LÊ HỒNG Đửc - LẼ BÍCH NGỌC

TÍCH 12
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

(»ĩtìf
/

Trộn đoan f(.L
o> s\.

'ỉfỉ\

4/ ỈJ i
trắc nghiệm không quá 3.5 điểm.
2. Trong những câu hỏi có phần trắc nghiệm sẽ được hiểu là "trác nghiêm và
tự luận". Ở đây, thông thường các em học sinh sẽ phải lựa chọn một trong
hôn đáp sô' và cần biết rằng sô'điểm a của càu hỏi này dược chia làm đôi:
■

Nếu lựa chọn đúng lời giải trắc nghiêm sẽ nhản đươc — điểm.
2

■

Nếu thực hiện đúng lời giải tự luận cho câu hỏi sẽ nhận được — điểm
còn lại.

)ả y chính ỉà yếu tô' đ ể đảm hảo tính khách quan hởi:
. Với những học sinh chỉ mò mẫm dáp án hoặc nhận dược nó thông qua
những yếu tô'xung quanh sẽ chỉ nhận dược tối đa — điểm với xác suất 25%.
2. Với những học sinh hiểu được nội dung câu hỏi từ đó ậịnh hướng được các
phép thử hằng tay hoặc hằng máy tính fx -570M S chắc chắn sẽ nhận được
— điểm.
2
ỉ. Với những học sinh khá hơn’hiểu hiện hằng việc hiểu được nội dung câu hỏi
và có thể thực hiện được một phần câu hỏi này dưới dạng tự luận sẽ nhận
đươc khoảng — + — = — điểm.
2
4 4
Cuối cùng, với những học sinh biết cách thực hiện câu hỏi dưới dạng tự luận
sẽ nhận được a điểm.
Lựa trên tư tưởng nảy, Nhóm Cự Môn dưới sự phụ trách của Lê Hồng Đức xin
itrảnĩrọng giới thiệu tới hạn đọc hộ sách:

Chủ đề 5:
Chủ đề 6:
Chủ đề 7:
Chủ đề 8:

Nguyên hàm
Tích phân
Các phương pháp tính tích phân
Tính tích phân các dạng hàm sô thường gặp
Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân
Phương trình, bất phương trình tích phân
Sử dụng tích phân tính diện tích của hình phẳng

Sử dụng tích phân tính thể tích của cácvật thể
Cuối cùng, cho
dùđã rất cố gắng,
những hiểu hlết và
kinh
nghiệmcòfì hạn
góp quỷ háu của hạn đọc gần xa. Mọi ý kiến đóng góp
hệ

nhưngthật khó tránh

Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn do Lê Hồng Đức phụ trách
Số nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hồ - Hà Nội
Điện thoại: (04)7196671 hoặc 0893046689
E-mail: hoặc
Hà Nội, ngày 8 tháng 6 năm 2006
NHÓM C ự MÔN - LÊ HỔNC ĐỨC


F'(x) = f(x).
Nếu thay khoảng (a, b) bằng đoạn [a, b] thì ta phải có thêm điểu kiện:
F ’(a+) = f(a) và F ’(b “) = f(b).
Định
N
lí: ếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) thì:
a Với mọi
hằng
F
, (x) + c
C
SỐ
cũngmột
đố.
b Ngược lại
mọi
nguyênhàm của
hàmsô f(x)
viết (lướidạng Ft x) + c
ic u1hằng
vớ
2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM
1 ( Jf(x)dx )’ = f(x).

•

2

Jaf(x)dx = a Jf(x)dx , với a * 0.

