TR NG THPT LONG TH NH

Chuyên :
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
NG D NG

H N 300 BÀI T P T C B N N NÂNG CAO
TH NG G P TRONG THI
BÀI T P TÍCH PHÂN TRONG THI T T NGHI P
I H C CAO NG T 2003 – 2014

(Tài li u dành cho nhóm h c sinh khá - gi i ôn thi TNQG) Tác gi : ng Trung Hi u
www.gvhieu.com
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân - ng d ng – 0939.239.628
1 Biên so n: ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com

M c l c
A. Nguyên hàm 2
I. Nguyên hàm c b n 2
II. Nguyên hàm h u t 2
III. Tìm nguyên hàm b ng ph ng pháp i bi n 3
IV. Ph ng pháp t ng ph n 4
V. Tìm nguyên hàm th a i u ki n 4


Chuyên : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
“ Nguyên hàm – Tích phân là m t ch r t r ng, bài t p a d ng và r t nhi u th lo i, các k thu t
gi i c ng r t nhi u và òi h i ng i h c có r t nhi u ki n th c liên quan.
Trong chuyên nh này, tác gi c g ng h th ng l i các bài t p và nh ng ph ng pháp ph
bi n, thông d ng nh t gi i quy t các bài toán nguyên hàm tích phân th ng xu t hi n nh t trong
thi T t nghi p THPT Qu c Gia, i h c – Cao ng hàng n m. ”
A. NGUYÊN HÀM
I. Nguyên hàm c b n, m r ng theo
1
(
)
()
f
a
x
b
d
x
F
a
xb
a
õãõ
.

a)
10
(5 7)
x
dx

3)
x
dx
ó
.
f)
ø÷
3
3
46
dx
x ó
.
g)
1
32
dx
x
ó
.

)
5
4
3
dx
h
x
ó
.

n
(
5
6)
x
dx
ó
.

II. Nguyên hàm các hàm h u t
()
()
Px
Qx
n gi n:
Tr ng h p 1: N u b c
(
)
()
P
x
Qx
m
thì chia a th c r i tìm cách làm ti p.
Tr ng h p 2: B c P(x)<Q(x) thì phân tích
(
)
(
)
(

9)
õõõõõõ
8(Tr ng h p 3: N u m u
2
()
Q
x
a
x
b
xc
ãõõ vô nghi m, thì tìm cách a v d ng
2 22
1 11
()
d
x
dx
ax bx c ax
ã
õõõõR i l ng giác hóa b ng cách t
t
an
xt

d)
1
(
4
5
)
(
3
2)
dx
xxóó
.

e)
2
5
16
dx
x
ó
.
f)
2
1
94
dx
x
ó
.
g)

4
42
54
x
dx
xx
óõ
.
k)
22
(
4
3
)
(
4
4)
dx
x x xxóõóõ
.

l)
1
(
1
)
(
2)
dx
xxxóó

1)
dx
xx õ
. www.gvhieu.com
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân - ng d ng – 0939.239.628
3 Biên so n: ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
III. Ph ng pháp i bi n:
Ghi nh : () ()
xx
f
u
d
u
F
uC
ãõ
.
và
1
( ) ()
f
a
x
b
d
u
F

c)
(
l
n)
dx
d)
(
s
i
n)
dx

e)
2
(
2
5
1)
dxxóõ
f)
(
t
a
n
2)
x
d
ex
g)
3

f
u
d
u
F
uc
ãõ
.
)
Ví d : Tìm nguyên hàm
2
1
I
x
x
dx
ãõ
.

Cách 1: t
2 22
1 1 22
udu
uxuxudu xdx dx
x
ãõBãõBãBã
V y
ø
÷
3

2
33
I
x
x
d
x
x
d
x
x
C
xC
ãõãõõãõõãõõ a)
27
(6)
x
x
dx
ó
ó
.
b)
323
1
x
x

n)
x
dx
x
.
g)
3
2
sin
cos
x
dx
x
.
h)
3
cossin
x
x
dx
.

i)
cos sin
sin cos
xx
dx
xx
õ
ó

ó
ó
õ
.

m)
tan
2
1
ln cos
x
e
dx
xxx
:*
õ
9)
8(
.
n)
3
225x
x
e
dx
ó
.
p)
s
i

õ
õ
.
s)
2
1
x
x
e
dx
e
õ
.
t)
6
94
x
xx
dx
ó
.
u)
2
11
x
xx
edx
ee
õõó
.

