Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
1. Khái niệm nguyên hàm
•fFnguyên hàmf
F x f x=
∀∈
• F(x)!"f(x)#họ nguyên hàmf(x)
f x dx F x C= +
∫
∈$
•%&'f(x)'&("
2. Tính chất
•
f x dx f x C= +
∫
•
[ ]
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
•
)kf x dx k f x dx k= ≠
∫ ∫
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
•
)dx C=
∫
•
dx x C= +
∫
•
*
= + < ≠
∫
•
'xdx x C= +
∫
•
' xdx x C= − +
∫
•
+
*
dx x C
x
= +
∫
•
+
*
'
dx x C
x
= − +
∫
•
*
' )ax b dx ax b C a
a
u u x=
&'&#
[ ] [ ]
f u x u x dx F u x C= +
∫
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
u, v'&'&#
udv uv vdu= −
∫ ∫
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Trang 1
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. NGUN HÀM
I. NGUN HÀM
Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. -#"
+
*
./f x x x
x
= +
0
f x x x x= + +
3
/
* +
f x
x x
= −
+
+'
+
x
f x =
+
f x x=
'
+
f x x=
4
+ +
*
'
f x
x x
=
+ +
+
x
f x e
+
=
Bài 2. -#"F(x)f(x)'(4'!67
/
1 89 * /f x x x F= − + =
0
/ 8 9 +f x x F= − =
π
+
/ 8
9 *
x
f x F e
x
−
= =
2
+
* /
9 *
+
x
f x F
x
9 * +
x x
f x F
x
− +
= =
'
/ /
+
/ / ;
9 ) <
*
x x x
f x F
x
+ + −
= =
+
4
+
' 9
+ + 1
x
f x F
== =
÷
π π
Bài 3. g(x). -#"F(x)f(x)'(4'!67
0
1
8 /
/ 8
1 1 /
F x x x
f x x x
= + −
= + +
+
+
+ +
1
/
+
1 /
x
F x
x
x
x x
F x
x x
x
f x
x
− +
=
+ +
−
=
+
Bài 5. -#'(4'!=F(x)!"f(x)
Trang 2
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
/ +
+
/ + 1 /
/ *) 1
F x mx m x x
Tìm m
+ +
+
1
+ 1
F x ax bx c x x
Tìm a b c
f x x x x
= + + −
= − −
2
+
/
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x e
= + +
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x x e
−
−
= + +
= − +
*' '+ '/
+ /
b c
F x a x x x
Tìm a b c
f x x
= + + +
=
t u x dt u x dx= ⇒ =
.
Khi đó:
f x dx
∫
=
g t dt
∫
, trong đó
g t dt
∫
dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính
g t dt
∫
theo t, ta phải thay lại t = u(x).
•
Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa Cách đổi biến
+ +
a x−
'
+ +
x a t t= − ≤ ≤
π π
hoặc
)x a t t= ≤ ≤
π
+ +
a x+
8
x
dx
x +
∫
+
*x xdx+
∫
+
/
/
8 +
x
dx
x+
∫
'
+
*
dx
x x+
∫
4
1
' x xdx
∫
8
e
dx
x
∫
Trang 3
Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
?
