Chuyên đề nguyên hàm – tích phân

Học toán miễn phí:

A. Tóm tắt lí thuyết

Nội dung 1: Nguyên hàm
1. Bảng tính nguyên hàm cơ bản
Bảng 1
Hàm số f(x)
a ( hằng số)

x   1


1
x
ax

Họ nguyên hàm
F(x)+C
ax + C
x 1
C
 1
ln x  C

Bảng 2
Hàm số f(x)

Họ nguyên hàm F(x)+C

1
xa
ln
C
2a x  a

1
ax  b
A ax  b

ex

ax
C
ln a
ex  C

sinx

-cosx + C

sin(ax+b)

cosx

sinx + C

cos(ax+b)

1

cotx

ln sin x  C

ln u( x )  C

2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ
bản
 Phân tích hàm số đã cho thành tổng, hiệu của các hàm số đơn giản có công thức trong
bảng nguyên hàm cơ bản.
 Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến
đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số
Định lí cơ bản:
Nếu  f u  du  F u   C và u  u  x là hàm số có đạo hàm liên tục thì

 f u  xu ' x dx  F u  x   C
1|Trang

Fanpage: />

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân

Cách thực hiện: Tính

Học toán miễn phí:

 f  u(x) u '(x)dx bằng pp đổi biến số


x2
dx
x2

2 x 3  3x
dx
x2

2) I  

3 x  1
dx
x 1

3) I  

2) I  

1
dx
x  x  1

3) I  

2) I  

ln x
dx
x



2) I  

ex
dx
1  2e x

3) I   cos5 xdx

Fanpage: />

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân

Học toán miễn phí:

Nội dung 2: Tính tích phân
A. Tóm tắt lí thuyết
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
a. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b  K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
hàm
số f(x) trên K thì :
b

b

 f ( x )dx   F ( x )a  F (b)  F (a)

( Công thức NewTon - Leipniz)



a

a

Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên  a; b và k là một hằng số thì
b

b

 k. f ( x )dx  k. f ( x)dx
a



a

Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên  a; b và c là một hằng số thì
b


a



c

b

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx


Công thức đổi biến số dạng 1:

b

u (b )

a

u(a)

 f u ( x).u' ( x)dx   f (t )dt

Cách thực hiện:
t  u ( x)  dt  u ' ( x) dx
xb
t  u (b)
Bước 2: Đổi cận :

xa
t  u (a)
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

Bước 1: Đặt

b

u (b )

a

Công thức đổi biến số dạng 2

Cách thực hiện

x   (t )  dx   ' (t )dt
xb
t
Bước 2: Đổi cận :

xa
t 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
Bước 1: Đặt

b



a



I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)

3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Công thức tích phân từng phần

b

b


b

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :  udv  u.va   vdu
a

Bước 3: Tính u.v ba

b

a

b

và  vdu
a

II. CÁC VÍ DỤ
2

Ví dụ 1: Tính tích phân I  
1

x 2  3x 1
dx .
x2  x

(Phân tích & dùng định nghĩa)

Bài giải


Học toán miễn phí:

2



 dx  x

2
1

1

1

2




1

2
2 x 1
2
dx

ln
x

♥ Biến đổi hàm số thành dạng

 x 1

2

1

Khi đó: I  

x 1
2

0

x 2 1
1

1

dx   dx  
0

x 2  2 x 1
2x
 1 2
2
x 1
x 1


2
dx

ln
x

1
 ln 2
0
x 2 1

♥ Vậy I  1  ln 2 . 

ln 2

Ví dụ 3: Tính tích phân I   e x 1 e x dx .
2

(Đổi biến số dạng 1)

0

Bài giải
♥ Đặt t  e x 1  dt  e x dx
 x  ln 2 t  1
Đổi cận: 

 x  0
t  0
1

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân

Học toán miễn phí:

♥ Đặt t  2  x 2  t 2  2  x 2  2tdt  2 xdx  tdt  xdx
 x  1 t  1
Đổi cận: 

 x  0 t  2

2

Suy ra: I  
1

♥ Vậy I 

t3
t dt 
3

2

2 2 1
3



2


Suy ra: I 
♥ Vậy I 

3

2
2
2
38
t 2 dt  t 3  33  23  

5 2
15 2 15
15

38
.
15


4

Ví dụ 6: Tính tích phân I    x  1 sin 2 xdx .

(Tích phân từng phần)

0

Bài giải
du  dx

2
4
4
0
0

3
♥ Vậy I  . 
4

6|Trang

Fanpage: />

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân

Học toán miễn phí:


4

Ví dụ 7: Tính tích phân I   x 1  sin 2 x dx .

