CAO HỒNG SƠN
NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Dùng cho học sinh lớp 12
Ôn thi tốt nghiệp và luyện thi đại học
QUY NHƠN, NĂM 2010
1
Mục lục
0 Lời nói đầu 4
1 Nguyên hàm - Tích phân bất định 5
1.1 Nguyên hàm - Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Tính chất của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Các phương pháp tính nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Phương pháp 2: Đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2.1 Đổi biến số dạng 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2.2 Đổi biến số dạng 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2.2.0.1 Dạng 1. Tích phân

√
1 −x
2
dx hoặc

dx
√
1 −x
2
. . 7
1.2.2.2.0.2 Dạng 2. Tích phân


1.3.3.1 Đổi biến số dạng 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3.2 Đổi biến số dạng 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Phương pháp 3: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Các dạng tích phân thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Tích phân của hàm phân thức
P
n
(x)
Q
m
(x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Tích phân của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2.1 Dạng 1:

sin nx. cos mxdx,

sin nx. sin mxdx,

cos nx. cos mxdx . 11
1.4.2.2 Dạng 2:

sin
n
x. cos
m
xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2.3 Dạng 3:

R(sin x, cos x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3.2 Dạng 2: I =

R

x,


ax + b
cx + d

m
n
, ,


ax + b
cx + d

r
s

dx . . . . . . . 12
1.4.3.3 Dạng 3: I =

R[x,
√
a
2

dx
√
ax
2
+ bx + c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3.8 Dạng 8: I =

P
n
(x)dx
√
ax
2
+ bx + c
, (n ≥ 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Tích phân xác định 15
2.1 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Các phương pháp tính tí ch phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Phương pháp 2: Đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2.1 Đổi biến số dạng 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2.2 Đổi biến số dạng 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Các dạng tích phân thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
P
n

2
+ bx + c
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1.5 Dạng 5: Tích phân tổng quát I =

P
n
(x)
Q
m
(x)
. . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Tích phân của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2.1 Dạng 1: I=

sin nx. cos mxdx,

sin nx. sin mxdx,

cos nx. cos mxdx 20
2.3.2.2 Dạng 2: I =

sin
n
x. cos
m
xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2.3 Dạng 3: I =

sin

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2.8 Dạng 8: I
1
=

tan x. tan(x + α)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2.9 Dạng 9: I =

a
1
sin
2
x + b
1
sin x cos x + c
1
cos
2
x
a
2
sin x + b
2
cos x
dx . . . . . . . . . 22
2.3.3 Tích phân của hàm chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3.1 Dạng 1: I =

R


2
−a
2
]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3.5 Dạng 5: I =

R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3.6 Dạng 6: I =

dx
√
ax
2
+ bx + c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3.7 Dạng 7: I =

P
n
(x)dx
√
ax
2
+ bx + c
, (n ≥ 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.4 Tích phân của hàm số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

π
2
0
f(cos x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.4.5 Dạng 5: I =

2a
0
f(x)dx =

a
0

f(x) + f(2a −x)

dx . . . . . . . . . . 26
2.3.4.6 Dạng 6: I =

b
a
xf(x)dx =
a + b
2

b
a
f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.5 Tích phân truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.6 Tích phân liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Ứng dụng của tích phân 27

 Ví dụ mẫu.
 Bài tập tự luyện.
Tác giả đã rất có gắng trong quá trình biên soạn, song chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót
vì sự hiểu biết có hạn và còn ít kinh nghiệm. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ phía các
đồng nghiệp cũng như từ các bậc phụ huynh và các em học sinh.
Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ:
Email:
Phone: 0975 472725
Quy Nhơn, 28 tháng 02 năm 2010.
Cao Hồng Sơn
5
Chương 1
Nguyên hàm - Tích phân bất định
1.1 Nguyê n hàm - Tích phân bất định
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng (a; b) nếu
với mọi x ∈ (a; b), ta có
F

(x) = f(x)
Chú ý 1.1. Nếu thay khoảng (a; b) là đoạn [a; b] thì ta phải thêm điều kiện F

(a
+
) = f(a) và
F

(b
−
) = f(b).


f(x)dx +

g(x)dx
6
Tính chất 1.4.

