Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Email:
Facebook: />
Phần Tích Phân-Giải tích 12

Trang 1


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Tích Phân-Giải tích 12

ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Khái niệm nguyên hàm
 Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F '(x)  f (x) , x  K
 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
 f (x)dx  F(x)  C , C  R.

 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
  f '(x)dx  f (x)  C

 f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx
  kf (x)dx  k  f (x)dx (k  0)


3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1)

n

dx  

1

9)

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C

11)

 cos

15)

 e dx  e

1
2

dx   (1  tan 2 x)dx  tan x  C

x
1
1
13) 
dx  tan(ax  b)  C
2
cos (ax  b)

1
x a
 x 2  a 2 dx  2a ln x  a  C
1
x
 a 2  x 2 dx  arcsin a  C



1
2

x a

2

dx  ln x  x 2  a 2  C

Email:
Facebook: />
4)
6)
8)
10)

x n 1
 x dx  n  1  C
1
 x dx  ln x  C
1


18)
20)
22)
24)
26)
28)

x

dx  e  x  C

1 (ax  b) n 1
n
(ax

b)
.dx

.
 C (n  1)

a
n 1
1
 x 2  1 dx  arctan x  C
1
x
 x 2  a 2 dx  arctan a  C
1




x 2  a 2 dx 

Phần Tích Phân-Giải tích 12

x
a2
x 2  a 2  ln x  x 2  a 2  C
2
2

B – BÀI TẬP
Câu 1: Nguyên hàm của 2x 1  3x 3  là:
A. x 2  x  x 3   C

B. x 2 1  3x 2   C

Câu 2: Nguyên hàm của
A. 

x4  x2  3
C
3x

1
1
 x 2  là:
2

A. F  x  
C
4

B. F  x  

3x 3 x
C
4

là:
x x
2
C
B. F  x   
x

2
C
x

4x
C
33 x

C. F  x  

x
C
2

2 5
2 5
A. 5ln x 
x C
B. 5 ln x 
x  C C. 5 ln x 
x  C D. 5 ln x 
x C
5
5
5
5
dx
Câu 6: 
bằng:
2  3x
1
3
1
1
A.
B. 
C. ln 2  3x  C
D.  ln 3x  2  C
C
C
2
2
3
3


53 5
x  4 ln x  C
3
3
C. 3 x 5  4 ln x  C
5

B. 
D.

 (x



 C

x 1
x2

1 2 x
C
x

4
x 2  )dx
x

A.


x C
3
3
x3
4 3
C.
 3ln x 
x C
3
3
A.

5
Câu 10: Tìm nguyên hàm:  (  x 3 )dx
x
2 5
2 5
A. 5ln x 
x C
B. 5 ln x 
x C
5
5
2
Câu 11: Tìm nguyên hàm:  (x 3   x )dx
x
1 4
2 3
A. x  2 ln x 
x C

3
3
B.

C. 5 ln x 

2 5
2 5
x  C D. 5 ln x 
x C
5
5

1 4
2 3
x  2 ln x 
x C
4
3
1
2 3
D. x 4  2 ln x 
x C
4
3

B.

2
C

 x 


 2 
x(2  x)
Câu 14: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) 
(x  1) 2

x2  x 1
x2  x 1
B.
x 1
x 1
Câu 15: Kết quả nào sai trong các kết quả sao?
A.

2x 1  5x 1
1
2
 10x dx  5.2x.ln 2  5x.ln 5  C
x2
1 x 1
C. 
dx  ln
xC
2
1 x
2 x 1
A.


4x

B.



D.

 tan

B.

x2
 x  ln x  1  C
2

2

xdx  tan x  x  C

D. x  2 ln x  1  C

Trang 4


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 17: 

x2  x  3
dx bằng:


1
là
x

x 3 3x 2
A. F(x) =

 ln x  C
3
2
x 3 3x 2
C. F(x) =

 ln x  C
3
2
2x
Câu 20: Cho f  x   2
. Khi đó:
x 1
A.  f  x dx  2 ln 1  x 2   C

x 3 3x 2
B. F(x) =

 ln x  C
3
2
x 3 3x 2

2
13
x
2
C. F(x) 
x

D. F(x) 
x
6
2
x 1 6
2
x 1
1

Câu 22: Nguyên hàm của hàm số y  3x  1 trên  ;   là:
3

Câu 21: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 

3 2
2
2
3
3
x x C
B.
C.
D.


