NGUYỄN BẢO VƯƠNG
TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP

PHIẾU 1. NGUYÊN HÀM
TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ
0946798489


Nguyễn Bảo Vương

SĐT: 0946798489

Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích
Phương pháp:
Để tìm nguyên hàm  f(x)dx , ta phân tích
f(x)  k1.f1(x)  k2 .f2 (x)  ...  kn .fn (x)

Trong đó: f1(x), f2 (x),...,fn (x) có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm
Khi đó:  f(x)dx  k1  f1(x)dx  k2  f2 (x)dx  ...  kn  fn (x)dx .
Ví dụ 1.1.5 Tìm nguyên hàm:
I

2x2  x  1
dx
x 1

J

x3  1
dx

 x2  x  1 
x1
x1
x 1



Suy ra J    x2  x  1 




1





2 
x3 x2

 x  2 ln x  1  C
 dx 
x  1
3
2

3

3

Phương pháp:
“ Nếu  f  x  dx  F  x   C thì  f  u  x   .u'  x  dx  F  u  x    C ”.
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích

1
Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489


Tài liệu ôn tập và giảng dạy





f  x   g u  x  u'  x  dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t  u  x 





 dt  u'  x  dx . Khi đó: I   g  t  dt  G  t   C  G u  x   C

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t  u  x 
Ví dụ 1.2.5 Tìm nguyên hàm:
J

I   (x  1) 3 3  2xdx

xdx
3



3  5t 4 t7 
 
 C
4  4
7 


7
5 3 (3  2x)4
3  3 (3  2x)

4
7
4


2. Đặt t  3 2x  2  x 


C



t3  2
3
 dx  t 2 dt
2
2


3. Ta có: I  

x( 5x  3  x  3)dx 1
  ( 5x  3  x  3)dx
5x  3  x  3
4

1 1

 
(5x  3)3  (x  3)3   C .
65


Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Phương pháp:

2
Thành công không có cái bóng của sự lười biếng!!!


Nguyễn Bảo Vương

SĐT: 0946798489

Cho hai hàm số u và v liên tục trên a; b  và có đạo hàm liên tục trên a; b  . Khi đó :

 udv  uv   vdu 
b


Dạng 3 : I   P  x  ln  mx  n  dx
u  ln  mx  n 
Với dạng này, ta đặt 
.
dv  P  x  dx


sin x  x
 e dx
cos x 

Dạng 4 : I   

3
Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489


Tài liệu ôn tập và giảng dạy


sin x 
u  

Với dạng này, ta đặt  cos x  để tính

x
dv  e dx



cos x
v   cos x


Suy ra I   cos xln(cos x)   sin xdx   cos xln(cos x)  cos x  C

x 1
u  ln
2. Đặt 
x  1 ta chọn
dv  xdx

1
2

Suy ra I  x2 ln



2
dx
du 

(x  1)2

1 2

v  2 x



1
3

2
3

Cách 2 : Ta có : sin 2x.e3x  [sin 2x(e 3x )' (sin 2x)'.e 3x ]  cos 2xe 3x
1
2
4
 (sin 2x.e3x )' cos 2x.(e3x )' (cos 2x)'e 3x   sin 2x.e 3x
 9
3
9



13
1
2
1
2

sin 2x.e3x  (sin 2x.e3x )' (cos 2x.e 3x )'   sin 2x.e 3x  cos 2xe 3x  '
9
3
9
3
9


3
2

 a  ,b  


2a
3b
0
13
13


Vậy I 

1 3x
e (3sin 2x  2 cos 2x)  C .
13

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định, liên tục trên R . Hỏi khẳng định nào sau đây sai?
A.

f (x)

g(x) dx

f (x)dx

g(x)


Câu 3. Hàm số F x

A. f(x) =

f (x)dx

1
x

C. x

D. dx

ln x là nguyên hàm của hàm số nào

B. f(x) = x

C. f(x) =

x2
2

D. f(x) = |x|

Câu 4. Công thức nào là đúng

5
Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489



B.

x dx

C

1

D.

x dx

1
1
1
1

x

1

C

1

x

1



C

C. 5cos x 1

C

D.

5cos x 1

C

Câu 7. Công thức nào là đúng
A.

1
dx
cos x 1

tan x 1

C.

