TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
TRUNG

T
Â
M

Đ
À
O

T
Ạ
O

B
Ằ
NG

H
AI

TIỂU LUẬN
MÔN: TOÁN CAO CẤP C1
ĐỀ TÀI:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG
KINH TẾ
GVHD: ThS. Nguyễn Tấn Huy
NHÓM THỰC HIỆN


Bài tập 1 8

Bài tập 2 : 8

2. BAI TẬP DẠNG 2 9

Bài tập 3 : 9

Bài tập 4: 10

Bài tập 5: 11

3. BAI TẬP DẠNG 3 12

Bài tập 6: 12

Bài tập 7: 14

4. BAI TẬP DẠNG 4 15

Bài tập 8: 15

5. BAI TẬP DẠNG 5 16

Bài tập 9: 16

Bài tập 10 : 17

Bài tập 11: 18

Trang
2PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Nguyên hàm:
1.1. Định nghĩa:
Trong phần bài học về đạo hàm của hàm số, ta đã biết: Nếu hàm chi phí để sản
xuất x đơn vị sản phẩm là C
ሺ
x
ሻ
, thì hàm chi phí cận biên là MC
ሺ
x
ሻ
=C′
ሺ
x
ሻ
.
Đảo lại, nếu đã biết trước hàm chi phí cận biên là MC
ሺ
x
ሻ
và cần tìm hàm chi phí
thì ta phải làm gì? Ta phải giải bài toán ngược: Tìm hàm số Cሺxሻ sao cho C

Ví dụ 1:
i) Hàm ݕ=ݔ+ 1 có nguyên hàm là hàm ݕ=
௫
మ
ଶ
+ ݔ trên ܭ=
ሺ
−∞,∞
ሻ
.
ii) Hàm
ݕ=
ଵ
ଶ
√
௫
có nguyên hàm là ݕ=
√
ݔ trên miền ܭ=ሺ0,+∞ሻ.
ĐỊNH LÝ:
Nếu fሺxሻ có nguyên hàm là Fሺxሻ trên K thì fሺxሻ có vô số nguyên hàm và các
nguyên hàm chỉ sai khác nhau một hằng số. Nghĩa là
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
3∫ ݂
ᇱ

 
= − +
∫ ∫ ∫ ∫

2.2. Phương pháp đổi biến số
dx
là một vi phân nên ta có thể viết như sau

( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
'
f x dx F x C f x t x t dt F x t C
= + ⇔ = +
∫ ∫

a) Phép biến đổi thuận:
Đặt
(
)
x x t
=
để chuyển việc tính
( )
f x dx
∫
thành

2
arcsin ; 5 cos ; 5 5cos
5
x
t dx tdt x t
= = − =

Nên
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
4( )
2
5 cos 5 cos
5
5 cos 1 cos2
2
5 sin 2
2 2
I t tdt
tdt t dt
t
t C
=
= = +
 
= + +

x t dt dx
=
để chuyển việc tính
(
)
(
)
(
)
'
f x t x t dt

thành
( )
f x dx
∫
.
Ví dụ: Tính

(
)
2
2 2
2
4 5 '
2 4
4 5 4 5
ln 4 5
x x
x

liên tục trên khoảng
K
. Khi đó,

(
)
' ' '
uv u v uv
= +

Lấy tích phân cả hai vế, ta được
' '
uv u vdx uv dx
= +
∫ ∫

Hay

udv uv vdu
= =
∫ ∫

Ví dụ: Tính I =
∫
ݔ݈݊ݔ ݀ݔ

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
5

మ
ସ
+ ܥ

=
௫
మ
4
ሺ2݈݊ݔ−1ሻ ൅ ܥ3. Tích phân xác định
3.1. Định nghĩa
Đặt vấn đề:
Giả sử
( )
f x
liên tục trên
[ ]
,a b
và
( )
[ ]
0, ,f x x a b> ∀ ∈
. Gọi
S
là hình phẳng
được giới hạn bởi: đồ thị hàm số
( )
y f x