B. ln x  x 2  1  x  C

C. x ln x 2  1  x  C

D.

Câu 25: Nguyên hàm của hàm số y 

3 2
x x C
2





x 2  1 ln x  x 2  1  x  C

2x 4  3
là:
x2

Email:
Facebook: />
Trang 5


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

F(a x  b)  C
2a

B. F(a x  b)  C

C.

1
C
x2

C. F(x) 

B. Đáp số khác

Câu 28: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 

D. F(a x  b)  C

1
là:
(x  2)2

Câu 27: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 
A. F(x) 

1
F(a x  b)  C
a



A. 4

C.

2 3 x4
x   4x
3
4

D. x 3  x 4  2x

Câu 30: Nguyên hàm của hàm số f  x   x 3 trên  là
A.

x4
xC
4

Câu 31: Tính

B. 3x 2  C

C. 3x 2  x  C

D.

x4
C
4

B. x 3  x  2
C. x 3  4

D. 2x 3  2

Câu 33: Hàm số f  x  có nguyên hàm trên K nếu
A. f  x  xác định trên K

B. f  x  có giá trị lớn nhất trên K

C. f  x  có giá trị nhỏ nhất trên K

D. f  x  liên tục trên K

Câu 34: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x)  x  3 x  4 x ?

2 32 3 43 4 54
x  x  x C
3
4
5
2
4
2
4
5 5
C. F(x)  x 3  x 3  x 4  C
3
3
4


x 4 x3
  x2  x 1
4 3

Trang 6


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. F(x) 

x 4 x3
  x2  x  2
4 3

D. F(x) 

Phần Tích Phân-Giải tích 12

x 4 x3
  x2  x
4 3

Câu 36: Họ nguyên hàm của hàm số y  (2x  1)5 là:
1
1
1
A.
(2x  1) 6  C
B. (2x  1) 6  C





Câu 38: Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên  a; b  và C là hằng số thì  f (x)dx  F(x)  C .
B. Mọi hàm số liên tục trên  a;b đều có nguyên hàm trên  a;b .
C. F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên  a; b   F(x)  f (x), x  a;b .
D.

  f (x)dx   f (x)

Câu 39: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2  x 2 biết F  2  

7
3

x3 1
x3
x3
19

B. F  x   2x  x 3 
C. F  x   2x   1
D. F  x   2x   3
3 3
3
3
3
Câu 40: Cho hai hàm số f (x), g(x) là hàm số liên tục,có F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của


A.  e x dx  e x  C
C.  cos xdx  sin x  C

D.

x 1
x 1

ax
 C  0  a  1
ln a
D.  sin xdx  cos x  C
B.  a x dx 

Câu 43: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
sin 3 x
(I) :  sin 2 x dx 
C
3
4x  2
(II) :  2
dx  2 ln  x 2  x  3  C
x x 3

Email:
Facebook: />
Trang 7



x 1
dx
A. 
 ln x  C
B.  x  dx 
 C    1
x
 1
ax
dx
x
C.  a dx 
 C  0  a  1
D. 
 tan x  C
ln a
cos x
Câu 46: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
F  x   1  tan x
f  x   1  tan 2 x
A.
là một nguyên hàm của hàm số

A.

B. Nêu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng

F x  C

(C là hằng số)

và
F  x   x là một nguyên hàm của f  x   2 x
C.
Fx  x2
f  x   2x
D.
là một nguyên hàm của
Câu 49: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
F  x   7  sin 2 x
A.
f  x   sin 2x
là một nguyên hàm của hàm số
Fx
G x
 F  x   G  x   dx có dạng
B. Nếu
và
đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì 
h  x   Cx  D (C,D là các hằng số, C  0 )
u ' x 

C.