ídx = X + c
r

Ha +I

X a +I

Ix“dx = - — + c, (X* - 1

a +1

r dx

,11

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp
hợp (với u = u(x))
ídu = u + c

„

1—• = ln I X I + c, X* 0

|u“.du = —----+ c , a * - 1
a +1

í — = ln ! u I + c, u = u(x)
u

X

ísinudx = - cosu + c
—J—= tgu + c

cos u
r du
_
J —y - = - cotgu + c
sin u
5

k


II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TẬP
Bài toán 1: Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
(a, b) bằng định nghĩa.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1
X
: ác định F '(x) trên (a, b).
Bước
2 :Chứng tỏ rằng F'(x) = f(x) với Vx e (a, b).
Chú ý: Nếu thay (a, b) bằng [a, b] thì phải thực hiện chi tiết hom, như sau:
Bước 1
:Xác định F '(x) trên (a, b).
Xác định F (a+) và F(t> ).
F '(x) = f(x), Vx € (a,b)
Bước


Bài tập 4. Cho hàm số: F(x) =

*

2

+

—In I X + V x2 + a

2

a.

Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \íx 2 + a , a > 0.

b.

Tìm nguyên hàm hàm sốh(x) = (x + 2) V x2 + a , a > 0.

Bài tâp 5. Cho hai hàm số: f(x) = — - — và F(x) = 1X I - ln( 1 + I X I )
1+ I X I
Chứng minh rằng hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Bài tập 6. Cho hai hàm số:

f(x) =

x In Xkhi x > 0
0


i ỹ '
F(x) =

Vx2 + 1
B. F(x) =

7=1___

, *
Æ

+ c. .

+c.

w
■ + c.

D. F(x) = , 1

VX2 + 1

Bài tập 8.
a.

Tính đạo hàm của hàm số g(x) = ln

b. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =


VX

-Æ 7+a

+c.

+ c.
+a

Bài toán 2: Xác định các giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên (a, b).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1 :Xác định F '(x) trên (a, b).
Bước
2:Để F(x) là một nguyên hàm cùa hàm số f(x) trên (a, b), điếu kiện là:
F '(x) = f(x) với Vx € (a, b) => giá trị của tham số.
Chú
N
:ý ếu thav (a, b) bằng [a, b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
Bước 1:
Bước

Xác định F'(x) trên (a, b).
Xác định F V ) và F(b~).
Đ
2: ể F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a, b), điều kiện là:
F’(x) = f(x), Vx € (a,b)
• F '( a +) = f(a)

c. a = -1 , b = 2.
D. a = 1, b = -2.
số:
1

(x - l)e x +1
f(x)=

khi

X * 0

khi

X = 0

, F(x) =

khi

X * 0

khi

X = 0

Xác định a, b để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
A. a = b = 1.
c . a = b = 2.
1


Bài toán 3: Tìm nguyên hàm.

]
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng:
■ Các tính chất của nguyên hàm.
■ Bảng các nguyên hàm.
■ Các phép biến đổi đại số.

BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
Bài tập 13. Cho hàm số y = —-T—. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm sô' và
sin

X

r
đồ thị của hàm sô' y = F(x) đi qua điểm M
A.
8

-cotx.

B.

cotx.

71 \
;0 thì F(x) là:

c. -3cos3x.

I).
In -.
3
]Bii tập 16. Cho hàm số f(x) = sin3x. Một ngi.yên hàm của f(x) bằng:
I). —cos3x.
3

1BÌỈ tập 17. Gọi J2008xdx = F(x) + c, vưi c là hLíg số. Khi đó F(x) bằng:
A. 2008*.

B. 2008*ln2008.

c.

—
.
ln 2008

D. 2008**1.

lBal tập 18. Tính:
a. jsin2x.cosxdx.

c.

A. cos2x.sinx + c.
„
1 ,

D. lnlsinxl + G

■ i cv sin x - c o s x
A. (sinx - cosx)5 +

c.

B. — -^ /(sin x -c o sx )4 + c.

iBài tập 19. Cho hàm số f(x) =

c.

Đ. — ẫ/ (sin X + c o sx )4 + c.
4 ^

2x4+3 . Khi đó:

A.

Jf(x)dx = — — — +c.

c.

|f(x)dx = 3 ^ - + — + c.

B.

