Trần Só Tùng

Tích phân

Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân
1. Các giới hạn đặc biệt:
sin x
=1
a) lim
x ®0 x
x
=1
x ®0 sin x

Hệ quả: lim

sin u(x)
=1
u(x)®0 u(x)

u(x)
=1
u(x)®0 sin u(x)

ln(1 + x)
=1
x® 0
x

lim


x
( x )' = 1
2 x
x
(e )' = ex

u'
ỉ1ư
ç ÷' = - 2
u
èù
( u ) ' = u'
2 u
u
(e )' = u'.e u

(ax )' = a x .ln a
(a u )' = a u .ln a . u '
1
u'
(ln x )' =
(ln u )' =
x
u
1
u'
(loga x ') =
(loga u )' =
x.ln a
u.ln a


Trang 1


Tích phân

Trần Só Tùng

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
§Bài 1: NGUYÊN HÀM
1. Đònh nghóa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x
thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x).
Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm:
F '(a+ ) = f(x) và F '(b - ) = f(b)
2. Đònh lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :
a/
Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng đó.
b/
Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể
viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.
Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là ò f(x)dx. Do
đó viết:

ò f(x)dx = F(x) + C
Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.
3. Các tính chất của nguyên hàm:
·


ò du = u + C

x a+1
ò x dx = a + 1 + C

(a ¹ -1)

ua+1
ò u du = a + 1 + C

dx
= ln x + C
x

(x ¹ 0)

ò

a

ò

ò e dx = e
x

x
ò a dx =

x

+C
ln a

(0 < a ¹ 1)

ò cos xdx = sin x + C

ò cos udu = sin u + C

ò sin xdx = - cos x + C

ò sin udu = - cos u + C

dx
2
ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C

du
2
ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C

dx

ò sin

2

x

= ò (1 + cot g 2 x)dx = - cot gx + C

=
cos(ax + b) + C
ò
a

(a ¹ 0)

dx

1

ò ax + b = a ln ax + b + C
òe
ò

ax + b

u

= ò (1 + cot g 2 u)du = - cot gu + C

1
dx = eax + b + C
a

(a ¹ 0)

dx
2
=
0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.

x2 + a

= f(x)


Trần Só Tùng

·

Tích phân

Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0.
F '(0 - ) = limx®0

·

F(x) - F(0)
x 2 + x + 1 - e0
= lim= 1.
x ®0
x-0
x

Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0.
F '(0 + ) = lim+
x®0

F(x) - F(0)
ex - e0
= lim+


trên R.

Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
ì2x khi x < 1
a/ Với x ¹ 1 , ta có: F '(x) = í
ỵ2 khi x > 1
b/ Với x = 1, ta có:
Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do
đó :
lim- F(x) = lim+ F(x) = f(1) Û a + b = 1 Û b = 1 - a
(1)
x ®1

x ®1

· Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1.
F'(1) = lim
x ®1

f(x) - F(1)
x2 - 1
= lim= 2.
x ®1 x - 1
x -1

· Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0 = 0.
F '(1+ ) = lim+
x ®1

ï
ï
Û ía - b = 4
Û í b = -3
ï b - 2c = -7
ïc = 2
ỵ
ỵ
Vậy F(x) = (x 2 - 3x + 2)e-2x .

Trang 6


Trần Só Tùng

Tích phân

BÀI TẬP
ỉ x pư
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số F(x) = ln tg ç + ÷
è2 4ø
Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số f(x) =

1
.
cos x

ì ln(x 2 + 1)
,x¹0
ï


x2
8
+x+
;
2
x +1

x
ỉ pư p
và F ç ÷ = .
2
è2ø 4

1
b/ F(x) = (x - sin x + 1)
2

Xác đònh các hằng số a, b, c sao cho hàm số:
F(x) = (ax 2 + bx + c) 2x - 3 là một nguyên hàm của hàm số:
f(x) =

b/

20x 2 - 30x + 7
ỉ3
ư
trên khoảng ç ; + ¥ ÷
è2
ø


1

1

ò f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (đpcm) .

Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp:

ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f(u)du = F(u) + C, với u = u(x)
Ví dụ 2: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/

3
ò (2x + 3) dx

b/ ò cos4 x.sin xdx

c/ ò

2e x
dx
ex + 1

d/ ò

(2 ln x + 1)2
dx
x


1
1
d/ Ta có: ò
dx = ò (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C.
x
2
2
Ví dụ 3: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/

ò 2sin

2

x
dx
2

b/ ò cot g2 xdx

c/ ò tgxdx
Giải:

a/ Ta có: ò 2sin 2

x
dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C
2

ỉ 1


3

x

dx = ò

sin x
d(cos x)
1
1
dx = - ò
= - cos -3 x + C = + C.
4
4
cos x
cos x
3
3cos3 x

Ví dụ 4: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/

x

ò 1 + x dx
2

b/


dx = ò
dx = ò ç
÷dx
- 3x + 2
(x - 1)(x - 2)
è x - 2 x -1 ø

2

= ln x - 2 - ln x - 1 + C = ln

x-2
+ C.
x -1

BÀI TẬP
Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
x
a/ f(x) = cos2 ; b/
2
ĐS: a/

1
(x + sin x) + C ;
2

f(x) sin 3 x.
1
- cos x + cos3 x + C.
3

2 2x.3x.5x
ò 10x dx .

ex
ò ex + 2dx
ex
+ C;
(1 - ln 2)2 x

b/

1
- e2-6 x - e- x + C; e/
6

c/

6x
+C
ln 6

ln(ex + 2) + C .

Bài 8. Tính các tích phân bất đònh :
a/

ò

d/


55 7
x + C;
7

b/

1 (1 - 2x)2002
- .
+ C;
2
2002
Trang 9

e/

c/

1 2
(x + 1) x 2 + 1 + C ;
3

1
(3 + 4 ln x) 3 + 4 ln x + C.
6


Tích phân

Trần Só Tùng


x -3 x -2

·

Với f(x) =

·

Với f(x) = (2 x - 3x )2 thì viết lại f(x) = 4 x - 2.6 x + 9 x.

·

Với f(x) = 8 cos3 x.sin x thì viết lại f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x

2

1
1
thì viết lại f(x) = ( 3 - 2x - 2x + 1)
2
2x + 1 + 3 - 2x

= 2 cos3x.sin x + 6 cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2 sin 2x.
·

tg 2 x = (1 + tg 2 x) - 1

·

cot g 2 x = (1 + cot g 2 x) - 1

1
1
Sử dụng đồng nhất thức: x = .ax = [(ax + b) - b]
a
a
Trang 10


Trần Só Tùng

Tích phân

Ta được:
1
1
x(ax + b)a = [(ax + b) - b)(ax + b)a = [ò (ax + b)a+1 d(ax + b) - ò (ax + b)a d(ax + d)]
a
a
Ta xét ba trường hợp :
·

Với a = 2, ta được: I =
=

·

1
1
[ln ax + b +
] + C.


1 (ax + b)a+ 2 (ax + b)a+1
[
+
] + C.
a2
a+2
a +1

dx
- 4x + 3
Giải:

Ta có:

1
1
1 (x - 1) - (x - 3) 1 ỉ 1
1 ư
=
= .
= .ç
÷
x - 4x + 3 (x - 3)(x - 1) 2 (x - 3)(x - 1)
2 è x - 3 x -1ø
2

1 ỉ dx
dx ư 1 d(x - 3)
d(x - 1) 1

2
I = ò ( x + 2 + x - 3)dx = [ò (x + 2) d(x + 2) + ò (x - 3) 2 d(x - 3)]
5
5
2
= [ (x + 2)3 + (x - 3)3 ] + C.
15

Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: I =

dx

ò sin x.cos
Giải:

Sử dụng đồng nhất thức: sin 2 x + cos2 x = 1,

Trang 11

2

x

.


Tích phân

Trần Só Tùng


2
2
x x
x
cos x
cos x
cos x
2
cos2 tg
tg
2 2
2
Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: I =

dx

ò cos

4

x

.