 u x 

D. Nếu

u x  C

 f  t  dt  F  t   C thì  f  u  x   dt  F  u  x    C


D.  f (x)dx 

5
C
x

2x 3
 5lnx 2  C
.
3

4

Câu 51: Cho hàm số f  x   x  x 2  1 . Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x); đồ thị hàm số y  F  x  đi qua
điểm M 1;6  . Nguyên hàm F(x) là.
A. F  x 
C. F  x 

x

x


2

 1

4


5

5
2

 1
4



2
5



2
5

4

3

x 1
biết F(1) = 0
x2
x2 1 3
x2 1 1
B. F(x) 
 
C. F(x) 

3
(1  2x) 1  2x
4

1

Câu 54: Cho f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên  . Khi đó giá trị tích phân

 f (x)dx

là:

1

A. 2

B. 0

C. 1

D. -2

Câu 55: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn y '  x 2 .y và f(-1)=1 thì f(2) bằng bao nhiêu:
A. e3

B. e2

C. 2e

Câu 56: Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số

x 1
3
C. ln
D. ln 2
2

là

C

C.

1
C
4x  2

D.

1
C
2x  1

Câu 58: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  4x 3  3x 2  2x  2 thỏa mãn F(1)  9 là:
A. F(x)  x 4  x 3  x 2  2
B. F(x)  x 4  x 3  x 2  10
C. F(x)  x 4  x 3  x 2  2x
D. F(x)  x 4  x 3  x 2  2x  10
Câu 59: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
A.  0dx  C ( C là hằng số)
C.

là
x 1

x2
x2
x2
 3x  6ln x  1 B.
 3x-6ln x  1
C.
 3x+6ln x  1
2
2
2
Câu 61: Cho  f (x)dx  x 2  x  C . Vậy  f (x 2 )dx  ?
A.

x5 x3
A.
 C
5 3

B. x 4  x 2  C

C.

2 3
x xC
3

D.

2
A.  3
B.  3
C.  3
y
y
y

D. e u

D. Một kết quả khác.

Câu 65: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức: sin u.cos v  C   f (u)du
A. 2cosucosv

B. -cosucosv

C. cosu + cosv

D. cosucosv

x 3  3x 2  3x  7
với F(0) = 8 là:
(x  1) 2
x2
8
x2
8
x2
8

12
16
12
16
16 
 12
2x  3
Câu 68: Cho hai hàm số F(x)  ln(x 2  2mx  4) vaø f (x)  2
. Định m để F(x) là một nguyên
x  3x  4
hàm của f(x)
3
3
2
2
A.
B. 
C.
D. 
2
2
3
3
1
Câu 69:  2
dx bằng:
sin x.cos 2 x
A. 2 tan 2x  C
B. -2 cot 2x  C
C. 4 cot 2x  C

B.   cos2x  sin 2x   C
2
 2

1
D. x  cos4x  C
4

Trang 10


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

x 3
4x
x 4
4x
 sin
C
D.  cos
C
2 8
3
2 3
3
1
Câu 72: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  
và F  0   1 . Khi đó, ta có F  x  là:
cos 2 x
A.  tan x

C. f (x) 
sin x  3cos x

A. f (x) 

Câu 74: Tìm nguyên hàm:

B. f (x)  cos x  3sin x
D. f (x) 

sin x  3cos x
cos x  3sin x

2

 (1  sin x) dx

2
1
2
1
x  2 cos x  sin 2x  C ;
B. x  2 cos x  sin 2x  C ;
3
4
3
4
2
1
2

A.

Câu 76: Cho hàm f  x   sin 4 2x . Khi đó:
1
1

A.  f  x  dx   3x  sin 4x  sin 8x   C
8
8

1
1

C.  f  x  dx   3x  cos 4x  sin 8x   C
8
8


1
1

B.  f  x  dx   3x  cos 4x  sin 8x   C
8
8

1
1

D.  f  x  dx   3x  sin 4x  sin 8x   C
8

A. Đáp án khác
tan 4 x
C.
C
4

B. tan 2 x  1
1
D. tan 2 x  ln cos x  C
2

Câu 80: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  sin 2 x là
1
A. F(x)  (2x  sin 2x)  C
B. Cả (A), (B) và (C) đều đúng
4
1
1
sin 2x
C. F(x)  (x  sinx .cosx)  C
D. F(x)  (x 
)C
2
2
2
Email:
Facebook: />
Trang 11