f(t)dx = F (t) + C ⇒

f(u(x))u

(x)dx = F (u(x)) + C
Bảng nguyên hàm

dx = x + C

du = u + C

x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C

(ax + b)
α
dx =
1

+ C

a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, (0 < a  1)

a
u
du =
a
u
ln a
+ C

cos xdx = sin x + C

cos(ax + b)dx =
1
a
sin(ax + b) + C

sin xdx = −cos x + C

sin(ax + b)dx = −
1
a

cot(ax + b) + C

1
x
2
+ 1
dx = arctan x + C

1
x
2
+ a
2
dx = arctan
x
a
+ C

1
√
1 −x
2
dx = arcsin x + C

1
√
a
2
−x
2

−x + 4
x
3
5. y =
(x −3)
2
x
2
6. y =
√
x +
3
√
x +
3
√
x
2
7. y =
1
√
x
−
1
3
√
x
8. y =
(
√

)
15. y = e
x

2 +
e
−x
cos
2
x

16. y = 2a
x
+
√
x
17. y = 2
x
+ 3
x
18. y = 2sinx + 3cosx
19. y =

3
√
x +
1
√
x


I
1
=

ax + bdx
I
2
=

sin(ax + b)dx
I
3
=

cos(ax + b)dx
I
4
=

dx
sin
2
(ax + b)
I
5
=

dx
cos
2

dx
K
1
=

(2x
3
+ 1)x
2
dx
K
2
=

x
2x
2
+ 1
dx
K
3
=

dx
ax + b
K
4
=

dx

dx
K
9
=

2x + 1
x
2
− x + 2
dx
L
1
=

xdx
√
x
2
+ 1
1.2.2.2 Đổi biến số dạng 2:
Đặt x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ

(t)dt. Khi đó I =

f(x)dx =

f[ϕ(t)]ϕ

(t)dt
1.2.2.2.0.1 Dạng 1. Tích phân

√
k
2
−x
2
. Đặt x = k. sin t, với

−
π
2
;
π
2

1.2.2.2.0.2 Dạng 2. Tích phân

dx
x
2
+ 1
hoặc

√
x
2
+ 1dx .
Đặt x = tan t, t ∈

−
π

π
2
;
π
2


f

(x)dx
f
2
(x) + k
2
. Đặt f(x) = k tan t, t ∈

−
π
2
;
π
2


√
x
2
+ k
2
dx, Đặt x = k tan t, t ∈


a −x
a + x
dx Đặt x = a. cos 2t
1.2.2.2.0.4 Dạng 4. Tích phân I =


(x −a)(b − x)dx Đặt x = a + (b − a) sin
2
t
Ví dụ 1.3. Tich tích phân bất đị nh sau;
I
1
=

dx
1 + x
2
dx
I
2
=

dx
a
2
+ x
2
dx
I


√
a
2
−x
2
dx
8
1.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần
Đặt

u =
dv =
⇒

du =
v =
Công thức tích phân từng phần

u.dv = u.v −

v. du
Chú ý 1.2. 1) Phải chọn dv sao cho có thể tính v dễ dàng.
2) Nếu f(x) có dạng f(x) =

P (x). sin(ax + b)
P (x). cos(ax + b)
thì đặt u = P (x)
3) Nếu f(x) có dạng f(x) =


=

x
2
e
x
dx
I
2
=

ln xdx
I
3
=

x sin xdx
I
4
=

x
2
cos xdx
I
5
=

e
x

kí hiệu là

b
a
f(x)dx = F (x)|
b
a
= F (b) − F (a)
Tính chất 1.5.

b
a
kf(x)dx = k

b
a
f(x)dx
Tính chất 1.6.

a
b
[f(x) ± g(x)]dx=

b
a
f(x)dx ±

b
a
g(x)dx

β
α
g(t)dt = G(t)



β
α
1.3.3.2 Đổi biến số dạng 2:
Bước 1: Đặ t t = v(x) sao cho v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục.
Bước 2: Biểu thị f (x)dx theo t, giả sử f(x)dx = g(t)dt
Bước 3: Tì m nguyên hàm G(t) của g(t).
Bước 4: Tí nh

v(b)
v(a)
g(t)dt = G(t)



β
α
Bước 5: Kết luận

b
a
f(x)dx = G(t)




α
−

b
a
v(x)du
Chú ý 1.3. 1) Phải chọn dv sao cho có thể tính v dễ dàng.
2) Nếu f(x) có dạng f(x) =