35
x
x
dx
ó
.
b)
3
32
sin
x
dx
x
.
c)
22
22
x
e
dx
x
ó
ó
.
d)
2
11
ln
11
x

h)
(2sin 3)cos
s
i
n1
xx
dx
x
õ
ó
.

i)
5
(
3)
x
x
dx
ó
.
j) 25
x
x
dx
ó
.
l)
1
dx

42
(1)
x
dx
xõ
.
l)
1
s
in
dx
x
.
p)

1
c
os
dx
x
.

IV. Ph ng pháp t ng ph n
Ghi nh :

u
d
v
u
v

x
P
x
x
x
e
d
x
P
x
Q
x
dxVí d : Tìm nguyên hàm
x
I
x
e
dx
ã
.

Cách 1: t
xx
u
x
d
u

e
d
x
x
d
e
x
e
e
d
x
x
e
eC
ãããóãóõ

(nh ng bài d nên làm theo cách 2)
1. Hãy tìm các nguyên hàm sau: (làm nhanh)
a)
2
( 1)
x
x
e
dx
õ
.
b) cos
x
x

.
g) ln
x
x
dx
.
h)
sin
3
x
x
dx
.

i)
2
l
n
(
1)
x
x
dx
õõ
.
j)
1
ln
1
x

2
sin
x
x
dx
.
n)
3
l
n
(
2)
x
x
dx
.
p)
2
l
n
(
1)
x
x
dx
õ
.

2. Tìm các nguyên hàm sau:
a)

xõ
.

e) cos
x
e
x
dx
.
f)
s
i
n
(
l
n)
x
dx
.
g)
2
ln
x
dx
.
h)
22
ln
( 1)
xx

.
k)
3
3
ln
x
dx
x
.

V. M t s bài t p liên quan n nguyên hàm
1. Tìm hàm s f(x) bi t
'
(
)
2
s
i
n
3
c
os
2
x
fxxãó và
2
2
f
:*
ã

2
6
4
,
(
0
)
4
,
(
1
)1
fx x x ffãõóãã . Hãy tìm hàm s
()
fx
.
4. Tìm nguyên hàm F(x) c a f(x), bi t
43
(
)
5
2
4
s
in
x
f
x
x
ex

)

.
(
)
()
b bb
a aa
f
x
d
x
f
t
d
t
f
u
d
u
F
b
Fa
ããããóI. Tích phân có d u giá tr tuy t i
Ph ng pháp: xét d u f(x), b d u | | , tách ra nhi u tích phân
a)
3

ó
ãóõ
.
d)
4
32
0
2
x
x
x
dx
óõ
.

e)
ø÷
3
3
|
2
|
|
2|
x
x
dx
ó
õõó
.

b
xx
a
a
f
u
d
u
F
u
F
b
Fa
ããó
.

1. Tính các tích phân sau:
a)
1
4
1
(
3
2)
x
dx
ó
õ
.
b)

õõ
.

e)
2
2
4
1
1 x
dx
x
õ
.
f)
2
0
sin
()
1 cos
xx
d
x
xt
x
ãó
õ
.
g)
2
0

1
1
x
x
dx
ó
.
j)
3
4
1
sin2
dx
x
.
k)
ln2
0
1
x
e
dx
ó
.
l)
/3
4
/4
t
a

13
x
x
dx
õ
.
q)
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
ó
õ
.

r)
3
2
2
6
cos
sin
x
dx
x


v)
1
0
x
xe
e
dx
õ
.
w)
2
2
0
cos
11 7sin cos
x
dx
xx
óó
.
y)
3 2
1
1 ln ln
e
xx
dx
x
õ

2. Tính các tích phân sau: ( t x theo hàm l ng giác)
a)
1
2
2
0
1
x
dx
ó
.
b)
1
2
0
1
1
dx
xõ
.
c)
22
0
a
a
x
dx
ó
.
d)

1
x
x
dx
ó
.
h)
0
sin4
()
1 sin
x
d
x
xt
x
ãó
õ
.

www.gvhieu.com
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân - ng d ng – 0939.239.628
6 Biên so n: ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
i)
1/2
0
1
1
x
dx

dx
xx
ó
õõ
.

m)
2
2
1
32
dx
xx
õó
.
n)
2
2
sin
1 cos
xx
dx
x
õ
.

(
3)
xt
ãó


(
1
/
s
i
n)
xt
ã
r)
2
2
0
2
x
x
x
dx
ó
.