Giải:
Sử dụng kết quả:
ta được: I = ò

dx
= d(tgx)


b/

f(x) =

2 x - x 3ex - 3x 2
;
x3

(2 + x )2
;
x

d/

f(x) =

1
3x + 4 - 3x + 2

c/ f(x) =

12 5 8 7
x - x +C ;
5
7

b/

-

b/

f(x) =

4x 2 + 6x + 1
;
2x + 1

c/ f(x) =

4x 3 + 4x 2 - 1
;
2x + 1

d/

f(x) =

-4x 3 + 9x + 1
;
9 - 4x 2

ĐS: a/

1 x-5
ln
+ C;
4 x -1

1

pử
pử
ổ
ổ
b/ cos ỗ 2x - ữ .cos ỗ 2x + ữ ;
3ứ
ố
4ứ
ố

d/ cos 4 x;

e/ sin 4 x + cos4 x;

1
ẹS: a/ x - cos2x + C ;
2

b/

c/ cos3 x;

f/ sin 6 2x + cos6 2x.

1
7p ử 1 ổ
pử
ổ
sin ỗ 5x +
ữ + sin ỗ x - ữ + C


f/

5
3
x + sin 8x + C.
8
64

Trang 13


Tích phân

Trần Só Tùng

Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất
đònh. Phương pháp đổi biến số để xác đònh nguyên hàm có hai dạng dựa trên đònh lý sau:
Đònh lý:
a/ Nếu ò f(x)dx = F(x) + C và u = j(x) là hàm số có đạo hàm thì ò f(u)du = F(u) + C .
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó
(j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:
ò f(x)dx = ò f[j(t)].j '(t)dt.
Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh I = ò f(x)dx.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt

ê
êë x = cos t với t Ỵ[0; p] \ { 2 }
p
p
é
x
=
a
tgt
vớ
i


(1 - x 2 )3

Khi đó: I = ò d(tdt) = tgt + C =

=

cos tdt
dt
=
= d(tgt)
3
cos t cos2 t

x
1- x

2

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
là bởi: -

+ C.
(1 - x 2 )3 = cos3 t và tgt =

p
p
< t < Þ cos t > 0 Þ
2
2


8sin 3 t cos3 t
x2 - 1

Đặt: x =
ú

1
1
1
1
= - (cot gt. 2 + tgt.
+
)dt
2
4
sin t
cos t sin t cos t
1
1
1
2 1
= - (cot gt. 2 + tdt.
+
)
2
4
sin t
cos t tgt cos2 t
1
d(tgt)

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có: cot g 2 t - tg 2 t = 4x x 2 - 1 và tgt = x - x 2 - 1
cos4 t - sin 4 t 4 cos2t 4 1 - sin 2 2t
4
1
là bởi: cot g t - tg t =
=
=
=
-1
cos2 t.sin 2 t
sin 2 2t
sin 2 2t
sin 2t sin 2 2t
2

2

1
1
sin t
2sin 2 t
1 - cos2t
1
cos2 2t
tgt =
=
-1
=
=
=


Khi đó: I = ò cos tdt = sin t + C =

x
1 + x2

dx
(1 + x 2 )3

=

cos3 tdt
= cos tdt.
cos2 t

+C

Chú ý:
1. Trong ví dụ trên sở dó ta có:

1
1 + x2

= cos t và sin t =

x
1 + x2

ì cos2 t = cos t
p

Hàm số f(x, j(x)
a.sin x + b.cos x
Hàm f(x) =
c.sin x + d.cos x + e
Hàm f(x) =

1
(x + a)(x + b)

Trang 16

Cách chọn
t là mẫu số
t = j(x)
x
x
t = tg (với cos ¹ 0)
2
2
· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt:
t = x+a + x+b
· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt:
t = x - a + -x - b


Trần Só Tùng

Tích phân

Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: I = ò x 3 (2 - 3x 2 )8 dx.