P (x). sin(ax + b)
P (x). cos(ax + b)
thì đặt u = P (x)
3) Nếu f(x) có dạng f(x) =

e
ax+b
. sin(a

x + b

)
e
ax+b
. cos(a

x + b

)
thì đặt u = e
ax+b

a
ln |ax + b|+ C
Dạng 2: I =

dx
ax
2
+ bx + c
Xét ∆ = b
2
− 4ac, ta có 3 khả năng xảy ra:
Khả năng 1: ∆ > 0, ta có ax
2
+ bx + c = a(x −x
1
)(x − x
2
)
Hơn nữa
1
(x −x
1
)(x − x
2
)
=
1
x
1
− x

dx
x − x
2

=
1
√
∆
ln



x − x
1
x − x
2



+ C
Khả năng 2: ∆ = 0, ta có
I =
1
a

dx

x +
b
2a

> 0
Đặt t = x +
b
2a
ta đưa về dạng I =
1
a

dt
t
2
+ α
2
Để tính tích phân

dt
t
2
+ α
2
, ta đặt t = α. tan u
Dạng 3: I =

Ax + B
ax
2
+ bx + c
dx
Dạng 4: Tích phân tổng quát I =



1
x
2
+ b

1
x + c

1
)
l
1
. . . (a

t
x
2
+ b

t
x + c

t
)
l
t
Q
m
(x) = (c

x
2
+ b

q
x + c

q
)
j
q
Khi đó ta có
P
n
(x)
Q
m
(x)
=
A
i
1
(c
1
x + d
1
)
i
1
+

+
B
i
h
(c
h
x + d
h
)
i
h
+
B
i
h
−1
(c
h
x + d
h
)
i
h
−1
+ ···+
B
2
(c
h
x + d

j
1
+
C
j
1
−1
x + D
j
1
−1
(a

1
x
2
+ b

1
x + c

1
)
j
1
−1
+ ···+
C
1
x + D

q
)
j
q
+
E
j
q
−1
x + F
j
q
−1
(a

q
x
2
+ b

q
x + c

q
)
j
q
−1
+ ···+
E

(x) là các đa thức theo x và k < m
1.4.2 Tích phân của hàm số lượng giác
Trong mục này, chúng tôi trình bày 5 dạng cơ bản.
11
1.4.2.1 Dạng 1:

sin nx. cos mxdx,

sin nx. sin mxdx,

cos nx. cos mxdx
Phương pháp: Ta biến đổi tích thành tổng
cos a. cos b =
1
2
[cos(a −b) + cos(a + b)]
sin a. sin b =
1
2
[cos(a −b) − cos(a + b)]
sin a. cos b =
1
2
[sin(a − b) + sin(a + b)]
1.4.2.2 Dạng 2:

sin
n
x. cos
m

2
⇒ dx =
2dt
1 + t
2
, đưa về tích phân hàm số hữu tỉ.
sin x =
2t
1 + t
2
, cos x =
1 −t
2
1 + t
2
1.4.2.4 Dạng 4:

dx
a sin x + b cos x + c
, a
2
+ b
2
> 0
Phương pháp: Đặt t = ta n
x
2
⇒ dx =
2dt
1 + t

2
+ b
2
, B =
ab
1
+ a
1
b
a
2
+ b
2
, C =
(a
2
+ b
2
)c
1
−(aa
1
+ bb
1
)c
a
2
+ b
2
Từ đó tích phân được viết lại là


R

x,
n

ax + b
cx + d

dx
Bước 1: Đặ t t =
n

ax + b
cx + d
⇒ x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ

(t)dt
Bước 2: Tí nh I =

R[ϕ(t), t]dt
1.4.3.2 Dạng 2: I =

R

x,


ax + b
cx + d

2
< t <
π
2
) ⇒ dx = −a sin tdt
Bước 2: Tí nh I =

R[a. co s t, −a
2
sin
2
t]dt
1.4.3.4 Dạng 4: I =

R[x,
√
a
2
+ x
2
]dx
Bước 1: Đặ t x = a. tan t, (0 < t <
π
2
) ⇒ dx = −a(1 + tan
2
t)dt
Bước 2: Tí nh I =

R[a. tan t, −a


R[
a
cos t
,
a
2
. sin
2
t
cos
3
t
]dx
1.4.3.6 Dạng 6: I =

R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx
Ta có
√
ax
2
+ bx + c =

a(x
2
+

√
u
2
− α
2
nếu a > 0
√
−a.
√
α
2
−u
2
nếu a < 0
trong đó u = x +
b
2a
và α =
b
2
−4ac
4a
2
Khi đó tích phân I là một trong 2 dạng sau:
I =