/
x
dx
x
∫
*
x
dx
e +
∫
+
x
e
dx
x
∫
Bài 2. ->"(đổi biến số dạng 2)
+ /
+
+
*
x dx
x−
∫
+
*
dx
x x+ +
∫
'
/ +
*x x dx+
∫
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
x
P x e dx
∫
P x xdx
∫
'P x xdx
∫
P x xdx
∫
u P(x) P(x) P(x) lnx
x e dx
∫
+
/ x
x e dx
∫
'
xdx
∫
4
x xdx
∫
+
xdx
∫
+
*x dx+
∫
+
x xdx
∫
+ +
x xdx
∫
5
'x x dx
∫
3
/
' xdx
∫
x
dx
x
∫
' x dx
∫
'
x dx
∫
Bài 3. ->"
x
e xdx
∫
0
+
*
x
e x x dx+ +
∫
+
*
*
x x x
dx
x
+ +
+
∫
/
+
*
x
dx
x+
∫
'
+
x
dx
x
÷
∫
Trang 4
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của
x
dx
x x−
∫
0
'
x
dx
x x−
∫
'
'
x
dx
x x+
∫
2
'
x
dx
x x+
∫
1
1 1
'
'
4
x
x x
e
dx
e e
−
−
−
∫
x
x x
e
dx
e e
−
+
∫
x
x x
e
dx
e e
−
−
+
∫
VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
= + = − <
−
− + + + +
∆
+ + + +
*
A B C D
x a x b
x a x b x a x b
= + + +
− −
− − − −
2. f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) =
m
ax b
R x
cx d
+
÷
+
→
đặt
m
ax b
x a x b
x a x b a b x a x b
+ − +
=
+ + − + +
,
'
*
'
a b
sử dụng
a b
−
=
÷
−
+
[ ]
'
* *
'
x a x b
x a x b a b x a x b
+ − +
=
+ + − + +
,
−
=
÷
−
+ Nếu
' ' R x x R x x− = −
thì đặt t = cosx
+ Nếu
' ' R x x R x x− = −
thì đặt t = sinx
+ Nếu
' ' R x x R x x− − = −
thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
Bài 1. ->"
*
dx
x x +
∫
0
*+ /
dx
x x+ −
∫
+
+
*
∫
+
+ / +
x
dx
x x− −
∫
'
/
+
/ +
x
dx
x x− +
∫
4
+
*
dx
x x +
∫
/
*
dx
x+
∫
/
*
dx
x x+
∫
/
x
dx
x x−
∫
3
*
x
dx
x x +
∫
/ 1
+
dx
x x x+ +
∫
*
*
x dx
x x
−
+
∫
'+ '8x xdx
∫
0
'/x xdx
∫
+ 1
x x dx+
∫
2
+
* '
x
dx
x x+
∫
+' *
dx
x +
∫
3
dx
x
∫
* '
x
1
' xdx
∫
Trang 6
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
1. Khái niệm tích phân
•f'&,a, b∈K F!"f#
F(b) – F(a)tích phân của f từ a đến b,4>'!
b
a
f x dx
∫
b
a
f x dx F b F a
= −
∫
•C',7'0'">5=&04#!6D4"x6
b b b
a a a
k: const)
•
[ ]
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
•
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
• f(x)
≥
0 E90F#
)
b
a
f x dx ≥
∫
• f(x)
≥
g(x) E90F#
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
∫
dễ tính
Trang 7
II. TÍCH PHÂN
II. TÍCH PHÂN
Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
hơn
b
a
udv
∫
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân:
b
a
f x dx F b F a
= −
∫
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 6. ->>5
∫
++
2
1
x
dx
x
−
+
∫
( )
∫
−
−
+
1
2
2
2
4
4
dx
x
x
3
+
+
*
* *
e
x x dx
x
dx
x
−
∫
+
*
+ 8 ;
e
x x
dx
x
+ −
∫
<
/
+
*
*
1
/
x dx
x
÷
−
÷
∫
+
+
)
/
/
/
*
x
dx
x+
∫
3
1
+
)
Bx x dx+
∫
Bài 8. ->>5
∫
+
π
π
0
)
6
2sin( dxx
0
+
/
3
1
+
A
+ 8x dx+
∫
π
π
+
)
* '
dx
x+
∫
π
+
)
*
*
x
dx
x
−
+
∫
π
'
+
∫
π
π
π
π
1
1
)
x dx
∫
π
Bài 9. ->>5
*
)
2
x x
x x
e e
e e
−
−
−
+
∫
0
+
+
*
∫
+
*
*
x
x
e
e dx
x
−
−
∫
3
*
)
+
x
x
e
dx
∫
+
)
'
x
e xdx
∫
x
xe dx
∫
*
)
*
*
x
dx
e+
∫
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Giả sử ta cần tính
b
a
g x dx
∫
.