, ta xét diện tích
1i
S
+
như minh
họa ở hình vẽ sau:
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
6
Khi giá trị
1i i i
x x x
−
∆ = −
là đủ nhỏ, ta có thể xấp xỉ giá trị diện tích
i
S
là diện tích
hình chữ nhật với độ dài 2 cạnh lần lượt là:
i
x∆
và
( )
1i
f x
−

= ∆
∑

Phương pháp xác định giá trị diện tích của một hàm như trên được tổng quát
hóa bằng phương pháp tích phân xác định. Theo đó,
ĐỊNH NGHĨA:
Tích phân xác định của một hàm số
( )
y f x
=
trên miền
[ ]
,a b
được ký hiệu là
( )
b
a
f x dx
∫

Được định nghĩa như sau:
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
7( ) ( )
1
1

]
,
a b
bao gồm
các điều kiện sau:
•
(
)
f x
liên tục hoặc có một số điểm gián đoạn hữu hạn trên
[
]
,
a b
;
•
(
)
f x
đơn điệu và bị chặn trên
[
]
,
a b

ĐỊNH LÝ 2
Hàm
(
)
y f x

Gọi Q(t) là số đơn vị người đó sản xuất được sau t giờ tính từ lúc 8 giờ sáng.
Ta có :
(
)
0.5
100’
t
Q
e
t
−
+=

Số đơn vị người đó sản xuất được từ 9 giờ sáng (
1
t
=
) đến 11 giờ trưa (
3
t
=
) là :
( ) ( )
3 3
0.5
1 1
'( ) 100
3 – 1 200,76
t
Q Q dt dtQ t e

09
( 5)
6
C C dq dqC q q= = =−
∫ ∫
( đô la )
2. Bài tập Dạng 2
Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) và điều kiện ban đầu là Q (a) =Q
0
.
Tính Q (b) ?
Bài tập 3 :
Qua điều tra các nhà phân tích kinh tế đã nhận định rằng tốc độ tăng trưởng kinh tế
(GDP) của một quốc gia nào đó sau t năm tính từ đầu năm 2004 sẽ là
30
1
5
2
t
+
+
tỷ
USD/năm. Biết rằng GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2004 là 100 tỷ USD.
a) Hãy dự đoán GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2015.
b) Ước tính thay đổi phần trăm GDP của quốc gia đó vào 6 tháng cuối năm năm
2015 Giải :
a) Gọi f(t) là GDP của quốc gia sau t năm tính từ đầu năm 2004. Ta có :
( )
’ 30
1

∫
++
11
0
5
2
1
30 t
dt + 100 = 447,6 ( tỷ USD )
b) Ta có :
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
10f’(t) = 30+
t+5
2
1

⇒
f(t) =
∫
)(' tf
dt =
∫
++ t5
2
1

∆
=
)5,11(
5,0).5,11('
f
f

≈
0,034 = 3,4%
Bài tập 4:
Hưởng ứng phong trào “Ngày vì người nghèo” do Đài truyền hình Việt Nam tổ
chức, tối ngày 16/06/2015 Chương trình “Chung tay vì người nghèo” đã được tổ
chức tại 3 điểm cầu truyền hình tại 03 thành phố lớn của đất nước là: Hà Nội, Đà
Nẵng, TP. Hồ Chí Minh và được truyền hình trực tiếp trên kênh VTV3 – Đài
truyền hình Việt Nam. Trong chương trình này, các cá nhân, tổ chức trong và ngoài
nước có dịp được chung tay góp sức giúp đỡ người nghèo bằng cách nhắn tin hoặc
quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình. Theo ước tính, sau t (giờ) số
tiền quyên góp sẽ thay đổi với tốc độ 300te
ି଴,ଵ୲
(triệu đồng/giờ). Hãy xác định số
tiền có được sau 05 giờ quyên góp?
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
11Giải
Gọi ݂(ݐሻ là số tiền quyên góp được sau ݐ (giờ) quyên góp. Ta có:
݂’