R(x,
√
ax
2

− 4ac < 0, không xảy ra khả năng a < 0. Do đó t a chỉ xét a > 0, khi
đó ta có

ax
2
+ bx + c =
√
a.

u
2
+ β
2
với β
2
=
4ac − b
2
4a
2
Khi đó tích phân được viết dưới dạng
I =

R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx =

R


a[(x +
b
2a
)
2
−
b
2
−4ac
4a
2
]
∗ Nếu a > 0, tích phân có dạng I =
1
√
a

du
√
u
2
+ m
(i)
Giải tích phân (i) bằng cách đặt t = u +
√
u
2
+ m ⇒
dt

) +

[(x +
b
2a
)
2
−
b
2
− 4ac
4a
2
]



∗ Nếu a < 0, tích phân có dạng I =
1
√
a

du
√
k
2
− u
2
(ii)
Giải tích phân (ii) bằng như dạng 1 .

+ bx + c)

+ B
Bằng phương pháp đồng nhất, ta xác định được A =
a
1
2a
, B =
2ab
1
− bb
1
2a
Khi đó tích phân có dạng
I =A

d((ax
2
+ bx + c)

)
√
ax
2
+ bx + c
+ B

dx
√
ax

(x)

ax
2
+ bx + c + λ

dx
√
ax
2
+ bx + c
(∗)
trong đó Q
n−1
(x) là một đa thức biến x bậc (n −1), λ ∈ R. Để xác đinh Q
n−1
(x) và hệ số λ ta lấy
vi phân hai vế của (∗), sau đó đồng nhất các hệ số.
15
Chương 2
Tích phân xác định
2.1 Tích phân
2.1.1 Định nghĩa
2.1.2 Tính chất
2.2 Các phương pháp tính tích phân
2.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp
Với các tích phân dạng này, ta biến đổi về các hàm số sơ cấp mà ta đã có nguyên hàm trong
bảng nguyên hàm
Ví dụ 2.1. Tính các tích phân sau:
a. I =


1
0
x
2
dx + 3

1
0
xdx
=
2x
3
3




1
0
+
3x
2
2




1
0

1
) =
1
2
c. Ta có
I =

2
1
2x
2
+ 5x + 1
x
dx =

2
1
2x
2
x
dx +

2
1
5x
x
dx +

2
1

2
1
+ ln |x|




2
1
= (4 − 1) + 5(2 −1) + (ln 1 − ln 2) = 8 − ln 2
16
Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau:
a. I =

3
1
dx
3
√
x
2
dx b. I =

2
1
x
3

1 +
1

3
1
x
−
2
3
dx = 3x
1
3




3
1
= 3
3
√
x




3
1
= 3(
3
√
3 −1)
b. Ta có

2
1

x
3
+ x
3
.x
−
1
2

dx =

2
1

x
3
+ x
5
2

dx
=
1
4
x
4


7
x
3
√
x




2
1
=
1
4
(16 − 1) +
7
2
(8
√
2 −1) =
1
4
+ 28
√
2
c. Ta có
I =

2
1

dx
=

2
1

x + 2x
1
6
+ x
−
2
3

dx =

2
1
xdx + 2

2
1
x
1
6
dx +

2
1
x

1
3




2
1
=
x
2
2




2
1
+
12
7
x
6
√
x




2

2
7
+ 3
3
√
2
Ví dụ 2.3. Tính các tích phân sau:
a. I =

2
1
√
x
4
−x
−4
+2
x
3
dx
b. I =

2
0
|x − 1|dx c. I =

3
−3
|x
2

Bước 2: Biến đổi f (x)dx = f[u(t)]u

(t)dt = g(t)dt.
Bước 3: Tì m nguyên hàm G(t) của g(t).
Bước 4: Tí nh

β
α
g(t)dt = G(t)



β
α
Ví dụ 2.5. Tính các tích phân sau:
a. I =

1
0
√
1 −x
2
dx b. I =

2
0
√
4 −x
2
dx

(x)dx = u(x)v(x)



β
α
−

b
a
v(x)u

(x)dx
Hay

b
a
u(x)dv = u(x)v(x)



β
α
−

b
a
v(x)du
Chú ý 2.4. 1) Phải chọn dv sao cho có thể tính v dễ dàng.
2) Nếu f(x) có dạng f(x) =

thì đặt u = ln
m
(ax + b)
2.3 Các dạng tích phân thường gặp
2.3.1 Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
P
n
(x)
Q
m
(x)
Trong đó P
n
(x) và Q
m
(x) là các đa thức theo x có bậc lần lượ t là n và m. Ta xét cá c dạng
sau:
18
2.3.1.1 Dạng 1: I =

dx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b| + C
2.3.1.2 Dạng 2: I =