ò

x 2dx
1- x
Giải:

Đặt: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2
Suy ra: dx = - 2tdt &

x 2 dx (1 - t 2 )2 ( -2tdt)
=
= 2(t 4 - 2t 2 + 1)dt
t
1- x

2
2
ỉ1
ư
Khi đó: I = 2 ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt = -2 ç t 5 - t 3 + t ÷ + C = - (3t 4 - 10t 2 + 15)t + C
3
15
è5
ø
=-

2
2
[3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] 1 - x + C = - (3x 2 + 4x + 8) -1x + C

3ỉ1 8 1 5 ư
3
(5t 6 - 8t 3 )t 2 + C
ç t - t ÷+C=
8è8
5 ø
320

=

3
[5(1 - 2x 2 )2 - 8(1 - 2x 2 )] 3 (1 - 2x 2 )2 + C
320

=

3
(20x 4 - 4x 2 - 3) 3 (1 - 2x 2 )2 + C.
320

Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: I = ò sin 3 x cos xdx.
Giải:
Đặt: t = cos x Þ t 2 = cos x
dt = sinxdx,
Trang 17


Tích phân

Trần Só Tùng

Khi đó: I =

1 ỉ 1ư
1
2
2
ç 1 - ÷ dt = f12(t - ln t + C = [1 + sin x - ln(1 + sin x)] + C
ò
2 è tø
2

Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh: I =

cos2 xdx
ò sin8 x .
Giải:

Đặt: t = cotgx
1
dx,
sin 2 x
cos2 xdx cos2 x dx
1
dx
dx
=
= cot g 2 x 4
= cot g 2 x.(1 + cot g2 x)2
8
6


Đặt: t = e- x / 2
1
dx
Suy ra: dt = - ex / 2 dx Û - 2dt = x / 2 ,
2
e
dx
dx
e- x / 2 dx
-2tdt
1
=
=
=
= 2(1 +
)dt
x
x/2
x
-x / 2
x/2
-x / 2
e -e
e (1 - e ) e (1 - e ) 1 - t
t -1
Trang 18


Trần Só Tùng

&
= 2
= 2
.
2
t -1
1 + ex t(t - 1) t - 1

dt
t -1
1 + ex - 1
Khi đó: I = 2 ò 2
= ln
+ C = ln
+C
t -1
t +1
1 + ex + 1
Cách 2:
Đặt: t = e- x / 2
1
dx
Suy ra: dt = e - x / 2dx Û - 2dt = x / 2 ,
2
e
dx
dx
dx
-2dt
=

dt
ỉ
Suy ra: dt = ç 1 +
dx Û
=
÷ dx =
2
2
2
t
x +a ø
x +a
x +a
è
dt
Khi đó: I = ò = ln t + C = ln x + x 2 + a + C.
t
dx
Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh: I = ò
.
(x + 1)(x + 2)
Giải:
Ta xét hai trường hợp:
ìx + 1 > 0
· Với í
Û x > -1
ỵx + 2 > 0
Đặt: t = x + 1 + x + 2
Trang 19


2
0
ỵ
Đặt: t = -(x + 1) + -(x + 2)
[ -(x + 1) + -(x + 2)]dx
1
1
é
ù
Suy ra: dt = êdx =
ú
2 (x + 1)(x + 2)
ë 2 -(x + 1) 2 -(x + 2) û
dx
2dt
Û
=t
(x + 1)(x + 2)
Khi đó: I = - 2 ò

dt
= -2 ln t + C = -2 ln -(x + 1) + -(x + 2) + C
t

BÀI TẬP
Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
x4
x2 - x
a/ f(x) = x (x - 1) ; b/ f(x) = 10
; c/ f(x) =


1

x2 - x 2 + 1
d/
ln
+ C.
2 2 x2 + x 2 + 1

2x - 5
c/ ln x - 2 + C;
(x - 2)2
Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/ f(x) =
ĐS:

a/

2x
x + x -1
2

;

b/ f(x) =

1
2

2 3

è 2
ø
Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
cos5 x
;
a/ f(x) = 3
; b/ f(x) =
cos x
sin x

c/ f(x) =

sin x + cos x
;
sin x - cos x

3

cos3 x
1
d/ f(x) =
; e/ f(x) =
.
sin x
sin 4 x
ĐS:

a/



33
1 - si n2x + C;
2

d/

1
ln sin x - sin 2 x + C;
2

e/

1
- cot g3x - cot gx + C.
3

Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/ f(x) =

1
1 + e2 x

2 x.3x
;
c/ f(x) = x
9 - 4x
ĐS:

a/

xe x
+ C;
1 + xex

b/

ln

d/

ln ln(ln x) + C.