Nếu viết được g(x) dưới dạng:
[ ]
g x f u x u x=
thì
u b
b
a u a
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa Cách đổi biến
+ +
a x−
'
+ +
x a t t= − ≤ ≤
π π
hoặc
)x a t t= ≤ ≤
π
+ +
a x+
+ +
x a t t= − < <
π π
hoặc
)x a t t= < <
π
+ +
x a−
{ }
9 I )
' + +
a
x t
t
= ∈ −
3
)1( x
x
∫
+
1
0
2
5
1
dx
x
x
Trang 9
Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
2
∫
+
1
0
12x
xdx
*
+
)
*x x dx−
∫
3
x
x
e
dx
e+
∫
4
( )
/
/
)
*
x
x
e dx
e +
∫
∫
+
e
x
dxx
1
2
ln2
∫
+
e
5
∫
+
6
0
22
cossin2
2sin
π
dx
xx
x
Bài 4. ->>5(đổi biến số dạng 2)
∫
−
2
1
0
2
1 x
dx
0
∫
−
1
0
2
2
4 x
24
1xx
xdx
)
+
*
+ +
dx
x x
−
+ +
∫
∫
−
2
1
3
2
1
dx
x
x
'
( )
∫
+
1
0
∫
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b
x
a
P x e dx
∫
b
a
P x xdx
∫
'
b
a
P x xdx
∫
b
a
P x l xdx
∫
u P(x) P(x) P(x) lnx
dv
x
e dx
xdx
' xdx
π
∫
/
+
1
x xdx
∫
π
π
3
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
dxxe
x
∫
2ln
0
dxxx
e
∫
1
e
xdx
1
3
ln
dxxx
e
∫
1
23
ln
5
∫
e
e
dx
x
x
1
2
ln
?
dxxex
x
)1(
0
1
3
2
+
/
*x dx
−
−
∫
8
+
+ +x x dx
−
+ − −
∫
3
/
)
+ 1
x
dx−
∫
1
+
*
A Bx x dx− +
∫
∫
+−
3
π
π
2
* ' xdx
−
−
∫
π
π
+
)
* xdx+
∫
π
3
)
* +xdx+
∫
π
/
+ +
A
+x x dx+ −
∫
π
π
/
2
65xx
dx
∫
++
3
0
2
3
12xx
dxx
2
( )
∫
+
1
0
3
21
dx
x
x
( )
∫
−
3
2
9
'
*
/
)
*
*
x x
dx
x
+ +
+
∫
4
)
/ +
+
*
+ A B B
/ +
x x x
dx
x x
−
− + +
− +
∫
/
+
/
0
( )
∫
+
+
3
0
2
2
1
23
dx
x
x
∫
+
+++
2
0
2
23
4
942
dx
x
xxx
2
*
+ +
1
*
*
*
dx
x x+
∫
+
+))<
+))<
*
*
*
x
dx
x x
−
+
∫
'
/
1
+ +
+
*
x
dx
x −
∫
dx
x
−
+
∫
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.
Bài 1. ->>5
∫
+
22
0
2
1dxxx
0
∫
++
1
0
2
3
1
dx
xx
x
∫
++
1
*)
8
+ *
dx
x x− −
∫
∫
+
1
0
23
1dxxx
'
∫
++
−
1
0
132
34
dx
x
x
4
∫
+
+
3
+
)
*
*
x
dx
x
+
−
∫
+
/
+
+
*
dx
x x −
∫
5
+
/
*
*
dx
x x +
∫
Bài 2. ->>5
*
∫
/
/ +
)
*)x x dx−
∫
3
*
+
)
* x dx+
∫
*
+
*
* *
dx
x x
−
+ + +
∫
+
+
*
+))<
dx
x +
8
1
+
*
*+ 1 <x x dx− −
∫
Bài 3. ->>5
Trang 12
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
+
)
; +
xdx
x+
∫
π
0
+
+
)
' x x xdx−
∫
π
+
+
)
xdx
x+
∫
π
+
+
)
*
xdx
x+
∫
π
/
+
1
*
x
dx
x x
π
π
+
∫
'
+
)
* /
e
x x
dx
x
+
∫
2
/
+
+
*
x
dx
x x +
∫
)
+
/
*
*
x
x e x dx
−
+ +
∫
3
+
+
)
*
x
e dx−
∫
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Bài 1. ->>5
∫
4
0
cos.2sin
π
xdxx
0
∫
4
0
tan
π
xdx
∫
+
2
0
cos31
sin
∫
π
∫
2
0
32
cossin
π
xdxx
'
+
1 8
)
' x xdx
∫
π
4
+
/ /
)
' x x dx+
∫
π
/
+
)
*
π
π
5
/
/
1
'
dx
x x
π
π
∫
?