(Tích phân từng phần)

0


4


32 0

du  dx
u  x
Đặt 
 
dv  sin 2 xdx v   1 cos 2 x
2


4

Suy ra:


0

♥ Vậy I 


4


4


4




Bài giải
2

2

♥ Ta có: I   xdx  2
1

2





0
2

♥ Tính


1

1

ln x
dx
x

2


t2
dx   tdt 
x
2
0

ln 2


0

ln 2 2
2

3
♥ Vậy I   ln 2 2 . 
2

7|Trang

Fanpage: />

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân
2

Học toán miễn phí:

x 2 1
ln xdx .
x2



x
x x
1
1
2

2

2



1
1
  x   ln x   x  



x
x 1
1
5
3
 ln 2 
2
2
5
3

dx   xex dx .
0

1

1

1 x2
x2
2
e x2  = e – 1.
=
2xe
dx

e
d
(
x
)
0
0
  0

1

x

0 xe dx


2

x 4



2

2) I  

dx

0

sin x

1  cos x 

2

dx

Bài 2: Tính các tích phân sau
e3

e

ln x  1
1) I  
dx


Bài 4: Tính các tích phân sau
2

2

1) I   x x 2  3dx

x2

2) I  

x3  1

0

1

dx

Bài 5: Tính các tích phân sau
1



2

e
 ln 3 x 
2) I   x 1  2  dx




1

dx

3

Bài 7: Tính các tích phân sau

2


6

1) I  

2) I  

s in2x cos x
dx
1  cos x
0

0

tan 4 x
dx
cos 2 x




1) I   cos3 x  1 cos 2 xdx
0

s in2x
dx
3  4sin x  cos 2 x
0

2) I  

Bài 10: Tính các tích phân sau

4

1) I  
0

dx
cos x 3 tan x  1
4


2

2) I  

4


Bài 12: Tính các tích phân sau

3

1) I  

4

ln5

tan x
cos x 1  cos 2 x

dx

2) I 



ln 2

e2x
ex 1

dx

Bài 13: Tính các tích phân sau
9|Trang



x  3dx





x

 1 ex

dx

x

ln 2

0

e

e 1

Bài 15: Tính các tích phân sau








5

1) I   1  x 2  ln xdx

2) I   x 2 ln  x  1 dx

1

2

Bài 18: Tính các tích phân sau
e

e

x2  1
ln xdx
x

1) I  
1

2) I   x3 ln 2 xdx
1

Bài 19: Tính các tích phân sau
1

3


Bài 21: Tính các tích phân sau
4

3

2x 1
1) I  
dx
0 1  2x 1

2) I 

dx

 x (x
2

1

2

 1)

Bài 22: Tính các tích phân sau

2

1) I  
0


6

1) I   x sin 2 3 xdx

cot x
dx
4
 1  sin x

I 

2)

0

4

Bài 24: Tính các tích phân sau
6

1) I  
2


2

sin x  cos x
dx
3  sin 2 x

I. CÔNG THỨC
1. Công thức tính diện tích hình phẳng
y

y

x b
(C1 ) : y  f ( x)

xa

(C1 ) : y  f ( x )
(C ) : y  g ( x )
 2
(H ) : 
 1 : x  a
 2 : x  b

(H )

(C 2 ) : x  g ( y )

y b

b

(C 2 ) : y  g ( x)

(H )
ya

a

a

2. Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay
y
xa

O
11 | T r a n g

a

xb
(C ) : y  f ( x)

y0

x
b

y

b
x0
a
O

y b
(C ) : x  f ( y )

♥ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường
x 1
x 2  x  3  2 x  1  x 2  3x  2  0  
 x  2
♥ Diện tích hình phẳng cần tìm là
2

S   x 2  3x  2 dx
1
2

 x 3 3x 2

1
   x  3 x  2   
 2 x   . 

 3
2
1 6
1
2

2

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường
1
y
, y  0, x  0 và x  1 xung quanh trục hoành.
1  4  3x

1
2t
2
t
2  1
1 
.
d
t

d
t



 dt
2
2


(1  t ) 3
3 1 (t  1)
3 1  t  1 (t  1)2 
2

Khi đó ta có V   


12 | T r a n g



Chuyên đề nguyên hàm – tích phân

Học toán miễn phí:

B. Bài tập
 y  x2  4x  3

y  0
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H): 
x  0
 x  2
 y  x 2
Oxy
Bài 2: Trong mặt phẳng 
 , tính diện tích của hình phẳng (H): 
2
 y  2  x

3x  1

y  x  1

Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H):  y  0
x  0


2
 y  x
Bài 4: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H): 