8
64
8
8
8
64
3
1
1
3
C.  x  1  sin 4x  sin 8x
D. x  sin 4x  sin 6 x 
8
8
64
8
4
Câu 84: Một nguyên hàm của hàm số f (x) 
là:
cos 2 x
4x
4
A.
B. 4 tan x
C. 4  tan x
D. 4x  tan 3 x
2
sin x
3


1
1
13
C. F ( x)  sin 3x  5
D. F ( x)   sin 3x 
3
3
3
Câu 87: Một nguyên hàm của f (x)  cos 3x cos 2x bằng
1
1
1
1
1
1
1
A. sin x  sin 5x
B. sin x  sin 5x
C. cos x  cos 5c
D. sin 3x sin 2x
2
2
2
10
2
10
6

A.


C.
C
4

1
3sin x
sin 3x 
C
12
4
1  sin 3x

D. 
 3sin x   C
4 3


A.

B.

Câu 89: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x)  tan 2 x
A.

tan 3 x
C
3

B. Đáp án khác



Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. F(x) = ln(1 + sinx)

D. F(x) = 2tan

Phần Tích Phân-Giải tích 12
x
2

Câu 91: Họ nguyên hàm của f(x) = sin 3 x
cos3 x
cos3 x
1
A. cos x 
C
B.  cos x 
 C C.  cos x 
c
3
3
cos x
x
Câu 92: Cho hàm số f  x   2 sin 2 Khi đó  f (x)dx bằng ?
2
A. x  sin x  C
B. x  sin x  C
C. x  cos x  C
Câu 93: Nguyên hàm của hàm số f  x   2sin x  cos x là:
A. 2cos x  s inx  C

4

D.

1
 x  2 cos 2x   C
2

Câu 95: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2x là
1
A. F  x    cos 2x  C
B. F  x   cos 2x  C
2
1
C. F  x   cos 2x  C
D. F  x    cos 2x  C
2
Câu 96: Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x. cosx là:
A. F(x) = cos6x
B. F(x) = sin6x
1  sin 6x sin 4x 
11
1

C.  

D.  sin 6x  sin 4x 

2 6
4 


B.

Câu 98: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos2 x là:
x cos 2x
x cos 2x
x sin 2x
x sin 2x

C
B. 
C
C. 
C
D. 
C
2
4
2
4
2
4
2
4
dx
Câu 99: Tính: 
1  cos x
x
x
1

Email:
Facebook: />
B.

1
sin 3x  C
3

Trang 13


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C.

1
1
sin 4x  cos4x  C
4
4

D.

Phần Tích Phân-Giải tích 12

1
 sin 4x  cos4x   C
4

Câu 102:  cos8x.sin xdx bằng:
1

B. sin 3 2x  C
C. x  sin 4x  C
D. x  sin 4x  C
2
8
3
2
8
2
4
Câu 104: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  x  sin x thỏa mãn F(0)  19 là:

A.

x2
A. F(x)  cosx 
2
2
x
C. F(x)  cosx   20
2

x2
B. F(x)  cosx   2
2
x2
D. F(x)  cosx   20
2



C. F(x)   cotx  x 2
D. F(x)  cotx  x 2 
16

Câu 107: Cho hàm số f  x   cos 3x.cos x . Nguyên hàm của hàm số f  x  bằng 0 khi x  0 là hàm số
nào trong các hàm số sau ?
sin 4x sin 2x
sin 4x sin 2x
cos 4x cos 2x
A. 3sin 3x  sin x
B.

C.

D.

8
4
2
4
8
4
Câu 108: Họ nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   cot 2 x là:
A. cot x  x  C

B.  cot x  x  C

Câu 109: Tính nguyên hàm I  
a 2  b là:
A. 8


dx
x  
được kết quả I  ln tan   2   C với a; b; c   . Giá trị của
cosx
a b 

1 3x

A. F  x  

C. cot x  x  C

C. F  x   

3e
C
e3x

D. F  x   

e
C
3e3x

Trang 14


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
1

D. F  x  

e5x
C
5e2

Câu 112:   3x  4 x dx bằng:
A.

3x
4x

C
ln 3 ln 4



B.

3x
4x

C
ln 4 ln 3

C.