(
1
c
o
s)
xt
óã
s)
7

ãó1. Tính các tích phân sau:
a)
1
0
x
x
e
dx
.
b)
2
1
ln
x
x
dx
.
c)
2
0
sin
x
x
dx
.
d)
2

x
e
x
dx
.
h)
2
0
sin cos
x
x
x
dx
.

i)
/2
2
0
cos
x
x
dx
.
j)
/2
/4
c
o
s

1
0
l
n
(
2
1)
x
dx
õ
.
n)
ø÷
3
2
ln( 1)ln( 1)
x
x
dx
óóõ
.
p)
2
1
1/2
1
(1)
x
x
x

e
x
xx
e
dx
x
õ
.
t)
/3
2
/6
l
n
(
s
i
n)
cos
x
dx
x
.
u)
2
1
1
ln
x
x

c)
/2
/3
sin
1 cos
xx
dx
x
õ
õ
.
d)
2
1
ln
e
x
dx
.

e)
2
1
3
0
x
x
e
dx
.

x
x
dx
.

i)
1
2
0
x
x
dx
e
.
j)
1
2
0
l
n
(
1)
x
x
dx
õ
.
k)
1
22

22
0
sin2
cos 4sin
x
I
dx
xx
ã
õ
.
c)
/2
3
/3
(
s
i
n
c
o
s)
sin cos
xx
I
dx
xx
õ
ã
ó

.
e)
1
22
0
2
12
xx
x
xexe
I
dx
e
õõ
ã
õ
.
f)
/4
2
0
1 2sin
1 sin2
x
I
dx
x
ó
ã
õ

õ
.

2. Tính các tích phân
a)
23
2
5
1
4
I
dx
xx
ã
õ
.
b)
2
1
11
x
I
dx
x
ã
õó
.
c)
1
1 3ln .ln

ó
õ
.
f)
1
2
0
(
1
)1
xdx
xx
õõ
.

h)
3
52
0
1
I
x
x
dx
ãõ
.
i)
5
53
2

sin2cos
1 cos
x
x
dx
x
õ
.

d)
/2
22
0
3sin 4cos
3sin 4cos
xx
dx
xx
õ
õ
.
e)
/2
35
0
s
i
n
c
o

1
sin
dx
x
.
i)
/4
44
0
sin cos
x
x
dx
.

j)
/4
2
/6
c
o
s
.
s
in
dx
xx
.
k)
/4

i
n
c
os
dx
xx
õõ
.
b)
/2
/3
s
in
dx
x
.
c)
2
0
4
s
i
n
3
c
o
s5
dx
xxõõ
.

T T NGHI P THPT (2003 – 2014)
1.
ø÷
1
0
1
x
I
x
e
dx
ãó
.
(PT14) 2.
2
2
1
( 1)x
I
dx
x
õ
ã
.
(TX14) 3.
2
0
( 1)cos
I
x

.
(PT12) 6.
2
2
1
( 2)
I
x
x
dx
ãó
.
(TX12)
7.
1
4 5ln
e
x
I
dx
x
õ
ã
.
(PT11) 8.
0
(2 3)cos
I
x
x

(
1
c
o
s)
x
x
dx
õ
.
(PT09) 12.
1
0
(
2)
x
I
x
x
e
dx
ãõ
.
(Tx09)
13.
1
2 34
1
(1)
I

0
sin cos
x
x
dx
.
(Tx08) 17.
2
2
0
2
1
x
I
dx
x
ã
õ
.
(PT07) 18.
3
1
2ln
K
x
x
dx
ã
.
(PT07)

e
õ
ã
ó
.
(PT06)
22.
1
0
(2 1)
x
I
x
e
dx
ãõ
.
(PT06) 23.
/2
2
0
sin2
4 cos
x
dx
x
ó
.
(PT06) 24.
/2

(Tx04)
26. Tìm nguyên hàm F(x) c a
32
2
3
31
()
21
x
xx
fx
xx
õõó
ã
õõ
bi t
1
(1)
3
Fã

I H C CAO NG (2003 – 2014)
1.
2
2
2
1
31
xx
I

1
1
ln
x
I
x
dx
x
ó
ã
.
(A13) 5.
1
2
0
2.
I
x
x
dx
ãó
.
(B13) 6.
1
2
2
0
(
1)
1

I
dx
x
õõ
ã
.
(A12) 9.
1
3
42
0
32
x
I
dx
xx
ã
õõ
.
(B12)
www.gvhieu.com
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân - ng d ng – 0939.239.628
9 Biên so n: ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
10.
4
0
(
1
s
i