/
+
+
)
'
*
x
dx
x+
∫
π
/
+
)
*
++
2
6
cossin
2cos2sin1
π
π
dx
xx
xx
dx
xx
x
∫
+
3
4
2
cos1cos
tan
π
π
2
+
1 1
)
+ ' x x x dx+
∫
/
1
+ + 8
)
'
*
x
dx
x x
π
+
∫
'
/
+ +
/
*
' B
dx
x x
π
π
−
+
∫
Bài 3. ->>5
+
/
*
x+
∫
π
+
)
+
x
dx
x−
∫
π
3
+
)
'
+ '
x
dx
x+
∫
π
+
)
*
' *
dx
x x+ +
* '
* ' +
x x
dx
x x
−
+ −
∫
π
/
1
'
1
dx
x x +
∫
π
π
π
/
A
' '
A
dx
x x +
∫
π
π
+
/
)
' xdx
∫
π
+
+
)
x xdx
∫
π
3
+
+ *
)
'+
x
x e dx
+
∫
π
+
*
x dx
∫
/
∫
π
+
)
' x x xdx
∫
π
+
+
' /
)
'
x
e x xdx
∫
π
1
)
* x dx+
∫
π
5
∫
4
0
4
cos
)
*
1
x
dx
e +
∫
2
∫
+
8ln
3ln
1
dx
e
e
x
x
∫
+
8ln
3ln
2
.1 dxee
xx
3
∫
+
−
∫
'
*
)
*
x
x
e
dx
e
−
−
+
∫
4
+
*
*
e
x
dx
x x +
∫
*
+
)
*
x
2
dxxe
x
∫
−
1
0
dxxe
x
2
∫
+
2
0
cos)cos(
π
xdxxe
x
( )
∫
+
1
0
1ln dxxx
3
+
*
dxx
xx
x
1
2
ln
1ln
ln
'
/
+
e
e
x
dx
x
∫
4
+
+
*
x
dx
x
∫
/
+
A
•
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì
)
+
a a
a
f x dx f x dx
−
=
∫ ∫
Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân
có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
Bước 1: Phân tích
)
)
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx
− −
= = +
∫ ∫ ∫
)
)
9
a
a
J f x dx K f x dx
−
dx f x dx
a
−
=
+
∫ ∫
α α
α
(với
α
∈
R
+
và a > 0)
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
)
)
* * *
x x x
f x f x f x
I dx dx dx
a a a
− −
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫
α α
α α
' f x dx f x dx=
∫ ∫
π π
Để chứng minh tính chất này ta đặt:
+
t x= −
π
Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và
f a b x f x+ − =
hoặc
f a b x f x+ − = −
thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b =
π
thì đặt t =
π
– x
nếu a + b = 2
π
thì đặt t = 2
π
– x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm
của các hàm số f(x)
±
g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của
f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x)
dx
x
−
− + − +
∫
π
π
0
+
+
+
* x x x dx
−
+ +
∫
π
π
*
+
*
+
*
*
x
x dx
x
−
*
x x
dx
x
−
+
+
∫
8
+
+
'
*
x
dx
x
−
+
∫
π
π
+
+
+
1 '
xdx
x
π
∫
0
*
+
*
*
* +
x
x
dx
−
−
+
∫
*
+
*
* *
x
dx
e x
−
+ +
∫
2
+
'
/ *
x
∫
Trang 16
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
+
+
' '/ 8
*
x
x x x
dx
e
−
+
∫
π
π
A A
1
1
'
A *
x
x x
dx
−
+
+
∫
∈
N
*
) 0
;
+
; ;
)
'
'
x
dx
x x+
∫
π
+
)
'
'
x
dx
x x+
∫
π
2
+))B
+
+))B +))B
)
π
+
∫
Bài 4. ->>5(dạng 4)
+
)
'
1
x x
dx
x−
∫
π
0
+
)
1 '
x x
dx
x
+
−
∫
π
+
)
* '
π
)
* '
x
dx
x+
∫
π
)
'
+
x x
dx
x+
∫
π
'
+
)
'
*
x x
dx
x+
∫
π
4
1
π
0
+
)
'
x
dx
x x−
∫
π
+
)
'
'
x