4x
3x



B. 3.

2x 2 3

x C
ln 2 3

2x
 x3  C
ln 2

Câu 114: Nguyên hàm của hàm số f  x   23x.32x là:

23x 32x
.
C
3ln 2 2ln 3
23x.32x
C. F  x  
C
ln 6

72
C
ln 72
ln 72
D. F  x  
C
72


C. F  x  

22x.3x.7 x
C
ln 4.ln 3.ln 7

C. 84 x  C

x
C
2

3
 
4
D. F  x   3    C
3
ln
4

Câu 116:  22x.3x.7 x dx là
A.

84x
C
ln 84

B.


1
C
e  e x
x

1

Câu 119: Một nguyên hàm của f  x    2x  1 e x là
1

A. x.e x

1

B.  x 2  1 e x

1

1

C. x 2 e x

D. e x

Câu 120: Xác định a,b,c để hàm số F(x)  (ax 2  bx  c)e  x là một nguyên hàm của hàm số
f (x)  (x 2  3x  2)e  x
A. a  1, b  1,c  1

B. a  1, b  1, c  1


5x
5.2x
5x
5.2 x
C.  f (x).dx 

C
D.  f (x).dx  

C
2 ln 5 ln 2
2 ln 5 ln 2
Cho hàm số f (x) 

Câu 121:

Câu 122: Nếu  f (x) dx  e x  sin 2 x  C thì f (x) bằng:
A. e x  2 sin x

B. e x  sin 2x

C. e x  cos 2 x

D. e x  2 sin x

Câu 123: Nếu  f (x)dx  e x  sin 2 x  C thì f (x) là hàm nào ?
A. e x  cos 2 x

B. e x  sin 2x



C. e x  x  C

D. e x  x  1

e3x  1
là:
ex  1

1 2x
e  ex  x
2
1
C. F(x)  e2x  e x
2

1
B. F(x)  e2x  ex
2
1
D. F(x)  e2x  e x  1
2

A. F(x) 

Câu 127: Nguyên hàm của hàm số f  x 
A. F  x   2e x  tanx

e x
 e (2 



1  C

B. 2

x

4
5
B. 4x  e3x  e6x  C
3
6
4 3x 1 6x
D. 4x  e  e  C
3
6

C. 2

C

x 1



D. 2 2

C


2 x 1
ln 2

B. 2 x 1  C

Email:
Facebook: />
C.

2 x 1
C
ln 2

D. 2 x 1.ln 2  C

Trang 16


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Tích Phân-Giải tích 12

Câu 132: Nguyên hàm của hàm số f  x   312x.23x là:
x

8
 
9
A. F  x      C
8

ln
8

Câu 133: Nguyên hàm của hàm số f  x   e3x .3x là:
3 x

 3.e   C
A. F  x  
ln  3.e 

B. F  x   3.

3

C. F  x  

 3.e 

e3x
C
ln  3.e3 
3 x

x

ln  3.e3 

D. F  x 

C

1  3x
1 
B. 
 x
 C
3  ln 3 3 ln 3 

D.

1  x 1 
 9  x   2x  C
2 ln 3 
9 

Câu 135: Gọi  2008x dx  F  x   C , với C là hằng số. Khi đó hàm số F  x  bằng
A. 2008 x ln 2008

B. 2008 x 1

Câu 136: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  

C. 2008 x

D.

2008x
ln 2008

1
là

B. F(x)  e x  3e 3x  C
D. F(x)  e x  3e  x  C

Câu 138: Hàm số F(x)  e x  tan x  C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
1
A. f (x)  e x  2
B. Đáp án khác
sin x
1
ex 
x
x 
C. f (x)  e  2
D. f (x)  e 1 

2
sin x
 cos x 
cosxesinx ; x  0

Câu 139: Cho f  x    1
. Nhận xét nào sau đây đúng?
; x  0

 1 x
cosx
e
; x  0
A. F  x   
là một nguyên hàm của f  x 


3
dx bằng:
2x  5

A. 2ln 2x  5  C
Câu 141: 
A. 

1

 5x  3

2

B.

3
ln 2x  5  C
2

C. 3ln 2x  5  C

1
C
5  5x  3

C. 

D.