1
dx
cos x 1

tan x 1


Câu 8. Điền vào chỗ … để được đẳng thức đúng
ex x 1

A. xe x

B. e x

Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số y

C

... dx

C. x 1 e x

D. x 1 ex

2x là

6
Thành công không có cái bóng của sự lười biếng!!!


Nguyễn Bảo Vương

A. x

2

C

16

C

Câu 13. Kết quả I

x2
ln x
A.
2

B.

x2

x

C

1
cos3 x
3
7

15

C

x2



16

C.

1 2
x
16

7

16

D.

1 2
x
2

7

16

C

x ln xdx là

1 2
x
4


C.

1 2
x
4

2

x

C

3x 2
2

x2

1
x2

1 2
x
2

C. x 2 ln x

C

C

D.
2

x 1 dx , kết quả là:

Câu 11. Kết quả của phép tính

A.

x2
C.
2

2

Câu 10. Tính

A.

SĐT: 0946798489

C

C. x

3

3x

2


C. F(x)

x2

x

C
1
x

Câu 16: Nguyên hàm của hàm số f (x)
A. ln x ln x 2

C

B. lnx -

1
A. e2x
2

ex

B. 2e2x

C

e2x
ex

2e x

C.

sin 3x

C

D.

3sin 3x

C

1
là:
cos 2 x
C. ex + tanx + C

D. Kết quả khác

sin(3x 1)dx , kết quả là:

1
cos(3x 1)
3

Câu 21. : Tìm

C. ex (ex


B.

1 3
x
3

1
là :
x2

1
+C
x

Câu 17: Nguyên hàm của hàm số f (x)

D. F(x)

C

(cos 6x

1
sin 6x
6
1
sin 6x
6


B. 6sin 6x 5sin 4x
D.

6sin 6x

sin 4x

C
C

1
dx ta được kết quả sau:
2x 1

8
Thành công không có cái bóng của sự lười biếng!!!


Nguyễn Bảo Vương

A.

1
ln 2x 1
2

SĐT: 0946798489

C


1
dx ta được kết quả sau:
1 2x
B.

C

C.

C

2ln 1 2x

C.

C

Câu 24: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
A.

1
dx
x

ln x

C

C.



1)

C

(3cos x 3x )dx , kết quả là:

Câu 25: Tính

3x
ln 3

A. 3sin x

C

B.

3x
ln 3

3sin x

3x
ln 3

C. 3sin x

C


B. Chỉ (II), (III)

C. Chỉ (III)

D. Chỉ (II)

Câu 28: Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai
A.

f '(x)f 2 (x)dx

C.

f (x)

g(x) dx

f 3 (x)
3

C

f (x)dx

g(x)dx

Câu 29: Nguyên hàm của hàm số f (x)

1
A. (2x 1) 4

Tài liệu ôn tập và giảng dạy

(1 2x)5 là:

Câu 30: Nguyên hàm của hàm số f (x)

1
(1 2x)6
2

A.

B. (1 2x)6

C

C. 5(1 2x)6

C

D. 5(1 2x)4

C

C

Câu 31: Chọn câu khẳng định sai?

1
x

2xdx

D.

1
dx
sin 2 x

cot x

C

C. x 2

3ln x 2

C

ex

1
sin 2 x

B. f (x)

C. f (x)

ex

1


ex

1
sin 2 x

C thì f (x) bằng

C. ex

cos 2x

Câu 34: Nguyên hàm của hàm số f(x) =
A.

C

C là nguyên hàm của hàm số f (x) nào?

A. f (x)

Câu 34: Nếu

C

3
là :
x2

Câu 32: Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x

C

D. Kết quả khác

Câu 35: Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sin3xcos2x

10
Thành công không có cái bóng của sự lười biếng!!!


Nguyễn Bảo Vương

A.

SĐT: 0946798489

1
cos5x cos x
5

C B.

1
cos 5x
5

cos x

C


B.
3

40
3

D. Kết quả khác

x và f(4) = 0
x2
2

8x x
C.
3

40
3

D. Kết quả khác

2

xe x dx là

Câu 38: Nguyên hàm của hàm số
2

A. xe



x2
2

3

B. y

f (x)

x4
4

C. y

f (x)

x4
4

x2
2

3

D. y

f (x)

3x 2 1


3

A. y

A. ln

ex

sin 4 x
B.
4

C
dx
3x

2

ln

1
x 1

2

C

(sin x 1)4
C.

Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489


Tài liệu ôn tập và giảng dạy

A.

1
x sin 2x
2

C.

x 2 sin 2x
4

1
cos 2x
4

C

B.

1
x sin 2x
2

D. sin 2x



C

C
3x 2

sin xdx

D.

cos xdx

cos x
sin x

C
C

sin 3 x cos xdx ta được kết quả là:

B.

Câu 45: Cho f (x)

B.

1 4
sin x
4



x3

x2

3x

2

B. F(x)

x3

x2

3x 1

D. F(x)

x3

x2

3x 1
x(2 x)
(x 1)2

Câu 46. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x)

A.


1

10

5x
x

x2
dx
1 x2

1

dx

1
x
5.2 .ln 2

1 x 1
ln
2 x 1

Câu 48: Tìm nguyên hàm

3

x
x2

1
4x 4

C

C

4
dx
x

12
Thành công không có cái bóng của sự lười biếng!!!


Nguyễn Bảo Vương

SĐT: 0946798489

A.

53 5
x
3

4ln x

C

B.

C.

2
x
3

2cos 2x

Câu 51: Tính
A. x

tan x

33 5
x
5

4ln x
4ln x

C
C

x
dx là:
1 x2

C

A.


C

1
sin 2x
4

C

B.

2
x
3

2cos x

1
sin 2x
4

C

D.

2
x
3

2cos x


C

Câu 52: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?
(I)
(II)
(III)

A. Chỉ (I) và (II)

sin x sin 3xdx

1
1
(sin 2x - sin 4x)
4
2

1 3
tan x C
3
x 1
1
dx
ln(x 2
2
x
2x 3
2


Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489


Tài liệu ôn tập và giảng dạy

A. cos2 x

C

B.

2x sin 2x
4

C

C. x cos2x

C

D.

B.

tan xdx

ln cosx

C


dx
1 x4

ln sinx

C

ln(1 x 4 )

C

Câu 56: Nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 – 3x +

A.

x3
3

3x 2
2

ln x

C

B.

Câu 57: Họ nguyên hàm của f (x)

A. F(x)

x2

C C. x3

C

B. lnx -

1
x

ln x

x3
3

C

e2x

B. F(x)

2x 2 C

D. F(x)

1 3
x
3


A. ln x ln x 2

1
là:
x

D. Kết quả khác

ex là:

14
Thành công không có cái bóng của sự lười biếng!!!


Nguyễn Bảo Vương

1
A. e2x
2

ex

SĐT: 0946798489

B. 2e2x

C

ex


sin 6x
6

C

B.

D. Kết quả khác

C

C.

sin 3x

C

D.

3sin 3x

C

1
là:
cos 2 x

2e x

e x

C

D. Kết quả khác

cos 4x)dx là:

Câu 64: Tính nguyên hàm

A.

C

sin(3x 1)dx , kết quả là:

1
cos(3x 1)
3

A.

x)

cos3x là:

1
sin 3x
3

B.


C.

1
ln 2x 1
2

C

D. ln 2x 1

C

15
Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489


Tài liệu ôn tập và giảng dạy

Câu 65: Tính nguyên hàm

A. ln 1 2x

1
dx ta được kết quả sau:
1 2x
B.

C

2ln 1 2x

C

ax
ln a

C (0

a

1)

x

B.

x dx

D.

1
dx
cos 2 x

1

1

C (

tan x

ln 3

(III) f (x)

tan 2 x 1

C

D.

3sin x

3x
ln 3

C

Câu 68: Trong các hàm số sau:
(I) f (x)

tan 2 x

2

(II) f (x)

2
cos 2 x

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx


Nguyễn Bảo Vương

C.

f (x)

SĐT: 0946798489

g(x) dx

f (x)dx

g(x)dx

B. (2x 1)4

C

1
(1 2x)6
2

C

B. (1 2x)6

C

C. 2(2x 1)4


C

C

Câu 73: Chọn câu khẳng định sai?

1
x

A.

ln xdx

C.

sin xdx

C

cos x

C

Câu 74: Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x

A. x 2

3
x


C

cot x

C

3
là :
x2
C. x 2

C

3ln x 2

C

D. Kết quả khác

C là nguyên hàm của hàm số f (x) nào?

B. f (x)

ex

x2

B.