ି଴,ଵ௧
݀ݐ
= −3000ݐ݁
ି଴,ଵ௧
− 30000݁
ି଴,ଵ௧
+ ܥ
Mà
݂
ሺ
0
ሻ
= 0⇒ ܥ = 30000
⇒݂ሺݐሻ = −3000ݐ݁
ି଴,ଵ௧
− 30000݁
ି଴,ଵ௧
+ 30000
Sau 5 giờ (t = 5), số tiền quyên góp được là:
݂ሺ5ሻ = = −3000.5.݁
ି଴,ଵ.ହ
− 30000݁
ି଴,ଵ.ହ
+30000 = 2706,12
Vậy số tiền quyên góp được sau 5 giờ quyên góp là 2706,12 triệu đồng.
Bài tập 5:
Cho hàm lợi nhuận cận biên theo sản lượng:

(
)

−5ܳ
ଶ
2
൅ 500ܳ−32.250

3. Bài tập Dạng 3
Cho chi phí cận biên MC(q) = C’(q) [q : số sản phẩm sản xuất]. Chi phí tăng thêm
khi số sản phẩm SX tăng từ a tới b :
C(b) –C(a) =
׬
ܯܥ
(
ݍ
ሻ
݀ݍ
௕
௔
=
׬
ܥ′
(
ݍ
ሻ
݀ݍ
௕
௔

Áp dụng tương tự với hàm doanh thu R(q) và hàm lợi nhuận P(q)
Bài tập 6:
Giả sử một máy công nghiệp hoạt động sau t giờ tính từ bây giờ thì tốc độ sinh

⇒ ܲ’(ݐሻ = ܴ’(ݐሻ – ܥ’(ݐሻ
ܲ’(ݐሻ = 24000 – 40ݐ
ଶ
− 10500 − 20ݐ
ଶ
= 13500 − 60ݐ
ଶ

Cho
ܲ’ሺݐሻ = 0⇔ 13500 − 60ݐ
ଶ
= 0
⇔ ݐ
ଶ
= 225
⇔
൜
ݐ=25
ݐ=−25(݈݋ạ݅ሻ
ݐ

-∞ -25 0 25 +∞
+ -
ܲ
’
13500 − 60ݐ
ଶ
ሻ
݀ݐ
ଶହ
଴

= 13500 ݐ – 20ݐ
ଷ

= 135000 (triệu đồng)
Vậy tiền lãi thực sinh của máy trong khoảng thời gian trên là 135000 (triệu đồng)
Bài tập 7:
Tại một cửa hàng kinh doanh quần áo X sinh ra doanh thu với tốc độ ܴ′
(
ݐ
ሻ
=
7250 − 18ݐ
ଶ
(triệu/năm) sau ݐ năm. Chi phí kinh doanh của cửa hàng tăng với tốc
độ ܥ
ᇱ
ሺ
௧
ሻ
=3620 ൅ 12ݐ
ଶ
(triệu /năm). Sau bao nhiêu năm lợi nhuận của cửa hàng
bắt đầu giảm và lợi nhuận sinh ra trong khoảng thời gian đã được xác định là bao

)
= 0 ⇔ 3630 − 30ݐ
ଶ
= 0
⇔ ݐ
ଶ
= 121
⇔
൜
ݐ = 11
ݐ = −11(݈݋ạ݅)

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
15
Vậy sau 11 năm thì sự sinh lãi của cửa hàng bắt đầu giảm.
ܲ
(
11
ሻ
– ܲ
ሺ
0

đồng)
4. Bài tập Dạng 4
Hàm f(x) liên tục trên [a,b]. Giá trị trung bình của f(x) trên [a,b] là
1
ሺܾ− ܽሻ
න ݂
ሺ
ݔ
ሻ
݀ݔ
௕
௔