Câu 143: 

1

 x  1 x  2 

C. 3x  ln x  2  C

D. 3x  7 ln x  2  C

dx bằng:
x 1
C
x2

A. ln x  1  ln x  2  C

B. ln

C. ln x  1  C

D. ln x  2  C

x 1
dx bằng:
x  3x  2
A. 3ln x  2  2ln x  1  C

B. 3ln x  2  2ln x  1  C

ln
C
3 x 3

Câu 147: 

1 x 5
ln
C
6 x 1

1 x 5
D.  ln
C
6 x 1

C.

1
x
ln
C
3 x 3

D.

1 x 3
ln
C
3

x 3
1
Câu 148: Cho hàm f  x   2
. Khi đó:
x  3x  2

A. 

C.

1
C
x 3

B.

Email:
Facebook: />
C. 

Trang 18


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x 1
C
x2
x2
C.  f  x  dx  ln
C

x 3
x 3
C. F(x)  ln | x 2  4x  3 |  C
D. F(x)  ln |
| C
x 1
1
Câu 150: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x)  2
thỏa mãn F(3/2) =0. Khi đó F(3) bằng:
x  3x  2
A. 2ln2
B. ln2
C. -2ln2
D. –ln2
2x  3
Câu 151: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x)  2
x  4x  3
2
x  3x
A. 
B. (2x  3) ln x 2  4x  3  C
C
2
2
 x  4x  3

Câu 149: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 

C.


ln
C
4
x 3

B.

1 x  3
ln
C
4
x 1

Câu 153: Họ nguyên hàm của f(x) =
x 1
C
x
1
x
C. F(x) = ln
C
2 x 1

B. F(x) = ln

x
C
x 1

D. F(x) = ln x(x  1)  C

ax
1 xa
1 xa
ln
+C
C. ln
+C
D. ln
+C
2a a  x
a xa
a xa
dx
Câu 156: Nguyên hàm của hàm số: y =  2 2 là:
x a
1
x a
1
xa
1 xa
1 xa
A.
ln
+C
B.
ln
+C
C. ln
+C
D. ln

3

D.

B.

Email:
Facebook: />
Trang 19


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Tích Phân-Giải tích 12

1
1
1 1
1 

 


x  6x  5 (x  1)(x  5) 4  x  5 x  1 
1
1
(II) Nguyên hàm của các hàm số
,
theo thứ tự là: ln x  5 , ln x  1
x  5 x 1

+ Phương pháp
+ Phương pháp biến đổi đưa về bảng công thức cơ bản
+ Cách giải:
+Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số  f  u(x).u ' (x)dx  F[u(x)]  C
( F(u) là một nguyên hàm của f(u) ).
Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về toàn
bộ biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan giữa
biểu thức và đạo hàm với nó ví dụ như:
1
t anx 

;s inx 
 cos x;....
cos 2 x
- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau :
+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:



f (u(x)).u , (x).dx

+ Dạng 2: Nếu hàm số cần lấy tích phân có dạng :
f(x) chứa biểu thức
f(x) chứa biểu thức
f(x) chứa biểu thức

a 2  x 2 . Đặt x = |a|sint (-





B. 3ln 2  sin x  C

C.

3sin x

 2  sin x 

2

C

D. 

e x  e x
dx bằng:
ex  ex
A. ln e x  e  x  C
B.  ln e x  e  x  C

C.  ln e x  e x  C

3sin x  2 cos x
dx bằng:
3cos x  2 sin x
A. ln 3cos x  2sin x  C

B.  ln 3cos x  2sin x  C


1
C
sin x  cos x

Trang 21


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
4x  1
dx bằng:
4x  2x  5
1
A.
C
2
4x  2x  5

Câu 5: 

Phần Tích Phân-Giải tích 12

2

B. 

C.  ln 4x 2  2x  5  C
Câu 6:   x  1 e x

2


C
B.
C
2
2
sin x
Câu 8: 
dx bằng:
cos 5 x
1
1
A.
C
B.
C
4
4cos x
4cos 4 x

B.  x  1 e
D.

C

1 x 2 2x 3
e
C
2

C. 