Jf(x)dx = 2x3- — +c.


sin X +1
sin X - 1
sinx - 1
sin X +1

dx
f— dx■
1 + cos X
1
A. — !— +c.
cosx

+c.

c.

2ln

ê

+c.

D. 21n

_
X
B. t g 2

_


n — —- +
+ c.
2 x +1
8
2x
+l

c.

2x1 - 3 2 x - 3
—
- I ln
n — —— + c.
2x++1
44 2x
l

2 x -3
2 x -3
D. - l n
+c
6
2 x +1
2
2x +1
Bài tập 23. Tìm họ nguyên hàm của các hàm sô' sau:
B.

a.


5
X-3
D. F(x) = - ln
X+ 2
2

+c.

c.

4 x 3 - 9x
4x2

2x - 3
A. F(x) = — ln
2 2x + 3

+c

c.

B. F(x)=x2-lr| 2x+3Ì

+c

D. F(x)=x2-lrJ 2x-3|

F(x)= —X2

2

In3.1n2

+ c.
X + c.

X

2x —3
2x + 3

+c

c.


4x

C.. F(x) =

D . F(x) =

In 3

In 2

81x

4X

+2

D. F(x) = ------ + C.
In 432
In 24
Bai t titap 26. Tim ho nguydn ham cua cac ham s6 sau:
a a. i. f(x) = e3x~2.
A. F(x) = e3x~2 + C.

C. F(x) = (3x - 2)e3x_2 + C.
2
D. F(x) = - e3x"2 + C.

1

B.. F(x) = - e3x' 2 + C.
3
2 X+I - 5 x-1
tb .j. fix) =
10
5X
5 2X
5X
5.2
A. F(x)=
C. F (x)= — — + — + C.
+ C.
2 In 5 In 2
2 In 5 In 2
1
2
1

3

- J ( 2 x + T 7 1 + C.
11


c.

F ( x ) - - - [ V /8 x T + a/ ( 2 x + 1 ) 3 ] + C .

2

D. F(x)= - f V ä ^ - ^ x + l )3 ] + C.
3

Bài tập 28. Tính:
a.

jx (l-x )'° d x .

A. F(x) = X + (1 - x)10+ (1 - X ) " +
B. F(x) = x - ( 1 - X ) " - ( 1 - x ) ' 2+

c.
c.
^ F(x)
c „ _ (1 - x ) '° . (1 -X )" , ^
c.
= ----- -— + --- -— + c.
10

ĩ ,g ỉx + c

c. f(x) =

F(x) = lnlcosxl -

1

2
1

’2

sin x + cosx
3 + sin2x

A.

1
sinx - c o s x + 2
F(x) = — ln
sinx - cosx - 2
2

B.

F(x) = X + — ln

2


1

f(x) =

(x + Vx2 + 1)2
1

A. F (x )=

+c.

X + Vx2 + 1
1
B. F(x) = X + V x2 + 1

c.

F(x) = - X3 +X 3

-

3

A

D. F(x)
b. f(x) =

= —x4 +
4


X

+c.

D. F(x) =

X

Bài tập 35. Cho hàm số: f(x) =

+ ln

x ex
l + xex
X

+ ln

1 + xex

3x2 + 3 x + 3
X3 - 3 x + 2

a.

Xác định các hằng sô' a, b, c để f(x) =

a



D. a = 1, b = -2 .

+c.
+c.