Tích phân

Trần Só Tùng

Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

ò udv = uv - ò vdu.

Công thức tính tích phân từng phần:

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh I = ò f(x)dx.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ò f(x)dx = ò f1 (x).f2 (x)dx.
ì u = f1 (x)

Đặt : í
Þí
x
x + x2 + 1
dv
=
ï
ï
x2 + 1
ỵ
ïv = x 2 + 1
ỵ

dx
x2 + 1

Khi đó: I = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - ò dx = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - x + C.
Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh: I = ò cos(ln x)dx.
Giải:
-1
ì
ì u = cos(ln x)
ïdu = sin(ln x)dx
Đặt : í
Þí
x
ỵdv = dx
ïỵv = x
Khi đó: I = x cos(ln x) + ò sin(ln x)dx.


Sử dụng tích phân từng phần cho I1, như sau:
1
ì
ì u = sin(ln x)
ïdu = cos(ln x)dx
Đặt : í
Þí
x
ỵdv = dx
ïỵv = x
Khi đó: I1 = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I 2 .

·

(3)

Sử dụng tích phân từng phần cho I2, như sau:
1
ì
ì u = cos(ln x)
ïdu = - sin(ln x)dx
Đặt : í
Þí
x
dv
dx
=
ỵ
ïỵv = x
Khi đó: I 2 = x.cos(ln x) - ò sin(ln x)dx = x.cos(ln x) + I1 .

cos2 x

sin x
ì
dx
ïdu = cos x
í
ïỵv = tgx

ỉ 1
ư
Khi đó: I = ln(cos x).tgx + ò tg 2 xdx = ln(cos x).tgx + ò ç
- 1÷dx
2
è cos x ø
= ln(cos x).tgx + tgx - x + C.
Bài toán 2: Tính I = ò P(x)sin axdx (hoặc ò P(x) cos axdx) với P là một đa thức thuộc
R[X] và a Ỵ R * .

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Trang 23


Tích phân

Trần Só Tùng

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
·


trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x).
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:
P(x).cos ax = [A '(x) + B(x)].sin a + [A(x) + B'(x)].cos x

(2)

Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được các đa thức A(x) và B(x)
+ Bước 3: Kết luận.
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá
cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau:
– Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
– Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 4: Tính : I = ò x.sin 2 xdx (ĐHL_1999)
Giải:
Biến đổi I về dạng cơ bản:
1
1
1 2 1
ỉ 1 - cos 2x ư
I = ò xç
÷ dx = ò xdx - ò x cos2xdx = x - ò x cos 2xdx
2
2
2
4
2
è
ø
Xét J = ò x cos2xdx.

Trang 24

(1)


Trần Só Tùng

Tích phân

Giải:
Ta có: I = ò (x 3 - x 2 + 2x - 3)sin xdx
= (a1x 3 + b1x 2 + c1x + d1 ) cos x + (a2 x 3 + b 2 x 2 + c2 x + d 2 )sin x + C
Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:
(x 3 - x 2 + 2x - 3)sin x = [a2 x 3 + (3a1 + b2 )x 2 + (2b1 + c2 )x + c1 + d 2 ].cos x -[a1x 3 - (3a2 - b1 )x 2 - (2b2 - c1 )x + c2 - d1 ].sin x
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
ìa 2 = 0
ï
ï3a1 + b2 = 0
(I)
và
í
2b
+
c
=
0
ï 1 2
ïỵc1 + d 2 = 0

(2)

1 ax
ax
v
e
=
dv
e
dx
=
ỵ
ïỵ
a
1
b
(1)
Khi đó: I = eax cos(bx) + ò eax sin(bx)dx.
a
a
+ Bước 2: Xét J = ò eax sin(bx)dx.
ìdu = b cos x(bx)dx
ì u = sin(bx)
ï
Þí
Đặt í
1 ax
ax
v
=
e
ỵdv = e dx

(1)