C. ex

cos 2x

Câu 77. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của f (x)

A. 2cos 2x

1
B. x 4
4

6x 2

x3

x2

x

C.

1 4
x
4

x3

D.


2

3

C.

1
x

1 3x
e
3

1
cos 2x
2

3x 2

2x 1

D. 3x 2

6x 2

1
2x 2016

2016


D.2 ln 2x

2016

3

D. -3 e3x

3

3

x dx là:

C

C

B. F(x) = ln x

1 2
x
2

D. F(x) = ln x

x2

C


C. F(x)

1 3
x
3

3 2
x
2

x

C.

(x 2

A. F x

2x 3
3
3x 3

C. F x

3
x

C

3


x

3 2
x
2
3 2
x
2

B. ex

sin x

Câu 86. Tính: P

A. P

C. P

(2x

5)6

(2x
6

5)6

(2x


C

3
x

Câu 85. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của f (x)
A. ex

x

C

ex

cos x

sin x

D.

ex

sin x

5)5 dx

C

B. P

D. 2sinx

dx
ta được
3x 1

Câu 88. Tìm

3

A.

C. -2cos2x

3x 1

2

B.

C

1
ln 3x 1
3

C

C. ln 3x 1


2x 1 dx ta được

1
6
2x 1
12

C

B.

1
6
2x 1
6

Câu 90. Nguyên hàm của hàm số f (x)

x2
2

A. x

x3
3

C

x2
2


1 2x

C.

x3

C

sin 4 x cos xdx là:

C

C. I

sin 5 x
5

1
C. tan(2x 1)
2

1
sin (2x 1)
2

Câu 93. Nguyên hàm F x của hàm số f x

C



20
Thành công không có cái bóng của sự lười biếng!!!


Nguyễn Bảo Vương

SĐT: 0946798489

A. F x

x 3ln x

3
x

1
2x 2

C

B. F x

x 3ln x

3
x

1
2x 2

x2

x

0 , biết rằng F 1

1 . F x là biểu thức

nào sau đây
A. F x

2x

3
x

2

B. F x

2ln x

3
x

2

C. F x

2x


D. F x

x2
2

5
2

D. f x

x 2 .e x

1

0 . F x là biểu thức nào sau đây

A. F x

x

2

1
x

Câu 96. Hàm số F x

4



A. f x

2x.e

x2

B. f x

e

2x

C. f x

ex
2x

Câu 97. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f x

x 2
x 1

2

1

x
2


x
3
x2
2

1
x

2x

C.

x2

1

x 1
x 1

x

0 là

B. F x

x3
3

D. F x



Câu 99. Một nguyên hàm của hàm số: y = sinx.cosx là:
A.

1
cos 2x +C
2

B.

cos x.sin x +C

C. cos8x + cos2x+C

D.

1
cos 2x +C .
4

D.

1 sin 6x
2
6

Câu 100. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
A. cos6x

B. sin6x


C

C

cos x

C

D. Kết quả khác

Câu 102: Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
A. x2 + x + 3

B. x2 + x - 3

C. x2 + x

D. Kết quả khác

22
Thành công không có cái bóng của sự lười biếng!!!


Nguyễn Bảo Vương

SĐT: 0946798489

Câu 103: Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 4 x


2

40
3

D. Kết quả khác

2

xe x dx là

Câu 104: Nguyên hàm của hàm số
2

A. xe

x2

ex
B.
2

C

Câu 105: Tìm hàm số y

A. y

f (x)



C

x)(x 1) và f (0)

ex

2

3

x2
2

3

B. y

f (x)

x4
4

x2
2

x2
2

3


dx
3x

1
x 1

2

(sin x 1)4
C.
4

C

C

D. 4(sin x 1)3

C

là:

C B. ln

x 2
x 1

C



1
cos 2x
4

C

B.

1
x sin 2x
2

D. sin 2x

C

1
cos 2x
2

C

C

Câu 109: Lựa chọn phương án đúng:
A.

cot xdx



C

sin x

C

sin 3 x cos xdx ta được kết quả là:

Câu 110: Tính nguyên hàm

A. sin 4 x

B.

1 4
sin x
4

C

C.

sin 4 x

C

2x 3 có một nguyên hàm triệt tiêu khi x

D.

x3

x2

3x 1

D. F(x)

x3

x2

3x 1

Câu 112. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x)

A.

x2

x 1
x 1

B.

x2

x 1
x 1