C
6

Câu 9:  sin 5 x.cosxdx bằng:

sin 6 x
sin 6 x
C
B. 
C
6
6
ln x
dx bằng:
Câu 10: 
x 1  ln x
11

A.  1  ln x  1  ln x   C
23

1

C. 2  1  ln x  1  ln x   C
3

1
Câu 11: 
dx bằng:
x.ln 5 x


D. 2  1  ln x  1  ln x   C
3


C.

1
C
4 ln 4 x

C.

2
3

D. 

1
C
4 ln 4 x

ln x
dx bằng:
x

 ln x 

3


3x 2  2  C
2

B.

1
2x 2  3  C
2

C.

2x 2  3  C

D. 2 2x 2  3  C

2

Câu 14:  x.ex 1dx bằng:

Email:
Facebook: />
Trang 22


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

1 x 2 1
e C
2


2

1

C

Câu 15: 

1

ex
Câu 16:  2 dx bằng:
x
1

1

B. e x  C

A. e x  C

C. e x  C

D.

1
e

Câu 17: 


C.

1
C
x 1

D. ln x  1 

1
C
ln e x  1

dx bằng:

A. ln x  1  x  1  C

1
C
x 1

3

Câu 19: Họ nguyên hàm  x  x  1 dx là:
5

A.
C.

 x  1


4

4

C

x 5 3x 4
x2

 x3   C
5
4
2

Câu 20: Hàm số f (x)  x x  1 có một nguyên hàm là F(x) . Nếu F(0)  2 thì giá trị của F(3) là
116
146
886
A.
B. Một đáp số khác
C.
D.
15
15
105
x
Câu 21: Kết quả của 
dx là:
1 x2

1
D. 
  ln 3  2x 2  C
2
3  2x
4
B.

dx

Câu 23: Tìm họ nguyên hàm: F(x)  

dx

dx
x 2 ln x  1

A. F(x)  2 2 ln x  1  C

Email:
Facebook: />
B. F(x)  2 ln x  1  C

Trang 23


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. F(x) 

1

sin 3 x sin 5 x

C
3
5
sin 3 x sin 5 x
A

C
3
5
C.

B. A  sin 3 x  sin 5 x  C

A. A 

D. Đáp án khác

Câu 26: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  sin 4 x cos x
1
A. F(x)  sin 5 x  C
B. F(x)  cos5 x  C
5
1
C. F(x)  sin 5 x  C
D. F(x)   sin 5 x  C
5
Câu 27: Để tìm nguyên hàm của f  x   sin 4 x cos5 x thì nên:
A. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t  cos x

A.

 2ln x  3
2

2

 2ln x  3


2 ln x  3
B.
C
8

C

x

C.

Câu 30: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) 
F(x) = x có nghiệm là:
A. x = 0
Câu 31: Tích phân



B. x = 1


e 1
x

Email:
Facebook: />
Trang 24


Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. ln

e
2e  2

B. ln

2e
e 1

C. ln

Phần Tích Phân-Giải tích 12

e
2  e  1

D. ln  e  1  ln 2

Câu 32: Họ nguyên hàm của tanx là:
A. ln cos x  C


D. ln(x 2  1)

Câu 34: Hàm số nào là nguyên hàm của f(x) = x. x 2  5 :
3
3
3
3
1
1
A. F(x) = (x 2  5) 2
B. F(x) = (x 2  5) 2
C. F(x) = (x 2  5) 2
D. F(x)  3(x 2  5) 2
3
2
2 ln x  x
Câu 35: Nguyên hàm của hàm số f  x  
, x  0 là:
x
ln 2 x
ln 2 x
2
A.
C
B. 2ln x  1  C
C.  2 ln x  x  ln x  C D.
xC
x
x

2

A.

8
9

B.

C.

8
.
3

D.

1 ex  1
ln
C
2 ex  1

ln x
1
mà F(1)  . Giá trị F2 (e) bằng:
x
3
1
D. .
3

sin x 2  C
2

D. 2sin x 2  C

2

Câu 41: Một nguyên hàm của f(x) = xe  x là:
2
1 2
A. e  x
B.  e  x
2
2x
Câu 42: 
dx 
4
2
 x  9
A. 

1
5 x  9
2

5

C

B. 


1  x2
e
2

D. 

1

x

2

3

 9

C

Trang 25