dx
x x+
∫
π
2
+
)
'
x
dx
x x+
∫
'
'
x
dx
x x+
∫
π
A
+
A A
)
'
x
dx
x x+
∫
π
'
+
+
)
+' '+x xdx
∫
π
4
+
+
)
*
x
x x
e
dx
e e
−
−
+
∫
*
*
x
x x
e
dx
e e
−
−
−
+
∫
Trang 17
Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
Giả sử cần tính tích phân
b
n
n
n
I xdx=
∫
π
• Đặt
*
'
'
n
u x
dv x dx
−
=
=
0
+
)
n
n
I xdx=
∫
π
•Đặt
*
+
)
n
n
I x x dx=
∫
π
•
Đặt
n
u x
dv x dx
=
=
+
)
'
n
n
J x x dx=
∫
π
•
Đặt
'
*
e
n
n
I x dx=
∫
•
Đặt
n
u x
dv dx
=
=
*
+
)
*
n
n
I x dx= −
∫
•
Đặt
x t=
* *
* * *
n n n
x x
x x x
+
= −
+ + +
Tính
*
+
+
)
*
n
n
x
J dx
x
=
+
∫
. Đặt
+
*
n
u x
x
dv dx
x
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
4
1
)
n
n
dx
I dx
x
=
∫
π
•
Phân tích
*
*
n n
x
x x
+
=
→
Đặt
*
*
n
∫
+
Chú ý:
•
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
b b
a a
f x dx f x dx
=
∫ ∫
•
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối của hàm số
dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b c d b
a a c d
f x dx f x dx f x dx f x dx= + +
∫ ∫ ∫ ∫
=
c d b
a c d
f x dx f x dx f x dx+ +
∫ ∫ ∫
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
•
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân
+
b
a
V f x dx
=
∫
π
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
là:
+
d
c
V g y dy
=
∫
π
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
Bài 10. ->2'!>#5H'7'&07'67
+
1 A ) + 1y x x y x x= − − = = − =
0
*
)
x
) )
+
*
x
y y x x
x
= = = =
−
*
) *)
*)
y x y x x= = = =
Bài 11. ->2'!>#5H'7'&07'67
/ *
) )
*
x
y y x
x
− −
= = =
−
0
+ )y x y x y= = − =
+ *
x
y e y x= = =
*
)y x y y x e
x
= = = =
0
' + / )y x x y x x= − = = = π
+
8 ) / )
x
y y y x x
−
= = = − =
2
+ +
+ + / A ) 1y x x y x x x x= − = + − = =
) 1y x y y x= = = −
3
+ +
+ + 1 8 *y x x y x x y= − + = + + =
+ )y x y x y= = − =
+
*
*
x
x
y y e x
+
+y x y x= = −
3
+ +
+ 1y x x y x x= − = − +
Trang 21
Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
+
+
*
+
*
x
y y
x
= =
+
+
/ )y x y
x
= + + =
'
+
+ +y x x y x= + = +
4
+
+ 1y x y x= + = −
< +x y y x+ = =
Bài 15. ->2'!>#5H'7'&07'67
9 )9 *9 +
x
y x e y x x= = = − =
0
+
9 )9 *9 y x x y x x e= = = =
9 9 *
x x
y e y e x
−
= = =
2
+
8 9 )9 )9 /
x
y y x y x
−
= = = = −
8
* 9 9 *
x
y x y e x= + = =
3
*
) y x y x x e
)
+
x x
C y y
x
+ +
= =
+
'!!':.*,:+
/ +
+ 1 / )C y x x x y= − + − =
,'5",7'&''=!:+
2
/
/ + *C y x x x= − + = −
,'5"7'&''=!:.+
+
+C y x x= −
,'5",7'&'G)9),Q/9/
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Bài 1. ->=>,!="'07'#'7'&07'67?"