Bài tập 37. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a.

f(x) =

b.

f(x) =

ex + e

sin X
sin X + cos X

cos X
Bài tập 38. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = -----—------ -—
sin X + cos X

s in 2 x - V2
A. F(x) = — (x + —\= ln
) + C.
2
2 V2

giải
tự luận:Ta có: F(x) = (sin23x)’ = 6cos3x.sin3x, ứng với đáp án c.
Bài tập 2. Đáp số trắc nghiêm D.
jes Lời giải tự
T
luận: a có ngay:
F'(x) = 3(2x - 3) + 2(3x - 1) = 12x - 11, ứng với đáp án D.
t í Lựa chọn đáp án bằng phép thử: Ta lần luọt đánh giá với dạng hàm sô F = uv:
■ Đáp án A bị loại bởi nó là dạng u'.v.
■ Đáp án B bị loại bởi nó là dạng v'.u.
■ Đáp án c bị loại bởi vói dạng hàm đa thức không thể có F = F.
Do đó, việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn.
Bài tập 3. Đáp số trắc nghiệm B.
t í Lời giải tự luận: Ta có :
2x
Lời

—
, \ ri /
n
F(x) = [ln(x + VX

1+

(x + V x2 + a)
2VX2=+= a
+ a )] = ------ r
= -------7=
X + VX2 + a
X + VX +

2
2 V x2 + a
Vậy, với a > 0 thì F(x) là môt ngU' ên tiàm của hàm số f(x) trên K.
b. Viết lại hàm số h(x) dưới dạng:
h(x) = X Vx^ + a + 2 V x2 + a .
Tìr đó, suy ra:
H(x) = íh(x)dx = íx x/x2 + a dx + 2ịy[ỹr + a dx
=- —
J ( x 2 + a )3 + —
3 -vv
2 V x2 + a + ~2 ln|x , V x2 + a I + c.

Bài tập 5. Viết lại hàm số F(x) dưới dạng:
x - l n ( l + x)

F(x) =

k h ix > 0

- X - ln(l - x ) k h ix < 0

Từ đó, suy ra:
khi X > 0

F(x) =

1

-1 +


x-»0

= lim 1
x->0_
Đạo

X

( 1)

= f(x) với X + 0.
Ngoài ra, ta có:
■ Đạo
hàm
hên
F ’(8 >

0

F'(x) = 4
0

khi X = 0

Vậy, hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).

Bài tạp 7.
a.
16

Ta có ngay:

x ln x k h i
0

X

Trường hợp ỉ : Với

X

1 4"

4- a

> 0, ta được g(x) = ỉn -------—-------. Suy ra:
X

lW x 2 + a ì
---- ----------

-7= f = . x - ( l + V x2 + a )
VX
V* J4- aa

y

g'(x) =
1 + V X2 + a

1 + xM + a

X

X

Trucmg họP 2: Với X< 0, ta được g(x) = ln
1

Suy ra, để F'(x) = f(x) với X * 1 điểu kiện là a = 2.
Trường hợp 2: Với X = 1, thì để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm X = 1, trước hết
F(x) phải liên tục tại X = 1, do đó:
lim F(x) = lim F(x) = F(1)<=> 1 = a + b o b = 1 - a = - 1.
X-M

X—>1 +

17


■

Đạo heim hên trái của hàm số y = F(x) tại điểm


Vậy, với a = 2, b = -1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Bài tậị) 10
ápốs trắc nghiêm B.
.Đ
JỉS Lời giái tự
uậnl: Xét hai trường hợp:
t

Trường hợp

1: Với

X

* 0, ta có: F(x) = — --- ^ ----- — = —
X

— - = f(x).

X

Trường hợp
V
2: ới X = 0, ta có :
Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm X = 0, trước hết F(x) phải liên tục tại X = 0,
do đó:
lim F(x) = F(0) <=> lim
X—
>0
X—

b= - .

2

Vậy, với a = 1, b = — thoả mãn điểu kiện đầu bài.
Chú

ý:T rong lời giải trên, để có được phép chuyổn:

chúng ta đã
tập toán

,. e x - X - 1 _. ,. e x - 1
lim ------ T— - l im -------x->0
X2
'° 2x
"Sửdụng đạo hùm tính ẹiới hàm
giải
tích12 tập 1”,cụ thể:

" trong cuốn

Đặt f(x) = ex - X - 1, ta có f(0) = 0 và f ’(x) = ex - 1.
Đặt g(x) = X2, ta có g(0) = 0 và g'(x) = 2x.
f(x )-f(0)
f'(x ) _
e x -1
Khi đó: lim -----T— - = lim
x
lim —-— = lim