A
(ax + b)

.(ax + b)
−k+1
+ C
2.3.1.3 Dạng 3: I =

dx
ax
2
+ bx + c
Xét ∆ = b
2
− 4ac, ta có 3 khả năng xảy ra:
Khả năng 1: ∆ > 0, ta có ax
2
+ bx + c = a(x −x
1
)(x − x
2
)
Hơn nữa
1
(x −x
1
)(x − x
2
)
=
1
x
1

dx
x − x
2

=
1
√
∆
ln



x − x
1
x − x
2



+ C
Khả năng 2: ∆ = 0, ta có
I =
1
a

dx

x +
b
2a

> 0
Đặt t = x +
b
2a
ta đưa về dạng I =
1
a

dt
t
2
+ α
2
Để tính tích phân

dt
t
2
+ α
2
, ta đặt t = α. tan u
2.3.1.4 Dạng 4: I =

Ax + B
ax
2
+ bx + c
dx
Ta có
Ax + B


2ax + b
ax
2
+ bx + c
dx +
2aB − bA
2a

dx
ax
2
+ bx + c
=
A
2a

d(ax
2
+ bx + c)
ax
2
+ bx + c
+
2aB − bA
2a

dx
ax
2

m
(x) thành các nhân tử là các
tam thức bậc hai, hay các nhị thức bậc nhất.
P
n
(x) = (a
1
x + b
1
)
k
1
. . . (a
s
x + b
s
)
k
s
(a

1
x
2
+ b

1
x + c

1

)
i
h
(a

1
x
2
+ b

1
x + c

1
)
j
1
. . . (a

q
x
2
+ b

q
x + c

q
)
j

1
−1
+ ···+
A
2
(c
1
x + d
1
)
2
+
A
1
(c
1
x + d
1
)
+ . . .
+
B
i
h
(c
h
x + d
h
)
i

)
+
C
j
1
x + D
j
1
(a

1
x
2
+ b

1
x + c

1
)
j
1
+
C
j
1
−1
x + D
j
1


1
+ . . .
+
E
j
q
x + F
j
q
(a

q
x
2
+ b

q
x + c

q
)
j
q
+
E
j
q
−1
x + F

q
x + c

q
 Trường hợp 2: Nếu n ≥ m, ta chia đa thức, ta được
P
n
(x)
Q
m
(x)
= H( x) +
G
k
(x)
Q
m
(x)
trong đó H(x), G
k
(x) là các đa thức theo x và k < m
Ví dụ 2.6. Tính I =

dx
x(x + 1)
Giải
Ta có đồng nhất thức: 1 = 1 + x − x
Nên
1
x(x + 1)

Ví dụ 2.7. Tính

dx
x
2
(x + 1)
Giải
20
Ta có đồng nhất:
1
x
2
(x + 1)
=
1 − x
2
+ x
2
x
2
(x + 1)
=
1 −x
2
x
2
(x + 1)
+
x
2

x
2
dx +

dx
x
+
dx
x + 1
= −
1
x
−ln |x|+ ln |1 + x|+ C
= −
1
x
+ ln |
1 + x
x
| + C
2.3.2 Tích phân của hàm số lượng giác
Trong mục này, chúng tôi trình bày 9 dạng cơ bản.
2.3.2.1 Dạng 1: I=

sin nx. cos mxdx,

sin nx. sin mxdx,

cos nx. cos mxdx
Phương pháp chung: Ta bi ến đổi tích t hành tổ ng

Trường hợp 3: Nếu cả hai số n và m đều chẵn. Ta sử dụng công thức hạ bậc.
sin
2
x =
1 − 2 cos 2x
2
cos
2
x =
1 + 2 cos 2x
2
sin x. cos x =
1
2
sin 2x
Ví dụ 2.9. Tính các tích phân sau:
21
a. I =

sin
4
x. cos
3
xdx
b. I =

sin
2
x. cos
4

x
2
⇒ dx =
2dt
1 + t
2
, đưa về tích phân hàm số hữu tỉ.
sin x =
2t
1 + t
2
, cos x =
1 −t
2
1 + t
2
Ví dụ 2.10. Tính các tích phân sau:
a. I =

sin x + sin
3
x
cos 2x
dx
b. I =

cos
3
x
4 sin

cos x + c
1
a sin cx + b cos x + c
dx
Phương pháp chung: Ta xác định các số A, B, C s ao cho
a
1
sin x + b
1
cos x + c
1
= A(a sin x + b cos x + c) + B(a sin cx + b cos x + c)

