ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRỊNH KHẮC BÌNH

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2013


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRỊNH KHẮC BÌNH

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC


1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Lp . . . . . .
1.2 Các định lý quan trọng của
1.3 Tích chập . . . . . . . . .
1.4 Tích phân Dirichlet . . . .

3
3
6
7
8

. . . . . . . . . . .
lý thuyết tích phân
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

2.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L2 . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Dãy trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval . . . . . . .
2.4 Chuỗi Fourier phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Đẳng thức Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Các bài toán biên cho phương trình Laplace trong hình chữ
nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Phương trình dạo động của thanh . . . . . . . . . . . . . .
ii

13
13
13
14
16
16
16
21
22
22
24
27
27
28
28
29

.
.
.
.
.
.

37
37
40
43
48
51
52
55
57

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
phân

59
59
61
66
70
73

Kết luận

80

Tài liệu tham khảo

81

iii


Mở đầu
Phương pháp biến đổi tích phân là một trong những phương pháp giải
tích hữu hiệu giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm
riêng và các phương trình tích phân dạng chập tuyến tính. Các biến đổi tích
phân quan trọng, như biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, biến đổi Hankel,
v.v.. từ lâu đã được sử dụng trong giải các phương trình vi phân và phương
trình tích phân tuyến tính hệ số hằng.
Nhờ các tính chất đặc thù của các phép biến đổi tích phân kể trên, các
phương trình vi phân, phương trình tích phân có dạng và miền khảo sát
thích hợp có thể được chuyển về các phương đại số tương ứng. Từ đó, sử
dụng các công thức nghịch đảo, ta tìm được ẩn hàm mong muốn.
Bản luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân sau
đây: chuỗi Fourier( biến đổi Fourier hữu hạn), biến đổi tích phân Fourier,
Fourier-sin, Fourier-cosin và biến đổi Laplace cùng một số ứng dụng của
chúng trong phương trình đạọ hàm riêng và một số loại phương trình tuyến
tính khác.
Luận văn gồm phần Mở đầu, 4 chương, Kết luận và các tài liệu tham
khảo. Bản luận văn được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1-5].
Chương 1, trình bày một số kiến thức về giải tích và giải tích hàm cần


Định nghĩa 1.1. Cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞; ta định nghĩa
Lp (Ω) = {f : Ω → R hoặc C; f đo được và |L|p khả tích },
L∞ (Ω) = {f : Ω → hoặc C; f đo được và ∃C, |f (x)| ≤ C h.h trên Ω },
và kí hiệu:

1/

 p
p
f p=
|f (x)| dx
,


Ω

f

∞=

inf {C; |f (x)| ≤ C, h.h} .

Nhận xét 1.1. Nếu f ∈ L∞ (Ω) thì:

|f (x)| ≤ f

∞,

h.h x ∈ Ω.


Định lý 1.3. (Fischer – Riesz )
(a) Lp là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞.
(b) Giả sử (fn ) là dãy hội tụ về f trong không gian Lp , (1 ≤ p ≤ ∞) , i.e, .
fn − f p → 0. Thế thì có dãy con (fnk )k=1,2,... sao cho:

fnk (x) → f (x) h.h,
∀k, |fnk (x)| ≤ h (x) h.h,
với h là một hàm trong Lp .
Với Ω mở trong R, ta ký hiệu C k (Ω) là không gian các hàm số khả vi
k
liên tục đến cấp k và C ∞ (Ω) = ∞
k=1 C (Ω). Còn Cc (Ω) là không gian các
hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá (support) của f , tức là tập hợp

suppf = {x ∈ Ω; f (x) = 0},
là compact chứa trong Ω, ký hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập
hợp. Đặt
Cck (Ω) = C k (Ω) Cc (Ω),

Cc∞ (Ω) = C ∞ (Ω)

Cc (Ω).

Ta có kết quả sau đây về tính trù mật.
Định lý 1.4. Với 1 ≤ p < ∞ (lưu ý rằng p = ∞), thì Cc∞ (Ω) trù mật
trong Lp (Ω).
Định lý 1.5. (Riemann- Lesbesgue). Cho f ∈ L1 (a, b) với (a, b) là khoảng
hữu hạn hoặc vô hạn của R, thì ta có
b

a

Vì g có giá trị compact trong (a, b) nên g triệt tiêu bên ngoài một khoảng
hữu hạn (α, β) ⊂ (a, b). Do đó
β

b

g (x) cos N xdx

=

g (x) cos N xdx

a

α
β

1
1
g (x) sin N x|βα −
N
N

=

g (x) sin N xdx
α


2
a

kéo theo
b

b

f (x) cos N xdx

(f (x) − g (x)) cos N xdx +

=

a

b

a
b

≤

g (x) cos N xdx
a

b

|f (x) − g (x)| dx+
a

Định lý 1.7. (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue). Cho (fn ) là một dãy
các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω. Giả sử
(a) fn (x) → f (x) h.h trên Ω,
(b) tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |f (x) ≤ g (x)| h.h trên Ω. Khi
đó f khả tích và

fn − f

1

≡

|fn (x) − f (x)| dx → 0 khi n → ∞.
Ω

Bổ đề 1.1. (Bổ đề Fatou). Giả sử (fn ) là dãy các hàm khả tích sao cho
(a) fn ≥ 0 hầu hết trên Ω, ∀n.
(b) sup fn < ∞. Với mỗi x ∈ Ω, ta đặt f (x) = lim inf fn (x). Khi đó f
khả tích trên Ω và f ≤ lim inf fn .
n→∞
2

1

Giả sử Ω1 ⊂ R , Ω2 ⊂ R là hai tập mở và F : Ω1 × Ω2 → R (hoặc C)
là hàm đo được.
Định lý 1.8. (Tonelli). Giả sử

|F (x, y)| dy < ∞,
Ω2