.Đ
g i Lời
giảitự
luận:Ta có ngay:
„
, , rz------ ax 2 + b x + c 5 ax2 - 3 ( 2 a - b ) x - 3 b + c
F(x) = (2ax + b )V 2 x -3 + —
- = ------------ ■■■■■■“
-----------V 2 x -3
v 2 x -3
Từ đó, để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) điểu kiện là:
'■5a = 20
a •= 4
- 3 ( 2 a - b ) = -3 0 Cí> b = - 2
c= 1

-3 b + c = 7

Vậy, với a = 4, b = -2 , c = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Bài tậ p 13. Đáp sớ trắc nghiệm A.
Lời

giải

tự V
luận: ới hàm số y = —
sin X

thì: F(x) = -cotx + c.



Với X = — thì y ß - cot— = 0 nên đáp án A là đúng.
6
6
Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắn.
19


Bài tập 14. Đáp số trắc nghiêm c .
JSÍ Lời
giải
tự luận:Với hàm sô f(x) = sinx thì: F(x) = -cosx + c.
Khi đó, để F(0) = 0 điểu kiện là:
0 = -cosO + c o c = 1 => F(x) = 1 - cotx, ứng với đáp án c .
Jgs Lựa chọn đáp án bằng phép
thử T
1: a lần lượt đánh giá:
■

Nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx có dạng F(x) = -cosx +
đáp án A và B bị loại.
■ Vì cosO = 1 nên đáp án D bị loại.
Do đó, việc lựa chọn đáp án c là đúng đắn.
JSÍ

Lựa chọn đáp
•

ánbâng phép


c

=> nó có một nguyên hàm là - —cos3x.
JBÍ

Lựa chọn đáp án bâng phép
• Với F(x) = -cos3x thì:
f(x) = (-cos3x)' = 3sin3x

thử:Ta lần lượt đánh giá:
Đáp án A bị loại.

■ Với F(x) = - —cos3x thì: f(x) =
cos3x)' = sin3x, đúng.
3
3
Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.
Bài tậ p 17. Đáp số trắc nghiệm
Lời
giảitự
S
luận: ử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, ta có:
2008*
„
,
2008x ,
,
+ c F(x) = ————, ứng với đáp án
J2008xdx =
ln2008

= 2008x => Đáp án
- thì: f(x) =
In2008
ĨĨĨ2ÕÕ8

Do đó, việc lựa chọn đáp án

c là đúng.

c là đúng đắn.

Bài tập 18.
a. Đáp sô trắc nghiệm B.
Lời

giải

tựluận:

Ta có:

jsiirx.cosx.dx = Ậ Isin2x.sinx.dx = — |(cosx - cos3x).dx
2
4
1 .
1 . ,
_
= — sinx — — sin3x + c.
4
12

giải
tự luận:Ta có:
f(sinx + cosx)dx
f d ( s in x - c o s x )
n ¿v?sin
T xv _- c o s x
x = J 1v7s in
r zx z- c7o s x •
= í(sinx - cosx)~Ị/5.d(sinx - cosx)
= — (sinx - œ sx)4'5 + c = —V(sin X - cos x)4 + c.

4

4 v

Bài tậ p 19. Đáp sô trac nghiệm A
£ Lời giải tự luận: Ta có:
_ 2x3 3
dx = —------- +
3
X
X2 )

dx = lí 2x2 + ^

\

c,

ứng với đáp án A.


1:Biến đổi:
_I
7t,

cosx

sin(x + —)
2

-

dx

. ,x

7T

,x

7Ĩ

2

4

2 s i n ( - + :-)cos(—+ —)
2

4


,X

dx

+c, với a

_

2

1

ị- d(sinx)

,i 2.. — —

2

Bài tập 22. Đáp số trắc nghiệm A.
gỉ Lời giải

tự

luận:Ta có:

ln

sin X


2
T
:ý rong lời giải của cách 2, chúng ta đã sử dụng kết quả:

j •> 7 = - -1 I n,
x+a
Jx2- a 2
2a
b. Đáp số trắc nghiệm B.