Bài tập 8:
Sau t tháng làm việc tại xưởng may, một nhân viên cắt may có thể cắt ܳ
(
ݐ
ሻ
=
700 − ݁
ି଴.ହ௧
chiếc quần dài trên một giờ. Tính tốc độ sắp xếp trung bình của nhân
viên cắt may trên trong 3 tháng đầu tiên làm việc.
Giải
Tốc độ sắp xếp trung bình của nhân viên cắt may trong 3 tháng đầu tiên làm việc
là:
t -∞ -11 0 11 +∞
+ -
ଵ
ଷ
(
700 × (3ሻ ൅ 2݁
ି଴.ହ×ଷ
ሻ
−
ଵ
ଷ
(
700 ×
(
0
ሻ
൅ 2݁
ି଴.ହ×଴
ሻ
=699,41 ( chiếc/tháng)
Vậy trong 3 tháng đầu tiên nhân viên cắt được 699,41 chiếc/tháng.
5. Bài tập Dạng 5
Bài tập 9:
Bài toán tìm hàm tiết kiệm biết khuynh hướng tiết kiệm biên.
Cho biết khuynh hướng tiết kiệm biên MSP (marginal propensity to save)
phụ thuộc vào mức thu nhập: MSP = dS/dY = 0,3 – 0,1Y
5,0−
, với Y là thu nhập và
S = S(Y) là hàm tiết kiệm. Cho điều kiện ban đầu S = 0 khi Y = 81. Tìm hàm tiết
kiệm.
Giải :
Ta có:

=

0,3.81 0,2.81 0 22,5
C C
− + = ⇒ = −

Vậy,
(
)
0,3 – 0,2 –22,5
S Y Y Y=

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
17Bài tập 10 :
Bài toán đầu tư và hình thành vốn.
Xét hàm tích trữ vốn: K = K(t) (đây là khái niệm tích trữ – stock concept) và hàm I
= I(t), cường độ đầu tư thuần (đây là khái niệm dòng –flow concept). Vốn tích trữ
K và cường độ đầu tư I có mối quan hệ cho bởi phương trình vi phân
)(tI
dt
dK
=
. Vế
trái là tốc độ biến thiên của vốn tích trữ, còn


)
3/2
2
( )
0
K t t K
= +

Vốn tích trữ sau 3 tháng
( )
3
3/2 3/2
0
3 2(3) 2(0) 10,39
K t tdt= = − =
∫
( tỷ USD )


 Chú ý :
Nếu cho
(
)
100000 /
I t USD tháng const
= =
thì vốn tích trữ sau 3 tháng là:
3 3
0 0
( ) 1000

Vậy nguồn vốn ܭ(ݐሻ được tính toán bởi hàm:
ܭ(ݐሻ = 45ݐ
ସ/ଷ
൅ 40

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
19KẾT LUẬN

Có thể nói rằng, khi ứng dụng Tích phân trong Kinh tế, chúng ta đã có thể
tìm được các lời giải quan trọng cho các bài toán kinh tế đã đề ra. Đó là:
- Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) đã biết. Tính lượng thay đổi của
Q(t) khi t thay đổi từ a
→
b
- Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) và điều kiện ban đầu là Q(a) =
Q0. Tính Q (b).
- Cho chi phí cận biên MC(q) = C’(q) [q : số sản phẩm sản xuất]. Ta tính được
chi phí tăng thêm khi số sản phẩm SX tăng từ a tới b [Áp dụng tương tự với
hàm doanh thu R(q) và hàm lợi nhuận P(q)]
- Hàm f(x) liên tục trên [a,b]. Ta tính được giá trị trung bình của f(x) trên [a,b]
- Bài toán đầu tư và hình thành vốn…
Trong phạm vi của tiểu luận, chúng tôi chỉ có thể giới thiệu một số các ứng dụng
của tích phân trong vô vàn ứng dụng đa dạng của tích phân trong kinh tế… Kính
mong các thầy cô chân thành góp ý để nhóm chúng tôi có thể hoàn thiện hơn trong
những lần thực hiện tiếp theo.