 =
1

0
𝑥
3
(𝑥
4
− 1)
5
𝑑𝑥.

0
−1
= −
1
24
.
Nhận xét: do (𝑥
4
)
′
= 4𝑥
3
nên ta khử được 𝑥
3
trong đề bài.
Bài toán tương tự
1.
1

0
𝑥
3
(1 + 𝑥
4
)
3
𝑑𝑥. Đáp số:
15
16
.


0
cos(2𝑥 + 𝜋) 𝑑𝑥
5.
1

0
𝑥
2
𝑒
3𝑥
3
𝑑𝑥
6.
𝜋
4

0
sin 2𝑥.𝑒
sin
2
𝑥
𝑑𝑥
1.4.5 Biểu thức có logarit
Dạng thường gặp là biểu thức chứa
1
𝑥
và ln 𝑥. Ta thường đổi
biến 𝑡 = ln 𝑥 hoặc 𝑡 = biểu thức chứa ln 𝑥.
Ví dụ 1.4.9. Tính các tích phân sau:

=
2

1
𝑡
2
𝑑𝑡 =
𝑡
3
3
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1
=
7
3
.
(b) Đặt 𝑡 =
3

1 + ln
2
𝑥 ⇒ 𝑡
3
= 1 + ln
2
𝑥 ⇒ 3𝑡

𝑑𝑡 =
3
8
· 𝑡
4
⃒
⃒
⃒
⃒
3
√
2
1
=
3
8
(
3
√
16 − 1)
24
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
Bài toán tương tự
1.
𝑒
2

9 − ln
2
𝑥
𝑑𝑥
4.
𝑒

1
√
1 + ln 𝑥
2𝑥
𝑑𝑥. Đáp số:
2
√
2−1
3
5.
𝑒
3

1
1
𝑥
√
1 + ln 𝑥
𝑑𝑥. Đáp số: 2.
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 25
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com