õõ
ã
õ
.
(A11)
13.
3
2
0
1 sin
cos
xx
I
dx
x
õ
ã
.
(B11) 14.
4
0
41
2
12
x
I
dx
x
ó
ã

ã
õ
.
(A10) 17.
2
1
ln
(2 ln)
e
x
I
dx
xx
ã
õ
.
(B10) 18.
1
3
2 ln
e
I
x
x
dx
x
:*
ãó
9)
8(

3 ln
( 1)
x
I
dx
x
õ
ã
õ
.
(B09)
22.
3
1
1
x
dx
I
e
ã
ó
.
(D09) 23.
1
2
0
()
xx
I
e

s
i
n
c
o
s)
x dx
I
x
xx
:*
ó
9)
8(
ã
õõõ
.
(B08) 26.
2
3
1
ln
x
I
dx
x
ã
.
(D08) 27.
32

ee
ó
ã
õó
.
(B06) 30.
1
2
0
( 2)
x
I
x
e
dx
ãó
.
(D06)
31.
2
0
sin2 sin
1 3cos
xx
I
dx
x
õ
ã
õ

1
11
x
I
dx
x
ã
õó
.
(A04) 35.
1
1 3ln ln
e
xx
I
dx
x
õ
ã
.
(B04) 36.
3
2
2
l
n
()
I
x
x

2
2
0
||
I
x
x
dx
ãó
.
(D03) www.gvhieu.com
Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân - ng d ng – 0939.239.628
10 Biên so n: ng Trung Hi u - Gv Toán THPT Long Th nh - www.gvhieu.com
E. NG D NG C A TÍCH PHÂN
I. Di n tích hình ph ng
Ghi nh : di n tích gi i h n b i
(), 0, , `: |()|
(
)
,
(

g
x
dx
ããããã
ãããããó
.
.

1. Tính di n tích S c a các hình ph ng gi i h n b i các ng ã ch ra trong các câu sau:
a) Parabol
2
4
y
xx
ãó và tr c hoành. b)
2
,
0
,
1
,2
y x y xxãããóã
c)
1
,
0
,
1
,3
y y xx

/
4
,
5
/4
y x y xxx
ã
ã
ãã
b)
32
23
y
x
xx
ãóó và tr c Ox.
c)
3
,3
x
y
y
xy
ãóã d)
,
1
,
2
,3
x

y
yx
x
ããã h)
,2
y xyxããó và tr c hoành.
i)
22
3
2
,
4
9
,
12
4
22
x xx
yyxyãõãóõãóõ j)
2
4
4
x
yãó và
2
42
x
yã
3. Tìm di n tích hình ph ng gi i h n b i
2

là ti p tuy n v i elip t i A. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng th ng (d), tr c hoành và elip.
II. Th tích v t th tròn xoay:
2
(
)
:
(
)
:
()
b bb
aaa
V
S
x
d
x
quan
h
O
x
V
f
x
d
x
quan
h
O
y

xe
ã
ãã
quanh ng
xe
ã
.
2. G i D là hình ph ng gi i h n b i các ng
2
3
1
0
,
1
,
(
0)
y x y y xxãóõããâ . Tính th tích c a kh i
tròn xoay t o b i D khi quay quanh Ox.
3. G i H là di n tích hình ph ng gi i h n b i
22
4
(
2
)
,
47
y x y xxãóãóõ . Tính th tích kh i tròn xoay
c t o thành khi quay H xung quanh tr c tung.
www.gvhieu.com

sin
xx
x
x
dxC
dx xC
x
xdxC
dx xC
x
edx eC
a
adx C aa
a
xdx xC
xdx xC
dx xC
x
dx xC
x
õ
ã
ãõ
ãõg
õ
ãõ
ãõ
ãõgâ
ãõ
ãóõ

dxC
x
x
dxC
x
ãóõ
ãóõ
ãõ
ãõ
:*
ãóõ
9)
8(
.
.
.
.
.1
2
22
11
1) ln||
1()
2) ( ) ( 1, 0)
( 1)
1
3) arctan

õ
õõ
õõ
ãõõ
õ
õ
õãõgóg
õ
ãõ
õ
ãõ
õ
ãõ
ãõäg
õãõõ
õ
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
22
2

a
x
b
d
x
d
x
a
x
bC
ax ba
xa
dx Ca
xa a xa
dx xC
x
x
dx Ca
a
ax
ãóõõ
õõããõõ
õ
õõããóõõ
õ
ó
ãõâ
óõ
ãõ
ó

ó
ããã
õõõ

CÔNG TH C L NG GIÁC C N THI T