+ C
Bằng phương pháp đồng nhất thức, ta xác định được
A =
aa
1
+ bb
1
a
2
+ b
2
, B =
ab
1
+ a
1
b

dx
a sin cx + b cos x + c
=Ax + B ln


a sin cx + b cos x + c


+ C.J
Để tính J =

dx
a sin cx + b cos x + c
ta trở lại Dạng 4.
Ví dụ 2.12. Tính các tích phân sau:
22
a. I =

sin x
sin x + cos x
dx b. I =

sin x −cos x + 1
sin x + 2 cos x + 3
dx
2.3.2.6 Dạng 6: I
1
=

dx

=

dx
cos(x + a). cos(x + b)
. Sử dụng đồng nhất thức 1 =
sin(a − b)
sin(a − b)
I
3
=

dx
sin(x + a). cos(x + b)
và I
4
=

dx
cos(x + a). sin(x + b)
. đồng nhất thức 1 =
cos(a − b)
cos(a − b)
2.3.2.7 Dạng 7: I =

dx
sin x + sin α
Ta có I =

dx
sin x + sin α

dx
cos x. cos(x + α)
− x. Trở lại dạng 6.
Tương tự cho tích phân I
2
=

tan x. cot(x + α)dx và I
3
=

cot x. cot(x + α)dx
2.3.2.9 Dạng 9: I =

a
1
sin
2
x + b
1
sin x cos x + c
1
cos
2
x
a
2
sin x + b
2
cos x

2
ln



tan
x + α
2



+ C.
trong đó sin α =
b
2

a
2
2
+ b
2
2
và cos α =
a
2

a
2
2
+ b


R[x,
√
a
2
−x
2
]dx
Phương pháp chung: : Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt x = a. cos t, (−
π
2
< t <
π
2
) ⇒ dx = −a sin tdt
Bước 2: Tính I =

R[a. co s t, −a
2
sin
2
t]dt
2.3.3.3 Dạng 3: I =

R[x,
√
a
2
+ x

π
2
< t <
π
2
) ⇒ dx = −
a. sin t
cos
2
t
dt
Bước 2: Tính I =

R[
a
cos t
,
a
2
. sin
2
t
cos
3
t
]dx
2.3.3.5 Dạng 5: I =

R(x,
√

2
]
Ta xét 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu ∆ = b
2
− 4ac ≥ 0, ta có

ax
2
+ bx + c =

√
a.
√
u
2
− α
2
nếu a > 0
√
−a.
√
α
2
−u
2
nếu a < 0
trong đó u = x +
b
2a

+ bx + c)dx =

R
2
(u,
√
u
2
−α
2
)du trở lại dạng 4.
Trường hợp 2: Nếu ∆ = b
2
− 4ac < 0, không xảy ra khả năng a < 0. Do đó t a chỉ xét a > 0, khi
đó ta có

ax
2
+ bx + c =
√
a.

u
2
+ β
2
với β
2
=
4ac − b

√
ax
2
+ bx + c =

a(x
2
+
b
a
x +
c
a
) =

a[(x +
b
2a
)
2
−
b
2
−4ac
4a
2
]
24
∗ Nếu a > 0, tích phân có dạng I =
1

1
√
a
ln |t|
Vậy I =
1
√
a
ln



(x +
b
2a
) +

[(x +
b
2a
)
2
−
b
2
−4ac
4a
2
]


x + b
1
√
ax
2
+ bx + c
dx
Ta tìm các số A, B sao cho
a
1
x + b
1
= A(ax
2
+ bx + c)

+ B
Bằng phương pháp đồng nhất, ta xác định được A =
a
1
2a
, B =
2ab
1
− bb
1
2a
Khi đó tích phân có dạng
I =A


2
+ bx + c
Trường hợp 2: Nếu n ≥ 2, ta đưa tích phân về dạng
I =

P
n
(x)dx
√
ax
2
+ bx + c
= Q
n−1
(x)

ax
2
+ bx + c + λ

dx
√
ax
2
+ bx + c
(∗)
trong đó Q
n−1
(x) là một đa thức biến x bậc (n −1), λ ∈ R. Để xác đinh Q
n−1

=

0
−a
f(x)dx
α
x
+ 1
+

a
0
f (x)dx
α
x
+1