22

I I

I

=ln|tg(^- + - j) | + c

,g(r ?

4

tự luậnBiến đổi:
_ fcosx.dx _ |. d(sinx)

71.

+c.



=> y' = k.(ln|2x - 3| - ln|2x + 1[)' = k
k=

phépthử. Bởi các đáp án A,

8k

2

2 x -3

2x +1

4x2 - 4 x - 3

1

Đáp án A là đúng.
I
Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắrị
Bài tập 23.
a. Đáp sô trắc nghiệm B.
£Í Lờigiải
tự luận:Ta biến đổi:
f,
’
2
f(x) =
( x - 3 ) ( x + 2)
O

X

if(x)dx = ệ }

+2

2
5

1

x +2j

^ x -3

2
5

= —(lnjx - 3ị - ln|x + 2|) + c = - In
Đáp số trắc nghiệm
JỂ Lời
giải
t ự luận: Ta biến đổi:
1
ÍỊx) = x------ r ---- * x - ---- ----- + —

1

X


3 (a -b )» l
6
6
Từ đó, suy ra: f(x)

= X —

7

——
—— -

Ồv2x - 3

\(

—— —

2x + 3 J

r

1
V ______
A - —í — ỉ-------íf(x)dx = f X
ỉ—
1
1 3ì Jììdx
J[
6 k^ 2x


giải

(ln|2x - 3| - ln|2x + 3|) + c
In

2x - 3

+c.

2x + 3
sôtrắcn
iệm.B
gh

|f(x )d x = jex( 1 - e~x)dx = í(ex - l)dx = ex - X + c, ứng với đáp án B.

gSLựa chọn đáp
ánhằng phép
■ Với F(x) = ex + X + c thì:

thửI(Từ trái qua phải): T

cy = ex + 1 = ex( 1 + e x) => Đáp án A bị loại.
Với F(x) = ex - X + c thì:
f(x) = (ex - X + cy = ex - 1 = ex(l - e ' x) => Đáp án B đúng.
f(x) = (ex + X +

■


íf(x)dx = íe3x-2dx =

3

-je 3x”2d(3x - 2)x = - e3x"2 + c.

3

b. Đáp sô trấc nghiệm D.
gí Lời giải tự
luận:Ta biến đổi:
2X 1 5X
f(x) = 2.—— - 10x 5 10x

=

2.

1
v5y

]_

lY

5

2
Ị


JS$ L(fi ỳả i tự luận: Sử dụng phép nhân liên hợp, ta biến đổi:
f(x) = 7 ^ 4 + 7 ^ 7 3

= vx+4 + v^ 3

= ( x + 4 )L ( X + 3 ,

X+ 4 - X- 3

2
2 3
______
=> jf(x)dx = í[(x + 4 )2 -(x + 3 ) 2 Ịdx=—[-y/(x + 4)3 + yj(x + 3 ) 3 ] + c.
b.
jeS

Váp so trắc nghiệm A.
Lời
giải
tư luận:Sử dụng phép nhân liên hợp, ta biến đổi:

f(x) =

+
2x-2x-l

= - V 2 x -V 2 x + 1 = - ( 2 x ) - - ( 2 x + l ) 2

=> íf(x)dx = -í[ (2 x) 2 + (2 x + 1)- ]dx



(1 - 3 x )2010
+

18090

( 1 - x ) 100
x 2dx

( 1 - x ) 100

+

luận:Sửdụng đồng nhất thúc x2= (1 - x)2- 2( 1 - x) + 1 ta đuọc:

1

( 1- x )2 - 2(1 - x ) + 1

Khi đó:

c

(1- x )
= -ỉ

100

.


25