?&G
' ) )
1
y x y x x
π
= = = =
'
'
1 +
y x y x x x= = = =
π π
4
+ +
+ B )x y y− + = =
+ +
1 A + Ay x x y x x= − + = − − +
) +y x y x= = =
Bài 2. ->=>,!="'07'#'7'&07'67?"
Trang 22
Tran Sú Tuứng Nguyeõn haứm Tớch phaõn
?&G"
+
* 1x y y
y
= = =
0
+
1y x y= =
)
x
y e x y e= = =
2
( )
+
+
.1 *Rx y+ =
'
1
49
22
=+
yx
4
* + ) )y x y y x= = = =
+
) + )x y y x = = =
+ /
) *y x y x= = =
Trang 23
Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng
Bài 1. ->>5
∫
−
2
0
2
dxxx
0
∫
8
/
+ +x x dx
−
+ − −
∫
3
*
+
)
+ 8 +
dx
x x+ +
∫
*
+
)
*
xdx
x +
∫
)
+
*
+ 1
dx
)
*
xdx
x+
∫
*
/
)
*
xdx
x +
∫
Bài 2. ->>5
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
0
/
/ +
)
*x x dx+
∫
1
8
)
*
x
dx
x +
∫
+
+ +
)
1x x dx−
∫
+
*
+ +
xdx
x x+ + −
∫
'
)
*
*x x dx
−
+
∫
4
/
/ /
)
* x x dx+
∫
?
;J/
/
)
*
/ *
x
dx
x
+
+
∫
*
+
+
/
)
*
x x
dx
x
+
+
∫
* /
x x
dx
x
π
+
+
∫
J+
)
'+
*
x x
dx
x
π
+
∫
2
J+
+ +
)
'+
1'
x
dx
x x
π
dx
x x
π
π
+
∫
'
+
)
'
*
x x
dx
x
π
+
∫
4
J1
+
)
x x dx
π
∫
J+
)
'+
*
x
π
+
∫
5
J+
/
)
1'
*
x
dx
x
π
+
∫
?
J1
+
)
* +'
* '+
x
dx
x
π
−
+
∫
J+
x x
π
∫
Bài 4. ->>5
/
+
)
8x x dx+
∫
0
∫
−
3
2
2
)ln( dxxx
*
+
)
+
x
x e dx−
∫
2
J+
'
x
xdx
x
+
∫
*
+
)
*
x
x e dx+
∫
'
*
)
*
x
dx
e+
∫
4
+
+
+
)
+
x
x e
dx
*
e
x
dx
x
∫
?
*
+
)
* x x dx+
∫
*
/ +
* +
e
x
dx
x x
−
+
∫
∫
+
e
dx
x
+ )
1 1
y x x y= − + + =
2
+ *
x
y e y x= = =
* *
* ) + 1
+ *
y x y x x
x
= − + = = =
−
3
+ +
+ 1y x x y x x= − = − +
+ *
) )
*
x
y y x
x
+
= = =
+
+
/ +
/ / *y x x x= + + +
tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.
5
/
*
/
1
y x x= −
tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thò có hoành độ x =
+ /
.
Bài 6. ->=>,!="'4'?"#5H'7'&07'
67?&
) /9y x y x Ox= = =
0
) * 9y x x y x x e Ox= = = =
) *9
x
y xe y x Ox= = =
2
+ +
1 +9y x y x Ox= − = +
+
1 )9y x x Oy= − =
3
Copyright: Tài liệu đại học ©